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线性代数作业答案

第一章

n 阶行列式

1.求下列各排列的逆序数：

(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13...(2n-1)24...(2n) (4) 13...(2n-1)(2n)(2n-2) (2)

（11;17; 2)

1(-n n ;)1(-n n ）

2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .

3.计算下列各阶行列式：

(1) 600300301395200199204

100103 (2)0d 0c 0b 0

a 0 (3)ef

de cd bd

ac ab

--- [2000; 0; 4abcdef] 4. 设x

x x x x

D 1

1231

2-=

，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .

5 求二次多项式()x f ，使得

()61=-f ，()21=f ，()32=f

解设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得

??=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 061

111

111≠-=-=D ，61

112

161-=-=D ，121

341211612==D ，183

211

113-=-=D 所以 11

D D a ，22-==D D b ，33==D

D c

故()322+-=x x x f 为所求。行列式的性质；克拉默法则

1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n

2.如果1a a a a a a a a a D 3332

31232221

131211==，求33

3131

2322212113

121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4

101113

011

2101

--=

D ，计算44434241A A A A +++ [-1] 4. 计算行列式 3

833

6229

0432

231

---- [-50]

5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）

(1)

,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n n a a ]

(2) a

a a a x a a a x ; [1)(--n a x a ]

(3)

1n 321a x

x a x x x x x

a x

x x x a x x x x x a

- [利用递推公式来求]

递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x D

n D =)1)(())((2121x

a x

x a x x a x x a x a x a n n -++-+-+

--- (4) n

222223222

2222

[-2)!2(-n ]

(5)

+ααββ

+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1

0000001000

01000010

000

[n n n n βαββαα++++--11 ] 6.问λ，μ取何值时，齐次方程组???

??=+μ+=+μ+=++λ0

x x 2x 0x x x 0

x x x 321

321321有非零解？ [0;1==μλ]

习题二矩阵及其运算

矩阵；矩阵的运算

1. 以下结论正确的是（ C ）

（A ）若方阵A 的行列式0=A ，则0=A 。（B ）若02=A ，则0=A 。

（C ）若A 为对称矩阵，则2A 也是对称矩阵。（D ）对任意的同阶方阵A,B 有22))((B A B A B A -=-+

2. 设A=???? ??-310121，B=???? ??-121013，C=???

? ??-213112，计算(1) 2A-3B+2C ． [???

??--729037] 3．设A=????? ??321212113，B=????? ??-101012111，求AB-BA ． [???

??---044402220]

4．设A=???? ??--143125，B=?

? ??--102023，计算AB T ，B T A ，A T A ，BB T +AB T

． [????

??----71919; ?

???

??-----14324101221; ?

???

??--26262022234; ???? ??56613;

???

??---2536] 5．若???? ??=4321A ，?

? ??=0110P ，那么=2004

2005AP P ．???? ??2143

6．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()

=-2

2B A T 2 ．

7．已知53)(2+-=x x x f ，???

??=b a A 00，则

=)(A f . ????

?+-+-53005322b b a a 8．A 为2005阶矩阵，且满足A A T -=，则=A 0 ．

9．计算n

???

??1011

解：设 ???

??=1011A ，

则 ?

? ??=???? ?????? ??==1021101110112AA A ，

???

??=???? ?????? ??==10311011102123A A A

假设????

?-=-10111n A n ，则 ????

??=???? ?????? ??-==-101101110111n n A A A n n ，于是由归纳法知，对于任意正整数n ，有

???

??=???? ??1011011n n

10．证明：若A 和B 都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交

换．(略)

11．证明：若A 和B 都是n 阶对称矩阵，则A+B ，A-2B 也是对称矩阵．（略）

12．已知A=P ΛQ 其中P=???? ??2132，Λ=???? ??-1001，Q=???

??--2132． QP=E ，计算A 2n ，A 2n+1 （n 为正整数）．

[????

??1001；

???

