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高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何

高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何

高等数学期末复习

第八章 向量代数与空间解析几何

一、内容要求

1、了解空间直角坐标系,会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标

2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系

3、会运用定义和运算性质求向量数量积

4、会运用定义和运算性质求向量的向量积

5、掌握向量数积和向量积的定义形式

6、掌握向量模的定义与向量数量积关系

7、掌握向量的方向余弦概念

8、掌握向量的平行概念

9、掌握向量的垂直概念

10、能识别如下空间曲面图形方程:柱面,球面、锥面,椭球面、抛物面,旋转曲面,双曲面

11、掌握空间平面截距式方程概念,会化平面方程为截距式方程和求截距

12、会求过三点的平面方程,先确定平面法向量

13、会用点法式求平面方程,通常先确定平面法向量

14、会求过一点,方向向量已知的直线对称式方程,通常先确定直线方向向量

15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数

16、掌握直线对称式方程标准形式,能写出直线方向向量

二、例题习题

1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( ); (内容要求1)

A. )2,4,1(-Q

B. )2,0,1(-Q

C. )0,4,1(-Q

D. )2,4,0(Q 解:yoz 面不含x ,所以x 分量变为0,故选D

2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ(2,,0321π

θθθ≤≤),则

=++322212cos cos cos θθθ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3

解:由作图计算可知,222123cos cos cos 2θθθ++=,所以选C 。(内容要求2)

3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ(2,,0321π

θθθ≤≤),则

=++322212cos cos cos θθθ ;

解:222123cos cos cos 2θθθ++=,所以填2。

(内容要求2) 4、向量)3,1,1(-=a ,)2,1,3(-=b ,则=?b a ( );

A. 0

B. 1

C. 2

D. )2,11

,5(---

解:311(1)232a b ?=-?+?-+?= ,所以选C 。(内容要求3)

5、向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-?=a b

解:2624i j k -=-++a ,所以(2)61224(1)6-?=-?+?+?-=-a b ,所以填6-。(内容要求3)

6、设a =2 i +2j +2k ,b =3j -4k ,则a ·b = 。

解:23202(4)2a b ?=?+?+?-=-,所以填-2。(内容要求3)

7、向量}3,0,1{=a ,}2,1,1{-=b ,则=?b a ( );

A. 6

B. 6-

C. }1,1,3{-

D. }1,1,3{-- 解:1033112

i j k a b i j k ?==+-- ,所以选C 。(内容要求4)

8、向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a ,则=?b a ; 解:3122111

i j k a b i j k ?=-=--- ,所以填2i j k --,或填{1,1,2}--。(内容要求4)

9、a 与b 为两个向量,θ为二者的夹角,则a b ?=( ).

(A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ

解:由定义,选D 。(内容要求5)

10、设,a b 为非零向量,则a b ?( )a b ?.

(A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠

解:因为||||cos θ?=?a b a b ,所以|||||cos |||||θ?=??≤?a b a b a b ,选B 。(内容要求5)

11

、已知1,a b ==

a 与

b 的夹角为4π,则a b +=( ).

(A) (B) 1 (C) 2

(D) 1解:222||||2||||cos 5θ+=++?=a b a b a b

,所以,+=a b A 。(内容要求6)

12、设,a b 为非零向量,且⊥a b ,则必有( ). (A) +=+a b a b (B) -=-a b a b

(C) +=-a b a b (D) +=-a b a b 解:22222||||2||||cos ||||θ+=++?=+a b a b a b a b ,(c

o s θ=0) 22222||||2||||cos ||||θ-=+-?=+a b a b a b a b

所以选C 。(内容要求6)

13、设向量a

与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,,则 =++γβα222cos cos cos ;

解:222cos cos cos 1αβγ++=,所以填1。(内容要求7)

14、设向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,,已知,4,4π

βπ

α==则

γ=

解:因为向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,,,4

,4πβπα== 222cos cos cos 1αβγ++=,所以cos 0γ=,2πγ=,所以填2

πγ=。(内容要求7) 15、设{1,2,3},{2,4,}a b λ=-= ,且//a b ,则λ=( ); (A)

