复变函数资料
一、单项选择题
1.=-)22(i Arg D . ( )
A .
4
π
B .ππk 24+(k 为整数)
C .4π-
D .ππ
k 24+-(k 为整数)
2.下列方程中, B 给出的曲线是椭圆(t 是实参数). ( )
A .t i z )1(+=
B .t ib t a z sin cos +=
C .t
i t z += D .2
2
t i t z += 3.下列函数中,在z
平面上处处解析的函数是
( A )
A .2
)(z z f = B .z
z f 1
)(=
C .z z f =)(
D .z z z f Re )(= 4.下列函数中
,仅在0=z 点可微的函数是
( D )
A .z z f =)(
B .z
z f 1)(= C .3
)(z z f = D .z z z f Re )(= 5.=-)1(Ln
( B)
A .i π
B .i k i ππ2+(k 为整数)
C .
i 2π D .i k i ππ
22
+(k 为整数) 6.若C 为z 平面上任一围线,则下列积分中值不为零的是 ( A ) A .
?-C
a
z dz 其中a 为C 内一点 B .?C dz z z 2
cos
C .?
C
z
dz e D .?
C zdz sin
7.幂级数
∑∞
=12
n n n
nz 的收敛半径为
( B )
A .1
B .2
C .2
1
D .3 8.函数1sin -z 在零点2
π
=
z 的阶数是 ( B )
A .1
B .2
C .3
D .4 9.0=z 是
z
z
sin 的 (B ) A .零点 B .可去奇点 C .极点 D .本性奇点
10.
=z 是函数
4
21z e z
-的极点,其阶数为
( C )
A .简单
B .二阶
C .三阶
D .四阶
11.方程01255
7
=+--z z z 在单位圆1 +2关于单位圆周 1 =z 的对称点是 ( C ) A .i -2 B .i --2 C .)2(5 1 i + D .)2(5 1i - 13.=-)1(i Arg . ( D ) A . 4 π B .ππk 24+(k 为整数) C .4π- D .ππ k 24+-(k 为整数) 14.下列方程中, 给出的曲线是圆(t 是实参数). (B ) A .t i z )1(+= B .t ir t r z sin cos += C .t i t z += D .22 t i t z += 15. 函 数 2 2)(iy x z f +=在 z 平面上 ( C ) A .处处可微,处处解析 B .处处不可微,处处不解析 C .仅在直线x y =上可微,处处不解析 D .仅在0=z 处可微,处处不解析 16.若C 为单位圆周1=z ,则下列积分中值不为零的是 ( D ) A .?C z dz cos B .?++ C z z dz 222 C .?++C z z z dz e 6 52 D .?C z dz 17.幂 级 数 ∑∞ =1n n n z 的收敛半径为 (B ) A .2 B .1 C . 2 1 D .3 18.函数z z sin 在零点0=z 的阶数是 ( B ) A .1 B .2 C .3 D .4 19.若a 为)(z f 的孤立奇点,且∞=→)(z f Lim a z ,则a z =是)(z f 的 ( B ) A .解析点 B .极点 C .本性奇点 D .可去奇点 20.若 a z =是函数) (z f 的二阶极点,则 =→)(Re z f s a z ( D ) A .)()(2 z f a z Lim a z -→ B .)()(2 z f a z Lim a z '-→ C .)()(2z f a z Lim a z -→ D . )]()()()(2[2 z f a z z f a z Lim a z '-+-→ 21.i +1关于单位圆周1=z 的对称点是 (C ) A .i -1 B .i --1 C . )1(21i + D .)1(2 1 i - 22.=+)22(i Arg . (B ) A . 4 π B .ππk 24+(k 为整数) C .4π- D .ππ k 24 +-(k 为整数) 23.下列函数中, 不 是 单 值 函 数. ( C ) A .z =ω B .z =ω C .n z =ω D .2 z =ω 24.函数 z z f =)(在 z 平面上 (C ) A .处处可微,处处解析 B .仅在直线x y =上可微,处处不解析 C .处处不可微,处处不解析 D .仅在0=z 处可微,处处不解析 25. =1Ln (B ) A .0 B .i k π2(k 为整数) C . i 2π D .i k i ππ 22 +(k 为整数) 26.