多项式练习题参考答案
一、填空题
1..13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f 则)(x f 被)(x g 除所得的商式为22x x --,余式为73x --.
2.(),(),(),()[],()()()()2,f x g x u x v x P x u x f x v x g x ∈+=若则((),())f x g x = 1
((),())u x v x =
1 .
3.10()[]0,()|(),((),())n n n f x a x a x a P x a f x g x f x g x =+++∈≠=
且1()n
f x a .
4.1,42,0),3)(1(,232-++-+x x x x x 中是本原多项式的为22,(1)(3),x x x +-+
31x -.
5. 多项式2001
20002
322002
()4(54)21(8112)
f x x x x x x ??=----+??
的所有系数之和=
1 (取1x =得到),常数项=20022-(取0x =得到).
6. 能被任一多项式整除的式项式是 零多项式 ;能整除任意多项式的多项式一定是 零次多项式 .
7.多项式()f x 除以(0)a x b a -≠的余式为()b
f a .
8. 设3232235(2)(2)(2)x x x a x b x c x d -+-=-+-+-+,则,,,a b c d
的值为 2,9,23,
13 .
9.5432()41048f x x x x x x =++--+在有理数上的标准分解式是23(1)(2)x x -+. 10. 242322x x x m x p x +++-+,则m = -6 ,p = 3 . 二、判断说明题(先判断正确与错误,再简述理由)
1.若),()()()()(x d x g x v x f x u =+则)(x d 必为)(x f 与)(x g 的最大公因式. 错.如()1,()1,()1,()f x x g x x u x x v x x =-=+=+=-,则()1d x x =--,但)(x f 与)(x g 互素.
2.若)(),()(|)(x p x g x f x p 在P 上不可约,且)]()([|)(x g x f x p +,则)(|)(x f x p 且
).(|)(x g x p
对.由)(),()(|)(x p x g x f x p 在P 上不可约可得)(|)(x f x p 或).(|)(x g x p 若)(|)(x f x p ,
又)]()([|)(x g x f x p +,因此()|[()()]()p x f x g x f x +-,即).(|)(x g x p 3.设)(),(x f x p 为P 上的多项式,且)(x p 不可约.若)(x p 为)('x f 的k 重因式,则)(x p 必为)(x f 的1+k 重因式.
错.如25()(2)5f x x =++,22x +是)('x f 在Q 上的4重因式,但22x +不是
)(x f 的因式.
4.有理系数多项式)(x f 在Q 上可约,则)(x f 有有理根.
错.如()f x =4224(2)(2)x x x -=+-在Q 上可约,但)(x f 没有有理根. 5.若
q p
是整系数多项式()f x 的根,,p q 为互素的整数,则()(1)p q f -.
对. 由q p
是整系数多项式()f x 的根可得p x q -为()f x 的因式,即
()()()f x px q g x =-,且()g x 是整系数的,取1x =可得()(1)p q f -.
6.奇数次实系数多项式在实数域上一定有实根,因此在实数域上一定可约. 错.一次实系数多项式有实根但不可约.
7. 若()()f x h x 且()()g x h x ,则()()()f x g x h x .
错.缺(),()f x g x 互素. 8. 若()|()g x f x 则()(),()1f x g x =.
错.如231|1x x --/,但23(1,1)1x x x --=-
9. 数域P 上的任意一个不可约多项式()p x 在复数域内没有重根. 正确.
10. 多项式()f x 有重根当且仅当()f x 有重因式.
与所考虑的范围有关,在复数域上正确,在其它数域上有重因式未必有重根. 三、计算题
1.设,12)(,12)(3234+-=-+--=x x x g x x x x x f 求))(),((x g x f 以及),(),(x v x u 使
)).(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+
解:利用辗转相除法得
2112122123()()()()()(1),()()()()()(1)1,()()()(1)().
f x
g x q x r x g x x x x g x r x q x r x x x x x r x r x q x x x =+=-+-=+=-+-+==-+- 因此((),()) 1.f x g x x =-又
21212212()()()()()(()()())()
()()(1()()).
r x g x r x q x g x f x g x q x q x q x f x q x q x =-=--=-++
2212((),())()()()(1()())()f x g x r x q x f x q x q x g x =-=-+.
