概率统计例题1
典型例题
例1.1 用甲胎蛋白法诊断肝癌，灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。如果在例行检查（譬如单位每年一度的体检）中，某人的检验结果是阳性，试问：他应该沮丧到什么程度？
答案是令人惊讶的，他甚至应该保持谨慎乐观的态度。
为什么呢？我们只须计算出检验结果是阳性的条件下他患肝癌的概率就可以了。 令A ={检测结果是阳性}，B ={他患肝癌} ，则
%
90)|(%,95)|(==B A P B A P 。
现在已知的只是癌症患者检测结果呈阳性的概率和正常人检测结果呈阴性的概率，为了利用Bayes 公式计算检验结果是阳性的条件下他患肝癌的（后验）概率，还需要知道人群中肝癌的罹患率。根据广州市近年来的调查资料，我们可以假设人群的肝癌发病率大约为0.04%，即
%04.0)(=B P ，则由Bayes 公式得到他患肝癌的条件概率为
)|()()|()()
|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P ?+??=
%38.0%)
901(%)04.01(%95%04.0%
95%04.0=-?-+??=。 这么小的概率自然不值得他担心。
例2.1 设连续随机变量X 的概率密度为：
2
()1A f x x
=
+，x -∞<<∞
求：（1）常数A ；（2）X 落在区间[0,1]内的概率。 [解] （1）由概率密度的性质，有
2
2
1
1()arctan 11A
f x dx dx A
dx A x
A x
x
π∞
∞
∞
∞-∞
-∞
-∞
-∞
=
=
===++?
??，故 1
A π
=
。
（2）由概率计算公式知，所求概率为
1
10
2
1
1
11
(01)arctan (1)
44
P X dx x
x
πππ
π≤≤=
=
=
?=+?。 例2.2 已知2007年广东省高考文科报考人数是24.7万人，本科计划招生5.8万人，本科录取率为23.4%。如果广东省高考文科总分X 服从正态分布)100,500(2
N ，试问最低控制分数线应是多少，才能使得高校在录取新生时有多10%的选择机会？
[解] 设最低控制分数线为m ，要使得高校在录取新生时有多10%的选择机会，只须
%
7.25%)101(%4.23)(=+?=≥m X P
%7.25)100500(
1=-Φ-m 743.0)100
500(
=-Φm
65.0100
500
=-m
565=m
例3.1 设袋中有2个白球和3个黑球,每次从其中任取1个球,直至取到白球为止,分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形
计算取球次数的数学期望、方差与标准差.
解 设
与分别表示情形（1）与（2）的取球次数，则不难知道，的概率分布表为：
从而相应的数学期望为 ()10.420.330.240.12E X =?+?+?+?=； 又22222()10.420.330.240.15E X =?+?+?+?=， 故；()1X σ=
=。
而Y 的概率分布为：()1
()0.60.4k P Y k -==?，1,2,3,k = ，即)4.0(~G Y ，
从而1() 2.50.4
E Y =
=；2
10.4() 3.750.4
D Y -=
=；()Y σ==
例3.2设随机变量],0[~πU X ，求随机变量函数sin Y X =的数学期望 与方差.
解 由定理3.2即知
1
2
(
)(sin )sin ()sin E Y E X x f x dx x dx π
π
π∞
-∞==
?=
?
=
?
?22
2
1
11()(sin )sin (1cos 2)22
E Y E X x dx x dx π
π
π
π
==
?
=
-=
??.
故
2
2
2
2
2
14
8()()[()]2
2D Y E Y E Y ππ
π
-=-=
-
=
.
例4.1 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为Q 千瓦。由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求：
（1）任一时刻有144至160台机器正在工作的概率；
（2）需要供应多少电功率能保证所有机器正常工作的概率大于0.99? 解 设事件A 表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。设Y 表示任一时刻正在工作的机器数，则)75.0,200(~N Y .
（1）由De Moivre-Laplace 中心极限定理知
()144160(1.63)(0.98)0.9484(10.8365)0.7849.
