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大连理工大学运筹学习题与答案

线性规划习题一

1．1试述LP 模型的要素、组成部分及特征。判断下述模型是否LP 模型并简述理由。（式中x,y 为变量；θ为参数；a,b,c,d,e 为常数。）（1）max z=2x 1-x 2-3x 3

s.t.123123123121

35824350,0

x x x x x x x x x x x ++=??-+≤??-+≥??≥≤?

(2)min z=

k kx

=∏

s.t.

,1,2...,0,1,2...,n

ik k i k k

a x

b i m

x k m =?≥=???≥=?∑ (3)min z=

n n

i i

i j a x b y

==+∑∑

s.t.

,1,2,...,,1,2,...i i j j i i ij

x c i m y d j n x y e ?≤=?

≤=??

+≥? (4)max z=

j j

j c x

=∑

s.t.

,1,2,...,0,1,2,...n

ij j i i j j

a x

b d i m

x j n θ=?≤+=???≥=?∑ 1.2试建立下列问题的数学模型：（1）设备配购问题

某农场要购买一批拖拉机以完成每年三季的工作量：春种330公顷，夏管130公顷，秋收470公顷。可供选择的拖拉机型号、单台投资额及工作能力如下表所示。

问配购哪几种拖拉机各几台，才能完成上述每年工作量且使总投资最小？（2）物资调运问题

甲乙两煤矿供给A，B，C三个城市的用煤。各矿产量和各市需求如下表所示：

各矿与各市之间的运输价格如下表示：

问应如何调运，才能既满足城市用煤需求，又使运输的总费用最少？

（3）食谱问题

某疗养院营养师要为某类病人拟订本周菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量，以及这类病人每周所需各种养分的最低数量如下表所示：

另外为了口味的需求，规定一周内所用的卷心菜不多于2份，其它蔬菜不多于4份。若病人每周需14份蔬菜，问选用每种蔬菜各多少份？

（4）下料问题

某钢筋车间要用一批长度为10米的钢筋下料制作长度为三米的钢筋90根和长度为四米的钢筋60根，问怎样下料最省？

用图解法求解下列LP问题：

（1）min z=6x1+4x2

s.t.

21 34 1.5

0,0

x x

+≥

?≥≥

(2) max z=2.5x1+x2

s.t.

12 3515 5210

0,0 x x

x x

+≤?

?≥≥?

(3) max z=2x1+2x2

s.t.

1 0.52

0,0

x x

-≥-?

-+≤?

?≥≥

(4) max z=x1+x2

s.t.

0 33

0,0 x x

x x

-≥?

-≤-?

?≥≥?

(5) min z=2x1-10x2

s.t.

0,0 x x

x x

-≥?

-≥-?

?≥≥?

(6) min z=-10x1-11x2

s.t.

12 3410 528

0,0 x x

x x

+≤?

?+≤?

-≤?

?≥≥?

1.4 把1.3题的（3）-（6）化成标准形.

1.5 把下列LP问题化成标准形。

(1) min z=2x1+3x2+5x3

s.t.

123

5 67915 197513

0,0

x x x

x x

--≥-?

?-+-=

++≤

?≥≤

(2) min z=3x1+4x2+2x3+x4

s.t.

123

1234

37 466

4 1,0

x x x

x x x x

x x

++≤

?++≥

--++=-?

?≥≥

1.6 证明下述LP问题的可行域是一个空集：min z=x1-2x2+2x3+x4

s.t.

1234

6 ,,,0

x x x x

+++=?

+--=?

?≥

1.7 已知LP问题如下：min w=x1+2x2-3x3+4x4

s.t.

23412341234

47,,,0x x x x x x x x ?

+++=??≥? 判断下述各点：X 1=(8,2,7,-4)T

,X 2=(1,0,2,1)T

,X 3=(2,0,5,0)T

X 4=(0,0,-1,2)T

,X 1=(3,1,0,0)T

,X 1=(2,1/2,1,1/2)T

是不是该LP 问题的可行解、基本解、基本可行解？试从中找出一个较优解。 1.8 设某线性规划问题的可行域如下：

123

4123451234522533047285,,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x +-=??+-=??

+---=??≥? 试判断下述各点：

X 1=(5,15,0,20,0)T

,X 2=(9,7,0,0,8)T

,X 3=(15,5,10,0,0)T

是否为该可行域的极点并说明理由。 1.9 设一标准形LP 问题的系数阵为 A=

102316??????

X 0=(1,2,1)T

是一可行解。试按性质4证明中的方法，构造出另一个可行解。 1.10 试证明：若LP 问题有两个不同的最优基本解，则必有无穷多个最优解。 1.11 设R 1,R 2 n E ?

为凸集，则

(1) R 1+R 2={Z|Z=X+Y,X ∈R 1 ,Y ∈R 2} (2) R 1-R 2={Z|Z=X-Y,X ∈R 1 ,Y ∈R 2} (3) λR 1={Z|Z=λX, X ∈R 1,λ∈E 1

} 均为凸集。 1.12 设R i n E ?为凸集,i=1,2,…,则R=i

?i R

也为凸集。

1.13 试举出下述某一类型的LP 问题的实例：产品配比问题，配料问题，物资调运问题，食谱问题，下料问题及其它LP 问题，然后建模并化标准形，再设法找出一个基本可行解。 1.14 用枚举法求解下述LP 问题：（1）min w=1

234x x x ++

s.t.

1231

2322410,0,0

x x x x x x x x -+=??

-=??≥≥≥? （2）min w=

12323x x x -+

s.t.

1231231

23234100,0,0

x x x x x x ?

