数学竞赛—梅涅劳斯定理精选例题(一)

【第一课时】

精选例题

例题1 在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是BC 中点，DG ⊥AG 交

AB 于E ，交AC 延长线与F ，求证：BE=CF=

)(2

1AC AB -．

例题2 △ABC 中，∠A 的外角平分线交BC 延长线于点D ，∠B 、∠C

的平分线交对边于E 、F ，求证：D 、E 、F 三点共线．

例题3 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点E ，BC 、AD 的

延长线交于点F,EF 分别交AB 、CD 于N 、M,求证：AN=NB ．

例题4过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB

于点D 。求证：

1B E C F E A

F A

+=．

例题5 已知点D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上，且

B D A F

C E

D C

F B

E A

λ===，又AD 、BE 、CF 交成△LMN ，

求

L M N A B C

S S 的值．

例题6 证明：笛沙格（Desargues ）定理：直线AA 1、BB 1、CC 1相

交于O 点，直线AB 与A 1B 1交于X ，BC 与B 1C 1交于Y ，AC 与A 1C 1交于Z ，那么X 、Y 、Z 三点共线．

例题7 证明：莱莫恩（Lemoine ）定理：过△ABC 的三个顶点A 、

B 、

C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 所在直线交于P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．直线PQR 称为△ABC 的莱莫恩线．

例题8 如图，⊙O 1、⊙O 2和⊙O 3两两的外公切线分别交于P 、Q 、R

三点，求证：P 、Q 、R 三点共线．

课后练习

1．△ABC 的两边AB 、AC 上分别取点Q 、R,满足AQ:QB=2:1,AR:RC=1:2,连接QR 交CB 延长线于P ，那么PC : PB=_______．

2．ABCD 为平行四边形，BC=12,DC=10,对角线AC 与BD 交于O,E 是BC 延长线上一点，且CE=4,OE 交DC 于F ，那么CF=_______．

3．在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、CA 上的点，且BD : DC=m : 1，CE : EA=n : 1，AD 与BE 交于F ，则△ABF 与△ABC 的面积之比为_______．

4．已知：AJ 、BK 、CL 是△ABC 的三个外角平分线，J 、K 、L 是这些线与△ABC 三边所

在直线的交点，求证：J 、K 、L 三点共线．

5．△ABC 三边BC 、AB 、CA 的中点分别是D 、E 、F ，设AD 与EF 交于P ，连接CP 交AB 于Q ，求证：AB=3AQ ．

6．用梅涅劳斯定理证明：赛瓦（Ceva ）定理：在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则1A F B D C E

F B D C E A

．

7．用梅涅劳斯定理证明：西姆松（Simson ）定理：若从△ABC 的外接圆上一点P 作BC 、AB 、AC 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（此线常称为西姆松线）

8．用梅涅劳斯定理证明：帕斯卡（Pasc al ）定理：圆内接六边形ABCDEF 的三双对边

的延长线交于三点P 、Q 、R ，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）

梅涅劳斯定理范文

梅涅劳斯定理范文 梅涅劳斯定理 定理叙述 设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 注意： 最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”）证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， AD：DB=AA'：BB' BE：EC=BB'：CC' CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 一应用梅涅劳斯定理 1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。 例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。分析：目标明确，写出比例式就行了。 例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。 例： 分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。

例： 如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。 分析：没啥好分析的。 总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。 2.几个不适合用梅氏定理的例子。 例： 如图锐角x的两条边上取A,B两点。甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关…… 总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。比如逆定理条件是共线，不共线则不可使用逆定理。 例： 两个线段上的点列如图连线得到交点。证明三个交点共线。用梅氏定理的证明见初三仁华课本。这里绕个路证明此题。首先，下面这个事实有用。 x,y,z,w等8个数看作所在点横坐标。（用了定比分点）

