2003年考研数学(二)真题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) (1) 若0→x 时,1)1(4
12
--ax 与x x sin 是等价无穷小,则a= . (2) 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
(3) x y 2=的麦克劳林公式中n
x 项的系数是 .
(4) 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ,则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .
(5) 设α为3维列向量,T α是α的转置. 若????
?
?????----=111111111T αα,则
ααT = .
(6) 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2,其中E 为三阶单位矩阵,若????
?
?????-=102020101A ,
则=B .
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符
合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞
→n n a ,1lim =∞
→n n b ,∞=∞
→n n c lim ,则必有 [ ]
(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.
(C) 极限n n n c a ∞
→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞
→lim 不存在. [ ]
(2)设dx x x
a n n n
n n +=?+-12310
1
, 则极限n n na ∞→lim 等于 [ ] (A) 1)1(2
3
++e . (B) 1)1(2
31-+-e .
(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(2
3-+e . (3)已知x x y ln =
是微分方程)(y
x
x y y ?+='的解,则)(y x ?的表达式为 [ ] (A ) .22x y - (B) .22x y (C) .22y x - (D) .22
y
x
(4)设函数f(x)在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有 [ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点.
y
O x
(5)设?
=
40
1tan π
dx x
x I ,dx x x
I ?=402tan π
, 则 [ ]
(A) .121>>I I (B) .121I I >>
(C) .112>>I I (D) .112I I >>
(6)设向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,则 [ ] (A) 当s r <时,向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时,向量组II 必线性相关.
(C) 当s r <时,向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时,向量组I 必线性相关.
三 、(本题满分10分)
设函数 ,
0,0,0,4sin
1,6,arcsin )
1ln()(23>=???
?
?
??
?
--+-+=x x x x
x ax x e x x ax x f ax 问a 为何值时,f(x)在x=0处连续;a 为何值时,x=0是f(x)的可去间断点?
四 、(本题满分9分)
设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>??
??
?=+=?+t du u e y t x t u
所确定,求.9
22
=x dx y d
五 、(本题满分9分) 计算不定积分
.)
1(2
32
arctan dx x xe x ?
+
六 、(本题满分12分)
设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.
(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (32
2=++dy dx x y dy
x d 变换为y=y(x)满足的微分方程;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件2
3
)0(,0)0(='=y y 的解.
七 、(本题满分12分)
讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4
ln 4+=的交点个数.
八 、(本题满分12分)
设位于第一象限的曲线)(x f y =过点)2
1
,22(,其上任一点),(y x P 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分. 一、求曲线 )(x f y =的方程;
二、已知曲线x y sin =在],0[π上的弧长为l ,试用l 表示曲线)(x f y =的弧长s .
九 、(本题满分10分)
有一平底容器,其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ?绕y 轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求,当以min /33
m 的速率向容器内注入液体时,
液面的面积将以min /2
m π的速率均匀扩大(假设注入液体前, 容器内无液体).
(1) 根据t 时刻液面的面积,写出t 与)(y ?之间的关系式; (2) 求曲线)(y x ?=的方程.
(注:m 表示长度单位米,min 表示时间单位分.) 十 、(本题满分10分)
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且.0)(>'x f 若极限a
x a x f a
x --+
→)
2(lim 存在,证明:
(3)在(a,b)内f(x)>0; (4)在(a,b)内存在点ξ,使
)
(2)(2
2ξξ
f dx
x f a b b
a
=
-?
; (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η,使 ?-=-'b
a dx x f a
a b f .)(2))((2
2
ξξη 十 一、(本题满分10分)
若矩阵????
?
?????=60028022a A 相似于对角阵Λ,试确定常数a 的值;并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P
十二 、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
:1l 032=++c by ax , :2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a