P Y ≤≤≈Φ-Φ=Φ-Φ-=--=
222
()()()521D X E X EX =-=-=
（2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m ，则题目要求
()00.99.P Y m ≤≤≥
即有 )
5.24()5
.37150(
)5
.371500(
)5
.37150(
)0(-Φ--Φ≈-Φ--Φ≈≤≤m m m Y P )33.2()5
.37150(
Φ≥-Φ≈m ，
故
150
2.33m -≥，164.3m ≥，
取165m =，即需要供应165Q 千瓦的电功率.
例5.1设样本12,,,n X X X 取自泊松分布()P λ，求 （1）样本均值X 的数学期望与方差； （2）样本方差2S 的数学期望。
解: 因为)(~λP X ，故 ()()E X D X λ==。 （1）()()E X E X λ==，()()D X D X n n λ==； （2）2
()()E S D X λ==
。
例5.2 设总体X 服从正态分布(,16)N μ，从中抽取容量为9的样本，求||2X μ-<的概率。
解: 因为 )16,(~μN X ，所以 )1,0(~9
16N X μ-。
故所求概率为
(||2)(|
| 1.5)
(1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664.
X P X P μμ--<=<=Φ-Φ-=Φ-=?-=
例6.1设总体)(~λP X ，0λ>。求参数λ的矩估计和最大似然估计，并说明它们是否为参数λ的无偏估计.
解: 因为 ()E X λ=，故有矩法方程：X λ=
。
解之得λ的矩估计是 ?X λ
=。 设样本观测值为12,,,n x x x ，则似然函数为
1
1
1
()!(!)
n
i
i i x x n
n n
i i i
i L e e
x x λλ
λλ
λ=--==∑??
=
= ???
∏
∏
故 1
1
ln ()()ln ln(!)n n
i i i i L x x n λλλ===--∑∑，
有似然方程:
1
ln ()1
0n
i
i d L x n d λλ
λ
==
-=∑，
解之得λ的最大似然估计值为 ?x λ
=，最大似然估计是?X λ=。
因为λλ
===)()()?(X E X E E ， 所以参数λ的矩估计和最大似然估计都是无偏估计。
例6.2 设总体],0[~θU X ，求未知参数(0)θ>的矩估计及最大似然估计，并说明矩估计是否为无偏估计.
解: 因为 0
1
()2
E X x dx θ
θ
θ
=
?
=
?
，所以有矩法方程：.
解之得θ的矩估计为 ?2X θ=。
因为θθ===)(2)2()?(X E X E E ， 所以参数θ的矩估计是无偏估计。
设样本观测值为12,,,n x x x ，则似然函数为
()(0)(0)
1
1
1
()i n n
x x n
i L I I θθθθ
θ
≤≤≤≤==
=
∏
其中()12m ax{,,,}n n x x x x = ，()
(0)
n x
I θ≤≤为示性函数。当()0n x θ<<时，()0L θ=；而当
()n x θ≥时，()L θ为θ的严格单调递减正函数，故θ的最大似然估计值为 ()?n x θ=，最大似
然估计是()?n X θ=。
例7.1 已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值
3100
x =小时，样本标准差170s =小时。设电子元件的寿命
服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平
0.01α=)
解: 设电子元件的寿命),(~2
σ
μN X ，依题意，要检验的假设是
00:3000H μμ==10
:H μμ?>
因为未知σ，所以应选取统计量 )1(~/
0--=
n t n
S X t H μ；在显著性水平0.01α=下
的拒绝域为}54.2)19()1({99.01==->=-t n t t R α。 计算统计量t 的观测值得：
31003000 2.63x t μ--=
=
≈。因为
54.2>t ，所以在显著性水平0.01α=下，拒绝原假设，接受备择假设1H ，即可认
为采用新技术后电子元件平均寿命显著提高。
例7.1 某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命X （单位：小时）服从正态分布
2
(1600,80)N 。某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个，测得它们的寿命均值
2
X θ
=
0H
1548x =小时。如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡的寿命均值1600μ=小时？
解：已知总体20~(,)X N μσ，且080σ=，要求检验下面的假设
00:1600H μμ==10:H μμ?≠
称假设为原假设（或零假设），称假设1H 为备择假设。假设检验的目的就是要在原假设与备择假设之间选择其一：若拒绝原假设，则接受备择假设1H ；否则就接受.为此，必须先从样本出发，构造一个合适的检验统计量t 与拒绝域R ，然后根据样本观测值12(,,,)n x x x 作判断：当时拒绝原假设，接受备择假设1H ；否则接受原假设。
我们知道，样本均值X 是总体均值μ的“好”的估计，可以选取X 作为检验统计量；根据备择假设，拒绝域应该形如0{||}R X C μ=->，其中临界值C 由下式确定：，α为给定的显著性水平.