++=??≥≥≥? (3)1.3题之（2） (4)1.3题之（6）

1.15 某农户年初承包了40亩土地，并备有生产专用资金2500元。该户劳动力情况为：春夏季4000工时，秋冬季3500工时。若有闲余工时则将为别的农户帮工，其收入为：春夏季0.5.元/工时， 0.40元/工时。该户承包的地块只适宜种植大豆、玉米、小麦，为此已备齐各种生产资料，因此不必动用现金。另外，该农户还饲养奶牛和鸡。每年每头奶牛需投资400元，每只鸡需投资3元。每头奶牛需用地1.5亩种植饲草，并占用劳动力：春夏季0.3工时和秋冬季0.6工时，每年净收入10元。该农户现有鸡舍最多能容纳300只鸡，牛棚最多能容纳8头奶牛。三种农作物一年需要的劳动力及收入情况如下表所示。问该农户应如何拟订经营方案才能使当年净收入最大？试建立该问题的数学模型。

1.16 某罐头食品长用A,B

两个等级的西红柿加工成整番茄、番茄汁、番茄酱三种罐头。A,B 原料质量评分分别为90，50分。为保证产品质量，该厂规定三种罐头的品格（所用原料的质量平均分）如下表所示：

该厂现以0.5公斤6分的价格购进1500吨西红柿，其中可挑出A 等西红柿20%，其余为B 等。据市场预测，三种罐头的最大需求量为：整番茄800万罐，番茄汁50万罐，番茄酱80万罐。原料耗量为：整番茄0.75公斤/罐，番茄汁1.0公斤/罐，番茄酱1.25公斤/罐。三种罐头的价格及生产费用（其中不包括西红柿原料费）如下表所示。问该厂应如何拟订西红柿罐头的生产计划才能获利最大？试建立数学模型。

1.17 某厂生产甲、乙两种产品，每种产品都要在A,B 两道工序加工。其中B 工序可由或B 2完成，但乙产品不能用B 1加工。生产这两种产品都需要C,D,E 三种原材料，有关数据如下表所示。又据市场预测，甲产品每天销售不超过30件。问应如何安排生产才能获利最大？试建立数学模型。

1.18 制造某机床需要A,B,C 三种轴，其规格、需要量如下表所示。各种轴都用长7.4米的圆钢来截毛坯。如果制造100台机床，问最少要用多少根圆钢？试建立数学模型。

1.19 某木材公司经营的木材储存在仓库中，最大贮存量为20万米3。由于木材价格随季节变化，该公司于每季初购进木材，一部分当季售出，一部分贮存以后出售。贮存费为a+bu, 其中a=7元/米3，b=10元/米3 /季，u 为贮存的季度数。由于木材久贮易损，因此当年所有库存木材应于秋末售完。各季度木材单价及销量如下表所示。为获全年最大利润，该公司各季应分别购销多少木材？试建立数学模型。

单纯型法习题二

2.1 分别用图解法和单纯形法求解下述LP 问题，并指出单纯形法迭代中每一基本可行解跟图解法可行域中哪一极点相互对应。

（1）max z=10x 1+5x 2

s.t.

12121

23495280,0

x x x x x x +≤??

+≤??≥≥? (2) max z=2x 1+x 2

s.t.

212

1212515622450,0

x x x x x x x ≤?

?+≤??

+≤??≥≥? 2.2 用单纯形法求解1.7题。 2.3 用单纯形法求解下述LP 问题：（1）max z= x 1+2x 2+3x 3+4x 4 s.t.

12341234

,,,0x x x x x x x x +++=??

≥? （2）第一章例4 （3）max z= x 1+x 2+x 3+x 4

s.t.

1234

2 ,,,0

x x x x

+++=?

-+-=?

?≥

（4）min w= x2-3x3+2x5+2x6

s.t.

234

135

2356

2412

327 43810

0,1,2,...,6

x x x

x x x x

x j

-++=?

?++=

?-+++=

?≥=

2.4用单纯形法求解下述LP问题：(1) max z=2x1+2x2

s.t.

1 0.52

0,0

x x

-≥-?

-+≤

?≥≥

(2) max z=10x1+5x2

s.t.

0,0 x x

x x

-+≥?

-≥?

?≥≥?

(3) max z= 5x1+3x2+2x3+4x4

s.t.

1234

5810 243210

,,,0

x x x x

+++=?

?≥

(4) min w= 2x1+3x2+x3

s.t.

123

428 326

,,0

x x x

x x

x x x

++≥?

+≥?

?≥

(5) min w=2 x1+x2-x3-x4

s.t.

1234

22 236

7 ,,,0

x x x x

-+-=?

?+-+=?

+++=?

?≥

(6) max z=10 x1+15x2+12x3

s.t.

123

539 561515

,,0

x x x

++≤?

?-++≤?

++≥

?≥

(7) min z= 3x 1-4x 2+x 3-2x 4

s.t.

12343412

41234

1232210210552320

,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x +++=??+≤??

-+≥-??≤+++≤??≥? 2.5 以2.1题之（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样改变时，能够：（1）分别使每个极点成为最优点；（2）使该LP 问题有多重最优解。

2.6 分别举出符合下述情况的LP 问题之例：（1）多重最优解；（2）最优解为退化的基本可行解；（3）最优解无界；（8）无可行解。 2.7 求解1.18题。

2.8 在一块地上种植某种农作物，据以往经验，在其生长过程中至少需要氮32公斤，磷恰以24公斤为宜，钾不得超过42公斤。现有四种肥料，其单价及氮磷钾含量（%）如右表所示。问在该地块上施用这四种肥料各多少公斤，才能满足该农作物对氮磷钾的需要，又使施肥的总成本最低？

2.9 试用矩阵形式的单纯形法解答下列问题：

（1）已知用单纯形法求解某LP 问题所得到的初始单纯形表及最末单纯形表如下，试将表中空白处填上适当字符。

. . .

