换面法

换面法

一、换面法概述

当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。

当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。 换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。 1．换面法的基本概念

换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。

2．新投影面的选择原则

（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置； （2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面； （3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。

二、点的换面

点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。

1．点的一次换面

（1）换V 面

图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。

过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1

a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。a 和1

a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（

b ）所示的投影图。由于在

（a）（b）（c）

图2-25点的一次变换（换V面）

新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：

1

a'a⊥O1X1轴；

1

a'

1x

a=a'

x

a=A a，即：换V面时Z坐标不变。

由此得出点的投影变换规律是：

①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；

②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。

换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示：

①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴；

②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取1a'1x a=a'x a，点1a'即为所求。

（2）换H面

换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：

a'a⊥O1X1轴；

1

a

1x

a=a

x

a=A a'，换H面是Y坐标不变。

其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。

2．点的二次换面

由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。

但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。

二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示：

（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影

1

a，而

1

a

1x

a=

a

x

a=A a'，作图方法与点的一次换面完全相同；

（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影

2

a'，而

2

a'

2x

a

=a '1x a =A 1a ，作图方法与点的一次换面类似。

（1）（2）

图2-26点的二次换面

注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：

H V

→H V 1→21H V →2

3H V ……。 三、几个基本作图问题

1．将一般位置直线变换为投影面的平行线

如图2-27（a ）为把一般位置直线AB 变换为投影面平行线的情况。用V 1面代替V 面，

使V 1面∥AB 并垂直于H 面。此时，AB 在新投影体系V 1/H 中为正平线。图2-27（b ）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影ab 平行的新投影轴O 1X 1（O 1X 1∥ab ），然

后根据点的投影变换规律和作图方法，求出A 、B 两点在新投影面V 1上的新投影1

a '、1

b '，再连接直线1

a '1

b '。则1a '1b '反应线段AB 的实长，即1a '1b '=AB ，并且新投影11b a ''和新投影轴（O 1X 1轴）的夹角即为直线AB 对H 面的倾角α，如图2-27（b ）。

如图2-27（c ）所示若求线段AB 的实长和与V 面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB ∥H 1面）也即应该换H 面，建立V/H 1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。

（a ）（b ）（c ）

图2-27将一般位置直线变换为投影面平行线

2．将投影面的平行线变换为投影面垂直线

将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。

如图2-28（a ）表示将水平线AB 变换为新投影面的垂直线的情况。图2-28（b ）表示投影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB ，而AB 为水平线，所以新投影面一定垂直于H 面，故应换V 面，用新投影体系V 1/H 更换旧投影体系V/H ，其中O 1X 1⊥ab 。

（a ）（b ）

图2-28将投影面的平行线变换为投影面垂直线

3．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）

如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。

如图2-29所示，先换V 面，使直线AB 在新投影体系V 1/H 中成为正平线，然后再换H 面，使直线AB 在新投影体系V 1/H 2中成为铅垂线。其作图方法详见图2-29（b ），其中O 1X 1

∥ab ，O 2X 2⊥11

b a ''。

（a ）（b ）

图2-29直线的二次换面

4．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）

将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。

我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。

如图2-30表示将一般位置平面△ABC 变换为新投影体系中的正平线段的情况。由于新投影面V 1既要垂直于△ABC 平面，又要垂直于原有投影面H 面，因此，它必须垂直于△ABC 平面内的水平线。

作图步骤（如图2-30（b ））：

（1）在△ABC 平面内作一条水平线AD 线作为辅助线及其投影ad 、d a ''； （2）作O 1X 1⊥ad ；

（3）求出△ABC 在新投影面V 1面上的投影1

a '、1

b '、1

c '，1a '、1b '、1c '三点连线必积聚为一条直线，即为所求。而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC 与H 面