??--74127] 逆矩阵；分块矩阵

13．设A 、B 都是n 阶矩阵，问：下列命题是否成立？若成立给出证明；若不成立举反例说明．

(1) 若A 、B 皆不可逆，则A+B 也不可逆；(2) 若AB 不可逆，则A ，B 都可逆；

(3) 若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆；(4) 若A 可逆，则kA 可逆（k 是常数）．（略）

14．设P -1AP=Λ，其中P=???? ??--1141，Λ=???? ??-2001，求A n

．（略）

15．设A 为3阶矩阵，且21

A ，求*12)3(A A --. [27

16-] 16．（1）若方阵A 满足0422=--E A A ，试证A+E 可逆，并求()1

-+E A . （略）（2）设A 是n 阶矩阵，且1-=A ，又1-=A A T ，试证A+E 不可逆（证明行列式等于零）

17．解矩阵方程 B AX =，其中????? ??=100210321A ，????? ??--=3152

41B 。 [???

??---3111094] 18．求下列矩阵的逆矩阵：

(1) ???? ??θθ-θθcos sin sin cos ； (2) ??????

?10

001100

0110

0011． [?

??? ??-θθθθcos sin sin cos ； ????

?----10001100111

01111] 19．利用逆矩阵解下列方程：

(1) ????

? ??-=????? ??---130112X 221021132． [?

????

?? ?

----65361

1311]

20．设A k =0 (k 为正整数),证明：(E-A)-1=E+A+A 2+…+A k-1．

21．设方阵A 满足方程A 2-2A+4E=0．证明A+E 和A-3E 都是可逆的，并求它们的逆矩阵． 22．设方阵A 满足A 2-A-2E=0证明：

(1) A 和E-A 都可逆，并求它们的逆矩阵；(2) (A+E)和(A-2E)不同时可逆． 23．设幂零矩阵A 满足A k =0（k 为正整数），试证明E-A 可逆，并求其逆矩阵．

24．设A 是实对称矩阵，且A 2

=0，证明A=0．

25．设A=???? ??0C B 0，其中B 是n 阶可逆阵，C 是m 阶可逆阵．证明A 可逆，并求A -1

．

26．用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵．

⑴ ?????

??? ?

?10

0000100000300

0005200021； ⑵ ???

???

??1000001000001003102020102

．

[?????

?--100

0000000310

0000120002

5； ???

????

?? ??----

1000001000

00100

23210210

102

1021] 习题三

初等矩阵；矩阵的秩

1．求矩阵??

?---=0230108523570

3273812A 的秩，并求一个最高阶非零子式。[3； 0

1023532---]

2．设???

? ??----=32321321k k k A ，问k 为何值，可使（1）;1)(=A R （2）;2)(=A R （3）;3)(=A R

[;1=k 2-=k ； 2,1-≠≠k k ]

3．用初等矩阵判断方阵??????

??----=211441*********

1A 是否可逆。若可逆，求1-A 解：()??

?----------→

???????

??----=---10040102

0011

0001233023302330111

110000100

0010

0001211441521221111

24 r r r r r r E A 因为02

330233023301

111=-------，所以0=A ，故A 不可逆，即1-A 不存在。

4．用初等矩阵解矩阵方程B AX =，其中??

? ??--=523012101A ，?

???? ??-----=141254121B . 解：

()????? ??--=100010001523012101 E A ???

???

??----→211

2711521

125

100010001 ???

???? ??----=∴-211

27115

211

A ????? ??-----???????

??----==-14125412121127115

211

B A X ????? ??----=640892521

5．用初等矩阵求()A R 其中 ??

?---=1401

131********

1221

A 解：????

?---→

??????? ??------→+--222

000000015120

122112220015120151201221

12313142r r r r r r A ???

