专题四：四边形的有关计算与证明

专题四： 四边形的有关计算与证明

1. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 和∠BCD 的平分线AE ，CF 分别交DC ，BA 的延长线于点E ，F ，交边BC ，AD 于点H ，G ．

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．

（2）若AB=5，BC=8，求AF+AG 的值．

【简析】（1）由平行四边形性质及角平分线定义有111

2,22DAB DCB ????13??，因此23??，//AE CF 故，又//AF CE ，故得证；（2）易知2,DCF F ???则,853BC BF AF ==-=故,可证,=36F AGF AG AF AF AG ??+=故，所以.

2.如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=?，E 为AD 的中点，连接BE .

（1）求证：四边形BCDE 为菱形；

（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长.

【简析】(1)由90ABD ，∠=?E 为AD 中点，AD=2BC ，知BC=ED=BE ，又AD ∥BC ，故四边形ABCD 是菱形.(2)由AD ∥BC,AC 平分∠BAD 知∠BAC=∠DAC=∠BCA,故BA=BC=1,

从而sin ∠ADB=

12，因此∠ADB=30°，在RT △ACD 中，AD=2，CD=1，AC=

变式：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，AF 与CE 相交于点G ．

（1）证明：ΔCFG ≌ΔAEG ；

（2）若AB ＝4，求四边形AGCE 的对角线GD 的长．

3.如图，1，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F .(1)求证：BDF △是等腰三角形；

(2)如图2，过点D 作DG BE ∥，交BC 于点G ，连结FG 交BD 于点O .

①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由；

②若6AB =，8AD =，求FG 的长.

【简析】（1）易知FBD CBD BDF ???,则.BF DF =（2）①由FD ∥BG ，FD ∥BG ，及DF=BF 可判定四边形BFDG 是菱形；②假设DF=BF=x ，则AF=AD ﹣DF=8﹣x ．在直角△ABF 中，AB 2+A 2=BF 2，即62+（8﹣x ）2=x 2，解得BF=x=

254，又OB=12BD=5．

所以1515,242

FO FG FO ====. 变式：如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC

于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ ．

（1）求证：四边形BPEQ 是菱形；

（2）若AB=6，F 为AB 的中点，OF+OB=9，求PQ 的长．

4.如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交BC 于G ．

（1）求证：BG=DE ；

（2）若点G 为CD 的中点，求HG GF

的值．

【简析】（1）由于BF ⊥DE ，所以∠GFD=90°，从而可知∠CBG=∠CDE ，根据全等三角形的判定即可证明△BCG ≌△DCE ，从而可知BG=DE ；（2）设CG=1，知CG=CE=1，可知：

sin ∠CDE=CE GF DE GD =，得GF=5

，易证△ABH ∽△CGH ，故BH HG =2，

HG GF =53． 变式：如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分DEB ∠，F 为CE 的中点，连接,AF BF ，过点E 作//EH BC 分别交,AF CD 于G ，H 两点．

（1）求证：DE DC =；

（2）求证：AF BF ⊥；

（3）当28AF GF =g

时，请直接写出CE 的长．

5.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.

(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；

(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．

【简析】（1）由AC ＝CF ，CF 平分∠ACF 知AE ＝EF ，因AO ＝OC ，则EO 为△AFC 的中

位线，故CF ＝2EO ＝22=AC ，所以AB ＝AC 2＝2.（2）易证COM CBN ∽,则CO CM BC CN =,

即CN ，又△EOM ∽△CBM ，则有EO CB ＝EM CM ＝22

，即CM EM ,所以

2CN EM EM .

变式：如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，COD ?关于CD 的对称图形为

CED ?．（1）求证：四边形OCED 是菱形；

（2）连接AE ，若6cm AB =，BC ．求sin EAD ∠的值；

【（2）提示：易证1,,=232DG DE DGE CGA DG AG CG AC ==== ∽则则，】