积分 ? -C dz z z 1 4sin 2 π 当C 为 时值为零. ( C ) A .211:=+z C B .211:=-z C C .2 1 :=z C D .2:=z C 27.幂级数 ∑∞ =1 n n n z n 的收敛半径为 ( B ) A .1 B .0 C . 2 1 D .3 28.函数3 sin z 在零点0=z 的阶数是 ( C ) A .1 B .2 C .3 D .4 29.a 为)(z f 的可去奇点,则 (B ) A .∞=→)(z f Lim a z B .b z f Lim a z =→)((有限数) C .)(z f Lim a z →不存在 D .以上均不正确 30.已知)(z ?及)(z ψ都在点a 解析,且0)(≠a ?,0)(=a ψ,0)(≠'a ψ, 则) () (Re z z s a z ψ?→等于 ( C ) A . )()(z z ψ? B .)()(z z ψ?' C .)()(z z ψ?' D .) () (z z ψ?'' 二、填空题 1.设2 31i z -= ,则=z 1 . 2.函数z e z f =)(的解析区域是 Z 平面 . 3.若a 为围线C 内一点,则 =-?C a z dz 2)( 0 . 4.设函数)(z f n ),2,1( =n 定义于区域D 内,级数 ∑∞ =0 )(n n z f 在D 内内闭一致收敛 是指 在D 内任一有界闭集上一致收敛 . 5.方程83 -=z 在复数域中共有 3 个根. 6.若),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=解析,则=')(z f x x iv u +. 7.若)(z f 在区域D 内解析,在C D D +=上连续,则有=)(z f ?-C d z f i ζζζπ) (21 . 8.0=z 是函数z z z f sin )(-=的 3 阶零点. 9.函数z 1= ω将z 平面上的曲线42 2=+y x 变成ω平面上的曲线 4 1 22= +v u . 10.设iy x z +=,则=2 z e 2 2 y x e - . 11.若)(z f 在区域D 内解析,在C D D +=上连续,则有=)() (z f n ?+-C n d z f i n ζζζπ1) () (2! .),3,2,1,( =∈n D z 12.设)(z f 在a 的邻域R a z K <-:内解析,在K 内有)(z f 的一列零点 }{n z )(a z n ≠收敛于a ,则)(z f 在K 内 必恒为零 . 三、判断题 1.逐段光滑曲线必是可求长曲线. ( √) 2.若)(z f 在0z 点可微,则)(z f 在该点解析. (× ) 3.当z 为复数时,有1sin ≤z . ( ×) 4.只要)(z f 在单连通区域D 内解析,C 为D 内任意一条闭曲线,就一定有 0)(=? C dz z f . ( √) 5.一个收敛半径不为零的幂级数在其收敛圆周上必处处收敛. (× ) 6.任何一个半平面都包含∞. (× ) 7.若)(z f 在区域D 内处处可微,则)(z f 在D 内解析. ( √) 8.函数z e z f =)(是以i π2为周期的周期函数. (√ ) 9.因为函数z z f 1 )(= 在圆域211<-z 内解析,所以它是该圆域内的整函数. (× ) 10.幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一奇 点. (√ ) 11. 函 数 z z f =)(在 z 平面上处处连 续. ( √) 12.如果),(),,(y x v y x u 在区域D 内都可导,则函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内可导. ( ×) 13.若 0z 是 )(z f 的一个奇点,则)(z f 在 0z 点不可 导. (× ) 14.只要)(z f 在单连通区域D 内解析,那么)(z f 在D 内的积分必定与积分路径无关. ( √) 15.设)(1z f 、)(2z f 在区域D 内解析,D z n ?}{,且=)(1m z f )(2m z f ) ,2,1( =m ,则 ) (1z f 与 ) (2z f 在D 内恒 等. (× ) 四、计算题 1.解二项方程04 4 =+a z )0(>a .. 解 4 2444 1π πk i e a a a z +?=-=-=, .3,2,1,0=k … 0=k 得)1(2 )4sin 4(cos 4 0i a i a e a z i +=+=?=πππ . 1=k 得)1(2 )43sin 43(cos 4 31i a i a e a z i +-=+=?=πππ 2=k 得)1(2)45sin 45(cos 4 52i a i a e a z i --=+=?