由定理5.1（1
）知，0
~(0,1)H u N =
，于是
000{||}P X C H P H μα???
->=>=???
，
因此
2
10/
α
σ-
=z
n
C
，故2
10α
σ-
=
z
n
C 。取显著性水平0.05α=，拒绝域为
}|{|}|{|2
10α
μ-
>=>-=z
u C X R ，
其中n
X u /00
σμ-=
。
现在抽样检查的结果是96.106.210
/80|
16001548|||>≈-=
u ，即样本观测值落入拒绝域，
因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即认为该天生产的灯泡的寿命均值1600
μ≠小时。
二、试题类型与分数比例： 参见下面的模拟试题 注：
9772.0)2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ=Φ
110.2)17(,740.1)17(,120.2)16(,746.1)16(025.005.0025.005.0====t t t t
一、 选择题（每小题3分，共15分）：
1． 如果5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，6.0)(=A B P ，则=)(AB P （ ）。
(A)1.0; (B)2.0; (C)24.0; (D)3.0. 答案：D
2． 概率函数为()!
k
P X k e
k λ
λ
-==
，0,1,2,k = 的分布称为（ ）。 (A) “0-1”分布; (B)几何分布; (C)二项分布; (D)泊松分布. 答案：D
0H 0H 0H 12(,,,)n t x x x R ∈ 0H 0H 00{||}P X C H μα->=0H 1H
3． 设随机变量)1(~e X ，)2(~e Y ，且X 与Y 相互独立。令Y X Z -=，则Z 的方差为
=)(Z D （ ） (A)5/4; (B)3/4; (C)5; (D)3/2. 答案：A
4． 设随机变量),(~2σμN X ，则线性函数bX a Y -=服从分布（ ）。
(A)),(2σμb a b a N --; (B)),(22σμb b a N -; (C)),(22σμb b N --; (D)),(22σμb b N - 答案：B
5． 假设样本12,,,n X X X 来自总体X ，则样本均值X 与样本方差2
2
1
1
()
1
n
i
i S X X n ==--∑独立的一个充分条件是总体X 服从（ ）。
(A) 二项分布; (B)几何分布; (C)正态分布; (D)指数分布. 答案：C 二、 填空题（每小题3分，共15分）：
1. 如果1.0)(=A P ，则=)(A P （ ）。
答案：9.0
2. 设二维离散随机变量),(Y X 的联合概率函数为(,)i j ij P X x Y y p ===，i =1,2,…,m ,…；
j =1,2, …n , …，则=∑
∑
∞
=∞
=1
1
i j ij p （ ）。
答案：1
3. 设离散随机变量X 的概率函数为i i p x X P ==)(，n i ,,1 =，则随机变量函数)
(X g Y =的数学期望为=)(Y E （ ）。
答案：∑=n
i i i p x g 1
)(
4. 记标准正态分布(0,1)N 的分布函数为)(x Φ。如果正态随机变量),(~2σμN X ，则X 落
在区间],[b a 的概率为 =≤≤)(b X a P （ ）。
答案：)(
)(
σ
μ
σ
μ
-Φ--Φa b
5. 设样本12,,,n X X X 来自正态总体),(~2
σμN X ，样本均值为X ，则n
X σμ
-服从的分
布是（ ）。 答案：)1,0(N 三、 判断题（每小题2分，共10分）：
1． 如果事件B 与事件A 独立，那么B 的对立事件B 也与A 独立。
答案：√
2． 设二维连续随机变量),(Y X 的联合概率密度为),(y x f ，则),(Y X 落在平面某可测区域R
的概率为 =
∈)),((R Y X P ??