103 (B) 103

- (C) 6- (D) 6 解:因为//a b ,所以12324λ-==,所以选C 。(内容要求8) 16、设向量{2,1,10}a =-- ,{4,2,1}b =- ,则向量a 与向量b 的关系是( ). (A) 平行 (B) 斜交

(C) 垂直 (D) 不能确定

解:0?=a b ,所以选C 。(内容要求9)

17、已知向量}4,1,1{,-=⊥a a ,}1,,2{-=m b ,则=m ( );

A. 1

B. 1-

C. 2

D. 2-

解:因为a b ⊥ ,所以2402a b m m ?=--=?=- ,所以选D 。(内容要求9)

18、在空间直角坐标系中, 方程4

92

2y x z +=表示的曲面是( ); A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面 解:4

92

2y x z +=为椭圆抛物面,所以选A 。(内容要求10) 19、在空间直角坐标系中,方程222

=+z x y 表示的曲面是 ( ).

(A) 双曲抛物面 (B) 旋转抛物面 (C) 椭圆抛物面 (D) 圆锥面 解:222=+z x y 为圆锥面,所以选D 。(内容要求10)

20、空间直角坐标系中,方程222R y x =+表示的图形是( );

A. 圆

B. 球面

C. 椭球面

D. 圆柱面

解:222R y x =+为圆柱面,所以选D 。(内容要求10)

21、空间直角坐标系中,方程22y x z +=表示的图形是( );

A. 球面

B. 圆锥面

C. 圆柱面

D. 旋转抛物面

解:22y x z +=为旋转抛物面,所以选D 。(内容要求10)

22、空间直角坐标系中,方程224y x +=表示的图形是( );

A. 球面

B. 圆柱面

C. 圆锥面

D. 旋转抛物面

解:224y x +=为圆柱面,所以选B 。(内容要求10)

23、方程2244y z -=表示( ).

(A) 双曲柱面 (B) 双曲线 (C) 单叶双曲面 (D) 双叶双曲面

解:2244y z -=为双曲柱面,所以选A 。(内容要求10)

24、指出旋转曲面22

22z x y =+的一条母线和旋转轴( ). (A) 2

20z x y ?=?=?

,z 轴 (B) 220z x y ?=?=?,x 轴 (C) 2

20

z x y ?=?=?,y 轴 (D) 220z y x ?=?=?,y 轴 解:2222z x y =+为2

20z x y ?=?=?

绕z 轴旋转的旋转抛物面,所以选A 。(内容要求10) 25、平面

212

x y z ++=在,,x y z 轴上的截距分别是( ). (A) 1,1,22 (B) 12,1,2 (C) 1,2,1 (D) 2,1,2

解:化截距式方程为11

212

x y z ++=在,,x y z 轴上的截距为12,1,2,所以选B 。(内容要求11)

26、过三点(1,1,1)-,(2,2,2)--,(1,1,2)-的平面方程为( ).

(A) 320x y z --= (B) 321x y z --=

(C) 320x y z +-= (D) 320x y z -+=

解:过三点(1,1,1)-,(2,2,2)--,(1,1,2)-的平面法向量

1(2)1(2)12333396111(1)12023

=------=-=-++------i j k i j k

n i j k

所以所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0320--+-++=?--=x y z x y z ,所以选A 。(内容要求12)

27、求过点(1,0,1)-且与直线

241131

x y z -++==-垂直的平面方程. 解:过点(1,0,1)-且与直线241131

x y z -++==-垂直的平面的法向量就是直线 241131x y z -++==-的方向向量{1,3,1}-,所以所求平面方程为 (1)3(1)0320x y z x y z --+++=?---=(内容要求13)

28、求过点(1,1,1)且与直线

24113-+==+-x y z 垂直的平面方程. 解:直线24113

-+==+-x y z 的方向向量为{1,3,1}-,所以过点(1,1,1)且与直线24113

-+==+-x y z 垂直的平面方程为 1(1)3(1)10330x y z x y z --+-+-=?--+=(内容要求13)

29、求通过点(2 , 0 , -1)A 且与两直线

-1-2111x y z ==和3-12-13

x y z +==平行的平面方程. 解:所求平面法向量为11143213

i

j k n i j k ==---,于是所求平面方程为

4(2)3(1)043110x y z x y z ---+=?---=(内容要求13)

30、已知两条直线的方程是 1123:101x y z L ---==-,221:211

x y z L +-==,求过1L

且平行于2L 的平面方程.

