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复变函数资料详解

复变函数资料

一、单项选择题

1.=-)22(i Arg D . ( )

A .

4

π

B .ππk 24+(k 为整数)

C .4π-

D .ππ

k 24+-(k 为整数)

2.下列方程中, B 给出的曲线是椭圆(t 是实参数). ( )

A .t i z )1(+=

B .t ib t a z sin cos +=

C .t

i t z += D .2

2

t i t z += 3.下列函数中,在z

平面上处处解析的函数是

( A )

A .2

)(z z f = B .z

z f 1

)(=

C .z z f =)(

D .z z z f Re )(= 4.下列函数中

,仅在0=z 点可微的函数是

( D )

A .z z f =)(

B .z

z f 1)(= C .3

)(z z f = D .z z z f Re )(= 5.=-)1(Ln

( B)

A .i π

B .i k i ππ2+(k 为整数)

C .

i 2π D .i k i ππ

22

+(k 为整数) 6.若C 为z 平面上任一围线,则下列积分中值不为零的是 ( A ) A .

?-C

a

z dz 其中a 为C 内一点 B .?C dz z z 2

cos

C .?

C

z

dz e D .?

C zdz sin

7.幂级数

∑∞

=12

n n n

nz 的收敛半径为

( B )

A .1

B .2

C .2

1

D .3 8.函数1sin -z 在零点2

π

=

z 的阶数是 ( B )

A .1

B .2

C .3

D .4 9.0=z 是

z

z

sin 的 (B ) A .零点 B .可去奇点 C .极点 D .本性奇点

10.

=z 是函数

4

21z e z

-的极点,其阶数为

( C )

A .简单

B .二阶

C .三阶

D .四阶

11.方程01255

7

=+--z z z 在单位圆1

+2关于单位圆周

1

=z 的对称点是

( C )

A .i -2

B .i --2

C .)2(5

1

i + D .)2(5

1i - 13.=-)1(i Arg . ( D )

A .

4

π

B .ππk 24+(k 为整数)

C .4π-

D .ππ

k 24+-(k 为整数)

14.下列方程中, 给出的曲线是圆(t 是实参数). (B )

A .t i z )1(+=

B .t ir t r z sin cos +=

C .t

i

t z += D .22

t

i t z += 15.

2

2)(iy x z f +=在

z

平面上

( C )

A .处处可微,处处解析

B .处处不可微,处处不解析

C .仅在直线x y =上可微,处处不解析

D .仅在0=z 处可微,处处不解析 16.若C 为单位圆周1=z ,则下列积分中值不为零的是 ( D )

A .?C z dz cos

B .?++

C z z dz 222 C .?++C z z z dz e 6

52 D .?C z dz

17.幂

∑∞

=1n n

n

z 的收敛半径为

(B )

A .2

B .1

C .

2

1

D .3 18.函数z z sin 在零点0=z 的阶数是 ( B ) A .1 B .2 C .3 D .4

19.若a 为)(z f 的孤立奇点,且∞=→)(z f Lim a

z ,则a z =是)(z f 的 ( B )

A .解析点

B .极点

C .本性奇点

D .可去奇点 20.若

a z =是函数)

(z f 的二阶极点,则

=→)(Re z f s a

z

( D )

A .)()(2

z f a z Lim a

z -→ B .)()(2

z f a z Lim a

z '-→

C .)()(2z f a z Lim a

z -→ D . )]()()()(2[2

z f a z z f a z Lim a

z '-+-→

21.i +1关于单位圆周1=z 的对称点是 (C ) A .i -1 B .i --1 C .

)1(21i + D .)1(2

1

i - 22.=+)22(i Arg . (B )

A .

4

π

B .ππk 24+(k 为整数)

C .4π-

D .ππ

k 24

+-(k 为整数)

23.下列函数中,

数. ( C )

A .z =ω

B .z =ω

C .n z =ω

D .2

z =ω

24.函数

z

z f =)(在

z

平面上

(C )

A .处处可微,处处解析

B .仅在直线x y =上可微,处处不解析

C .处处不可微,处处不解析

D .仅在0=z 处可微,处处不解析

25.

=1Ln (B )

A .0

B .i k π2(k 为整数)

C .

i 2π D .i k i ππ

22

+(k 为整数) 26.积分

?