二元一次方程组应用题归类及精选例题

二元一次方程组精选应用题库 二元一次方程组是最简单的方程组， 其应用广泛， 尤其是生活、 生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决。 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： （ 1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数； （ 2）找：找出能够表示题意两个相等关系； （ 3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （ 4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值； （ 5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 . 现将中考中常见的几种题型归纳如下： 一、市场营销问题 例 1（2005 年河南省实验区）某商场购进甲、乙两种服装后，都加价 40%标价出售 . “春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八 折和九折出售 . 某顾客购买甲、乙两种服装共付款 182 元，两种服装标价之和为 210 元. 问这两种服装的进价和标价各是多少元？ 解：设甲种服装的标价为 x 元，则进价为 x 元；乙种服装的标价为 y 元， 则进价为 y 元. 由题意，得 1.4 1.4 x y 210, 解得， x 70, 0.8x 0.9 y 182. y 140. 所以， x =50（元）， y =100（元） . 1.4 1.4 故甲种服装的进价和标价分别为 50 元、 70 元，乙种服装的进价和标价分别 为 100 元、 140 元. 二、生产问题 例 2（2005 年长沙市实验区）某工厂第一季度生产两种机器共 480 台. 改进 生产技术后，计划第二季度生产两种机器共 5544 台，其中甲种机器产量要比第 一季度增产 10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%. 该厂第一季度生产甲、 乙两种机器各多少台？ 解：设该厂第一季度生产甲种机器 x 台，乙种机器 y 台. x y 480, 由题意，得 10%x 20% y 540 480. 解得， x 220, y 260.

(精选)电路第1章部分习题参考解答

1-1 说明题1-1图（a ）、（b ）中： （1）u 、i 的参考方向是否关联？ （2）ui 乘积表示什么功率？ （3）如果在图（a ）中0u >、0i <，图（b ）中0u >，0i >，元件实际发出还是 吸收功率？ 解（1）图（a ）中电压电流的参考方向是关联的，图（b ）中电压电流的参考方向是 非关联的。 （2）图（a ）中由于电压电流的参考方向是关联的，所以ui 乘积表示元件吸收的 功率。图（b ）中电压电流的参考方向是非关联的，所以ui 乘积表示元件发出的功率。 （3）图（a ）中0u >、0i <，所以0ui <。而图（a ）中电压电流参考方向是关联 的，ui 乘积表示元件吸收的功率，吸收的功率为负，所以元件实际是发出功率；图（b ）中0u >，0i >，所以0ui >。而图（b ）中电压电流参考方向是非关联的，ui 乘积表示元件发出的功率，发出的功率为正，所以元件实际是发出功率。 1-3 求解电路以后，校核所得结果的方法之一是核对电路中所有元件的功率平衡，即一部分元件发出的总功率应等于其他元件吸收的总功率。试校核题1-3图中电路所得解答是否正确。 解：由图可知元件A 的电压电流为非关联参考方向，其余元件的电压电流均为关联参考方向，所以各元件的功率分别为 605300W 0A P =?=>发 发出功率300W ， 题1-1图 题1-3图

60160W 0B P =?=>吸 吸收功率60W ， 602120W 0C P =?=>吸 吸收功率120W ， 40280W 0D P =?=>吸 吸收功率80W ， 20240W 0E P =?=>吸 吸收功率40W ， 电路吸收的总功率为601208040300B C D E p p p p p W =+++=+++= 即元件A 发出的总功率等于其余元件吸收的总功率，满足功率平衡。 1-4 在指定的电压u 和电流i 的参考方向下，写出题1-4 图所示各元件的u 和 i 的 约束方程（即VCR ）。 解（a ）电阻元件，u 、i 为关联参考方向。 由欧姆定律u = R i = 104 i （b ）电阻元件，u 、i 为非关联参考方向 由欧姆定律u = - R i = -10 i （c ）理想电压源与外部电路无关，故 u = 10V （d ）理想电压源与外部电路无关，故 u = -5V (e) 理想电流源与外部电路无关，故 i=10×10-3A=10-2A （f ）理想电流源与外部电路无关，故 i=-10×10-3A=-10-2A 1-5试求题1-5图中各电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。 10Ω10V 题1-4图

(完整word版)第1章梅涅劳斯定理及应用

第一章涅劳斯定理及应用 【基础知识】 梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若A '，B '， C '三点共线，则1BA CB AC A B B A C B ''' ??='''． ① C ′ B′ A' A′ B′ C ′ A C B D C B 图1-1 A 证明 如图11-，过A 作直线AD C A ''∥交BC 的延长线于D ，则 CB CA B A A D ''=''，AC DA C B A B '' = ''，故 1BA CB AC BA CA DA A C B A C B A C A D A B '''''' ??=??=''''''． 注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法． 正弦定理证法 设BC A α''=∠，CB A β''=∠，B A B γ''=∠，在BA C ''△中，有 sin sin BA C B α γ '= '，同理，sin sin CB CA γβ'='，sin sin AC AB β α '= '，此三式相乘即证． 面积证法 由A C B A C C S BA A C S '''''='△△，CB C CA B CB C CA B C CA B AC A AB B AC A AB AC A S S S S S CB B A S S S S S ''''''''''''''''''''+===='+△△△△△△△△△△，AC A C BA S AC C B S '' '' '= '△△，此三式相乘即证． 梅涅劳斯定理的逆定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''， ② 则A '，B '，C '三点共线． 证明 设直线A B ''交AB 于1C ，则由梅涅劳斯定理，得到1 11AC BA CB A C B A C A ''??=''． 由题设，有1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''，即有 11AC AC C B C B '='． 又由合比定理，知 1AC AC AB AB ' = ，故有1AC AC '=，从而1C 与C '重合，即A '，B '，C '三点共线． 有时，也把上述两个定理合写为：设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '，B '，C '三点共线的充要条件是 1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''． 上述①与②式是针对ABC △而言的，如图11-（整个图中有4个三角形），对于C BA ''△、B CA ''△、AC B ''△也有下述形式的充要条件：