2.10 试用改进单纯形法求解下述LP 问题：（1）max z=10 x 1+15x 2+12x 3

123123

12312323235226,,0

x x x x x x x x x x x x ++≤??++≤??

++≤??≥? (2) max w=10 x 1+7x 2+4x 3+3x 4+x 5

12312345

123

5267

23482350,1,2,3,4,5j x x x x x x x x x x x x x j ++≤??++++≤??

+++≤??≥=?

对偶原理习题三

3.1 试建立下述LP 问题的对偶关系表，并写出其对偶问题：（1）max z=4x 1+3x 2+6x 3

s.t.

123123

123123360223402260,0,0x x x x x x x x x x x x ++≤??++≤??

++≤??≥≥≥? （2）min w=60x 1+10x 2+20x 3

s.t.

123123

123123321210,0,0

x x x x x x x x x x x x ++≥??-+≥-??

+-≥??≥≥≥? （3）min w=5x 1-3x 2

s.t.

123123

12312324221330,0,0

x x x x x x x x x x x x -+≥??+-≥??

--≥??≥≥≥? （4）max z=4x 1+3x 2+6x 3

s.t.

1231231

232410253150,0,0

x x x x x x x x x ++=??

++=??≥≥≥? 3.2 试写出下述LP 问题的对偶问题：

（1）1.1（1）题（2）1.5题（3）2.4（5）题（4）2.4（7）题（5）min w=2x 1+2x 2+4x 3

s.t.

123123

123232352

3734650,0

x x x x x x x x x x x ++≥??++≤??

++=??≤≥? (6) min w=2x 1+3x 2+6x 3+x 4

s.t.

12341234

123412434472127381825340,0,0

x x x x x x x x x x x x x x x +++=??+++≥??

-+-≤??≥≤≥? 3.3 试证明LP 问题（P 2）是（D 2）的对偶，（P 2）是（D 2）的对偶。 3.4 试写出下述LP 问题的对偶问题：（1）min w=C T X s.t.

(0)

AX b

X a =??

≥≥? (2) min z=

m n

ij ij

i j c x

==∑∑

s.t.

,1,2,...,1,2,...0n

ij i j m

ij j i ij x a i m x b j n x ==?==???==???≥???

∑∑ (3) max z=

j j

j c x

=∑

s.t.

,1,2,...,,1,2,...,0,1,2,...,()n

ij j i j n

ij j i j j a x b i r a x b i r r m x j s n ==?≤=???==++???≥=

∑∑ 3.5 已知LP 问题： min z= 5x 1+6x 2+3x 3

s.t.

123123

1231231

2312231

235535020769307

24151065451020

0,0,0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++≥??+-≥??+-≥?

++≥??

+-≥??+≥?

-≥??≥≥≥? 试通过求解其对偶问题来确定该LP 问题的最优解。 3.6 已知LP 问题： max z= x 1+2x 2

s.t.12121

10,0

x x x x x x -≥??

-+≥??≥≥? （1）试证明它与其对偶问题均无可行解。

（2）试构造一个LP 问题，使其本身及其对偶问题均无可行解。 3.7 已知（Ⅰ）（Ⅱ）两个LP 问题：（Ⅰ）max z 1=

j j j c x

=∑

s.t.

,1,2,...,0,1,2,...,n

ij j i j j

a x

b i m

x j n =?≤=???≥=?∑ （Ⅱ）max z 2=

j j

j c x

=∑

,1,2,...,0,1,2,...,n

ij j i i j j

a x

b k i m

x j n =?≤+=???≥=?∑ 其中ij a ，i b ，i k 均为已知常数。

设

1z *，2z *分别为（Ⅰ），（Ⅱ）的最优值，i y *

（i=1,2,…,m ）为（Ⅰ）的对偶问题的最优解，求证：

i i i z z k y *

*=≤+∑

3.8 不用单纯形法，利用对偶性质和其它简便方法求解下述LP 问题： (1) max w=4x 1+3x 2+6x 3

s.t.

1231231

233330223400,0,0

x x x x x x x x x ++≤??

++≤??≥≥≥? (2) max z=x 1-x 2+x 3

31231

23423

0,0,0

x x x x x x x x -≥??

-+≥??≥≥≥? 3.9 已知LP 问题：max z= 6x 1+8x 2

s.t.12121

252202100,0

x x x x x x +≤??

+≤??≥≥? (1)写出它的对偶问题。

(2)用图解发求解原始、对偶问题。识别两个问题的所有极点解。

(3)用单纯形法求解原始问题。在每个单纯形表中，识别此问题的基本可行解及对偶问题的互补基本解。指出它们相应于图解法中哪个极点。

(4)按表3-8的格式，列出该问题的全部互补基本解。

(5)用对偶单纯形法求解对偶问题，并将结果与（3）中结果进行对比。 (6)该问题是否满足互补松弛性？为什么？

3.10用对偶单纯形法求解下述LP 问题: (1)min z= x 1+x 2

s.t.

121

121224

5360,0x x x x x x x +≥??≤??

+≥??≥≥? (2) min z= 3x 1+2x 2+x 3

s.t.

1231

3231236430,0,0

x x x x x x x x x x ++≤??-≥??

-≥??≥≥≥? (3) 2.4(4)题

3.11 某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A ，B 两种设备上加工，有关数据如下表所示：

（1）如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？

（2）若为了提高产量，以每台时350元租金租用外厂A 设备，问是否合算？ 3.12 用对偶单纯形法求解下述LP 问题: （1）max z= 3x 1-2x 2-x 3

s.t.