?---→?000

00222001512012211

43r r （上阶梯形），有此可看出 ()3=A R 6．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为A*，证明：

(1) 若|A|=0，则|A*|=0；(2) |A*|=|A|n-1．（略）线性方程组

一. 判断题；选择；题空题

1. 若54321,,,,ααααα都是b Ax =的解，则543218634ααααα-+-+是0=Ax 的一个解.( )

2. 方程组0=?x A n m 基础解系的个数等于)(n m A R n ?-. ( )

3. 若方程组0=Ax 有非零解，则方程组b Ax =必有无穷多解.( 错 )

4. 0=Ax 与0=Ax A T 为同解方程组. ( )

5. 方程组b Ax =有无穷多个解的充分必要条件是b Ax =有两个不同的解. ( )

6. 当( D )时，齐次线性方程组0=?x A n m 一定有非零解. （A ）n m ≠；（B ）n m =；（C ）n m >；（D ）n m <.

7. 方程组???

??=++=++=++0

321

3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，若存在三阶方阵O B ≠，使得O AB =，则

( A ) .

（A ）1=λ且0=B ；（B ）1≠λ且0≠B ；（C ）1≠λ且0=B ；（D ）1=λ且0≠B .

8. 设方程组b x A n n =?+)1(有解，则其增广矩阵的行列式b A = 0 .

9. 若???????=+-=+=+-=+4143432

321

21a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件和等于零 .

10. 已知方程组???

?? ??=????? ??????? ??-+0312123212

1321x x x a a 无解，则=a -1 .

11. 求方程组???

??=+++=+++=++-5

43265421

4321

3214321x

x x x x x x x x x x x 的通解. [ 通解为???????

? ??+????

??? ??--+???????? ??--=?

?????

? ??00343710

12013235214321c c x x x x ]

12．设???

??-=+-=

++-=++4

321

21321x

x x k x kx x kx x x ，问方程组什么时候有唯一解？什么时候无解？什么时候有无

穷多解，并在有无穷多解时求解. 有唯一解4,1≠-≠k k ；无解1-=k ；

无穷多解4=k ，解为???

? ??+????? ??--040113c 。

第四章向量组的线性相关性

第一节 n 维向量

1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321

===,求32123v v v -+.

解：321

23v v v -+T

T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+= T )01203,41213,30213(-?+?-?+?-?+?= T )2,1,0(=

2．设)(5)(2)(3321

a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,

T a )1,1,1,4(3-=,求a

解由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得

)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[6

T T T --+=

T )4,3,2,1(=

3．已知α+β=(2,1,5,2,0)，α-β=(3,0,1,-1,4)，求α，β．

解：11511

[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)](,,3,,2)

22222

11113[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)](,,2,,2)

22222

ααβαββαβαβ=++-=+-==+--=--=--

第二节向量组的线性相关性

1．设144433322211

,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.

证明设有4321,,,x x x x 使得，044332211=+++b x b x b x b x 则

0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x

(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,

411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;

由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.

(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则?????

?=+=+=+=+000043

322141x x x x x x x x 011

000110

0011

100

4321=????

? ????????? ???x x x x

由01

10001100

0111001

=知此齐次方程存在非零解，则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证. 2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组r a a a ,,,21 线性无关,证明向

量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明设0221

1=+++r r b k b k b k 则

++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k

因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故

1212201100011000100r r r r

k k k k k k k k k +++=???????? ? ? ?++=? ? ? ??=?

? ? ??

? ? ??=??????? ，

因为

011001

101

1≠= 故方程组只有零解，则021

====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关

3．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:

??---1401

131********

1221

1. 解： ??

?????

?---1401

131302151201221114132~r r r

r --?????

? ??------22200151201512

01221

1 4323~r r r r ?+??

? ??---0000022200

15120

，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．第三节向量组的秩

1．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:)3,1,2,1(1

a , )6,5,1,4(2---=T

a , )7,4,3,1(3

---=T a . 解： ?

??? ?

?------=????? ??743165143121321T T T

a a a ????

? ??------10550189903121~ ????

