概率统计例题1

典型例题

例1.1 用甲胎蛋白法诊断肝癌,灵敏度(即癌症患者检测结果呈阳性的概率)是95%、特异度(即正常人检测结果呈阴性的概率)是90%。如果在例行检查(譬如单位每年一度的体检)中,某人的检验结果是阳性,试问:他应该沮丧到什么程度?

答案是令人惊讶的,他甚至应该保持谨慎乐观的态度。

为什么呢?我们只须计算出检验结果是阳性的条件下他患肝癌的概率就可以了。 令A ={检测结果是阳性},B ={他患肝癌} ,则

P (A |B ) =95%,P (A |B ) =90%

现在已知的只是癌症患者检测结果呈阳性的概率和正常人检测结果呈阴性的概率,为了利用Bayes 公式计算检验结果是阳性的条件下他患肝癌的(后验)概率,还需要知道人群中肝癌的罹患率。根据广州市近年来的调查资料,我们可以假设人群的肝癌发病率大约为0.04%,即

P (B ) =0. 04%,则由Bayes 公式得到他患肝癌的条件概率为

P (B |A ) =

P (B ) ⨯P (A |B )

P (B ) ⨯P (A |B ) +P (B ) ⨯P (A |B )

0. 04%⨯95%

==0. 38%。 0. 04%⨯95%+(1-0. 04%)⨯(1-90%)

这么小的概率自然不值得他担心。

例2.1 设连续随机变量X 的概率密度为:

f (x ) =

A 1+x

2

,-∞

求:(1)常数A ;(2)X 落在区间[0,1]内的概率。 [解] (1)由概率密度的性质,有

1=

-∞

f (x ) dx =

-∞

⎰1+x

A

2

dx =A

-∞

⎰1+x

1

2

dx =A arctan x

∞-∞

=A π,故 A =

1

π

(2)由概率计算公式知,所求概率为

1

P (0≤X ≤1) =

⎰π(1+x

1

2

)

dx =

1

π

arctan x

10

=

1π1

⋅=。 π44

例2.2 已知2007年广东省高考文科报考人数是24.7万人,本科计划招生5.8万人,本科录取率为23.4%。如果广东省高考文科总分X 服从正态分布N (500, 100) ,试问最低控制分数线应是多少,才能使得高校在录取新生时有多10%的选择机会?

[解] 设最低控制分数线为m ,要使得高校在录取新生时有多10%的选择机会,只须

P (X ≥m ) =23. 4%⨯(1+10%)=25. 7%

1-Φ(

m -500100m -500100

1

2

) =25. 7% ) =0. 743

Φ(

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