12323231234282,,0

x x x x x x x x x x --=??+≤?

-≥??≥? (2) max z= 2x 1-x 2+2x 3

s.t.

1231

32312362620,,0

x x x x x x x x x x ++≥??-+≥??

-≥?

?≥? (3) max z= 5x 1-8x 2-x 3+4x 4-11x 5

s.t.12345123451234512345297211566293783124,,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-≥??--+-≤??--+-≥??≥? 3.13 用交替单纯形法求解3.12题。

灵敏度分析习题四

4.1 试就3.11题解答下列问题：

（1）试分别确定甲产品单位产值、B 设备供量各自的影响范围。

（2）若每月能以39万元租金租用外厂B 设备300台时，则应否租用？为什么？

（3）若每月A 设备提供量减少200台时，B 设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？ 4.2 已知LP 问题 max z=5x 1+2x 2+3x 3

s.t.

123112321

2352560,0,0

x x x b x x x b x x x ++≤??

--≤??≥≥≥? 对于给定的常数1b 和2b ，其最优单纯形表是：

其中λ1，λ2，λ3，λ4，λ5是常数。试求：（1）b 1和b 2的值。（2）对偶问题的最优解。（3）λ1，λ2，λ3的值。（4）参数c 1, c 2, c 3的影响范围。（5）参数b 1，b 2的影响范围。（6）参数121323,,a a a 的影响范围。（7）参数1121,a a 的影响范围。 4.3 已知LP 问题 max z=-5x 1+5x 2+13x 3

s.t.

1231231

2332012410900,0,0

x x x x x x x x x ++≤??

++≤??≥≥≥? 试用单纯形法求出最优解，然后分别对下述情况进行灵敏度分析：（1）分别确定参数1122,,c b a 的影响范围。（2）参数b 1从20变为30。（3）参数b 2从90变为70。（4）参数c 3从13变为8。

（5）x 1的系数变为11121205c a a -????

????

=????????????

（6）x 2的系数变为21222625c a a ????????

=???????

?????

（7）增加一个约束条件2x 1+3x 2+5x 3≤50 （8）把约束条件2变为10x 1+5x 2+10x 3≤100 4.4 已知LP 问题 max z=2x 1+7x 2-3x 3

s.t.

1231231

233430

4100,0,0

x x x x x x x x x ++≤??

+-≤??≥≥≥? 给它引进松弛变量x 4,x 5后，用单纯形法求得其最优方程组如下：

523451

235220520410z x x x x x x x x x x x +++=??

-++-=??+-+=? 试对下述情况分别进行灵敏度分析：（1） b 1减少20，同时b 2增加10.

（2）

改变x 3的系数为31323232c a a -????

????

=????????????

（3）

改变x 1的系数为11121432c a a ????????=???????????? （4）

引进一个具有系数61626312c a a ????????

=???????

?????的新变x 6.

（5）改变目标函数为z=x 1+5x 2-2x 3. （6）增加一个约束条件3x 1+2x 2+3x 3≤25. （7）改变约束条件2为x 1+2x 2+2x 3≤40.

（8）改变约束条件1为2x 1+2x 2+x 3≤20，同时增加一个约束条件x 1+2x 2+x 3=20. 4.5已知LP 问题 max z=2x 1-x 2+x 3

s.t.

123123

12312332215

340,0,0

x x x x x x x x x x x x -+≤??-++≤??

-+≤??≥≥≥? 给它引进松弛变量x 4,x 5 ,x 6后，用单纯形法求得其最优方程组如下：

3452345

561

345

218532427

4221

z x x x x x x x x x x x x x x +++=??+++=??++=??+++=?

试对下述情况分别进行灵敏度分析：

（1）分别确定参数13212,,,b b c a 的影响范围。

（2）

改变右端为1232042b b b ????

????

=???????

?????

（3）改变目标函数中x 3的系数为c 3=2. （4）改变目标函数中x 1的系数为c 1=3.

（5）

改变x 3的系数为31323334321c a a a ????????

??=????????????

?? （6）

同时改变 x 1和x 2的系数为：11121311112c a a a ????

????

????=????-????????

??,

21222322132c a a a -????

????-????=????????????

?? （7）改变目标函数为z=5x 1+x 2+3x 3. （8）改变约束条件1为2x 1-x 2+4x 3≤12. （9）增加一个约束条件2x 1+x 2+2x 3≤60.

运输模型习题五

5.1 某公司有三个工厂生产某种商品并运往四个调拨站。工厂1，2，3每月分别生产12，17，11批商品，而每一调拨站每月均需接受10批商品。各厂至调拨站的运输距离（公里）如下表所示。已知每批商品的运费是100元加上每公里0.50元。问应如何调运能使总运费最少？（1）

试构成该问题的表式运输模型；

（2）试建立该问题的LP 式运输模型；

（3）试用最小元素法和最大差额法分别确定初始方案；（4）试用位势法和闭回路法分别检验（3）中的一个方案；（5）分别从（4）中方案开始，求出最优方案。

5.2 甲，乙两煤矿日产煤量依次是200，250吨，供应A,B,C 三个城市。三个城市日需求量依次是100，150，200吨。各矿与各市间的运价（元/吨）如下表所示。应如何调运才能既满足各市用煤需求又使运输的总费用最少？

（1）试用最小元素法与最大差额法分别确定初始方案；（2）试用位势法与闭回路法分别检验（1）中的一个方案；（3）分别从（2）中方案开始，求出最优方案。 5.3 考虑下表所示的运输问题。