? ??---000018990312

1~ 秩为2,最大线性无关组为T

T a a 2

1,. 2．设向量组α1，α2，…，αt (t>2)线性无关，令β1=α2+α3+…+αt ,，β2=α1+α3+…+αt ，…，βt =α1+α2+…+αt-1．证明：β1，β2，…，βt 线性无关．

3．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.

4．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C :

r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤

证明设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,，含有的向量个数(秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价，易知B A ,均可由C 线性表示，则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤

设A '与B '中的向量共同构成向量组D ，则B A ,均可由D 线性表示，即C 可由D 线性表示，从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ),

D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.

5. 设A 是n ?m 矩阵，B 是m ?n 矩阵，n

6．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为

K a a b b s r ),,(),,(11 =，

其中K 为r s ?矩阵，且A 组线性无关。证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩r K R =)(.

证明

?若B 组线性无关

令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =，由定理知，

()()min{(),R B R AK R A =≤()}()R K R K ≤，由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =

)(，故

r K R ≥)(，又知K 为s r ?阶矩阵则},min{)(s r K R ≤

。由于向量组B :r b b b ,,,21 能由向

量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤， r s r =∴},min{

综上所述知r K R r

≤≤)(即r K R =)(．

?若r k R =)(

令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =，则有0),,,(121=???

??r r x x b b b ，

又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=???

? ??r s x x K a a

由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=????

? ???r x x x K

即

???????

?=+++=+++=+++=+++0

02211221122221

121221111r rs s s r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k

（1）由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组:

??????

?=+++=+++=+++0

221122221121221111r rr r r r

r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k

，由于0212221212111≠rr

r r r k k k k k k k k k

所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关，证毕.

第四节向量空间

1．试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321

===所生成的向量空间就是3R .

证明设),,(321a a a A =

011101110,,321a a a A =021

101010

11)1(1≠-=-=-

于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3,

所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3R .

2．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321

==-=为3R 的一个基,并把

T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示.

解由于062

301113

21,,321≠-=-=a a a ，即矩阵),,(321a a a 的秩为3，故

321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基.

设3322111a k a k a k v ++=，则，?????=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ???

??-===?1

32321k k k

故321132a a a v -+=

设3322112a a a v λλλ++=，则，?????-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ???

??-=-==?2

321k k k

故线性表示为，3212233a a a v --=

第五节线性方程组的解的结构

1．求齐次线性方程组???

??=-++=-++=+--0

3678024530

2324321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系.

解： ??

?????

--????? ?

?----=00

0197191410191192

~36782453

1232初等行变换A

所以原方程组等价于???

????

+-=+-=432431197191419

1192x x x x x x

取2,143==x x 得0,021==x x ；取19,043==x x 得7,121==x x

因此基础解系为????

? ??=??????? ??=19071,210021ξξ

2．设???

??--=82593122A ,求一个24?矩阵B ,使0=AB ,且2)(=B R .

解由于2)(=B R ,所以可设????

=43

211001x x x x B 则由

???

??=?????

?????? ??--=00001001825931224321

x x x x

AB 可得 ????

??--=??????? ????????? ?

?59

2280200802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ?

?????????

? ??-=??????? ??2125212114321x x x x ，故所求矩阵???????

??-

=21252121110

01B ． 3．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11

==ξξ.

解显然原方程组的通解为

????

??? ??+??????? ??=?

?????

? ??01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,) 即???????=+=+==1

213212

3223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得

?=+-=+-0

230

32431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且

??????? ??=54321η，????

? ??=+432132ηη求该方程组的通解．

解由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得

齐次解

齐次解齐次解=?

?????

??=-+-=+-654

3)()()()()(22121321ηηηηηηη

为其基础解系向量，故此方程组的通解：????