-C dz z z

1

4sin

2

π

当C 为 时值为零. ( C )

A .211:=+z C

B .211:=-z

C C .2

1

:=z C D .2:=z C

27.幂级数

∑∞

=1

n n

n

z n

的收敛半径为

( B )

A .1

B .0

C .

2

1

D .3

28.函数3

sin z 在零点0=z 的阶数是 ( C )

A .1

B .2

C .3

D .4

29.a 为)(z f 的可去奇点,则 (B ) A .∞=→)(z f Lim a

z B .b z f Lim a

z =→)((有限数)

C .)(z f Lim a

z →不存在 D .以上均不正确

30.已知)(z ?及)(z ψ都在点a 解析,且0)(≠a ?,0)(=a ψ,0)(≠'a ψ,

则)

()

(Re z z s a z ψ?→等于 ( C )

A .

)()(z z ψ? B .)()(z z ψ?' C .)()(z z ψ?' D .)

()

(z z ψ?''

二、填空题

1.设2

31i

z -=

,则=z 1 . 2.函数z e z f =)(的解析区域是 Z 平面 . 3.若a 为围线C 内一点,则

=-?C a z dz

2)( 0 .

4.设函数)(z f n ),2,1( =n 定义于区域D 内,级数

∑∞

=0

)(n n

z f

在D 内内闭一致收敛

是指 在D 内任一有界闭集上一致收敛 .

5.方程83

-=z 在复数域中共有 3 个根.

6.若),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=解析,则=')(z f x x iv u +.

7.若)(z f 在区域D 内解析,在C D D +=上连续,则有=)(z f

?-C d z f i ζζζπ)

(21

8.0=z 是函数z z z f sin )(-=的 3 阶零点. 9.函数z

1=

ω将z 平面上的曲线42

2=+y x 变成ω平面上的曲线

4

1

22=

+v u . 10.设iy x z +=,则=2

z e

2

2

y x

e - .

11.若)(z f 在区域D 内解析,在C D D +=上连续,则有=)()

(z f n

?+-C n d z f i n ζζζπ1)

()

(2! .),3,2,1,( =∈n D z 12.设)(z f 在a 的邻域R a z K <-:内解析,在K 内有)(z f 的一列零点

}{n z )(a z n ≠收敛于a ,则)(z f 在K 内 必恒为零 .

三、判断题

1.逐段光滑曲线必是可求长曲线. ( √)

2.若)(z f 在0z 点可微,则)(z f 在该点解析. (× )

3.当z 为复数时,有1sin ≤z . ( ×)

4.只要)(z f 在单连通区域D 内解析,C 为D 内任意一条闭曲线,就一定有

0)(=?

C

dz z f . (

√)

5.一个收敛半径不为零的幂级数在其收敛圆周上必处处收敛. (× )

6.任何一个半平面都包含∞. (× )

7.若)(z f 在区域D 内处处可微,则)(z f 在D 内解析. ( √) 8.函数z

e z

f =)(是以i π2为周期的周期函数. (√ ) 9.因为函数z

z f 1

)(=

在圆域211<-z 内解析,所以它是该圆域内的整函数. (× )

10.幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一奇

点. (√ )

11.

z

z f =)(在

z

平面上处处连

续. ( √)

12.如果),(),,(y x v y x u 在区域D 内都可导,则函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内可导. ( ×)

13.若

0z 是

)(z f 的一个奇点,则)(z f 在

0z 点不可

导. (× )

14.只要)(z f 在单连通区域D 内解析,那么)(z f 在D 内的积分必定与积分路径无关. ( √)

15.设)(1z f 、)(2z f 在区域D 内解析,D z n ?}{,且=)(1m z f )(2m z f

)

,2,1( =m ,则

)

(1z f 与

)

(2z f 在D 内恒

等. (× )

四、计算题

1.解二项方程04

4

=+a z )0(>a .. 解 4

2444

πk i

e

a a a z +?=-=-=, .3,2,1,0=k …

0=k 得)1(2

)4sin 4(cos 4

0i a

i a e

a z i

+=+=?=πππ

1=k 得)1(2

)43sin 43(cos

4

31i a

i a e

a z i

+-=+=?=πππ

2=k 得)1(2)45sin 45(cos

4

52i a i a e

a z i

--=+=?=πππ. 3=k 得)1(2

)47sin 47(cos

4

73i a i a e

a z i

-=+=?=πππ

2. 计算积分

?