（1）用表上作业法求解；

（2）用单纯形法求解，并比较两种方法的计算时间。

5.4考虑下述运输问题。

试用下述两种方法分别求解，并比较迭代次数：

（1）最小元素法—位势法—闭回路法；

（2）最大差额法--闭回路法。

5.5 求解下述运输问题：

5.6 求解前进拖拉机厂的生产调度问题（见§3例6）

5.7 某公司经营的一种产品拥有四个客户，由于公司所辖三个工厂生产，每月产量分别为3000，5000，4000件。该

公司已承诺下月出售4000件给客户1，出售3000件给客户2以及至少1000件给客户3。客户3与

4都想尽可能多

购剩下的件数。已知各厂运销一件产品给客户可得到的净利润如下表所示。问公司应如何拟订运销方案，才能在履行诺言的前提下获利最多？

5.8 某食品公司所辖F1,F2,F3三个工厂每天分别生产20，22，4吨糖果，运往的库存量分别为21，25吨。各地之间的运价（元/吨）如下表所示。试求总运费最少的调运方案。

5.9 某肉食品加工厂按合同要在今后两个月内为某个肉蛋禽联营商店加工某种熟肉制品14500公斤。其中第一个月需交货8000公斤，若未交够，不足的部分可由第二个月补交，但补交的数量须回扣给商店0.1元/公斤。全部加工任务必须在第二个月末前完成，否则将重金赔偿商店损失。另若加工好的肉制品当月不交货，则每贮存一个月需花冷藏费0.05元/公斤。该厂的加工能力及加工费用如下表所示。试为该项目合同拟订一个总费用最少的生产调度方案。

5.10 某造船厂根据合同要在今，明，后年各提供三艘规格型号相同的货轮。已知该厂这三年内生产这种货轮的能力及成本如下表所示。其中加班生产的成本比正常生产高出70万元/艘。若造好的货轮当年不交货，没积压一年将损失40万元/艘。该厂目前已积压两艘该型号货轮，并且希望后来未完成合同后还能储备一艘。该厂应如何安排生产，使总的生产费用最少？

整数规划习题六

6.1 下述IP 问题能否通过LP 解的圆整而得最优？（1）max z=3x 1+2x 2

s.t.

1212

12122314290,0,x x x x x x x x +≤??+≤??

≥≥???为整数

（2）max z=3x 1+2x 2

s.t.

1212

121243632180,0,x x x x x x x x -+≤??+≤??

≥≥???为整数

6.2 试用分支定界法求解下述IP 问题。（1）max z=5x 1+8x 2

s.t.12121212659450,0,x x x x x x x x +≤??+≤??≥≥???为整数

（2）max z=x 1+x 2

s.t.

1212

1212149516310,0,x x x x x x x x +≤??-+≤??

≥≥???为整数

（3）max z=x1+2x2

s.t.

241 243 23

x x

-+≤?

?+≥?

+≤

??为整数

（4）max z=x1-2x2

s.t.

554 331

x x

-+≤?

?-+≥?

≥

??为整数

（5）max z=3x1+2x2

s.t.

123

124

1234

2425 4223

,,,0

x x x

x x x x

x x

-+=?

?++=?

≥

??为整数

6.3试用割平面法求解下述IP问题。（1）6.2题之（1）；

（2）max z=x1+x2

s.t.

26 4520

0,0

x x

+≤

?+≤

≥≥

??为整数

（3）max z=3x1+x2

s.t.

25 22

0,0

x x

+≤?

?-≥?

≥≥?

??为整数

6.4 试建立下述问题的数学模型：

（1）设有m台同一类型的机床，有n(>m)种零件各一个要在这些机床上加工，加工一个第j种零件需要a j机时。应如何分配加工任务，才能使各机床的负荷尽可能均衡。

（2）某省外贸局拟从下列应试者中招聘四名工作人员，希望所招四人平均业务能力评分最高，且满足下述要求：①专业不得相同；②女性最多不超过二人；③至少有一名精通日语者；④精通英语者最多入选一人。

（3）某厂为生产某种新产品设计了三种生产方案，如下表所示：

该产品销价为每件10元。据市场调研，在该产品生命周期内的需求量为30万见。应如何拟订生产计划能使经济效益最佳？

（4）某石油化学工业公司的某项产品售价为每公升1.20元，产量随生产过程中温度的升高而增加，其数量关系如图6-15所示。假定产品成本与生产中的温度成正比，每提高一度的费用为30元，则应生产多少公升该项产品，才能使利润为最大？

（5）考虑1.2题之（2）。假定预计明年A,B,C三市用煤量分别增加8，10，12万吨。计划部门为了使产销平衡，打算增加一套年产30万吨煤的成套设备，这套设备安放到甲，乙煤矿，年产30万吨煤所增加的生产费用分别为20，25万元。应讲设备拨给哪个煤矿，能使增加的总费用（包括生产与运输两部分）为最低？

（6）某人要去A市探亲，由于他已领取了个体经营（干鲜水果）的执照，因此打算顺便贩运本地产的橘子，香蕉两种鲜果。橘子，香蕉在本地的购价分别为每箱4，5元，每箱毛重分别为8，12公斤。由于春节将临，因此他考虑两种贩运方式：若乘飞机，能在除夕前赶到，从而能卖高价，且能保证果品无损；若乘轮船，则在初四赶到，只能卖中高价格，且因途中果品会有损伤而使每箱收入减少10%，有关数据如下表所示。另外，他已决定要用相当于毛重各为半箱数量的橘子，香蕉馈赠亲友，而且途中要携带2公斤的生活日用品。问他应乘坐哪种交通工具且携带两种果品各多少箱，才能使这次贩运预计盈利最高。