解:所求平面法向量为1013211i

j k n i j k =-=-+,令

1231101

x y z ---===-得直线上的点(2,2,2),于是所求平面方程为

23(2)20320x y z x y z ---+-=?-++=(内容要求13)

31、过点(2,5,3)-且平行于xoz 面的平面方程为

解:因为平行于xoz 面的平面为y d =型,所以平面方程应填5y =-。或者,

xoz 面的平面的法向量为{0,1,0}n = ,所以平面方程为

0(2)1(5)0(3)0x y z ?--?++?-=

所以平面方程应填5y =-(内容要求13)

32、过点(2,1,3)-且与平面740x y z -+=垂直的直线方程为 解:过点(2,1,3)-且与平面740x y z -+=垂直的直线方向向量就是平面740x y z -+=的法向量{1,7,4}-,所以所填直线方程为213174

--+==-x y z 。(内容要求14) 33、求过点)4 , 2 , 1(且与两平面032=++-z y x 和01=--z x 的交线平行的直线方程. 解:两平面032=++-z y x 和01=--z x 的交线的方向向量为

2113101

i j k

n i j k =-=++-

所以,过点)4 , 2 , 1(与两平面032=++-z y x 和01=--z x 的交线平行的直线方程为

124 131

x y z ---==(内容要求14) 34、过点(1,2,3)-且平行于直线21234

x y z --==-的直线方程为( ). (A) 21234x y z --==- (B) 123234

x y z -+-==- (C) 21123x y z --==- (D) 123234

x y z ---==-

解:过点(1,2,3)-且平行于直线21234x y z --==-的方向向量为直线21234x y z --==-的方向向量{2,3,4}s =-

,由直线对称方程,选B 。(内容要求14) 35、已知直线

273

x y z ==和平面4-2-30x y az +=平行,则a = ( ); A. 2 B. -2 C. 3 D. -3

解:因为直线273x y z ==和平面4-2-30x y az +=平行,所以直线273

x y z ==的方向向量{2,7,3}s = 与平面4-2-30x y az +=的法向量{4,-2,}n a = 垂直,即 247(2)302a a ?+?-+=?=

故选A 。(内容要求15)

36、已知直线

3

12z y x =-=和平面0324=-+-mz y x 垂直,则=m ( ); A. 3 B. 3- C. 6 D. 6- 解:因为直线312z y x =-=和平面0324=-+-mz y x 垂直,所以直线3

12z y x =-=的方向向量{2,1,3}s =-

和平面0324=-+-mz y x 的法向量{4,-2,}n m = 平行,即 426213

m m -==?=- 故选C 。(内容要求15)

37、直线

12(2)3(1)132

x y z ---==的方向向量为( ). (A) {1,3,2}=s (B) 23{1,,}32

=s (C) 32{1,,}23

=s (D) {1,4,3}=s 解:因为直线12(2)3(1)132x y z ---==写成对称形式为1(2)(1)321

23

x y z ---==,所以方向向量为32{1,,}23s = ,故选C 。(内容要求16)

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员: 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙

空间解析几何与向量代数 摘要:深入了解空间解析几何与向量代数的概念,一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律,还有空间直线与平面的关系。 关键词:向量;向量代数;空间几何 第一部分:向量代数 第一节:向量 一.向量的概念: 向量:既有大小,又有方向的量成为向量(又称矢量)。 表示法:有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小,记作|a |。 向径(矢径):起点为原点的向量。 自由向量:与起点无关的向量。 单位向量:模为1的向量。 零向量:模为0的向量,记作.0或0 若向量a 与b 大小相等,方向相同,则称a 与b 相等,记作a =b ; 若向量a 与b 方向相同或相反,则称a 与b 平行,记作a //b 规定:零向量与任何向量平行;与a 的模相同,但方向相反的向量称为a 的负向量, 记作-a ;因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上,则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则: b a +b a 三角形法则: a + b b

a 运算规律:交换律a + b =b +a a 与b 结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +(a ) a b -a b b -a a 特别当b =a 时,有a -a =a (a )=0 ; 三角不等式:|b +a |; |a -b |; 3.向量与数的乘法是一个数,与a 的乘积是一个新向量,记作a 。 规定: a 与a 同向时,|a |=|a |; 总之:|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r (x,y,z ),作om r ,则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得: |r | |OM| B A 对两点A ()与B ()因AB OB OA () 得两点间的距离公式: |AB| |AB | 第二节:数量积 向量积

§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和,计算向量21M M 的模,方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=,求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影,及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23,求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及;及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -,求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.

