函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳 一、基础知 1.函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f (-x )=f (x )?f (-x )-f (x )=0?f (-x ) f (x )=1?f (x )为偶函数; (2)f (-x )=-f (x )?f (-x )+f (x )=0?f (-x ) f (x )=-1?f (x )为奇函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 二、常用结论 1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )= 1 f (x ) ,则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1 f (x ),则T =2a (a >0). 3.函数图象的对称性 (1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称. 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2 |x +3|-3; (2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2) |x -2|-2 ; (4)f (x )=? ??? ? x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0. [解] (1)由f (x )=36-x 2 |x +3|-3,可知????? 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0?????? -6≤x ≤6, x ≠0且x ≠-6, 故函数f (x )的定 义域为(-6,0)∪(0,6],定义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数.
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 (探究:奇、偶函数的定义域有何特点?若函数f(x)具有奇偶性,则f(x)的定义域关于原点对称,反之,若函数的定义域不关于原点对称,则函数无奇偶性。) 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内, (1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数。(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 (3)一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0。 (探究:若f(x)是偶函数且在x=0处有定义,是否有f(x)=0?不一定,
如f(x)= 21x +,而f(0)=1。) 三、函数的周期性 一般的,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 (探究:若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x),那么函数f(x)是周期函数吗? 是周期函数,()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数, 又所以是以为周期的函数) 例题解析 要点1:函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看其是否关于原点对称,否则,既不是奇函数也不是偶函数。 (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断: ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数, 为奇函数。 ②等价形式判断:
函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系
函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=,图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-,图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f b x +=-,图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ,若满足()()f a x f b x +=--,图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义:函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=-f(x);(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) +f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数,且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时,()1f x x =-+,求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?(财富:奇函数的半周期也是0点) 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点(5,04)对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ,若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数,则( )(A) ()f x 是偶函数; (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ; (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子,构造新函数,用定义,平移,伸缩处理四道抽象函数题。 (1)f(x)是奇函数,则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数,则f(-x+a)= (2)函数f(x-1)是偶函数,求y=f(x)的对称轴。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (-x )+f (x )=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)如果函数f (x ),g (x )为定义域相同的偶函数,则F (x )=f (x )+g (x )是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T 是函数的一个周期,则nT (n ∈Z ,n ≠0)也是函数的周期.(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.(√) (7)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×) (8)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√) (9)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√) 考点一 判断函数的奇偶性
函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性及周期性 1.函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x +T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [小题体验] 1.下列函数中为偶函数的是() A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x|D.y=2-x 答案:B 2.若函数f(x)是周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=________. 答案:-1 3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________. 答案:x(1-x) 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)或f(-
x )=f (x ),而不能说存在x 0使f (-x 0)=-f (x 0)或f (-x 0)=f (x 0). 3.分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性. [小题纠偏] 1.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A .-13 B.13 C.12 D .-1 2 解析:选B ∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数, ∴a -1+2a =0,∴a =1 3.又f (-x )=f (x ), ∴b =0,∴a +b =1 3 . 2.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f (x )= ? ???? -4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ????32=________. 解析:由题意得,f ????32=f ????-12=-4×????-122+2=1. 答案:1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=1-x 2+x 2-1; (2)f (x )=3-2x +2x -3; (3)f (x )=3x -3- x ; (4)(易错题)f (x )=4-x 2 |x +3|-3 ; (5)(易错题)f (x )=????? x 2+x ,x >0, x 2-x ,x <0. 解:(1)∵由? ???? x 2-1≥0, 1-x 2≥0,得x =±1, ∴f (x )的定义域为{-1,1}. 又f (1)+f (-1)=0,f (1)-f (-1)=0,
高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案)