6.5 考虑下述数学模型

运筹学重点习题及答案

综合习题二 1、自己选用适当的方法，对下图求最小(生成)树。(12分) 解：（1）最小树为图中双线所示（2）最小树长14 2、用破圈法求下面网络的最短树解：最小树如下图所示由于q=5，p=6，则q=p-1，故已得最短树。最小树长为12 2、用标号法求下列网络V1→V7的最短路径及路长。（12分） V 1 2 3 3 5 2 4 5 5 6 V 3 V 2 V 4 V 5 V 6 5 6 V 1 V 2 V 4 4 3 5 3 V 3 V 5 V 6 5 2 2 V 1 V 7 V 5 V 6 V 4 V 3 V 2 5 4 3 5 3 1 7 6 1 7 3 1

解：最短路径：v 1→v 3→v 5→v 6→v 7 L=10 4、解：第一轮：（1）在G 中找到一个回路{v 1，v 2，v 3，v 1}；（2）此回路上的边[v 1，v 3]的权数6为最大，去掉[v 1，v 3]。第二轮：（1）在划掉[v 1，v 3]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 2}；（2）去掉其中权数最大的边[v 2，v 5]。第三轮：（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 4，v 2} （2）去掉其中权数最大的边[v 3，v 5]。第四轮：（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]，[v 3，v 5]的图中找到一个回路{ v 4，v 5，v 6，v 4} （2）去掉其中权数最大的边[v 5，v 6]（或可以去掉边[v 4，v 6]，这两条边的权数都为最大）。（2分）在余下的图中已找不到任何一个回路了，此时所得图就是最小树，这个最小树的所有边 v 1 v 5 4 3 4 v 6 v 3 v 5 V 2 7 V 4 V 1 (v 1(v 1, 4) (v , 6) 1, 13) 5(v 1, 5)

运筹学复习题及参考答案

运筹学复习题及参考答案运筹学》一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“ T” ,错误者写“F”。1.T 2. F 3. T 4.T 5.T 6.T 7. F 8. T 9. F 10.T 11. F 12. F 13.T 14. T 15. F 1.线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。( T ) 2.用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j< 0,则问题达到最优。 ( F ) 3.若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。( T ) 4.满足线性规划问题所有约束条件的解称为可行解。( T ) 5.在线性规划问题的求解过程中，基变量和非

机变量的个数是固定的。( T ) 6.对偶问题的对偶是原问题。( T ) 7.在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目标函数值是相等的。( F ) 8.运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵循m＋n－1 的规则。( T ) 9.指派问题的解中基变量的个数为m＋n。 ( F ) 10.网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( T ) 11.网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( F) 12.工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。( F ) 13.在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。 (T ) 14.单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。( T ) 15.动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。( F ) 二、单项选择题 1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9. D 10.B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.B 1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X

运筹学试题及答案

运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束

B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是

运筹学试题及答案汇总

3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单

最全的运筹学复习题及答案72731

四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省 ? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解第四章线性规划的对偶理论五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3

运筹学试题及答案4套

《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。 -13 1 1 6 1 1-200 2-1 1 1/2 1/2 1 4 07 三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序a b c d e f g h 紧前工序——a a b,c b,c,d b,c,d e 试画出该工程的网络图。（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键

线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。六、（15分）用动态规划法求解下面问题：

七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。 2 -1 1 0 0 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 6 10 0 -3 -1 -2 0 （1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地产地甲乙丙丁产量 A41241116 B2103910

C8511622需求量814121448 《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。二、（20分）已知运输表如下：销地产地B1B2B3B4供应量 50 A 1 3 2 7 6 A 2 60 7 5 2 3 25 A 3 2 5 4 5 需求量60 40 20 15 （1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。三、（35分）设线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4

运筹学试卷及答案

运筹学考卷

学院：专业：学号：姓名：装订线考试时间: 第十六周题号一二三四五六七八九十总分评卷得分一、单项选择题。下列每题给出的四个答案中只有一个是正确的，将表示正确答案的字母写这答题纸上。（10分, 每小题2分） 1、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数0j σ≤，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（） A. 有唯一的最优解； B. 有无穷多个最优解； C. 无可行解； D. 为无界解 2、对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（） A ．b 列元素不小于零 B ．检验数都大于零 C ．检验数都不小于零 D ．检验数都不大于零 3、在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么基可行解中非零变量的个数（） A. 不能大于(m+n-1)； B. 不能小于(m+n-1)； C. 等于(m+n-1)； D. 不确定。 4、如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足（） A. 0d +> B. 0d += C. 0d -= D. 0,0d d -+>> 5、下列说法正确的为（） A ．如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解 B ．如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解 C ．在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数 D ．如果线性规划问题原问题有无界解，那么其对偶问题必定无可行解

最全的运筹学复习题及答案78213

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

运筹学复习题及参考答案

《运筹学》一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“T”，错误者写 “F”。 1. T 2. F 3. T 4.T 5.T 6.T 7. F 8. T 9. F 10.T 11. F 12. F 13.T 14. T 15. F 1. 线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。( T ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j≤0，则问题达到最优。( F ) 3. 若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。( T ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为可行解。( T ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非机变量的个数是固定的。( T ) 6. 对偶问题的对偶是原问题。( T ) 7. 在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目标函数值是相等的。( F ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵循m＋n－1的规则。( T ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( F ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( T ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( F) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。( F ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。(T ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。( T ) 15. 动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。( F ) 二、单项选择题 1.A 2.B 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9. D 10.B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.B 1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X≥0, 利用单纯形法求解时，每作一次迭代，都能保证它相应的目标函数值Z必为（ A ）。 A. 增大 B. 不减少 C. 减少 D. 不增大 2、若线性规划问题的最优解不唯一，则在最优单纯形表上（ B ）。 A. 非基变量的检验数都为零 B. 非基变量检验数必有为零 C. 非基变量检验数不必有为零者 D. 非基变量的检验数都小于零 3、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（ D ）三个部分组成。 A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量