+--+i

dz z 22

2)2(

解 ∵2

)2()(+=z z f 在z 平面上解析且有一个原函数3

)2(3

1+z

=+?

+--i

dz z 22

2

)2(i

z +--+22

3

)2(3

1

[]

33)22()22(31

+--++-=

i i i 3

1313-== 3.设C 表圆周32

2

=+y x ,?-++=C d z

z f ζζζζ173)(2,求)1(i f +'..

解 令173)(2

++=ζζ

ζ?,则)(ζ?在z 平面上解析,从而在圆3<ζ内解析,在

3≤ζ上连续,点z =ζ在圆3<ζ内,由柯西积分公式得

?

=

-=3)

()(z d z

z f ζζζ?

)(2z i ?π=

)173(22++=z z i π

于是有 )76(2)(+='z i z f π 而i +1是3<

ζ内的一点,所以又()[])136(27162)1(i i i i f +-=++=+'ππ

4.将函数)

2)(1(5

222-++-z z z z 在圆环21<

在21<

11

,利用公式得 )2)(1(5222-++-z z z z )

2)(1()

2(2)1(2

2-+--+=z z z z --=

21

z 1

22+z --

-

=2

11

21z 22

1112z z + ∑∞=??

?

??-=0221n n

z ∑∞

=--0

22

1

)1(2n n n

z

z ∑∞

=-=121)1(2n n n

z ∑∞

=+-012

n n n

z

5.计算积分

?+∞

∞-++dx x x x

)9)(1(cos 22.

解 考虑积分?∞

+∞-++dx x x e ix

)

9)(1(22

复变函数)9)(1()(22++=z z e z f iz

)

3)(3)()((i z i z i z i z e iz -+-+=

是有理函数,且分母的次数比分子的次数高,四个极点均不在x 轴上,其中在上半平面上有两个一阶极点i z =和i z 3=,

i e z i z e z f s i

z iz

i z 16)9)(()(Re 1

2-===++=

i

e i z z e z

f s i

z iz

i z 48)

3)(1()(Re 3

32

3-==-=++= 由定理知

?∞

+∞-++dx x x e ix

)9)(1(22i π2=)(Re [z f s i z =)](Re 3z f s i

z =+ )13(2423

-=

e e π

从而?+∞

∞-++dx x x x )

9)(1(cos 22??

????++=?∞+∞-dx x x e ix )9)(1(Re 22)13(242

3-=e e π 6.计算积分

?+-C

dz ix

y x )(2

,积分路径C 是连接由0到i +1的直线段.

解 由于从0到i +1的直线段为 10,

:≤≤=x x y C

于是选x 为参数,有x i ix x iy x z )1(+=+=+=,得

??

++-=+-1

22)1()()(x i d ix x x dz ix y x C

?

+=1

02

)1(dx x i i

1

331

)1(x i ?-=

)1(3

1i --=

7.计算积分?-+-C dz z z z 1

1

22,2:=z C . 解 ∵12)(2

+-=z z z f 在全z 平面上解析

∴12)(2

+-=z z z f 在圆域2

由柯西积分公式

=-+-?C dz z z z 1122()12

122=+-z z z i π i i ππ4)112(2=+-=

8.将函数

11+-z z 按1-z 的幂展开,并指明其收敛范围.)

1(21

)1(11-+?-=+-z z z z ??

????---

?

-=2)1(121

)1(z z

n

n z z ∑∞=?

??

??---=02121 ∑∞

=++--=0

1

1

2)1()1(n n n n z 由12

)

1(<--z 知收敛范围为21<-z .

9.计算积分?=+22121

z t

z dz z

e i π. 解 ∵2

1)(z

e z

f zt +=在z 平面上只有两个一级极点i z ±=,由定理知………2分 =

=)(Re z f s i

z ()i

e z e it i

z zt

212

='

+= =

-=)(Re z f s i

z ()i

e z e it i

z zt

212

-='

+--= 由于两个奇点均在圆周2=z 的内部,由留数(残数)定理得

=+?=22121z t

z dz z e i πi i ππ221?)(Re [z f s i z =)](Re z f s i z -=+ t i

e e it

it sin 2=-=

-

10. 求将上半z 平面0Im >z 共形变换成单位圆1<ω的线性变换)(z L =ω,使合条件

0)(=i L ,0)(>'i L

解 将上半平面0Im >z 变成单位圆1<ω,并将上半z 平面上一点i 变为圆心0=ω的线性变换为 i

z i

z e

i +-=β

ω,

2

)(2i z i

e i +='β

ω

)

2(2

21)

2(2)(π

ββ

-=='i i e i i e i L 又由0)(>'i L 知02

=-

π

β,即2

π

β=.