=πππ. 3=k 得)1(2 )47sin 47(cos 4 73i a i a e a z i -=+=?=πππ 2. 计算积分 ? +--+i dz z 22 2)2( 解 ∵2 )2()(+=z z f 在z 平面上解析且有一个原函数3 )2(3 1+z ∴ =+? +--i dz z 22 2 )2(i z +--+22 3 )2(3 1 [] 33)22()22(31 +--++-= i i i 3 1313-== 3.设C 表圆周32 2 =+y x ,?-++=C d z z f ζζζζ173)(2,求)1(i f +'.. 解 令173)(2 ++=ζζ ζ?,则)(ζ?在z 平面上解析,从而在圆3<ζ内解析,在 3≤ζ上连续,点z =ζ在圆3<ζ内,由柯西积分公式得 ? = -=3) ()(z d z z f ζζζ? )(2z i ?π= )173(22++=z z i π 于是有 )76(2)(+='z i z f π 而i +1是3< ζ内的一点,所以又()[])136(27162)1(i i i i f +-=++=+'ππ 4.将函数) 2)(1(5 222-++-z z z z 在圆环21< 在21< 11 ,利用公式得 )2)(1(5222-++-z z z z ) 2)(1() 2(2)1(2 2-+--+=z z z z --= 21 z 1 22+z -- - =2 11 21z 22 1112z z + ∑∞=?? ? ??-=0221n n z ∑∞ =--0 22 1 )1(2n n n z z ∑∞ =-=121)1(2n n n z ∑∞ =+-012 n n n z 5.计算积分 ?+∞ ∞-++dx x x x )9)(1(cos 22. 解 考虑积分?∞ +∞-++dx x x e ix ) 9)(1(22 复变函数)9)(1()(22++=z z e z f iz ) 3)(3)()((i z i z i z i z e iz -+-+= 是有理函数,且分母的次数比分子的次数高,四个极点均不在x 轴上,其中在上半平面上有两个一阶极点i z =和i z 3=, 且 i e z i z e z f s i z iz i z 16)9)(()(Re 1 2-===++= i e i z z e z f s i z iz i z 48) 3)(1()(Re 3 32 3-==-=++= 由定理知 ?∞ +∞-++dx x x e ix )9)(1(22i π2=)(Re [z f s i z =)](Re 3z f s i z =+ )13(2423 -= e e π 从而?+∞ ∞-++dx x x x ) 9)(1(cos 22?? ????++=?∞+∞-dx x x e ix )9)(1(Re 22)13(242 3-=e e π 6.计算积分 ?+-C dz ix y x )(2 ,积分路径C 是连接由0到i +1的直线段. 解 由于从0到i +1的直线段为 10, :≤≤=x x y C 于是选x 为参数,有x i ix x iy x z )1(+=+=+=,得 ?? ++-=+-1 22)1()()(x i d ix x x dz ix y x C ? +=1 02 )1(dx x i i 1 331 )1(x i ?-= )1(3 1i --= 7.计算积分?-+-C dz z z z 1 1 22,2:=z C . 解 ∵12)(2 +-=z z z f 在全z 平面上解析 ∴12)(2 +-=z z z f 在圆域2 由柯西积分公式 =-+-?C dz z z z 1122()12 122=+-z z z i π i i ππ4)112(2=+-= 8.将函数 11+-z z 按1-z 的幂展开,并指明其收敛范围.) 1(21 )1(11-+?-=+-z z z z ?? ????--- ? -=2)1(121 )1(z z n n z z ∑∞=? ?? ??---=02121 ∑∞ =++--=0 1 1 2)1()1(n n n n z 由12 ) 1(<--z 知收敛范围为21<-z . 9.计算积分?=+22121 z t z dz z e i π. 解 ∵2 1)(z e z f zt +=在z 平面上只有两个一级极点i z ±=,由定理知………2分 = =)(Re z f s i z ()i e z e it i z zt 212 =' += = -=)(Re z f s i z ()i e z e it i z zt 212 -=' +--= 由于两个奇点均在圆周2=z 的内部,由留数(残数)定理得 =+?=22121z t z dz z e i πi i ππ221?)(Re [z f s i z =)](Re z f s i z -=+ t i e e it it sin 2=-= - 10. 