所以2212()()1,()1()()1(1)(1).u x q x x v x q x q x x x x ==+=--=---+=- 2.设234)(235+-+-=x x x x x f
(1)判断)(x f 在R 上有无重因式?如果有,求出所有的重因式及重数; (2)求)(x f 在R 上的标准分解式.
解:(1)42()538 3.f x x x x '=-+-运用辗转相除法可得:2((),())1f x f x x x '=-+.
21x x -+为)(x f 在R 上二重因式.
(2)由(1)可得)(x f 在R 上的标准分解式为
22()(1)(2)f x x x x =-++.
解法2: )(x f 的可能有理根为1,2±±,经检验2-为)(x f 的有理根,由综合除法可得
21
01432246421
2
3
2
1
--------
因此有432
2
2()(2321)(2)
(1)(2
)f x x
x x x x x x x =-+-++=-++.21x x -+为
)(x f 在R 上二重因式. )(x f 在R 上的标准分解式为
22()(1)(2)f x x x x =-++.
3.已知32()638f x x x p x =+++,试确定p 的值,使()f x 有重根,并求其根. 解:若()f x 有重根,则23222()()()(2)(2)f x x a x b x a b x a ab x a b =--=-+++-. 因此有
2226,23,8.a b a ab p a b +=-??+=??=-?解得2,2,4.a b p =-??=-??=?或1,8,5.a b p =??
=-??=-?
当4p =时2-为()f x 的3重根;当5p =-时1为()f x 的2重根,-8为单根. 解法2:若()f x 有重根,则((),'())1f x f x ≠.
22'()31233(4)f x x x p x x p =++=++.
21()'()(2)(28)(82)
3
(4)(2)(28)(1),
f x f x x p x p x x p x p x =++-+-=++++--
1'()(1)(5)(5)
3
f x x x p =-+++.
当4p =时,3()(2)f x x =+, 2-为()f x 的3重根; 当5p =-时, ((),'())f x f x
1x =-,1
为()f x 的2重根,此时2()(1)(8)f x x x =-+,-8为单根.
4.已知1i -是多项式4324522x x x x -+--的一个根,求其所有的根. 解:由实系数多项式虚根成对性, 1i +也是4324522x x x x -+--的根.
43222()4522(22)(21)f x x x x x x x x x =-+--=-+--.
因此()f x 的所有根为1i -,1i +
,1+-.
5.当,a b 满足什么条件时,多项式4()4f x x a x b =++有重根? 解:显然当0a b ==时,0为()f x 的四重根.当0a ≠时,
33'()444()f x x a x a =+=+.
()'()(3)4
x f x f x ax b =
++
232
2
3
3
4444'()(3)(
)4392727b b b f x ax b x x a a a a
a
=+-+
+-
.
当3427b a =时,((),'())3b f x f x x a
=+,3b
a
-
为()f x 的二重根.显然0a b ==也满足
3427b a =.因此当3427b a =时()f x 有重根.
四、证明题
1.设2≥k 为正整数,证明:()|()()|()k k f x g x f x g x ?.
证明:当()|()f x g x 时,有()()(),g x f x q x =因此()()(),k k k
g x f x q x =即有
()|()
k k f x g x . 反之设
12()()()()s r r r f x p x p x p x = 12()()()()s m m m g x p x p x p x =
其中(),(),,()
p x p x p x 是互不相同的不可约多项式,0,0(1,2,,)i i r m i s ≥≥= .由()|()
k k f x g x 可得(1,2,i i k r k m i s ≤= ,即(1,2,,)i i r m i s ≤= .因此有
()|(f x g x
. 2.设)(x f 是整系数多项式,a 为整数,证明:).(|)5()5(|)5(a f a f a -?- 证明:若(5)|(5)a f -,令()()()f x x a q x r =-+,其中()q x 为整系数多项式,r 为整数.(5)(5)(5)f a q r =-+.由(5)|(5)a f -可得0r =.因此有
()()().()0,(5)|()f x x a q x f a a f a =-=-.