3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ,问μλ与满足_________时,轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程为 __ _____________,曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周,生成的曲面方程 _____________,曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周,生成的曲面方 程为_____________,曲面名称为_____________________. 4)在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5)画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、

空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系(右手系)向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算(8—1,19) 方向角与方向余弦(8—1,15) 向量的数量积、向量积、混合积 (8—2,1、3、6、10; 总习题八,1(3)、(4))

应用:判断向量正交、 平行(共线)、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =, ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 (P23,例1、P24,例2,8—3,2、3)

旋转曲面(8—3,7、10) 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =; (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =;

(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =; (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =; (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为

(,0f x =; (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程(P33,例3)

()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影(P36,例4、例5、8—4,4) 平面及其方程 建立平面方程:点法式、一般式、截距式、三点式(8—5,1、2、3、6) 平面与平面的夹角(锐角)(8—5,5) 点的平面的距离(8—5,9)

高等数学-向量代数与空间解析几何复习

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示:→ -AB 或a (几何表示)向量的大小称为向量的模,记作||AB 、|a |、||a 1. 方向余弦:? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r =(x ,y ,z ),| r |=2 22z y x ++ 2. 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3. 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4. 向量加法(减法) ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5. a ·b =| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b =0(a ·b =b ·a ) 6. 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b =0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7. 数乘:),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ,→a 与→ b 夹角为3 π ,求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ,求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+

空间解析几何与向量代数习题

第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求用标准基i , j , k 表示向量c ; A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下,从点A (1,2,0)移动到点B (3, 2,-1),求力F 所作的功是:( ) A )5焦耳 B )10焦耳 C )3焦耳 D )9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是:( ) A )2 π B )4 π C )3 π D )π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12 21 3+=-=z y x 的距离是:( ) A )138 B 118 C )158 D )1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是:( ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( ) A ) 3 62 B ) 3 64 C )3 2 D )3 10. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:( ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //,则 B (A )、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2.平面x -2z = 0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1 (B)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){04404=--=--y x z x (D )?? ???==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 (A )、L 1⊥L 2 (B )、L 1点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l = -4 ,及m= 3 时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为

空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数 一、选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//,则 B (A )、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2.平面x -2z = 0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1 (B)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){ 4404=--=--y x z x (D )?????==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 (A )、L 1⊥L 2 (B )、L 1//L 2 (C )、L 1与L 2相交但不垂直。(D )、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1. 点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l = -4 ,及m= 3 时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.

空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1.设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//,则B (A )、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2.平面x-2z=0的位置是 D 。 (A)、平行XOZ坐标面。 (B)、平行OY轴 (C)、垂直于OY轴 (D)、通过OY轴 3.下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 (A)、x=1(B)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4.已知二平面π1:mx+y-3z+1=0与π2:7x-2y-z=0当m = B π1⊥π2。 (A)、1/7 (B)、-1/7 (C)、7 (D)、-7 5.二平面π1:x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ= C 。 (A)、2 π (B)、π/3 (C)、π/4 (D)、π/6 6.下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 (A )233211+=+=-z y x (C )1 0101z y x =-=+ (B ){ 4404=--=--y x z x (D )?????==+=4321z t y t x 7.直线L 1:{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2:{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 (A )、L 1⊥L 2(B )、L 1//L 2(C )、L 1与L 2相交但不垂直。(D )、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题

1.点P(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2.当l =-4,及m=3时,二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3.过点P(4,-1,3)且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为

高等数学-空间解析几何与向量代数练习题与答案

空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和,计算向量21M M 的模_________________, 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线 5 1132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线? ??=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方

5、已知:k i OA 3+=,k j OB 3+=,求OAB ?的面积。 参考答案 一 填空题 1、? ?????-±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==- =γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、5 31221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219== ?S