的倾角α。

同理，也可以将△ABC 平面变换为新投影体系V/H 1中的铅垂面，并同时求出一般位置平面△ABC 与V 面的倾角β。

（a ）（b ）

（c ）

图2-30平面的一次换面（求倾角）

5．将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）

如图表示将铅垂面△ABC 变为投影面平行面（求实形）的情况。由于新投影面平行于

△ABC ，因此它必定垂直于投影面H ，并与H 面组成V 1/H 新投影体系。△ABC 在新投影

体系中是正平面。图2-30（b ）为它的投影图。

作图步骤（如图2-31（b ））：

（1）在适当位置作O 1X 1∥1

a '1

b '1

c '； （2）求出△ABC 在H 1面的投影1a 、1b 、1c ，连接此三点，得△1a 1b 1c 即为△ABC 的实形。

（a ）（b ）

图2-31将投影面的垂直面变换为投影面平行面

6．将一般位置平面变换为投影面平行面（二次换面）

要将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。因为如果取新投影面平行于一般位置平面，则这个投影面也一定是一般位置平面，它和原体系V/H 中的哪个投影面都不垂直而无法构成新投影体系。因此，一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。

如图2-32（a ）所示，先换V 面，其变换顺序为X

H V →X 1H V 1→X 22

1H V

，在H 2面上得到△222c b a =△ABC ，即△222c b a 是△ABC 的实形；

如图2-32（b ）所示，先换H 面，其变换顺序为X

H V →X 11H V →X 21

2H V ，在V 2面上得到△222

c b a '''=△ABC ，即△222c b a '''是△ABC 的实形。

（a ）（b ）

图2-32平面的二次换面

四、应用举例

1. 点到平面的距离

确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。

图2-33，用变换V 面的方法，确定点D 到△ABC 的距离，作图步骤如下： （1）由于△ABC 中的AC 为水平线，故直接取新轴O 1X 1⊥ac ；

（2）再作出D 面和△ABC 的新投影1d '和1a '1b '1c '（为一直线）；

（3）过点1

d '向直线1a '1b '1c '作垂线，得垂足的新投影1k '，投影1d '1k '之长即为所求的距离。

图2-33点到平面的距离

2. 点到直线的距离及其投影

例如图2-34（a ）所示：

已知线段AB 和线外一点C 的两个投影，求点C 到直线AB 的距离，并作出C 点对AB 的垂线的投影。

分析：要使新投影直接反映C 点到直线AB 的距离，过C 点对直线AB 的垂线必须平行于新投影面。即直线AB 或垂直于新的投影面，或与点C 所决定的平面平行于新投影面。要将一般位置直线变为投影面的垂直线，必须经过二次换面，因为垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。因此要先将一般位置直线变换为投影面的平行线，再由投影面平行线变换为投影面的垂直线。

作图步骤：

（1）求C 点到直线AB 的距离。在图2-34（b ）中先将直线AB 变换为投影面的正平线（∥V 1面），再将正平线变换为铅垂线（⊥H 2面），C 点的投影也随着变换过去，线段22k c 即等于C 点到直线AB 的距离；

（2）作出C 点对直线AB 的垂线的旧投影。如图2-34（c ），由于直线AB 的垂线CK

在新投影体系V 1H 2中平行于H 2面，因此CK 在V 1面上的投影11d c ''∥O 2X 2轴，而与11d c ''⊥11

b a ''。据此，过1

c '点作O 2X 2轴的平行线，就可得到1k '点，利用直线上点的投影规律，由1k '点返回去，在直线AB 的相应投影上，先后求得垂足K 点的两个旧投影k 点和k '点，连接c 'k '、c k 。c 'k '、c k 即为C 点对直线AB 的垂线的旧投影。

（a ）（b ）

图2-34求点到直线的距离及其投影

3. 两交叉直线之间的距离

两交叉直线之间的距离，应该用它们的公垂线来度量。 分析：

（1）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的垂直线时，不必换面即可直接求出两交叉直线之间的距离；

（2）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的平行线段时，只需要一次换面即可求

出两交叉直线之间的距离；

（3）当当两交叉直线都是一般位置直线时，则需要进行二次换面才能求出两交叉直线之间的距离。

例如图2-35所示：

已知两条交叉直线AB 、CD ，求两直线间的距离。 作图方法和步骤：

（1）因为AB 、CD 两直线在V/H 体系中均为一般位置直线，所以需要二次换面。先用V 1面代替V 面，使V 1面∥AB ，同时V 1⊥H 面。此时AB 在新投影体系V 1/H 中为新投