7.1力精选练习题(带答案)

7.1精选练习 1．（2019春?新密市期中）如图所示，人在水平路面上骑车，以下关于物体受力的描述正确的是（） A．一个物体也能产生力的作用 B．相互接触的两个物体一定产生力的作用 C．路面受到人的压力 D．自行车受到路面的支持力 2．（2019?桂林）“梅西在发任意球时，能使足球由静止绕过人墙钻入球门。”该现象说明（） A．力的作用是相互的 B．力可以改变物体的形状 C．力可以改变物体的运动状态 D．以上说法都不对 3．（2019?湘潭）《流浪地球》电影中描述到了木星。木星质量比地球大得多，木星对地球的引力大小为F1，地球对木星的引力大小为F2，则F1与F2的大小关系为（） A．F1＜F2B．F1＞F2C．F1＝F2D．无法确定 4．（2019?广州校模拟）下列关于力的说法中不正确的是（） A．力是物体对物体的作用，不仅仅是人对物体的作用 B．如果有一个力产生，一定同时产生一个相互作用力

C．两个物体不接触也能产生力 D．人推墙，墙没有运动起来，也没有发生形变，因此墙没有受到力的作用 5．（2019?邵阳）俗话说“鸡蛋碰石头﹣﹣自不量力”，从物理学角度看（） A．石头对鸡蛋的作用力更大 B．先有石头对鸡蛋的作用力 C．鸡蛋对石头的没有作用力 D．石头和鸡蛋间同时有等大的相互作用力 6．（2019?宜昌）在射箭运动中，以下关于力的作用效果的描述，其中一个与另外三个不同的是（）A．瞄准时，手的拉力把弓拉弯 B．松手后，弓的弹力把箭射出 C．飞行中，重力让箭划出一道弧线 D．中靶时，靶的阻力让箭停止运动 7．（2019?内江）如图所示，坐在船上的人，用力推另只船，船就相互远离而去，这个现象表明力的作用是的，力可以改变物体的状态。 8．（2018?朝阳）观察图中的情况，可以明显说明力能改变物体运动状态的三个图是，明显说明力能使物体发生形变的三个图是。 9．（2017?德州）2017年4月20日，“天舟一号”货运飞船发射升空，22日与“天宫二号”太空舱顺利对接。，对接过程中，“天舟一号”多处向外“喷气”，调节运行姿态，此过程利用的力学知识：。10．（2019?哈尔滨）如图所示，请你画出静止在水平桌面上的茶壶所受力的示意图。（画图时用实心点O表示力的作用点）

计算机基础第1章练习题(答案)#精选.

一．关于计算机的诞生与发展 1.一般认为，世界上第一台电子数字计算机诞生于 __A____。 A.1946年 B.1952年 C.1959年 D.1962年 2.下列关于世界上第一台电子计算机ENIAC的叙述中，错误的是 __D____。 A.世界上第一台计算机是1946年在美国诞生的 B.它主要采用电子管作为主要电子器件 C.它主要用于军事目的和科学计算，例如弹道计算 D.确定使用高级语言进行程序设计 [解析] ENIAC是第一台电子计算机的英文缩写。从第二代计算机才开始引入高级程序语言BASIC和ForTran等，所以D是错的。 3.目前，微型计算机中广泛采用的电子元器件是__D____。 A.电子管 B.晶体管 C.小规模集成电路 D.大规模和超大规模集成电路 [解析]略