求将上半z 平面0Im >z 共形变换成单位圆1<ω的线性变换)(z L =ω,使合条件 0)(=i L ,0)(>'i L 解 将上半平面0Im >z 变成单位圆1<ω,并将上半z 平面上一点i 变为圆心0=ω的线性变换为 i z i z e i +-=β ω, 2 )(2i z i e i +='β ω ) 2(2 21) 2(2)(π ββ -=='i i e i i e i L 又由0)(>'i L 知02 =- π β,即2 π β=. 故所求线性变换为i z i z i +-=ω. 11.计算积分 ? -1 1 dz z ,积分路径是直线段. 解 从1-到1的直线段方程是 x z =,11≤≤-x ∴ ?? --=1 11 1 dz x dz z ?? +-=-1 1 )(xdx dx x 12 1 21=+= 12. 计算积分?-+-C dz z z z 2 2)1(1 2,2:=z C . 解 ∵12)(2 +-=z z z f 在全z 平面上解析 ∴12)(2 +-=z z z f 在圆域2 由导数公式 () = -+-?C dz z z z 2 211 2() 1 212! 12='+-z z z i π i z i z ππ6)14(21=-== 13.将函数 5 22 +-z z z 按1-z 的幂展开,并指明其收敛范围. 解 4 )1(1 1522 2+-+-=+-z z z z z 4)1(12+--= z z 4 )1(1 2+-+ z 1)21(1412+-?-= z z 1)2 1(1 412+-+ z n n n z z 2021)1(41∑∞=??? ??---=∑∞=??? ??--+0221)1(41n n n z ()()[] ∑∞ =++-+--=02121114 )1(n n n n n z z 由12 1 <-z 知收敛范围为21<-z . 14.计算积分 ? +π θ θ20 cos a d )1(>a .解 作变换θ i e z =,则区间]2,0[π变为圆周 1=z . )(21cos 1-+= z z θ,)(21 sin 1--=z z i θ,iz dz d =θ,于是 ??? ==-++=++ = +121 120 1222 1cos z z az z dz i iz dz z z a a d π θθ ?=----?-+--= 122)] 1([)]1([2z a a z a a z dz i 被积函数有两个一阶极点121-+ -=a a z , 122---=a a z ;但由于条件1>a ,可知只有点12-+-=a a z 在1=z 内且 1 21) 1(1 )(Re 2 1 2 1 22 -= ----= -+-=-+-=a a a z z f s a a z a a z ∴ i i a d 2 2cos 20 ? =+? πθθπ 1 21 21 Re 2 212 -=++-+ -=a az z s a a z π… 15. 求将上半z 平面0Im >z 共形变换成单位圆1<ω的线性变换)(z L =ω,使合条件 0)(=i L ,2 )(arg π = 'i L . 解 将上半平面0Im >z 变成单位圆1<ω,并将上半z 平面上一点i 变为圆心0=ω的线性变换为 i z i z e i +-=β ω, 又由0)(>'i L 知2 )(arg π β+'=i L ,知πβ=. 故所求线性变换为i z i z +-- =ω… 五、证明题 1. 证明z 平面上的直线方程可以写成 C z a z a =+ (a 是非零复常数,C 是实常数) 证明 设直线方程为C By Ax =+(C B A ,,为实常数,且B A ,不同时为零),因 2z z x += ,i z z y 2-=代入上式得C i z z B z z A =-++22,即 C z Bi A z Bi A =++-2 2, 令2Bi A a +=,2 Bi A a -=,得 C z a z a =+(a 是非零复常数,C 是实常数)4分 反之,设有方程C z a z a =+(a 是非零复常数,C 是实常数),将iy x z +=代入上式 得 C iy x a iy x a =-++)()(或C y ia a i x a a =-++)()( 令 a a A +=,ia a i B -=(B A ,均为实常数),则有C By Ax =+(B A ,不同时为零,因为a 是非零复常数),此即为直线一般方程. 2.判断函数)3(3)(3 2 2 3 y y x i xy x z f -+-=在z 平面上的可微性和解析性. 