? ??+??????? ??=54326543k x ，)(R k ∈

5．设B A ,都是n 阶方阵，且0=AB

，证明n B R A R ≤+)()(．

证明设A 的秩为1r ，B 的秩为2r ，则由0=AB 知，B 的每一列向量都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．

(1) 当n r =1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时0=B ,n r =1，02=r ，

n r r =+21结论成立．

(2) 当n r <1时,该齐次方程组的基础解系中含有1r n -个向量,从而B 的列向量组的秩1r n -≤,即12r n r -≤,此时12r n r -≤,结论成立。综上,n B R A R ≤+)()(

6．求非齐次方程组???

??-=+++-=-++=-+-.

6242,1635,113254321

43214321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.

(2) ???????

---

????

? ??-----=00

00022171

10121790

16124211635113251~初等行变换B ??????

? ??-=??????? ??-=??????? ??-=∴2011,0719,002121ξξη

7．设*

η是非齐次线性方程组b Ax =的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,

证明: r n -*

ξξη

,,,1 线性无关.

证明反证法,假设r n -*ξξη,,,1 线性相关,则存在着不全为0的数

r n C C C -,,,10 使得下式成立:0110=+++--*r n r n C C C ξξη (1)

其中,00≠C 否则,r n -ξξ,,1 线性相关,而与基础解系不是线性相关的，产生矛盾。

由于*η为特解，r n -ξξ,,1 为基础解系，故得

b C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη

而由(1)式可得0)(110=+++--*r n r n C C C A ξξη 故0=b ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得0≠b 产生矛盾,假设不成立, 故r n -*ξξη,,,1 线性无关.

8.设

ηη,,1 是非齐次线性方程组

Ax =的

个解，

k k ,,1 为实数，满足

121=+++s k k k .证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解.

证明由于s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解. 故有 ),,1(s i b

A i ==η

而s s s s A k A k A k k k k A ηηηηηη+++=+++ 22112211)(

b k k b s =++=)(1

即 b Ax = （s s k k k x ηηη+++= 2211）从而x 也是方程的解．

第五章相似矩阵及二次型

第一节预备知识：向量的内积

1．试用施密特法把下列向量组正交化：

(1)

???

? ??=931421111),,(321a a a ；(2)

????

? ??---=0111

01110111

),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法:

令?

???? ??==11111a b ，[][]????

??-=-

=101,,1112122b b b a b a b ，

[][][][]?

???

??-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b ，

故正交化后得: ?

?????

?? ?

--=311132

013111),,(321b b b ．

(2) 根据施密特正交化方法令????

??? ??-==11

0111a b ，[][]?????

?? ??-=-=123131,,1112122b b b a b a b [][][][]????

?? ??-=--=43

3151,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b

故正交化后得 ????

?---=5431153321531051311),,(321b b b

2．下列矩阵是不是正交阵:(1) ??????

---121

312112131211; (2) ???????

? ??------

97949

4949198949891

．

解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．

(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．

3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵．

证明因为B A ,是n 阶正交阵，故A A T =-1，B B T =-1

E AB A B AB A B AB AB T T T

===--11)()(，故AB 也是正交阵．

第二节方阵的特征值与特征向量

求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)????

??-4211; (2)?

???? ??633312321;并问它们的特征向量是否两两正交?

解 (1) ①

)3)(2(42

11--=---=

-λλλ

λλE A ，故A 的特征值为

3,221==λλ．

② 当21=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由

???? ?????? ??--=-00112211)2(~E A 得基础解系????

??-=111P 所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量．当32=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由

???? ?????? ??--=-00121212)3(~E A 得基础解系???? ??-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量．

③ 023

121)1,1(],[2121≠=???? ??--==P P P P T ，故21,P P 不正交． (2) ① )9)(1(63

33123

1-+-=---=-λλλλ

λλλE A ，故A 的特征值为9,1,0321=-==λλλ．

② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由

线性代数课后作业答案(胡觉亮版)

第一章 1．用消元法解下列线性方程组：（1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（2）???? ? ??--324423211123．解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组：（1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x

解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ，得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ．（2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ，得方程组无解．第二章 1.（2） 2 2 x y x y ．解原式()xy y x =-．（2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

2019春北京大学网络教育学院线性代数作业答案

春季学期线性代数作业一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D.