4.早期的计算机体积大、耗电多、速度慢，其主要原因是制约于__D____。 A.元材料 B.工艺水平 C.设计水平 D.元器件 -----早期的计算机元器件是电子管，其体积大、耗电多。 [解析]略 二．计算机的分类 1.计算机可分为数字计算机、模拟计算机和数模混合计算机，这种 分类是依据__B____。 A.功能和用途 B.处理数据的方式（或处理数据的类型） C.性能和规律 D.使用范围 [解析]目前学习、办公和生活中使用的计算机属于电子数字计算机，但也有一些场合使用模拟计算机。电子数字计算机处理的是离散数据（用“1”或“0”表示，即所谓的二进制数），模拟计算机处理的数据是连续（例如声音、温度等物理量）。如果电

子计算机按使用的用途或范围来分类，则可以分为“通用计算机和专用计算机”，我们现在个人电脑都属于通用计算机。 2.电子计算机按规模和处理能力划分，可以分为__C___。 A.数字电子计算机和模拟电子计算机 B.通用计算机和专用计算机 C.巨型计算机、中小型计算机和微型计算机 D.科学与过程计算计算机、工业控制计算机和数据计算机 [解析]巨型计算机体积大，速度快、存储容量大，而微型计算机相对而言体积小、处理速度、容量均小，我们工作学习中使用的计算机均属于微型计算机，又称为个人计算机即PC(Personal Computer)机。 3.个人计算机简称PC机，这种计算机属于__A___。 A.微型计算机 B.小型计算机 C.超级计算机 D.巨型计算机 [解析] PC机全称是：Personal Computer。

数学竞赛 梅涅劳斯定理

1 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica ）。 任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。 中文名 梅涅劳斯定理 外文名 Menelaus 别 称 梅氏定理 表达式 (AF/FB)× (BD/DC)×(CE/EA)=1 提出者 梅涅劳斯 提出时间 1678年 应用学科 数学，物理 适用领域范围 平面几何学 适用领域范围 射影几何学 定理内容 定理证明 证明一 过点A 作AG ∥DF 交BC 的延长线于点G.则 证明二 过点C 作CP ∥DF 交AB 于P ，则 两式相乘得

2 证明三 连结CF 、AD ，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。 AF ：FB =S △ADF ：S △BDF …………（1）， BD ：DC=S △BDF ：S △CDF …………（2）， CE ：EA=S △CDE ：S △ADE =S △FEC ：S △FEA =（S △CDE +S △FEC ）：（ S △ADE +S △FEA ） =S △CDF ：S △ADF ………… （3） （1）×（2）×（3）得 证明四 过三顶点作直线DEF 的垂线AA…，BB'，CC'，如图： 充分性证明： △ABC 中，BC ，CA ，AB 上的分点分别为D ，E ，F 。 连接DF 交CA 于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1 又∵ ∴有CE/EA=CE'/E'A ，两点重合。所以 共线

梅涅劳斯定理与塞瓦定理

板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理 知识导航 梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点， 那么1AF BD CE FB DC EA ??=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形． G F E D C B A G F E D C B A H 3H 2 H 1 F E D C B A 证法一：如左图，过C 作CG ∥DF ∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF = ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF ??=??=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G ∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG = 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DC FB DC EA BD DC AG ??=??=． 证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、 、． 则有123AH BH CH ∥∥， 所以3 12231 1CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ??=??=． 梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点， 如果1AF BD CE FB DC EA ??=，则F 、D 、E 三点共线． 梅涅劳斯定理与塞瓦定理

夯实基础 【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求 证：:2:AE ED AF FB =． E C D B F A 【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线， ∴1AE DC BF ED BC FA ??=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ??=，即2AE AF ED BF =． 习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点 F ．求证： FA EA FC EB =． E F B D C A 【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知 1CD BE AF DB EA FC ??=，又因为BD BC =，所以 1BE AF EA FC ?=，即FA EA FC EB = ． 习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=?，AC BC =．AM 为BC 边上的中线， CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AE EB ． D E B M C A 【解析】 由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，

因式分解精选例题(附答案)

因式分解例题讲解及练习 【例题精选】: (1) 评析:先查各项系数(其它字母暂时不瞧),确定5,15,20得最大公因数就是5,确定系数就是5 ,再查各项就是否都有字母X,各项都有时,再确定X得最低次幂就是几,至此确认提取X2,同法确定提Y,最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后,再算出括号内各项。 解: = (2) 评析:多项式得第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数得最大公因数为3,且相同字母最低次得项就是X2Y 解: = = = (3)(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a) 评析:在本题中,y-x与x-y都可以做为公因式,但应避免负号过多得情况出现,所以应提取y-x 解:原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a) （4）(4)把分解因式 评析:这个多项式有公因式2x3,应先提取公因式,剩余得多项式16y4-1具备平方差公式得形式 解:=2=2= （5）(5)把分解因式 评析:首先提取公因式xy2,剩下得多项式x6-y6可以瞧作用平方差公式分解,最后再运用立方与立方差公式分解。