证明 ∵2 3 3),(xy x y x u -=,3 2 3),(y y x y x v -= ∴222233,6,6,33y x v xy v xy u y x u y x y x -==-=-= 显然y x y x v v u u ,,,在z 平面上处处连续且满足..R C -条件y x v u =,x y v u -=,故)(z f 在z 平面上处处可微,也处处不解析. 3.证明方程0=-n z z e e λ)1(>λ在单位圆1 =)(z f n z e λ-,z e z =)(? 显然)(z f 及)(z ?均在1 ,2分 事实上,因为在1=z 上 e e e e e z x x iy x z ≤≤===+)(? =)(z f e e z e z e n n >==-λλλ )1(>λ 由儒歇定理在1 z z e e λ-有相同多个零点,而 =)(z f n z e λ-在1 所以=+)()(z z f ?n z z e e λ-在1 0=-n z z e e λ)1(>λ在单位圆1 4. 证明复平面上的圆周可以写成 0=+++C z z z Az ββ 其中C A ,为实数,0≠A ,β为复数,且AC >2 β 证明 设圆的一般方程为 0)(2 2 =++++C Dy Bx y x A 其中0≠A ,且D C B A ,,,为常数,当AC D B 42 2>+时,即为实圆.因2 z z x += ,i z z y 2-= ,z z y x =+2 2代入方程(1)有 0)(2 1 )(21=+++-+C z Di B z Di B z Az 即 0=+++C z z z Az ββ,其中C A ,为实数,0≠A ,)(2 1 Di B += β,且 AC AC D B =?> +=44 1 )(41222 β. 反之,设有方程0=+++C z z z Az ββ(C A ,为实数,0≠A ,β为复数,且AC >2 β), 将iy x z +=代入即知其代表z 平面上的一个圆周. 5. 判断函数)sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=在z 平面上的可微性和解析性. 证明 ∵=),(y x u )sin cos (y y y x e x -,=),(y x v )sin cos (y x y y e x + ∴=x u )cos sin cos (y y y y x e x +-,= y u )cos sin sin (y y y y x e x ---, =x v )sin sin cos (y y x y y e x ++,=y v )cos sin (cos y x y y y e x +- 显然y x y x v v u u ,,,在z 平面上处处连续且满足..R C -条件y x v u =,x y v u -=,故)(z f 在z 平面上处处可微,也处处不解析. 6.证明方程z e z =-λ )1(>λ在单位圆1 证明 令=)(z f z -,λ?-=z e z )( 显然)(z f 及)(z ?均在1 =-=<≤==--z e e e e z x x 1)(1λλλ?)(z f 由儒歇定理在1 z --λ 有相同多个零点,而=)(z f z -在1 又因x e x F x -=-λ )(连续于]1,0[,且0)0(>=-λe F 及01)1(1<-=-λe F ,故 z e z =-λ的根在)1,0(内,切为正实根. 7.判断函数y ix xy z f 2 2 )(+=在z 平面上的可微性和解析性. 证明 ∵2 ),(xy y x u =,y x y x v 2 ),(= ∴2 2 ,2,2,x v xy v xy u y u y x y x ==== 显然y x y x v v u u ,,,在z 平面上处处连续且仅当0==y x 时满足..R C -条件y x v u =,x y v u -=, 从而)(z f 只在原点0=z 处可微,由于不存在)(z f 的可微邻域,故)(z f 在z 平 面上处处不解析. 8.设)(z f 在z 平面上解析,且)(z f 恒大于一正的常数,试证)(z f 必为常数. 证明 ∵)(z f 在全z 平面上解析且)(z f 恒大于一正常数,不妨设0)(>>a z f 对任意的点z 都成立. ∴对任意的点z ,0)(≠z f ,从而可知 ) (1 z f 在全z 平面上解析,即为整函数,并且有 = ) (1 z f a z f 1)(1< 即)(1z f 是有界的整函数,有刘维尔定理知,函数) (1z f 为常数,从而知)(z f 也必为常数. 9.设)(z ?在1:=z C 内部解析,且连续到C ,在C 上1)( 证明 令=)(z f z -,则)(z f 在1:=z C 内部解析,且连续到C ,且连续到C ,又在C 上 )(z f )(1z z ?>=-= 故由儒歇定理在1 =)(z f z -在1 妨记为0z ,即0)(00=-z z ?,亦即00)(z z =?.