R
dxdy y x f ),(。
答案：√
3． 离散随机变量的方差一定存在。
答案：╳
4． 如果X 与Y 线性无关，那么X 与Y 相互独立。
答案：╳
5． 在统计学中，总是从研究对象中抽取部分观测以取得信息，从而对整体做推断。
答案：√ 四、 计算题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）： 1． 设总体X 的密度函数为||
1(,)2x f x e
θ
θθ
-
=
，
0θ>是未知参数；12,,,n X X X 是来自X 的一个样本，试求参数θ的最大似然估计。
[解] 设样本观测值为12,,,n x x x ，则似然函数为
1
1
||
||
1
11()22n
i i i n
x n
x i L e e θθ
θθ
θ=--
=∑????=
= ? ?????
∏
------------4分
故 11
ln ()ln(2)||n
i
i L n x
θθθ
==--
∑---------------------5
有似然方程:
2
1
ln ()1
||0.n
i
i d L n
x
d θθ
θ
θ
==-
+
=∑------------------8分 解之得θ的最大似然估计是 1
1
||n
i
i X n
θ
==∑---------------------10
2． 发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”。由于通讯系统受到干扰，当发出信
号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“·”。试问：当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率是多少？
[解] 记A ={收报台收到信号“-”}，B ={发报台发出信号“-”}，则 ----------------
)
|()()|()()
|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=
--------------8分
75.02
.06.09.04.09
.04.0=?+??=
---------15分
五、 应用题（第1、2小题各10分，第3小题15分，共35分）： 1． 已知2007年广东省高考文科报考人数是24.7万人，本科计划招生5.8万人，本科录取率
为23.4%。如果广东省高考文科总分X 服从正态分布)100,500(2
N ，试问最低控制分数线应是多少，才能使得高校在录取新生时有多10%的选择机会？
[解] 设最低控制分数线为m ，要使得高校在录取新生时有多10%的选择机会，只须
%
7.25%)101(%4.23)(=+?=≥m X P --2分
%7.25)100
500(
1=-Φ-m ---------6分
743.0)100500
(
=-Φm --------------------7分 65.0100
500=-m --------------------9分
565=m -----10分
2． 据预测，国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X （单位：吨）在区间[300，500]上
服从均匀分布。此商品每出口1吨，可获利1.5万元；但是每积压1吨，将亏损0.5万元。如果由某公司独家经营这种商品的出口业务，问该公司应当储备多少这种商品才能使所获的平均利润最大？
[解] 设该公司应当储备这种商品a 吨，显然500300≤≤a -------------1分
则所获利润为
??
?<--≥=a X X a X a
X a X g ),
(5.05.1,
5.1)(???<-≥=a
X a X a X a ,5.02,
5.1
因为需求量X 的概率密度是
?