影面的平行线。在新投影体系中求出AC 、CD 的新投影11

b a ''、11d

c ''； （2）在适当的位置引新投影轴O 2X 2⊥11

b a ''，用H 2代替H 面，使H 2面⊥11b a ''，

图2-35两交叉直线之间的距离

换面法

换面法 一、换面法概述 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。 换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。 1．换面法的基本概念 换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。 2．新投影面的选择原则 （1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置； （2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面； （3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。 二、点的换面 点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。 1．点的一次换面 （1）换V 面 图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。 过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1 a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。a 和1 a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（ b ）所示的投影图。由于在

（a）（b）（c） 图2-25点的一次变换（换V面） 新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系： 1 a'a⊥O1X1轴； 1 a' 1x a=a' x a=A a，即：换V面时Z坐标不变。 由此得出点的投影变换规律是： ①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴； ②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。 换V面的作图方法和步骤如图2-25（c）所示： ①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴； ②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取1a'1x a=a'x a，点1a'即为所求。 （2）换H面 换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系： a'a⊥O1X1轴； 1 a 1x a=a x a=A a'，换H面是Y坐标不变。 其作图方法和步骤与换V面类似2-25（c），可依此类推，此略。 2．点的二次换面 由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。 但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。 二次换面的作图步骤如图2-26（b）所示： （1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影 1 a，而 1 a 1x a= a x a=A a'，作图方法与点的一次换面完全相同； （2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影 2 a'，而 2 a' 2x a

工程图学A教学大纲

《工程图学A》教学大纲 课程编码：08297003-04 课程名称：工程图学(A) 英文名称：Mechanical Drawing（A） 开课学期：1-2 学时/学分：110/ 6.5 课程类型：学科基础课 开课专业：机械类专业本科生 选用教材：侯洪生主编《机械工程图学》科学2001年9月第一版 林玉祥主编《机械工程图学习题集》科学2001年9月第一版 主要参考书： 1、焦永和主编《机械制图》，理工大学2000年版 2、焦永和主编《机械制图习题集》，理工大学2000年版 3、孙兰凤主编《工程制图》，高等教育2004年版 4、曾维川主编《工程制图习题集》，高等教育2004年版 执笔人：侯洪生 一、课程性质、目的与任务 工程图学课程是研究绘制和阅读工程图样的一门技术基础课，它既有系统的理论又有较强的实践性和技术性。 在现代工业生产中，设计制造机器和进行工程建设都离不开工程图样。在使用机器设备时，也要通过阅读图样了解机器的结构和性能。因此，工程图样是人类用来表达和交流设计思想的重要工具，是工程技术部门的一项重要技术文件，是工程界的共同语言。每个工程技术人员必须掌握这种语言，否则就无法从事技术工作。 本课程为培养学生的绘图、读图和空间想象能力打下必要的基础。同时，它又是学生学习后续课程和完成课程设计和毕业不可缺少的基础知识。 二、教学基本要求 1．学习投影法（主要是正投影法）的基本理论及其应用； 2．学习、贯彻制图国家标准和有关的基本规定，培养查阅有关设计资料和标准的能力； 3．培养绘制（徒手绘图、尺规绘图和计算机绘图）和阅读机械图样的技能； 4．培养空间想象能力和图解空间几何问题的初步能力； 5．培养零、部件构型表达能力； 6．培养学生认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风，使学生的动手能力、工程意识、创新能力、设计概念等得以全面提高。此外，还必须重视自学能力、分析问题和解决问题的能力以及审美能力的培养。 三、各章节内容及学时分配 绪论（0.5学时） 教学目的与要求 通过本部分的学习，要求学生了解图学发展史和图样在生产实践中的作用。

机械制图习题答案2

《机械制图》（第六版） 习题集答案

第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。

第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径ON的中点M； ②以M为圆心，MA为半径作弧，交水平中心线于H。 ③AH为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70mm、45mm）。 ●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。 3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。

5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。 2、已知点A在V面之前36，点B在H面之上， 点D在H面上，点E在投影轴上，补全诸的两面 投影。 ●根据点的两面投影的投影规律、空间点的直角 坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做

3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的3.5倍。 ●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为： A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。（由不为0的坐标差决定，坐标值大者为可见；小者为不可见。）