空间向量练习及答案解析

空间向量练习 一、选择题(共15小题,每小题4.0分,共60分) 1.已知平面α的一个法向量是(2,-1,1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A. (4,2,-2) B. (2,0,4) C. (2,-1,-5) D. (4,-2,2) 2.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC,若EA=1, 则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是() A. 120° B. 45° C. 150° D. 60° 3.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当 ·取得最小值时,点Q的坐标为() A. B. C. D. 4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD所成的角为60°;④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是() A.① B.② C.③ D.④ 5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点 E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是() A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 6.已知在空间四面体O-ABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC中点, 设=a,=b,=c,则等于() A.a+b- c B.-a+b+ c C.a-b+ c D.a+b-c 7.已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DC的中点,建立如图所示的空 间直角坐标系,则AB1与D1E所成角的余弦值为() A. B. C.- D.- 8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是棱CC1,BC,A1B1上的点, 若∠B1MN=90°,则∠PMN的大小() A.等于90° B.小于90° C.大于90° D.不确定 9.如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N分别是AB和SC的中点,SA=SB= SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为() A.- B. C.- D. 10.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平

向量代数与空间解析几何教案

第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。 教学重点:1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点:1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容: 一、向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。 2. 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3. 向量相等b a =:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。 4. 量的模:向量的大小,记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5. 量平行b a //:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6. 负向量:大小相等但方向相反的向量,记为a - 二、向量的线性运算 1.加减法c b a =+: 加法运算规律:平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图7-4

2.c b a =- 即c b a =-+)( 3.向量与数的乘法a λ:设λ是一个数,向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时,a λ与a 同向,||||a a λλ= 0)2(=λ时,0a =λ 0)3(<λ时,a λ与a 反向,||||||a a λλ= 其满足的运算规律有:结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量,那么 a a a 0= 定理1:设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是:存在唯一的实数λ, 使b =a λ 例1:在平行四边形ABCD 中,设a =,b =,试用a 和b 表示向量、、和MD ,这里M 是平行四边形对角线的交点。(见图7-5) 图7-4 解:→→==+AM AC 2b a ,于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC , 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ,于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB , 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。 2. 间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x 轴、y 轴、z 轴,坐标面分别 为xoy 面、yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7-2所示。图7-1右手规则演示 图7-2空间直角坐标系图 图7-3空间两点21M M 的距离图3.空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意:特殊点的表示

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第七章 矢量与空间解析几何 本章主要知识点 ● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程 ● 主要的几个立体图形及方法 一、矢量运算 着重掌握矢量的内积、叉积运算,并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用;掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。 1.矢量的内积 (1)?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的夹角 (2)若?Skip Record If...?, ?Skip Record If...? 且?Skip Record If...? (3)?Skip Record If...? (?Skip Record If...?为非零矢量) 例7.1.?Skip Record If...?,求?Skip Record If...?。 解:?Skip Record If...?。 例7.2.如果?Skip Record If...?,且?Skip Record If...?,求?Skip Record If...?。 解:?Skip Record If...? 得:?Skip Record If...? 得:?Skip Record If...?。 2.矢量的叉积?Skip Record If...? 如图所示,如果?Skip Record If...?不平行于 ?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?同时垂直 与?Skip Record If...?又垂直于?Skip Record If...?, 或者等价地,?Skip Record If...?垂直于由?Skip ??Ski p

(完整版)高等数学第七章向量

第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 空间直角坐标系 §7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法 一、判断题。 1. 点(-1,-2,-3)是在第八卦限。 ( ) 2. 任何向量都有确定的方向。 ( ) 3. 任二向量, =.则=同向。 ( ) 4. 若二向量, + ,则,同向。 ( ) 5. 若二向量b a ,满足关系b a ??-=a ?+b ? ,则b a ,反向。 ( ) 6. 若 +=+,则 = ( ) 7. 向 量 ,满 足 = ,则 ,同向。 ( ) 二、填空题。 1. 点(2,1,-3)关于坐标原点对称的点是 2. 点(4,3,-5)在 坐标面上的投影点是M (0,3,-5) 3. 点(5,-3,2)关于 的对称点是M (5,-3,-2)。 4. 设向量与有共同的始点,则与,共面且平分与的夹角的向量为 5. 已知向量a 与b 方向相反,且|2|a b =,则b 由a 表示为b = 。 6.设,有共同的始点,则以,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。 三、选择题。 1.点(4,-3,5)到oy 轴的距离为 (A )2225)3(4+-+ (B ) 225)3(+- (C )22)3(4-+ (D )2254+ 2.已知梯形OABC 、CB // OA 且 2 1 a ,OC = b ,则AB = (A ) 2 1 - (B )21- (C )-21 (D )21- 3.设有非零向量,,若a ⊥ b ,则必有