??≤≤=其它,0500
300,2001)(x x f
所以平均利润为
??=
?=
∞
∞
-500
300
)(200
1)()()]([dx x g dx
x f x g X g E
)90000900(200
1)5.1)5.02((
200
12
500300
+--
=+
-=??a a adx dx a x a
a
当450=a 时，所获利润的数学期望最大。
3． 某工厂原来生产的电灯泡的平均使用寿命是1600小时。采用新技术后随机抽查17个，测得
它们的寿命的样本均值1645=x 小时，样本标准差s =100小时。设电灯泡的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电灯泡的平均寿命是否有显著提高？（显著性水平0.05α=）
[解] 已知总体),(~2
σμN X ，要求检验下面的假设
00:1600H μμ==01:μμ>?H ------------------------3分
应选取统计量)1(~1
/
0---=
n t n S X t H μ------------------------7分
在显著性水平0.05α=下的拒绝域为
}746.1)16()1({05.0==->=t n t t W α------------------------11分
现在抽样检查的结果是
746.18.116
/10016001645>=-=
t -----------------------13分
即样本观测值落入拒绝域，因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即在显著性水平0.05α=下可认为采用新技术后电灯泡的平均寿命有显著提高。
重点章节内容如下：
第一章：§1.1，§1.2，§1.3，§1.4，§1.5。
基本概念：随机事件的频率与概率、条件概率、随机事件的独立性、古典概型、独立试验序列；
基本公式：概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式。
第二章：§2.1，§2.2，§2.3，§2.4，§2.5。
基本概念：一维随机变量的分布函数、一维离散型随机变量的分布列、一维连续型随机变量的密度，二维随机变量的联合分布函数和边缘分布函数、二维离散型随机变量的联合分布列和边缘分布列、二维连续型随机变量的联合密度和边缘密度，随机变量的独立性，一维连续型随机变量函数的密度，常用分布，如：二项分布
),(p n B 、几何分布)(p G 、
泊松分布)(λP 、均匀分布),(b a U 、指数分布)(λe 和正态分布
),(2
σμN ； 基本公式：概率计算公式、一维连续型随机变量函数的密度的计算方法和公式。
0H 1H
第三章：§3.1，§3.2，§3.3。
基本概念：数学期望、方差与标准差、相关系数；
基本公式：关于随机变量函数的数学期望的计算公式。
第四章：§4.3，§4.4。
基本概念：依概率收敛，依分布收敛；
基本定理：辛钦大数定律；Bernoulli大数定律；Levy中心极限定理、De Moivre--Laplace 中心极限定理。
第五章：§5.1，§5.2，§5.3。
基本概念：总体、样本、总体分布函数、样本分布函数、常用统计量及其数学期望和方差;
基本定理：正态总体有关统计量的分布。
第六章：§6.1，§6.2，§6.5。
基本概念：参数的矩估计与最大似然估计，估计的相合性、无偏性；区间估计。
第七章：§7.1，§7.2，§7.3。
基本概念：关于正态总体均值的假设检验。
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）；
9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题
概率统计习题及答案
1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8
概率统计练习题答案
《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案：D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案：A 3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案：A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案：C
^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案：D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案：A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案：B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案：B 9、样本12(,, , )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2D σξ=，则有( )。
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率统计习题含答案
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计试题及答案
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率统计练习题答案
概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ
A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -
概率统计练习题8答案
《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布，
D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。
概率统计试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率统计习题及答案
1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D.
9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0
概率统计例题
已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ，； ，， 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ， ； ，， 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为： ?? ?<<==?∞+∞ -其他。， ； ， 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 ， ； ， 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=，所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】
概率统计习题带答案
概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白
球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)；
概率论与数理统计练习题及答案
概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A 2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ） 365 （B ）364 （C ）363 （D ）36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ） （A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ，则=EX （ ） （A ）21 （B ）1 （C ）2 （D ）4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ） （A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 （B ）?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F （C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ） +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度 )(y f Y 为（ ）
（A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2 (21y f X -- （D ）)2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81 （B ）8 3 （C ）4 1 （D ）3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若 EY EX EXY ?=，则下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++
概率统计复习题
1. 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： (1)A发生，B，C都不发生； (2) A与B发生，C不发生； (3)A，B，C都发生； (4) A，B，C至少有一个发生； (5)A，B，C都不发生； (6) A，B，C不都发生； (7)A，B，C至多有2个发生； (8) A，B，C至少有2个发生. 2. 设A，B是两事件，且P（A）=,P(B)=,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值 （2）在什么条件下P（AB）取到最小值 3.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率. 5.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的） 6.已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半） 7.设P（A）=,P(B)=,P(A B)=，求P（B｜A∪B） 8.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 9. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努 力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人 （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人