对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解,但比较麻烦。 解: =xy2(x6-y6)= xy2[]= = (6)把分解因式 评析:把(x+y)瞧作一个整体,那么这个多项式相当于(x+y)得二次三项式,并且为降幂排列,适合完全平方公式。对于本例中得多项式切不可用乘法公式展开后再分解,而要注意观察分析,善于把(x+y)代换完全平方公式中得a,(6Z)换公式中得 解: ==(x+y-6z)2 （7）(7)把分解因式 评析:把x2-2y2与y2瞧作两个整体,那么这个多项式就就是关于x2-2y2与y2得二次三项式,但首末两项不就是有理数范围内得完全平方项,不能直接应用完全平方公式,但注意把首项系数提出后,括号里边实际上就就是一个完全平方式。 解: = = = （8）(8)分解因式a2-b2-2b-1 评析:初瞧,前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组,原式=(a+b)(a-b)-(2b+1),此时无法继续分解。再仔细瞧,后三项就是一个完全平方式,应采用“一、三”分组。 解:a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1) 一般来说,四项式“一、三”分解,最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式,才就是正确得分组方案。 （9）(9)把a2-ab+ac-bc分解因式

第1章 习题精选

第1章习题精选 一、名词解释 刚度、弹性极限、屈服强度、抗拉强度、冲击韧性、硬度、疲劳、金属键、晶体、晶格、晶胞、致密度、配位数、位错、晶界、合金、相、固溶体、金属化合物、玻璃相、单体、链节、陶瓷、玻璃相。 二、填空题 1.金属材料的强度是指在载荷作用下其抵抗（）或（）的能力。 2.低碳钢拉伸试验的过程可以分为弹性变形、（）和（）三个阶段。 3.材料的工艺性能是指________ 性、________ 性、________ 性和________ 性。 4.表征材料抵抗冲击载荷能力的性能指标是________ ，其单位是________ 。 5.工程材料的结合键有________、________、________、________ 四种。 6.体心立方晶格和面心立方晶格晶胞内的原子数分别为________ 和________ ，其致密度分别为 ________ 和________ 。 7.实际金属中存在有________、________ 和________ 三类缺陷。位错是________ 缺陷，晶界是________ 缺陷。金属的晶粒越小，晶界总面积就越________ ，金属的强度也越________ ，冲击韧性。 8.已知银（Ag）的原子半径为0.144nm，则其晶格常数为________ nm。（银的晶体结构为面心立方晶格） 9.陶瓷中玻璃相的作用是_____ 、_____ 、_____ 、_____、_____。 三、选择题 1.在设计拖拉机缸盖螺钉时应选用的强度指标是（）。 A．σb B．σs C．σ0.2D．σp 2.有一碳钢支架刚性不足，解决的办法是（）。 A.通过热处理强化 B.选用合金钢 C.增加横截面积 D.在冷加工状态下使用 3.材料的使用温度（）。 A.应在其韧脆转变温度以上 B. 应在其韧脆转变温度以下 C.应与其韧脆转变温度相等 D. 与其韧脆转变温度无关 4.在做材料的疲劳试验时，试样承受的载荷为______ 。 A．静载荷B．冲击载荷C．交变载荷 5.洛氏硬度 C 标尺使用的压头是 ______ 。 A．淬硬钢球B．金刚石圆锥体C．硬质合金球 6.两种元素组成固溶体，则固溶体的晶体结构（）。 A．与溶剂的相同B．与溶质的相同 C．与溶剂、溶质的都不相同D．是两种元素各自结构的混合体 7.间隙固溶体与间隙化合物的（）。 A．结构相同，性能不同B．结构不同，性能相同 C．结构相同，性能也相同D．结构和性能都不相同 8.在立方晶系中指数相同的晶面和晶向（）。

梅涅劳斯定理(精选.)