故所求线性变换为i

z i

z i +-=ω. 11.计算积分

?

-1

1

dz z ,积分路径是直线段.

解 从1-到1的直线段方程是 x z =,11≤≤-x ∴

??

--=1

11

1

dz x dz z

??

+-=-1

1

)(xdx dx x

12

1

21=+=

12. 计算积分?-+-C dz z z z 2

2)1(1

2,2:=z C .

解 ∵12)(2

+-=z z z f 在全z 平面上解析

∴12)(2

+-=z z z f 在圆域2

由导数公式

()

=

-+-?C

dz z z z 2

211

2()

1

212!

12='+-z z z i

π

i z i z ππ6)14(21=-==

13.将函数

5

22

+-z z z

按1-z 的幂展开,并指明其收敛范围. 解

4

)1(1

1522

2+-+-=+-z z z z z 4)1(12+--=

z z 4

)1(1

2+-+

z 1)21(1412+-?-=

z z 1)2

1(1

412+-+

z n

n n z z 2021)1(41∑∞=??? ??---=∑∞=??? ??--+0221)1(41n n

n z ()()[]

∑∞

=++-+--=02121114

)1(n n

n n n z z

由12

1

<-z 知收敛范围为21<-z .

14.计算积分

?

θ

θ20

cos a d )1(>a .解 作变换θ

i e z =,则区间]2,0[π变为圆周

1=z .

)(21cos 1-+=

z z θ,)(21

sin 1--=z z i

θ,iz dz d =θ,于是

???

==-++=++

=

+121

120

1222

1cos z z az z dz

i iz dz z z a a d π

θθ

?=----?-+--=

122)]

1([)]1([2z a a z a a z dz

i 被积函数有两个一阶极点121-+

-=a a z ,

122---=a a z ;但由于条件1>a ,可知只有点12-+-=a a z 在1=z 内且

1

21)

1(1

)(Re 2

1

2

1

22

-=

----=

-+-=-+-=a a a z z f s

a a z a a z ∴

i

i a d 2

2cos 20

?

=+?

πθθπ

1

21

21

Re 2

212

-=++-+

-=a az z s

a a z π…

15. 求将上半z 平面0Im >z 共形变换成单位圆1<ω的线性变换)(z L =ω,使合条件

0)(=i L ,2

)(arg π

=

'i L .

解 将上半平面0Im >z 变成单位圆1<ω,并将上半z 平面上一点i 变为圆心0=ω的线性变换为 i

z i

z e

i +-=β

ω, 又由0)(>'i L 知2

)(arg π

β+'=i L ,知πβ=.

故所求线性变换为i

z i

z +--

=ω…

五、证明题

1. 证明z 平面上的直线方程可以写成

C z a z a =+ (a 是非零复常数,C 是实常数)

证明 设直线方程为C By Ax =+(C B A ,,为实常数,且B A ,不同时为零),因

2z z x +=

,i z z y 2-=代入上式得C i

z

z B z z A

=-++22,即 C z Bi

A z Bi A =++-2

2, 令2Bi A a +=,2

Bi A a -=,得 C z a z a =+(a 是非零复常数,C 是实常数)4分

反之,设有方程C z a z a =+(a 是非零复常数,C 是实常数),将iy x z +=代入上式

得 C iy x a iy x a =-++)()(或C y ia a i x a a =-++)()(

令 a a A +=,ia a i B -=(B A ,均为实常数),则有C By Ax =+(B A ,不同时为零,因为a 是非零复常数),此即为直线一般方程.

2.判断函数)3(3)(3

2

2

3

y y x i xy x z f -+-=在z 平面上的可微性和解析性. 证明 ∵2

3

3),(xy x y x u -=,3

2

3),(y y x y x v -=

∴222233,6,6,33y x v xy v xy u y x u y x y x -==-=-=

显然y x y x v v u u ,,,在z 平面上处处连续且满足..R C -条件y x v u =,x y v u -=,故)(z f 在z 平面上处处可微,也处处不解析.