机械制图习题集(第6版)参考答案全解

《机械制图》 （第六版） 习题集答案 第3页图线、比例、制图工具的用法、尺寸注法、斜度和锥度●要掌握和理解比例、斜度、锥度的定义；各种图线的画法要规范。

第4页椭圆画法、曲线板用法、平面图形的尺寸注法、圆弧连接 1、已知正六边形和正五边形的外接圆，试用几何作图方法作出正六边

形，用试分法作出正五边形，它们的底边都是水平线。 ●注意多边形的底边都是水平线；要规范画对称轴线。 ●正五边形的画法： ①求作水平半径的中点M； ②以M为圆心，为半径作弧，交水平中心线于H。 ③为五边形的边长，等分圆周得顶点B、C、D、E ④连接五个顶点即为所求正五边形。 2、用四心圆法画椭圆（已知椭圆长、短轴分别为70、45）。 ●参教P23四心圆法画椭圆的方法做题。注意椭圆的对称轴线要规范画。 3~4、在平面图形上按1：1度量后，标注尺寸（取整数）。

5、参照左下方所示图形的尺寸，按1：1在指定位置处画全图形。 第6页点的投影 1、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律做题。

2、已知点A在V面之前36，点B在H 面之上，点D在H面上，点E在投影轴 上，补全诸的两面投影。 ●根据点的两面投影的投影规律、空间 点的直角坐标与其三个投影的关系及 两点的相对位置做题。 3、按立体图作诸点的两面投影。 ●根据点的三面投影的投影规律做题。 4、作出诸点的三面投影：点A（25，15，20）；点B距离投影面W、V、H分别为20、10、15；点C在A之左，A之前15，A之上12；点D在A之下8，与投影面V、H等距离，与投影面W的距离是与H面距离的 3.5倍。 ●根据点的投影规律、空间点的直角坐标与其三个投影的关系及两点的相对位置做题。各点坐标为：A（25，15，20） B（20，10，15） C（35，30，32） D（42，12，12） 5、按照立体图作诸点的三面投影，并表明可见性。 ●根据点的三面投影的投影规律做题，利用坐标差进行可见性的判断。

工程制图第3版答案

尺寸注法 立体三视图的画法点线面的投影平面立体 回转体 换面法 组合体的视图和尺寸组合体读图截交线 相贯线 轴测图 机件形状的表示方法-1机件形状的表示方法-2零件图 紧固件与常用件 1-2(2)1-2(1)

尺寸注法 立体三视图的画法 点线面的投影 平面立体 回转体 换面法 组合体的视图和尺寸组合体读图 截交线 相贯线 轴测图 机件形状的表示方法-1机件形状的表示方法-2零件图 紧固件与常用件1-2 尺寸注法练习。 （1）注写尺寸：在给定的尺寸线上画出箭头，填写尺寸数字或角度数字（尺寸数值按1:1从图上量取，取整数）。

尺寸注法 立体三视图的画法 点线面的投影 平面立体 回转体 换面法 组合体的视图和尺寸组合体读图 截交线 相贯线 轴测图 机件形状的表示方法-1机件形状的表示方法-2零件图 紧固件与常用件1-2 尺寸注法练习。 （1）注写尺寸：在给定的尺寸线上画出箭头，填写尺寸数字或角度数字（尺寸数值按1:1 从图上量取，取整数）。

尺寸注法 立体三视图的画法 点线面的投影 平面立体 回转体 换面法 组合体的视图和尺寸组合体读图 截交线 相贯线 轴测图 机件形状的表示方法-1机件形状的表示方法-2零件图 紧固件与常用件1-2 尺寸注法练习。 （2）尺寸注法改错：查出尺寸标注的错误，并在右边空白图上正确标注。

尺寸注法 立体三视图的画法 点线面的投影 平面立体 回转体 换面法 组合体的视图和尺寸组合体读图 截交线 相贯线 轴测图 机件形状的表示方法-1机件形状的表示方法-2零件图 紧固件与常用件1-2 尺寸注法练习。 （2）尺寸注法改错：查出尺寸标注的错误，并在右边空白 图上正确标注。