梅涅劳斯定理 【定理内容】 如果一条直线与ABC ?的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点， 那么 1=??EA CE DC BD FB AF . [评]等价叙述：ABC ?的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上有三点F 、D 、E ， 则F 、D 、E 三点共线的充要条件是 1=??EA CE DC BD FB AF 。三点所在直线称为三角形的梅氏线。 【背景简介】 梅涅劳斯（Menelaus ）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 【证法欣赏】 证法1：（平行线分线段成比例） 证：如图，过A 作BC AG //交CF 延长线于G ， ∵BC AG //，∴BD AG FB AF =，AG CD EA CE =， 又 CD BD CD BD = B G

则 1=??=??CD BD AG CD BD AG CD BD EA CE FB AF ∴1=??EA CE DC BD FB AF 证法2：（正弦定理） 证：如图，令α=∠AEF ，β=∠AFE ，γ=∠BDE ， 在AEF ?中，由正弦定理知： β αsin sin AE AF =， 同理 ββγsin )180sin(sin BD BD BF =-?=，γ αsin sin CE CD = ∴βαsin sin =AE AF ，γβsin sin =BF BD ，α γsin sin =CD CE ， ∴ 1=??CD CE BF BD AE AF ，即1=??EA CE DC BD FB AF . 【逆定理】 梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即 如果有三点F 、D 、E 分别在ABC ?的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足 1=??EA CE DC BD FB AF ，那么F 、D 、E 三点共线。 [注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线 B

初中精选数学计算题200道

计算题 c l 1.3 3 +（π+3）o- 3 27 +∣ 3 -2∣ 2. 5x+2 x2+x = 3 x+1 3. 3-x x-4+ 1 4-x=1 4. x2-5x=0 5. x2-x-1=0 6. 化简2 39x +6 x 4-2x 1 x 7. 因式分解x4-8x2y2+16y4 8. 2 2x+1+ 1 2x-1= 5 4x2-1 9. 因式分解（2x+y）2-(x+2y)2 10. 因式分解-8a2b+2a3+8ab2 11. 因式分解a4-16 12. 因式分解3ax2-6axy+8ab2 13. 先化简，再带入求值（x+2）(x-1)-x2-2x+1 x-1,x= 3 14. ( - 3 )o-∣-3∣+(-1)2015+(1 2) -1 15. ( 1 a-1- 1 a2-1 )÷ a2-a a2-1 16. 2(a+1)2+(a+1)(1-2a)

17. (2x-1 x+1-x+1)÷ x-2 x2+2x+1 18. (-3-1)×(- 3 2)2-2 -1÷(- 1 2)3 19. 1 2x-1=2 4 3 - 2 1 x 20. (x+1)2-(x+2)(x-2) 21. sin60°-∣1- 3 ∣+（1 2） -1 22．（-5）16×(-2)15 (结果以幂的形式表示) 23. 若n为正整数且（m n）2=9,求（1 3m 3n）3(m2)2n 24. 因式分解a2+ac-ab-bc 25. 因式分解x2-5x+6 26. 因式分解(x+2)(x+3)+x2-4 27. 因式分解(a2+1)2-4a2 28. -12016+18÷(-3)×∣-1 2∣ 29. 先化简，再求值3(x2+xy-1)-(3x2-2xy),其中x=1，y= - 1 5 30. 计算3-4+5-(-6)-7 31. 计算-12+(-4)2×∣-1 8∣-82÷(-4)3 32.计算20-（-7）-∣-2∣ 33.计算（1 3- 5 9+ 11 12）×(-36)

华师大版科学七年级下第一章习题精选

华师大版科学七年级下第一章习题精选 汽化和液化 1．（2018?抚顺）下列物态变化中，属于液化现象的是（）A．冰瀑的形成B．露珠的形成 C．白霜的形成D．铁块变铁水 2．（2018?鄂尔多斯）某种浴室内的防雾镜内部装了电热丝加热，使镜面的温度高于室温。这样做是为了防止水蒸气在镜面（） A．汽化B．液化C．升华D．凝华 3．（2018?天门）下列四个物态变化的实例中，属于放热的是（）A．早春，河面上的冰熔化了 B．夏天，洒在地上的水很快变干了 C．秋天，树叶上的露珠出现了 D．冬天，结冰的衣服变干了 4．（2018?宁夏）下列关于厨房中发生的生活现象，说法正确的是（）A．烧水时，发现水温达不到100℃就沸腾了。是因为气压高于标准大气压B．打开锅盖看到“白气”，这是汽化现象 C．取出存放在冰箱中的冰糕，发现包装外层出现小水珠，这是液化现象D．把食盐放进水里，一会儿水变成了盐水，这是熔化现象5．（2018?荆门）目前家庭汽车保有量越来越高，以下跟汽车有关的热现象中说法错误的是（） A．汽车玻璃起“雾”影响行车安全，是车内水蒸气液化形成的 B．冬天排气管冒出的“白气”，是水蒸气凝华成的小冰晶 C．汽车水箱中加入适量酒精降低了水的凝固点，防止水结冰胀破水箱 D．空调制冷时，制冷剂汽化吸热、液化放热，将车内的“热”“搬”到车外6．（2018?邵阳）夏天天气热，许多同学喜欢吃冰棒。哟!刚买的冰棒周围还冒着“白烟”，这“白烟”是（） A．冰棒升华所致 B．空气中的水蒸气液化形成的 C．口里冒出的白烟 D．空气液化而成 7．（2018?威海）下列关于热现象的说法，正确的是（） A．雾凇的形成是升华现象B．霜的形成是凝固现象 C．露的形成是汽化现象D．雾的形成是液化现象 8．（2018?滨州）如图所示是小明探究水沸腾时的装置以及实验中不同时刻气泡的情形，下列有关分析正确的是（） A．他可以选用量程为﹣80﹣60℃的酒精温度计 B．图甲是水沸腾前的现象 C．水沸腾时，烧杯中不停地冒出“白气”，这些“白气”是水蒸气

梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理 定理叙述 设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 注意： 1 定理的应用有正反两个方向。由共线推出比例式叫作逆定理。 2 三个分点可能有两个在线段上，或者三个都不在线段上。 最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”） 证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， AD：DB=AA'：BB' BE：EC=BB'：CC' CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 一应用梅涅劳斯定理 1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。 例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。 分析：目标明确，写出比例式就行了。 例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。 分析：此题同上。注意外角平分线分对边成的比例与夹边比例的关系，是和内角平分线类似的。 例： 分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。

例： 如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。 分析：没啥好分析的。 总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。 2.几个不适合用梅氏定理的例子。 例： 如图锐角x的两条边上取A,B两点。甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。 分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关……

模电基础例题精选

二极管 1?. 本征半导体热激发时的两种载流子分别是、。 2． ?N型半导体多数载流子是 ,少数载流子是。 3.P型半导体多数载流子是 ,少数载流子是。 4.在常温下硅二极管的开启电压约为 V,导通后的正向压降 为， 5.在常温下锗二极管的开启电压约为V,导通后的正向压降 为 , 6.当PN结外加正向电压时,扩散电流漂移电流,耗尽层 ;当PN结外加反向电压时，扩散电流漂移电流,耗尽层 ; A．大于 B.小于 C. 等于D．变宽E．变窄Ｆ. 不变 ７．PN结的空间电荷区有哪些称谓？为何这样称谓？ 二极管有哪些特性?其中最重要的特性是。 １、在本征半导体中掺入三价元素后的半导体称为 B、P型半导体 2、N型半导体中少数载流子为 B、空穴 3、P型半导体是Ｃ、中性 ４、PN结加正向电压时,其正向电流是 A、多数载流子扩散形成的 ８、稳压二极管是利用PN结的 B、反向击穿特性 9、PN结反向电压的数值增大（小于击穿电压）Ｃ、其反向电流不变 1.15 试判断图1.40中的二极管是否导通,还是截止,并求出两端电压u AO

U0 =8v Ｄ的导通电压为０．7ｖ u０＝1V

6.5电路如图P６.5（a）所示，其输入电压v i１和ｖｉ2的波形如图(b）所示,二极管导通电压V D＝0.7V。试画出输出电压v O的波形，并标出幅值。 v i1/V

解:u O 的波形如解图P1.２所示。 6．8二极管电路如图６.８所示，试判断各图中的二极管是导通还是截止，并求出ＡB 两端电压V ＡB ,设二极管是理想的。 解: 图a ：将Ｄ断开,以O 点为电位参考点，D 的阳极电位为-6 V,阴极电位为-1２ Ｖ，故 D 处 于正向偏置而导通，V AO ＝–6 Ｖ。 图b:对D 1有阳极电位为 0Ｖ，阴极电位为-1２ Ｖ,故Ｄ1导通,此后使D 2的阴极电位为 0Ｖ， 而其阳极为－15 Ｖ，故D 2反偏截止，ＶＡO =0 V 。 图ｃ：对D 1有阳极电位为12 V,阴极电位为0 Ｖ，对D 2有阳极电位为12 V,阴极电位为 -6Ｖ．故Ｄ２更易导通,此后使ＶA =－6V;D 1反偏而截止,故V AO ＝-6Ｖ。 图P6.5 v R D 1 +V CC （5V ） D 2 v t t v i2/V (a) (b) v o 0.3 0.3 图P6.8 _ V AB D _ R 5k Ω D 2 6V 1212V D 1 + + A A V A B 15V _ D 2 12V D 1 + A V AB 6V R 5k Ω R 5k Ω (a) (b) (c)