3.证明方程0=-n

z

z e e λ)1(>λ在单位圆1

=)(z f n z e λ-,z e z =)(?

显然)(z f 及)(z ?均在1

,2分

事实上,因为在1=z 上 e e e e e z x

x iy x z ≤≤===+)(?

=)(z f e e z e z e n

n >==-λλλ )1(>λ

由儒歇定理在1

z z e e λ-有相同多个零点,而

=)(z f n z e λ-在1

所以=+)()(z z f ?n

z z e e λ-在1

0=-n z z e e λ)1(>λ在单位圆1

4. 证明复平面上的圆周可以写成

0=+++C z z z Az ββ

其中C A ,为实数,0≠A ,β为复数,且AC >2

β

证明 设圆的一般方程为 0)(2

2

=++++C Dy Bx y x A

其中0≠A ,且D C B A ,,,为常数,当AC D B 42

2>+时,即为实圆.因2

z

z x +=

,i

z z y 2-=

,z z y x =+2

2代入方程(1)有 0)(2

1

)(21=+++-+C z Di B z Di B z Az

即 0=+++C z z z Az ββ,其中C A ,为实数,0≠A ,)(2

1

Di B +=

β,且 AC AC D B =?>

+=44

1

)(41222

β. 反之,设有方程0=+++C z z z Az ββ(C A ,为实数,0≠A ,β为复数,且AC >2

β),

将iy x z +=代入即知其代表z 平面上的一个圆周.

5. 判断函数)sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=在z 平面上的可微性和解析性.

证明 ∵=),(y x u )sin cos (y y y x e x -,=),(y x v )sin cos (y x y y e x + ∴=x u )cos sin cos (y y y y x e x +-,=

y u )cos sin sin (y y y y x e x ---,

=x v )sin sin cos (y y x y y e x ++,=y v )cos sin (cos y x y y y e x +-

显然y x y x v v u u ,,,在z 平面上处处连续且满足..R C -条件y x v u =,x y v u -=,故)(z f 在z 平面上处处可微,也处处不解析.

6.证明方程z e

z =-λ

)1(>λ在单位圆1

证明 令=)(z f z -,λ?-=z e z )(

显然)(z f 及)(z ?均在1

=-=<≤==--z e e e

e z x x

1)(1λλλ?)(z f

由儒歇定理在1

z --λ

有相同多个零点,而=)(z f z -在1

又因x e

x F x -=-λ

)(连续于]1,0[,且0)0(>=-λe F 及01)1(1<-=-λe F ,故

z e z =-λ的根在)1,0(内,切为正实根.

7.判断函数y ix xy z f 2

2

)(+=在z 平面上的可微性和解析性. 证明 ∵2

),(xy y x u =,y x y x v 2

),(= ∴2

2

,2,2,x v xy v xy u y u y x y x ====

显然y x y x v v u u ,,,在z 平面上处处连续且仅当0==y x 时满足..R C -条件y x v u =,x y v u -=,

从而)(z f 只在原点0=z 处可微,由于不存在)(z f 的可微邻域,故)(z f 在z 平

面上处处不解析.

8.设)(z f 在z 平面上解析,且)(z f 恒大于一正的常数,试证)(z f 必为常数. 证明 ∵)(z f 在全z 平面上解析且)(z f 恒大于一正常数,不妨设0)(>>a z f 对任意的点z 都成立.

∴对任意的点z ,0)(≠z f ,从而可知

)

(1

z f 在全z 平面上解析,即为整函数,并且有 =

)

(1

z f a z f 1)(1< 即)(1z f 是有界的整函数,有刘维尔定理知,函数)

(1z f 为常数,从而知)(z f 也必为常数.

9.设)(z ?在1:=z C 内部解析,且连续到C ,在C 上1)(

证明 令=)(z f z -,则)(z f 在1:=z C 内部解析,且连续到C ,且连续到C ,又在C 上

)(z f )(1z z ?>=-=

故由儒歇定理在1

=)(z f z -在1

妨记为0z ,即0)(00=-z z ?,亦即00)(z z =?.

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