§2.3函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值 时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )=0,x ∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( × ) (2)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.( √ ) (3)若函数y =f (x +b )是奇函数,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称.( √ ) (4)若函数f (x )=x (x -2)(x +a ) 为奇函数,则a =2.( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x +a )=-f (x ),则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数,且f (x +2)=f (x ),则f (2 014)=0.( √ ) 2.(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1 x ,则f (-1)等于( ) A .-2 B .0 C .1 D .2 答案 A 解析 f (-1)=-f (1)=-(1+1)=-2. 3.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是() A .-13B.13C.12D .-12 答案 B 解析 依题意b =0,且2a =-(a -1), ∴a =13,则a +b =13 . 4.已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (2 015)等于( ) A .-2 B .2 C .-98 D .98 答案 A 解析 ∵f (x +4)=f (x ), ∴f (x )是以4为周期的周期函数,
函数的奇偶性与周期性专题练习
函数的奇偶性与周期性专题练习 一、选择题 1.(2019·肇庆三模)在函数y =x cos x ,y =e x +x 2,y =lg x 2-2,y =x sin x 中,偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y =x cos x 为奇函数,y =e x +x 2为非奇非偶函数,y =lg x 2-2与y = x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2019·湖南卷)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( ) A.奇函数,且在(0,1)内是增函数 B.奇函数,且在(0,1)内是减函数 C.偶函数,且在(0,1)内是增函数 D.偶函数,且在(0,1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(-1,1),且f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),则y =f (x )为奇函数, 又y =ln(1+x )与y =-ln(1-x )在(0,1)上是增函数, 所以f (x )=ln(1+x )-ln(1-x )在(0,1)上是增函数. 答案 A 3.已知函数f (x )=x ? ?? ??e x -1e x ,若f (x 1)x 2 B.x 1+x 2=0 C.x 10时,f ′(x )>0,∴f (x )在[0,+∞)上为增函数,
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇函数偶函数 定义 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做 偶函数 图象特征关于原点对称关于y轴对称 2. (1)周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√) (5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(√) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(√) (7)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(×) (8)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√) (9)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.(√) (10)若某函数的图象关于y轴对称,则该函数为偶函数;若某函数的图象关于(0,0)对称,则该函数为奇函数.(√) 考点一判断函数的奇偶性
6.函数的奇偶性与周期性考点及题型
第三节 函数的奇偶性与周期性 ? 基础知识 1.函数的奇偶性? ?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. ?若f (x )≠0,则奇(偶)函数定义的等价形式如下: (1)f (-x )=f (x )?f (-x )-f (x )=0?f (-x ) f (x )=1?f (x )为偶函数; (2)f (-x )=-f (x )?f (-x )+f (x )=0?f (-x ) f (x )=-1?f (x )为奇函数. 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期. 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ,使f (x +T )=f (x )为恒等式,即自变量x 每增加一个T 后,函数值就会重复出现一次. (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. ? 常用结论 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f (x )是奇函数且在x =0处有定义,则一定有f (0)=0;如果函数f (x )是偶函数,那么f (x )=f (|x |). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. (3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x :
(1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a (a >0). (2)若f (x +a )= 1 f (x ) ,则T =2a (a >0). (3)若f (x +a )=-1 f (x ),则T =2a (a >0). 3.函数图象的对称性 (1)若函数y =f (x +a )是偶函数,即f (a -x )=f (a +x ),则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. (3)若函数y =f (x +b )是奇函数,即f (-x +b )+f (x +b )=0,则函数y =f (x )关于点(b,0)中心对称. 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=36-x 2 |x +3|-3; (2)f (x )=1-x 2+x 2-1; (3)f (x )=log 2(1-x 2) |x -2|-2 ; (4)f (x )=???? ? x 2+x ,x <0,x 2-x ,x >0. [解] (1)由f (x )=36-x 2 |x +3|-3,可知????? 36-x 2≥0,|x +3|-3≠0?????? -6≤x ≤6,x ≠0且x ≠-6, 故函数f (x )的定义域为(-6,0)∪(0,6],定 义域不关于原点对称,故f (x )为非奇非偶函数. (2)由? ???? 1-x 2≥0, x 2-1≥0?x 2=1?x =±1,故函数f (x )的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f (x )=0,所以f (- x )=f (x )=-f (x ),所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数. (3)由? ???? 1-x 2>0,|x -2|-2≠0?-10的图象如图所示,图象关于y 轴对称,故f (x )为偶函数.
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.
函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性:(奇偶性是一种特殊的对称性) 1、奇偶性:(1)奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式0) ()(x f x f (2)偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 (1)函数的轴对称: 函数)(x f y 关于a x 对称)()(x a f x a f )()(x a f x a f 也可以写成)2() (x a f x f 或)2()(x a f x f 若写成: )()(x b f x a f ,则函数)(x f y 关于直线22)() (b a x b x a x 对称 证明:设点),(11y x 在)(x f y 上,通过)2()(x a f x f 可知,)2()(111x a f x f y ,即点)(),2(11x f y y x a 也在上,而点 ),(11y x 与点),2(11y x a 关于x=a 对称。得证。说明:关于a x 对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标相等。∵1111(,)(,)a x y a x y 与关于x a 对称,∴函数)(x f y 关于a x 对称 )()(x a f x a f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称,∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称,∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f (2)函数的点对称: 函数)(x f y 关于点),(b a 对称b x a f x a f 2)()(