6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则（ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）

11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数(本)习题册行列式-习题详解(修改)(加批注)

||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 1 页共 18 页行列式的概念一、选择题 1．下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号．答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.

||班级：姓名：学号：成绩：批改日期： || 第 2 页共 18 页阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i

线性代数习题参考答案

第一章行列式 §1 行列式的概念 1．填空 (1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i = ，j = 时，排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。 (4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a 的项的符号为，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为。 2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。 3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

修订版-线性代数习题三答案

第三章线性方程组一、温习巩固 1. 求解齐次线性方程组??? ??=-++=--+=-++0 51050363024321 43214321x x x x x x x x x x x x 解：化系数矩阵为行最简式 ???? ? ????→?????? ??----=000001001-0215110531631121行变换A 因此原方程同解于? ? ?=+-=0234 21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为 ???? ?? ? ??+??????? ??-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。 2. 求解非齐次线性方程组?? ? ??=+=+-=-+8 31110232 2421321321x x x x x x x x 解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形 ?? ? ? ? ????→?????? ??---??→?????? ??--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A 因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。 3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。解：??? ? ? --=-= 31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=- T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）?? ??????? ???711 00251020214214；（2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解：； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=

2.求下列排列的逆序数：（1）34215；解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21；解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ；解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）

线性代数习题集(带答案)

______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

线性代数练习题及答案

线性代数期中练习一、单项选择题。 1． 12 021 k k -≠-的充分必要条件是( )。 (A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（）时，有B ＝C 。 (A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵 3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =3332 31 232221 13 1211 ，则=---------33 32 312322 2113 1211222222222a a a a a a a a a （）。 (A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M 4．齐次线性方程组123123123 000ax x x x ax x x x x ++=?? ++=??++=?有非零解，则a 应满足（）。 (A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =． 5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b = 的通解是（）。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+ + (B) 11212121 ()()2 c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121 ()()2 c c αββββ+-++ 二．填空题。 6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T = 。 7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | = 。 | ( AB )-1 |= 。 8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ??? 中，已知1-B 、1 -C 存在，而O 是零矩阵，则 =-1A 。

线性代数标准化作业答案

线性代数标准化作业答案第一章：行列式基础必做题：（一）一、填空题： 1、3，n （n-1）； 2、1222+++c b a ； 3、70，-14； 4、-3M ； 5、1 二、选择题： 1、C 2、D 3、D 4、A 5、C 三、计算题： 1、解：原式 11 110 01)1()1(1 11 11C 1 21 11++++=--?-?-+--?-++cd ad ab abcd d c d c b a （）（展开按2、解：原式 3 1 323 121) c b a () c b a (0 00) c b a (0 111 )c b a (2cr r 2br r b a c 2c 2c 2b a c b 2b 111 )c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c c c b a c b b c b a c b a c b a r r r r 四、解： ) )()()((0 000001) (1 111 ) ()(c x b x a x c b a x c x b c a b b x a b a x c b a c b a x x c b c x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++= 因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。基础必做题（二）一、填空题： 1、6，8； 2、0； 3、0，0； 4、4； 5、24 二、选择题： 1、D ； 2、C ； 3、A ； 4、A ； 5、A,B,D 三、1、解：原式

西南大学线性代数作业答案

第一次行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式251122 14 ---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1 02325 4 03 --中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式2 5 1 122 1 4 --x 中，x 的代数余子式是 —5 。 6．计算0 00 0d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 8 1 141 102 --- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。 3．(7分)已知00 1 04 13 ≠x x x ，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组

?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。解：()2 11 1 1 0100 011 1 1 11 11 -=--==λλλλλ D 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 033113 2104 21 711 7 2104 21 911 7 18904 213511 3 215 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 811 1 10 2129 4 2311-=-=D 1081 10 3 22954 311 2-==D 13510 1 3 2915 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是： x=27，y=36，z=—45 第二次线性方程组部分填空题 1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .

线性代数习题与答案(复旦版)1

线性代数习题及答案习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解：设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

《线性代数与概率统计》作业题-答案

《线性代数与概率统计》第一部分单项选择题 1．计算112212 12 x x x x ++=++？（A ） A ．12x x - B ．12x x + C ．21x x - D ．212x x - 2．行列式1 1 1 111111 D =-=--（B ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3 ．设矩阵 2311 11,112 0110 11A B -??? ? ????==????????-??? ? ，求AB =（B ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 率统计》率统计》作业题 4．齐次线性方程组123123123 000x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=?有非零解，则λ=？（C ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 5．设???? ??=50906791A ，?????? ? ? ?=6735 63 00B ，求AB =？（D ） A ．1041106084?? ??? B ．1041116280?? ??? C ．1041116084?? ??? D ．1041116284?? ??? 6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，

且A a =,B b =,0 0A C B ?? = ??? ,则C =？（D ） A ．(1)m ab - B ．(1)n ab - C ．(1) n m ab +- D ．(1)nm ab - 7．设???? ? ? ?=34 3122 321 A ，求1 -A =？（D ） A ．1 3 23 53 22111?? ? ?- - ? ?-? ? B ．132********-?? ? ?- ? ?-?? C ．13 2353 22111-?? ? ?- ? ?-?? D ．13 23 53 22111-?? ? ?- - ? ?-? ? 8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（B ） A ．111[()]()()T T T A B A B ---= B ．111()A B A B ---+=+ C ．11()()k k A A --=（k 为正整数） D ．1 1()(0)n kA k A k ---=≠ （k 为正整数） 9．设矩阵m n A ?的秩为r ，则下述结论正确的是（D ） A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零 B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零 C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零 D ．A 中有一个r 阶子式不等于零 10．初等变换下求下列矩阵的秩， 32 1321 317051A --?? ?=- ? ?-? ? 的秩为？（C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

西华大学线性代数习题答案

《线性代数》同步练习题第5次矩阵的初等变换与线性方程组（一）专业：教学班：学号：姓名： 1．用行初等变换把下列矩阵化成行阶梯矩阵和行简化阶梯形矩阵： 1134 333541223203 3421A --?? ?-- ?= ? -- ? ---?? 1102300122~0000000000--?? ?- ? ? ? ?? 2. 用初等行变换求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式： ?????? ? ? ?---=1003011603024 22012 11A R(A)=3 11210030 1~0004000 000-?? ? ? ? - ? ?? 01113010 030 A A -=-≠的最高阶非零子式

3.求矩阵223110121A ?? ?=- ? ?-??的逆矩阵。 1 143153164A --?? ?=- ? ?--?? 4、已知方阵101221112A ?? ? =- ? ??? ，求1-A 。 1512311412A ---?? ?=-- ? ?-?? 223100(A,E)110010121001?? ?=- ? ?-?? 100143010153001164-?? ?→- ? ?--??101100(A,E)221010112001?? ?=- ? ???100512~010*********--?? ?-- ? ?-??

《线性代数》同步练习题第6次矩阵的初等变换与线性方程组（二）专业：教学班：学号：姓名： 1. 解矩阵方程,B AX =其中,011210101????? ??--=A 。??? ? ? ??----=212041132B 法一： 110302 121X -?? ?= ? ?--?? 法二： 12113332 123331113 33A -?? ? ? ?=- ? ? ?- ??? 1 110302 121X A B --?? ?== ? ?--?? 2．解矩阵方程：? ?? ? ??-=???? ??-???? ??-101311022141X 101231(A,B)012140110212--?? ?= ? ?----??100 1100103 020011 2 1-?? ?→ ? ?--? ? ,A B 矩阵可逆 11 X A CB --∴=12103133211011 16 62???? -??????=??????-?????????????? 11104X ?? ?∴= ???