换面法的概念与投影交换教案

换面法 课题：1、换面法的概念 2、点的投影变换 3、直线的投影变换 4、平面的投影变换 5、换面法投影变换应用举例 课堂类型：讲授 教学目的：1、讲解换面法的投影变换规律 2、讲解换面法的四个基本作图方法 教学要求：1、理解并熟练掌握一次换面、二次换面中点的投影的作图规律 2、掌握换面法的四个基本作图方法，并能够应用于解题实践 教学重点：换面法的四个基本作图方法 教学难点：新投影面、新投影轴的选择和投影的返回（换面法的反向作图） 教具：挂图：“将一般位置直线变换成投影面平行线”； “将一般位置直线变换成投影面垂直线”； “将一般位置平面变换成投影面垂直面”； “将一般位置平面变换成投影面平行面”。 教学方法：理论讲解和实际演示作图相结合。 教学过程： 一、复习旧课 结合作业中的问题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法。 二、引入新课题 在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或者求解定位问题，如交点、交线等。通过对直线或平面的投影分析可知，当直线或平面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形、距离、夹角等；当直线或平面对投影面处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实长、实形、距离、夹角等。换面法就是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置，以达到简化解题的目的。 三、教学内容 （一）换面法的概念 1、概念

空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的 投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便， 这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 2、举例 如图2－49所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体 系中不反映实形，现作一个与H面垂直的新投影面V1平行于 三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向 V1面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平 面的实形。图2－49 换面法的原理 （二）点的投影变换 点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在变化投影面时，点的投影变换规律。 1、新投影面的选择 在进行投影变换时，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。并且新投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投影图来。因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：（1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。 （2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。 2、点的一次换面 根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。 （1）变换V面，即V／H→V1／H 如图2－50中a、a′为点A在V／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1⊥H，从而组成了新的投影体系V1／H。 V1与H的交线X1为新的投影轴。由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1′，而水平投影仍为a。

机械制图之换面法

2.5.4 平面的换面法 教学内容：2.5.4 平面的换面法 教学目的：掌握平面换面的投影特征 教学重点：平面换面的投影特征 教学难点：有关点、直线、平面的定位和度量问题 复习：平面的投影 新课： 一、换面法的基本概念 一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 新投影面的设置必须遵循下例两条原则： 1、新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。 2、新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。 二、换面法的投影规律 点的换面法是其它几何元素换面法的基础。所以我们先对点进行换面。

根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。 例：变换V 面，即V ／H →V 1／H 如图，a 、a ′ 为点A 在V ／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V 1代替V ，必须使V 1⊥H ，从而组成了新的投影体系V 1／H 。 V 1与H 的 交线 X 1为新的投影轴。由A 向V 1作垂线得到新投影面上的投影a 1′ ，而水平投影仍为a 学生练习：变换H 面，即V ／H →V ／H 1 小结；点的换面投影规律如下： 1、新投影与不变投影连线垂直于新轴（如aa 1ˊ⊥X 1轴）。 2、新投影到新投影轴的距离等于被替代的旧投影到旧投影轴的距离。 （如a 1ˊa x 1= a ˊa x ） 新投影还可根据需要进行第二次换面，每一次换面后的新投影面、新投影轴、新投影的符号加注脚1，第二次换面后相应的符号加注脚2。 三、直线在换面法中的基本类型 1、一般位置直线变换为投影面平行线 如图，AB 为一般位置线，如要变换为正平线，则必须变换V 面，使新投影 V 1X H H V X a a′ a X a X1 a ′ 1

换面法

机械制图教程第13讲-换面法 课题：1、换面法的概念 2、点的投影变换 3、直线的投影变换 4、平面的投影变换 5、换面法投影变换应用举例 课堂类型：讲授 教学目的：1、讲解换面法的投影变换规律 2、讲解换面法的四个基本作图方法 教学要求：1、理解并熟练掌握一次换面、二次换面中点的投影的作图规律 2、掌握换面法的四个基本作图方法，并能够应用于解题实践 教学重点：换面法的四个基本作图方法 教学难点：新投影面、新投影轴的选择和投影的返回（换面法的反向作图） 教具：挂图：“将一般位置直线变换成投影面平行线”； “将一般位置直线变换成投影面垂直线”； “将一般位置平面变换成投影面垂直面”； “将一般位置平面变换成投影面平行面”。 教学方法：理论讲解和实际演示作图相结合。 教学过程： 一、复习旧课 结合作业中的问题，说明在平面上取点、取直线、取投影面平行线的作图方法。 二、引入新课题 在解决工程实际问题时，经常遇到求解度量问题，如实长、实形、距离、夹角等，或者求解定位问题，如交点、交线等。通过对直线或平面的投影分析可知，当直线或平面对投影面处于一般位置时，在投影图上不能直接反映它们的实长、实形、距离、夹角等；当直线或平面对投影面处于特殊位置时，在投影图上就可以直接得到它们的实长、实形、距离、夹角等。换面法就是研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置，以达到简化解题的目的。三、教学内容 （一）换面法的概念 1、概念