(A+(B+- (C+<-(D+>- 三、试证明以三点A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(2,4,3)为顶点的三角形为等腰直 角三角形。 四、在yoz平面上求与三个已知点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)、C(0,5,1)等距离的 点D。 六、用向量方法证明:三角形两边中点的连线平行与第三边,且长度为第三边的一半。

高数空间几何向量典型例题

例1 已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,棱长AB =BC =3,BB 1=4,连结B 1C ,过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于点E ,交B 1C 于点F . (1)求证:A 1C ⊥平面EBD ; (2)设A 1C ∩平面EBD =K ,求线段A 1K 的长; (3)求A 1B 与平面BDE 所成角的大小. 解法1:(1)证BE C A ⊥1,BD C A ⊥1,可得A 1C ⊥平面EBD . (2)在平面1BC 中用平几知识可求得4 9 = CE ,在对角面1AC 中,设AC 与BD 交于点O ,可求得22CE OC OE +=4173=,由面积法得34 34 9=CK , 2 121AA AC C A +=34=,34 342511= -=CK C A K A . (3)∵A 1C ⊥平面B DE ,∴∠A 1BK 就是所求的直线A 1B 与平面BDE 所成的角. ∴BK A 1sin ∠B A K A 11= 34345= ,∴直线A 1B 与平面BDE 所成的角为34 34 5arcsin . 解法2:(1)以D 为原点,DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴, z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ,则D (0,0,0),A (3,0,0),C (0,3,0),B (3,3,0),A 1(3,0,4),D 1(0,0,4),C 1(0,3,4), B 1(3,3,4). 设E (0,3,z ),则∵BE ⊥B 1C ,∴BE ·C B 1=0,BE =(-3,0,z ),B 1=(-3,0,-4), ∴·B 1C=(-3,0,z )·(-3,0,-4)=9-4z=0,∴z=49 , ∴E(0,3,4 9), ∴A 1·=-3×3+3×3=0,A 1·=3×3-4×4 9=0, ∴A 1⊥,A 1⊥,∴A 1⊥DB ,A 1C ⊥DE , ∴A 1C ⊥平面BDE . (2)DK =m +n =m (3,3,0)+n (0,3,49)=(3m ,3m +3n ,4 9n ), ∴K (3m ,3m +3n ,49n ),∴A 1=(3m -3,3m +3n ,4 9n-4), A 1⊥?A 1·=(3m -3,3m +3n , 4 9 n -4)·(3,3,0)=0, A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F

空间解析几何与向量代数教案

《高等数学A》课程教案 第七章空间解析几何 一、教学目的与要求 1、了解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念,了解常用二次曲面的方程及其图形,会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。 二、教学内容及学时分配: 第一节向量及其线性运算2学时 第二节数量积向量积和混合积2学时 第三节曲面及其方程2学时 第四节空间曲线及其方程2学时 第五节平面及其方程2学时 第六节空间直线及其方程2学时 三、教学内容的重点及难点: 重点: 向量概念与运算,旋转曲面方程,柱面方程,平面方程直线方程

难点:向量的数量积与向量积,旋转曲面方程,平面束方程,有关直线与平面的综合题 四、教学内容的深化和拓宽: 1、空间直角坐标系的作用,向量的概念及其表示。 2、向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),两个向量垂直、平行的条件。 3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 5、曲面方程的概念,常用二次曲面的方程及其图形, 五、教学方法与手段 启发探索式教学方法,结合多媒体课件教学。

空间解析几何与向量微分

第七章:空间解析几何与向量微分 本章内容简介 在平面解析几何中,通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来,把平面上的图形和方程对应起来,从而可以用代数方法来研究几何问题,空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 7.1空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 为了沟通空间图形与数的研究,我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。(如下图所示) 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后,就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例:设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标,纵坐标和竖坐标。(如下图所示)

坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 例:如果点M在yOz平面上,则x=0;同样,zOx面上的点,y=0;如果点M在x轴上,则y=z=0;如果M是原点, 则x=y=z=0,等。 二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点,为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式: 例题:证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答:由两点间距离公式得: 由于,所以△ABC是一等腰三角形 7.2 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外,还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点,若以P1为始点,另一点P2为终点的线段称为有 向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个 坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中

空间解析几何与向量代数复习题

第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量的模是(A ) A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =(1,-1,3), b =(2,-1,2),求c =3a -2b 是( B ) A (-1,1,5). B (-1,-1,5). C (1,-1,5). D (-1,-1,6). 3. 设a =(1,-1,3), b =(2, 1,-2),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面和的夹角是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点到直线L :的距离是:( A ) A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是:( D ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( A ) B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于轴,且过点和的平面方程是:( D ) A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D . 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ,则必有( C ); A -+a b =a b ; B =a b ; C 0?a b =; D ?a b =0. 11、设,a b 为非零向量,且a b ⊥, 则必有( C ) A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b

高等数学第空间向量与解析几何练习题+考研真题 Microsoft Word 文档 (5)

第八章练习题 (一)填空题 1. 直线 2 2111z y x =+=--与z 轴夹角的余弦是 . 2. 设直线 x y z -= += 1 1 1 2 5 在平面x +2y -z +k =0上,则 k =______. 3. 球面x 2-2x +y 2+y +z 2=0的球心是______. 4. 点(-1,-2,-1)到平面0522=-++z y x 的距离d= . 5. 方程22y x z +=表示的二次曲面是 . (二)选择题 1.同时与向量a ={2,1,4}和z 轴垂直的向量是 ( ) A . {-2,1,0} B . {1,-2,0} C . {2,1,0} D. {1,2,0} 2.若一直线的方向向量为{2,3,3},则此直线与z 轴的夹角是( )。 A . 0 B . 3 π C . 2 π D. 4 π 3. 设向量k j b k,j a 2 3 213-=+-=,那么( )。 A .a b ⊥ B . a ∥b 且a b ,同向 C . a ∥b 且a b ,反向 D. a 与b 既不平行,也不垂直 4.与向量a ={1,0,-1} 垂直的单位向量是( ) A .{-1,0,1} B . {1,0,1} C . { 2 1, 0,2 1} D.{1/2, 0,1/2} 5.方程y +z =0 的图形是( )的平面. A .平行于坐标面yz B .平行于y 轴 C .过x 轴 D.平行于z 轴 6.过点(1,2,1)M -且与平面010352=-+-z y x 平行的平面方程式是-------( ) A. 2(1)5(2)3(1)0x y z ---+-=; B. 253110x y z +++= C. 253110x y z -++=; D. 253110x y z ---= (三)计算题 1.求过点(1,1,1)且平行于直线???=--=-+0 2223z x z y x 与 11122z y x =-+=-的平面方程.

高等数学空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何及向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明 确学习空间解析几何的意义和目的。 教学重点:1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点:空间思想的建立 教学内容: 一、空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以2 角度转向正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正向。

2. 间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x 轴、y 轴、z 轴,坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7-2所示。图7-1右手规则演示 图7-2空间直角坐标系图 图7-3空间两点21M M 的距离图3.空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通 过坐标把空间的点及一个有序数组一一对应起来。 注意:特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点; b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4.空间两点间的距离。 若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点, 则21M M 的距离(见图7-3),利用直角三角形 勾股定理为: 222212221 22 12NM pN p M NM N M M M d ++=+== 而 121x x P M -= 12y y PN -=

1 22z z NM -= 所以 21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-== 特殊地:若两点分别为),,(z y x M ,)0,0,0(o 222z y x oM d ++== 例1:求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(2222 21=-+-+-=M M 6)23()12()75(222232=-+-+-=M M 6)13()32()45(222213=-+-+-=M M 由于 1332M M M M =,原结论成立。 例2:设P 在x 轴上,它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍,求点P 的坐标。 解:因为P 在x 轴上,设P 点坐标为)0,0,(x ()11 3222221+=++=x x PP ()211222 22+=+-+=x x PP 212PP PP = 221122+=+∴x x 1±=?x

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