规划数学(运筹学)第三版课后习题答案-习-题-1(1)

习题 1 1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。 ??? ??≥≥+≥++=0 x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21 212121， ?? ? ??≥≥+≤++=0 x ,x 124x 3x 2 x 2x 2x 3x maxz )b (2121212 1 ?? ? ??≤≤≤≤≤++=8 x 310x 5120 10x 6x x x maxz )c (21 212 1 ?? ? ??≥≤+-≥-+=0 x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T ); (b)无可行解; (c)唯一解16*,) 6,10(*==z X T ); (d)无界解） 2 用单纯形法求解下列线性规划问题。 ?????≥ ≤+≤++=0 x ,x 82x 5x 9 4x 3x 5x 10x maxz )a (21 212121 ?????? ? ≥≤+≤+≤+=0 x , x 5x x 242x 6x 15 5x x 2x maxz )b (21212 122 1 答案： (a)唯一解5.17*,) 5.1,1(*==z X T )，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T ; (b)唯一解5.8*,) 5.1,5.3(*==z X T ），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T 3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。 ???????≥≥-≥+-≥+++-=0 x x x 0x 2x 2x 2x 6 x x x 2x x 2x maxz )a (3 ,2, 132 31321 321 ?????≥≥+≥++++=0 x , x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (3 21 21321321 答案： (a)无界解；(b)唯一解8*,) 0,8.1,8.0(*==z X T )，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T 4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。表1-54 初始单纯形表

(整理)《运筹学》期末考试试题与参考答案

《运筹学》试题参考答案一、填空题（每空2分，共10分） 1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为可行解。 2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量为两个的线性规划问题。 3、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。 4、在图论中，称无圈的连通图为树。 5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法、西北角法两种方法。二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题： 1）max z = 6x 1+4x 2 ?????? ?≥≤≤+≤+0 7810 22122121x x x x x x x ，解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。 2）min z =－3x 1+2x 2 ????? ????≥≤-≤-≤+-≤+0 ,1 37210 42242212 1212121x x x x x x x x x x 解： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹、⑺ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

可行解域为abcda ，最优解为b 点。由方程组? ??==+022 42221x x x 解出x 1=11，x 2=0 ∴X *=???? ??21x x =（11，0）T ∴min z =－3×11+2×0=－33 三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： A B C 甲 9 4 3 70 乙 4 6 10 120 360 200 300 1）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）

运筹学考试复习题及参考答案【新】

中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案《运筹学》一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“T”，错误者写 “F”。 1. 线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。( ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j≤0，则问题达到最优。( ) 3. 若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。( ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为可行解。( ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非机变量的个数是固定的。( ) 6. 对偶问题的对偶是原问题。( ) 7. 在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目标函数值是相等的。( ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵循m＋n－1的规则。( ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( ) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。( ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。( ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。( ) 15. 动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。 ( ) 二、单项选择题 1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X≥0, 利用单纯形法求解时，每作一次迭代，都能保证它相应的目标函数值Z必为（）。 A. 增大 B. 不减少 C. 减少 D. 不增大 2、若线性规划问题的最优解不唯一，则在最优单纯形表上（）。 A. 非基变量的检验数都为零 B. 非基变量检验数必有为零 C. 非基变量检验数不必有为零者 D. 非基变量的检验数都小于零 3、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（）三个部分组成。 A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量 4、已知x1= ( 2, 4), x2=(4, 8)是某线性规划问题的两个最优解，则（）也是该线性规划问题的最优解。 A. （4，4） B. (1,2) C. (2,3) D. 无法判断

运筹学考试复习题及参考答案

《运筹学试题与答案》一、判断题：在下列各题中，你认为题中描述的内容为正确者，在题尾括号内写“T”，错误者写“F”。 1. 线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个顶点。( ) 2. 用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数C j-Z j≤0，则问题达到最优。( ) 3. 若线性规划的可行域非空有界，则其顶点中必存在最优解。( ) 4. 满足线性规划问题所有约束条件的解称为可行解。( ) 5. 在线性规划问题的求解过程中，基变量和非机变量的个数是固定的。( ) 6. 对偶问题的对偶是原问题。( ) 7. 在可行解的状态下，原问题与对偶问题的目标函数值是相等的。( ) 8. 运输问题的可行解中基变量的个数不一定遵循m＋n－1的规则。( ) 9. 指派问题的解中基变量的个数为m＋n。( ) 10. 网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权和最小的路线。( ) 11. 网络最大流量是网络起点至终点的一条增流链上的最大流量。( ) 12. 工程计划网络中的关键路线上事项的最早时间和最迟时间往往是不相等。( ) 13. 在确定性存贮模型中不许缺货的条件下，当费用项目相同时，生产模型的间隔时间比订购模型的间隔时间长。( ) 14. 单目标决策时，用不同方法确定的最佳方案往往是不一致的。( ) 15. 动态规则中运用图解法的顺推方法和网络最短路径的标号法上是一致的。 ( ) 二、单项选择题 1、对于线性规划问题标准型：maxZ=CX, AX=b, X≥0, 利用单纯形法求解时，每作一次迭代，都能保证它相应的目标函数值Z必为（）。 A. 增大 B. 不减少 C. 减少 D. 不增大 2、若线性规划问题的最优解不唯一，则在最优单纯形表上（）。 A. 非基变量的检验数都为零 B. 非基变量检验数必有为零 C. 非基变量检验数不必有为零者 D. 非基变量的检验数都小于零 3、线性规划问题的数学模型由目标函数、约束条件和（）三个部分组成。 A. 非负条件 B. 顶点集合 C. 最优解 D. 决策变量 4、已知x1= ( 2, 4), x2=(4, 8)是某线性规划问题的两个最优解，则（）也是该线性规划问题的最优解。 A. （4，4） B. (1,2) C. (2,3) D. 无法判断 5、下列数学模型中，（）是线性规划模型。 MaxZ= 10x1+x2-3x3 x21+5x2≤15