必修四第一章 三角函数 精选练习题(有答案和解析)

必修四第一章 三角函数精选练习题 一、选择题 1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30° B [因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.] 2．cos 420°的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 A [cos 420°＝cos(360°＋60°)＝cos 60°＝1 2，故选A.] 3．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( ) A ．± 22 B ．－22 C ．22 D ．－1 2 B [由题意得tan θ＝－1 a ＝－a ， 所以a 2＝1， 所以sin θ＝ －1a 2＋（－1） 2＝－2 2.] 4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 C [设扇形的半径为r ，中心角为α， 根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝1 2×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝6 2＝3.] 5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．13 C ．－23 D ．－1 3 C [∵已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈? ? ???0，π4， ∴1＋2sin θcos θ＝16 9， ∴2sin θcos θ＝7 9， 故sin θ－cos θ＝－（sin θ－cos θ）2 ＝－1－2sin θ·cos θ ＝－2 3，故选C.] 6．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．?????? －π4，π4 B ．?????? －22，22 C ．[]－tan 1，tan 1 D ．[]－1，1 C [sin x ∈[－1，1]，又－π2＜－1＜1＜π2，且y ＝tan x 在? ???? －π2，π2上是增函数， 所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.] 7．将函数y ＝sin ? ???? x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 再将所得的图象向左平移π 3个单位，得到的图象对应的解析式为( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin ? ?? ?? 12x －π2

梅涅劳斯定理的应用练习1

平面几何问题：1.梅涅劳斯定理 一直线分别截△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）于D、E、F，则1 FB AF EA CE DC BD = ? ?。 背景简介：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 证明： 说明： （1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。 （2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。 （3）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力 工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。 梅涅劳斯定理的逆定理：如果有三点F、D、E分别在△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上， 且满足1 EA CE DC BD FB AF = ? ?，那么F、D、E三点共线。 利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。 梅涅劳斯定理练习 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： FB AF 2 ED AE =。

2．过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、 AC 于E 、F ，交CB 延长线于D 。求证： 1FA CF EA BE =+。 3. 在△ABC 中，点D 在BC 上，31DC BD =，分别在AB ，AD 上，32EB AE =，2 1 GD AG =，EG 交 AC 于点F ，求 FC AF 。 4.在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与CE 相交于G ，AF 与DE 交于H ，求AH:HG:GF 5.设D 为等腰Rt △ABC （∠C=90°）的直角边BC 的中点，E 在AB 上,且AE ：EB=2:1， 求证：CE ⊥AD 6.在△ABC 中，点M 和N 顺次三等分AC ，点X 和Y 顺次三等分BC ，AY 与BM ，BN 分别交于点S ，R ，求四边形SRNM 与△ABC 的面积之比。

(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

第1章 计算机基础习题精选.

第一部分基础模块 第1章计算机基础知识 1．1 单选题 1．世界上第一台电子计算机诞生于( )年。 A．1946 B．1956 C．1940 D．1950 2．以微处理器为核心组成的微型计算机属于( )计算机。 A．第一代 B．第二代 C．第三代 D．第四代 3．个人计算机属于( )。 A．小巨型机 B．小型计算机 C．微型计算机 D．中型计算机 4．第一代电子计算机采用的主要逻辑元件是( )。 A．大规模集成电路 B．中、小规模集成电路 C．电子管 D．晶体管 5．第二代电子计算机采用的主要逻辑元件是( )。 A．大规模集成电路 B．晶体管 C．电子管 D．中、小规模集成电路6．目前计算机应用最广的领域是( )。 A．科学计算 B．辅助教学 C．信息处理 D．过程控制 7．第三代电子计算机的主要逻辑元件采用( )。 A．晶体管 B．中、小规模集成电路 C．大规模集成电路 D．电子管8．就工作原理而言，目前大多数计算机采用的是科学家( )提出的“存储程序和程序控制”原理。 A．艾仑·图灵 B．冯·诺依曼 C．乔治·布尔 D．比尔·盖茨9．通常所说的PC是指( )。 A．大型计算机 B．小型计算机 C．中型计算机 D．微型计算机10．计算机的发展方向是微型化、巨型化、智能化和( )。 A．模块化 B．系列化 C．网络化 D．功能化 11．下列计算机应用中，不属于数据处理的是( )。 A．结构力学分析 B．工资管理 c．图书检索 D．人事档案管理12．计算机之所以能按人们的意图自动地进行操作，主要是因为采用了( ) A．汇编语言 B．机器语言 C．高级语言 D．存储程序控制