图2－49 换面法的原理 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 2、举例 如图2－49所示为一处于铅垂位置的三角形平面在V／H体系中不反映实形，现作一个与H 面垂直的新投影面V1平行于三角形平面，组成新的投影面体系V1／H，再将三角形平面向V 1 面进行投影，这时三角形平面在V1面上的投影就反映该平面的实形。 （二）点的投影变换 点是最基本的几何元素，因此必须首先研究在变化投影面时，点的投影变换规律。 1、新投影面的选择 在进行投影变换时，新投影面是不能任意选择的，首先要使空间几何元素在新投影面上的投影能够帮助我们更方便地解决问题。并且新投影面必须要和不变的投影面构成一个直角两面体系，这样才能应用正投影原理作出新的投影图来。因而新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： （1）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个不变的投影面。 （2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。 2、点的一次换面 根据选择新投影面的条件可知，每次只能变换一个投影面。变换一个投影面即能达到解题要求的称为一次换面。 （1）变换V面，即V／H→V1／H 如图2－50中a、a′ 为点A在V／H 体系中的投影，在适当的位置设一个新投影面V1代替V，必须使V1⊥H，从而组成了新的投影体系V1／H。 V1与H 的交线 X1为新的投影轴。由A 向V1作垂线得到新投影面上的投影a1′ ，而水平投影仍为a 。

关于画法几何中换面法的初步探讨

关于画法几何中换面法的初步探讨摘要：换面法是画法几何中最重要的概念之一，也是很重要的解题工具。解决一些画法几何问题采用换面法非常简便。本文对换面法做了简单介绍并，且就学习中常见的换面法问题做了一些初步剖析。 关键词：换面法、夹角、实形、交线。 一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 换面法的核心理论就是把空间几何问题转化为平面几何问题，特别是解决复杂的空间几何问题作用尤为突出。换面法的新投影面选择必须符合两个基本条件：新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置和新投影面必须垂直于一个不变的投影面。只有把握这两个核心来剖析问题才能解决问题。 1、换面法求空间一般位置平面的实形 一般教材都使用换面法空间一般位置平面的实形, 如图 1 所示, 求正五棱柱被正垂面P v 切割后的截面的实形1121314151第一步作直线X , 平行于正垂面在主投影面上的投影线P v ; 第二步分别过1′2′3′4′5′作直线x1的垂直线并延长, 在延长线上画出俯视图投影点12 3 4 5 到主视图底边的各自等高线得到11 21 31 41 51 , 即可。

用换面法进行解题不仅需要研究几何元素之间的相对关系和这些元素与投影面之间的相对位置, 更重要的是研究如何选择新投影面以及几何元素在新投影面体系及原投影体系中投影之间的关系, 建立解题的空间几何模型, 拟定解题方法和步骤, 这都需要对空间几何关系以及这些关系在投影中的反映有更深人的分析和理解, 而分析和理解能力的提高建立在学习大量例题和完成大量作业的基础上, 所以需要大量的课时来完成。 2、求一般位置平面对投影面的夹角 方法: 将一般位置平面变换成投影面的垂直面, 如图 2 。 作图方式分二步: ( 1) 在平面内作投影面平行线, 如求a 换V 面作水平线; 求β, 换H 面作正平线; 求γ在>体系中换V 面, 作侧平线, 图为求β, 换H 面作正平线A D 。(2 ) 使新的投影轴X1 , 轴垂直于a’b′, 再将各点变换, 得到新的投影积聚为一直线b1 a1 c1, 则此直线与X1轴的夹角即为平面与V 面的倾角β。