清华_第三版_运筹学教程_课后答案~(_第一章_第五章部分)

清华第三版运筹学答案[键入文字] [键入文字] [键入文字] 运筹学教程 1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1所示。表1 要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。解：设总费用为Z 。i=1,2,3,4,5代表5种饲料。i x 表示满足动物生长的营养需要时，第i 种饲料所需的数量。则有： ????? ? ?=≥≥++++≥++++≥++++++++=5,4,3,2,1,01008.022.05.0305.022.05.07008623..8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z i 2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。每班护士值班开始时间向病房报道，试决定：（1）若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要；（2）若除22:00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其他班次护士由医院排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。表2

6 2:00～6:00 30 解：（1）设x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6 ???????????=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=且为整数 6,5,4,3,2,1,030 2050607060..min 655443 322161 654321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。则设设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4。 ??? ????? ?? ??? ??=≥=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++++++=4 ,3,2,1,1002 1502 16021702 ,160..30 min i 444342414444433422411434 33323133 443333223113242322212244233222211214131211114413312211114321j i y x y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y t s x x x x Z ij 变量，—是，，，第四班约束，，第三班约束，，第二班约束，第一班约束 3. 要在长度为l 的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n 种，分别为j a （j=1,2，…n ）。问每种毛坯应当截取多少根，才能使圆钢残料最少，试建立本问题的数学模型。解：设i x 表示各种毛坯的数量，i=1,2,…n 。

运筹学第3版熊伟编著习题答案

运筹学（第3版）习题答案第1章线性规划 P36 第2章线性规划的对偶理论 P74 第3章整数规划 P88 第4章目标规划 P105 第5章运输与指派问题P142 第6章网络模型 P173 第7章网络计划 P195 第8章动态规划 P218 第9章排队论 P248 第10章存储论P277 第11章决策论P304 第12章多属性决策品P343 第13章博弈论P371 全书420页第1章线性规划 1.1工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示． 310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为 1231231 23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400 150250260310120130,,0 Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤??++≤??≤≤?? ≤≤??≤≤?≥?? 1.2建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：

问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为 10 1 12342567368947910 min 2800212002600223900 0,1,2,,10 j j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?∑L （2）余料最少数学模型为 2345681012342567368947910 min 0.50.50.52800 212002********* 0,1,2,,10 j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++?+++≥? +++≥?? +++≥??+++≥??≥=?L 1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。【解】设x j 、y j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为

最全的运筹学复习题及答案

5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i或x ij的值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题 1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。 5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。 8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。 9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。 10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。 11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。 14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。 15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解 16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。 17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量X j为自由变量，则应引进两个非负变量X j′,X j〞,同时令X j＝X j′－X j。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑c ij x ij。

《运筹学》题库

运筹学习题库数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 s.t. ????? ??≥≤+≤ +≤+0 300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2，设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+ ,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：

建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。解：建立线性规划数学模型：设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 s.t. ???????≥≤++≤++≤++0 3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I ?? ?==≤++++++++++++=7 ,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 321121410x x x MaxZ ++= 250042.15.321≤++x x x 产品资源

运筹学试题及答案.doc

运筹学A 卷）一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案选错或未选者，该题不得分。每小题1 分，共10 分） 1．线性规划具有唯一最优解是指 A ．最优表中存在常数项为零 B ．最优表中非基变量检验数全部非零 C．最优表中存在非基变量的检验数为零 D．可行解集合有界 2．设线性规划的约束条件为则基本可行解为 A ．(0, 0, 4, 3) B ．(3, 4, 0, 0) C．(2, 0, 1, 0) D ．(3, 0, 4, 0) 3．则 A ．无可行解 B ．有唯一最优解medn C．有多重最优解D．有无界解 4．互为对偶的两个线性规划,对任意可行解X 和Y，存在关系 A ．Z > W B．Z = W C．Z≥W D ．Z≤W 5．有6 个产地4 个销地的平衡运输问题模型具有特征 A ．有10 个变量24 个约束 B ．有24 个变量10 个约束 C．有24 个变量9 个约束 D．有9 个基变量10 个非基变量

6. 下例错误的说法是 A ．标准型的目标函数是求最大值 B ．标准型的目标函数是求最小值 C．标准型的常数项非正 D．标准型的变量一定要非负 7. m+n －1 个变量构成一组基变量的充要条件是 A ．m+n－1 个变量恰好构成一个闭回路 B ．m+n－1 个变量不包含任何闭回路 C．m+n－1 个变量中部分变量构成一个闭回路 D．m+n－1 个变量对应的系数列向量线性相关 8．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A ．原问题无可行解，对偶问题也无可行解 B ．对偶问题有可行解，原问题可能无可行解 C．若最优解存在，则最优解相同 D．一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解 9. 有m个产地n 个销地的平衡运输问题模型具有特征 A．有mn个变量m+n个约束?m+n-1 个基变量 B ．有m+n个变量mn个约束 C．有mn个变量m+n－1约束 D．有m+n－1 个基变量，mn－m－n－1 个非基变量10．要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是 A ． B ． C．

运筹学课后习题解答Word版

运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点，即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=

单纯形法：原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14

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