类似可证当(5)|()(5)|(5).a f a a f -?-
3.已知(),(),()f x g x h x 是数域P 上的多项式,,,,,0,0a b c P a b a c ∈≠≠≠,且
22
()()()()()()
()()()()()()x a f x x b g x x c h x x a f x x b g x x c h x +++=+??-+-=+?
则22(),()x c f x x c g x ++.
证明:两式相加得:22(()())2()()x f x g x x c g x +=+.由0c ≠得2(,)1x x c +=.因此有
2()()x c f x g x ++.
两式相减有2()2()a f x b g x +=,,因此有22
()2
()x c a f x b g
x ++.由2()()x c f x g x ++及22()2()x c a f x b g x ++可得2(22)()x c a b f x +-.又a b ≠,因
此有2()x c f x +.类似有2()x c g x +.
4.设0c ≠,证明:若()()f x f x c =-,则()f x 只能是常数.
证明:反证法证明.假设()f x 不是常数. (())f x n ?=.在复数域上考虑, ()f x 至少有一个复根α.由()()f x f x c =-可得
0()()(())(),f f c f c c f kc k N
αααα==-=--==-=∈ .
即,,2,,,c c kc αααα--- 都是()f x 的根,与()f x 至多有n 个根相矛盾.因此
()f x 为常数.
2.1.1 整式(单项式和多项式)练习题 一、选择题、填空题(每空2分,共20分) 1.单项式-23 3 2yxz 的系数是( ) A. -2 B.2 C. -92 D. 92 2.对于单项式-23x 2y 2z 的系数和次数,下列说法正确的是( ) A.系数为-2,次数为8 B.系数为-8,次数为5 C. 系数为-2,次数为4 D. 系数为-2,次数为7 3.下列多项式的次数为3的是( ) A.-3x 2+2x+1 B.лx 2+x+1 C.ab 2+ab+b 2 D.x 2y 2–2xy+1 4.多项式1–x 3–x 2是( ) A.二次三项式 B.三次三项式 C.三次二项式 D.五次三项式 5.多项式7 x 4y+2xy 2–x 3y 3 -7的最高次项是( ) A. 7 x 4y B. x 3y 3 C. -x 3y D. 2 xy 2 1.近似数3.05万精确到 位,有 个有效数字,它们是 ; 2.若三角形的高是底的2 1,底为xcm ,则这个三角形的面积是 cm 2; 3.如果单项式-xy m z n 与5a 4b n 都是五次单项式,那么的m 值为 ,m 值为 ; 4.多项式4 132 x 的常数项是 ; 5.如果多项式中x 4-(a –1)x 3+5x 2+(b+3)x-1不含x 3项和x 项,则 a + b = 。 三、解答题(每小题5分,共15分) 1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式: 单项式: 多项式: 整式: 2.若-3axy m 是关于x 、y 的单项式,且系数为-6,次数为3,求a ,m 的值? 3.若多项式6x n+2 - x 2-n + 2是三次三项式,求代数式n 2 – 2n + 1的值?
第7章 MATLAB数据分析与多项式计算 6.1 数据统计处理 6.2 数据插值 6.3 曲线拟合 6.4 离散傅立叶变换 6.5 多项式计算 6.1 数据统计处理 6.1.1 最大值和最小值 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max 和min,两个函数的调用格式和操作过程类似。 1.求向量的最大值和最小值 求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式,分别是: (1) y=max(X):返回向量X的最大值存入y,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。 (2) [y,I]=max(X):返回向量X的最大值存入y,最大值的序号存入I,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。 求向量X的最小值的函数是min(X),用法和max(X)完全相同。 例6-1 求向量x的最大值。 命令如下: x=[-43,72,9,16,23,47]; y=max(x) %求向量x中的最大值 [y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置 2.求矩阵的最大值和最小值 求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式,分别是: (1) max(A):返回一个行向量,向量的第i个元素是矩阵A的第i 列上的最大值。 (2) [Y,U]=max(A):返回行向量Y和U,Y向量记录A的每列的最大值,U向量记录每列最大值的行号。 (3) max(A,[],dim):dim取1或2。dim取1时,该函数和max(A)完全相同;dim取2时,该函数返回一个列向量,其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。 求最小值的函数是min,其用法和max完全相同。
例6-2 分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值,并求整个矩阵的最大值和最小值。 3.两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较,调用格式为: (1) U=max(A,B):A,B是两个同型的向量或矩阵,结果U是与A,B 同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。 (2) U=max(A,n):n是一个标量,结果U是与A同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。 min函数的用法和max完全相同。 例6-3 求两个2×3矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。 6.1.2 求和与求积 数据序列求和与求积的函数是sum和prod,其使用方法类似。设X是一个向量,A是一个矩阵,函数的调用格式为: sum(X):返回向量X各元素的和。 prod(X):返回向量X各元素的乘积。 sum(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素和。 prod(A):返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素乘积。 sum(A,dim):当dim为1时,该函数等同于sum(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim):当dim为1时,该函数等同于prod(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。 例6-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。 6.1.3 平均值和中值 求数据序列平均值的函数是mean,求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为: mean(X):返回向量X的算术平均值。 median(X):返回向量X的中值。
第 3 课时多项式与多项式相乘 要点感知多项式与多项式相乘,先用一个多项式的_____乘另一个多项式的_____,再把所得的积_____.( a+b)( p+q)=_____. 预习练习1- 1填空:(1)(a+4)(a+3)=a·a+a·3+4·_____+4×3=_____; (2)(2 x- 5y)(3 x-y)=2 x·3x+2x·_____+(- 5y) ·3x+( -5y) ·_____=_____. 1- 2计算:(x+5)(x-7)=_____;(2x-1)·(5x+2)=_____. 知识点 1直接运用法则计算 1.计算: (1)( m+1)(2 m- 1) ;(2)(2 a- 3b)(3 a+2b) ;(3)(2 x- 3y)(4 x2+6xy +9y2) ;(4)( y+1) 2;(5) a( a-3)+(2 -a)(2+ a). 2. 先化简,再求值:(2 x- 5)(3 x+2) - 6( x+1)( x- 2), 其中x= 1 . 5 知识点 2多项式乘以多项式的应用 3.若一个长方体的长、宽、高分别是3x- 4,2 x- 1 和x,则它的体积是 ( ) - 5x2+4x-11x2+4x-4x2-4x2+x+4 4. 为参加市里的“灵智星”摄影大赛,小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长为 a 厘米,宽为
3 a 厘米的长方形形状,又精心在四周加上了宽 2 厘米的装饰彩框,那么小阳同学的这幅摄影作品照片占的面积是 4 _____平方厘米 . 5. 我校操场原来的长是 2x 米,宽比长少 10 米,现在把操场的长与宽都增加了 5 米,则整个操场面积增加了 _____ 平方米 . 知识点 3 ( x +p )( x +q )= x 2+( p +q ) x +pq 6. 下列多项式相乘的结果为 x 2+3x - 18 的是 ( ) A.( x - 2)( x +9) B.( x +2)( x - 9) C.( x +3)( x - 6) D.( x -3)( x +6) 7. 已知 ( x +1)( x - 3)= x 2 +ax +b ,则 a , b 的值分别是 ( ) =2 , b =3 =- 2, b =-3 =- 2, b =3 =2, b =- 3 8. 计算: (1)( x +1)( x +4) (2)( m - 2)( m +3) (3)( y +4)( y +5) (4)( t -3)( t +4). 9. 计算: (1)( - 2 n )( - - ) ; (2)( x 3 - 2)( x 3+3) - ( x 2 ) 3+ 2 · ; m m n x x