指数函数及其性质(一)学案
学习任务:(1)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指
数函数的单调性和特殊点; (2)在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等.
学习重点:指数函数的的念和性质.
学习难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 学习过程:
一、 实例学习
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个, 2个分裂成4个,……依此类推,写出1个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的函数解析式?
问题2:公元前300年左右,中国有位杰出的学者庄子,在他的文章《庄子·天下篇》 中写道:一尺之棰,日取其半,万世不竭。意思是,一尺长的木棍,每天截掉一半,千年万载也截不完!设第 x 天截得的木棍长度为y 尺。根据这句话,试求x 与y 之间的函数关系。
解答:问题1函数解析式为_________ 问题2函数解析式为_______ 思考(1)以上两个函数有何共同特征?
(2)这类函数与我们学过的函数y=x,21,x y x y ==-一样吗?有什么区别?
二、指数函数的概念学习
1.指数函数的定义:一般地,函数_____________________叫做指数函数,其中x 是自
变量,函数的定义域为_____________.
2.指数函数解析式的特征:___________________________________________________
3. 为什么规定底数a >0且a ≠1呢?为什么定义域为R ?
4. 利用指数函数的定义解决:
例1:判断下列函数是不是指数函数,为什么?
2
1
233
31
3
3
x
x
x
x x
x
x
y x y x y y y y y y π+-====?==+=-=① ② ③ ④
⑤ ⑥⑦⑧
注意:指数函数的解析式y=x a 中,x a 的系数是1
()(0,1)(0),(1),(3).x
f x a a a f f f π=>≠-例2:已知函数且的图象经过点(3,).求思考:确定一个指数函数需要什么条件?
01x
y a a a =>≠三、指数函数(且)的图象特征的学习
12(
)2
x
x
y y ==1.在同一直角坐标系中用描点法画出函数与的图象;
列表: 2x y =
1(
)
2x
y =
描点、连线:
2.观察底数a 取其它值时函数图象变化的情况
y a 归纳结论:
(1)两个指数函数的图象关于轴对称时其解析式的特点:____________(2)指数函数的图象与底数之间的规律:______________
9 1 2 3 4 5 6 7 0 8 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x
y
观察、思考:
(1) 这两个函数的图象有什么关系? (2) 这两个函数的图象各有什么特点? 试着从以下几个方面找出这两个图象的共同点和不同点: ① 图象范围
② 图象经过的特殊点
③图象从左向右的变化趋势
01x
y a a a =>≠四、指数函数(且)的图象特征的学习
你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗?请完成下面表格
五、指数函数的应用
例题3 较下列各题中几个值的大小:
2.5
3
0.1
0.2
0.3
3.1
1.7
,1.7
0.8
,0.8
1.7
,0.9
--①②③
例题3解题方法小结:比较两个指数数幂的大小
巩固练习一:
1
3
21.______.
2
.
.2
.32
x x
x
A y
B y x
C y
D y +-====-下列函数一定是指数函数的是
(21),x
y a a =-2.函数为指数函数求满足的范围______ 0.7
0.9
0.8
0.8
,0.8
, 1.2
,,,a b c a b c ===3.已知则的大小关系是_________
(0.7)(0.7),m
n
m n >4.若则和的关系是____
六、课时小结
这节课我们主要学习了指数函数极其基本性质,对于函数y=a x (a>0,且a≠1)叫做指数函数。对上述性质,要求同学们必须熟练掌握应用,但不要求死记硬背.函数图象是研究函数的直观工具,利用图象便于记忆函数的性质和变化规律,掌握研究初等函数的基本方法和步骤有:(1)先给出函数的定义 (2)作出函数的图象 (3)从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面来研究函数的性质。
(0.7)
(0.7),m
n
m n >例4:若则和的关系是____
2
1
1
6:2
2
x x -+>例解不等式
2
1
1
:(0,,1)x x a
a
a a -+>>≠变式1解不等式且
2
2(31)(21)
12
()0.314
x x
x x x +--+<≥变式2:解不等式①②
例4-例6解题方法小结——解指数不等式:________________________________________
62
63555
(1),_______
(2),_______a a a a a a a <<例5:求满足下列不等式的正数的范围
正数的取值范围是正数的取值范围是
2.1.2指数函数 教学目标: 1.通过细胞分裂的实例,了解指数函数模型的实际背景,感受指数模型在现代科技中的应用。 2.理解指数函数的概念、图象和性质。 3.能运用指数函数的单调性解决比较两个指数式的大小等问题。 课前预习: 1、指数函数的概念、图象和性质。 指数函数定义: 一般地,函数x y a =(0a >且1a ≠)叫做 ,其中x 是 ,函数定义域是 . 2、指数函数的图象和性质: 思考:指出下列函数哪些是指数函数: ①23x y = ②4x y = ③23x y = ④32x y =? ⑤31x y =+ ⑥3x y =- 练习.函数2(33)x y a a a =-+为指数函数,求a 的值。
课内探究: 1. 比较大小: 31.9 1.9π--与; 2.如图是指数函数:①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d =的图象,求a 、b 、c 、d 的关系
当堂检测: 1.设0.90.48 1.51231 4,8,()2y y y -===,则它们的大小关系为 。 2.若函数1(01)x y a b a a =+->≠且的图象经过第二、三、四象限,则一定有( ) ①01,0a b <<>且 ② a >1,且b >0 ③01,0a b <<<且 ④ a >1,且b <0 3.已知实数a ,b 满足等式11()()23a b =,下列五个关系式 ①0。
3.1.2《指数函数》学案(一) 姜永章 刘欢 张志华 2012.10.13 一、课标点击 (一)学习目标: 1、理解指数的定义并掌握指数函数的图象和性质; 2、能够利用指数函数的图象和性质解决有关问题。 (二)学习重、难点: 重点:指数函数的图象和性质 难点:指数函数的图象和性质的应用 (三)教学方法 自主探究,合作交流。 二、学习探究 问题1: 1、某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……. 1个这样的 细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 2、质量为1的一种放射性物质不断地衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约为原来的50%,求这种物质的剩留量y 与时间 x 的函数关系。 观察你写的两个函数解析式,它们的共同特征是什么?你能写出这类解析的一般形式吗? 学习探究(一) 1、指数函数的定义: 。 2、小练习 指出下列函数哪些是指数函数: ① x y 4=; ② x y 4-=; ③ x y )4(-=; ④ x y π=; ⑤24x y =; ⑥x y 32?=; ⑦(21)x y a =-(12 1 ≠>a a 且) 3、思考与讨论: (1)为什么指数函数的定义中要规定a>0,且a ≠1呢? (2)如何判断一个函数是否为指数函数? 问题2、 作函数x y 2=与x y )2 1 (=的图象,并观察图象指出它们的性质。 学习探究(二) 1
2、思考与讨论: (1)底数大小与函数单调性的关系? (2)指数函数,0(>=a a y x 且1≠a ),x 取何值时, 1>y ?x 取何值时,10<
一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》(人教版)第二章(2.1.2) 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 (一)内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况,我把这部分内容分为两节课来讲。其一,探究图象及其性质;其二,指数函数及其性质的应用。这是第一节课,所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数,它一方面可以进一步深化学生对函数的理解,使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法,另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 (二)目标和目标解析 1、知识目标:理解并掌握指数函数的定义,熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图,会判断指数函数的单调性,并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标:一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力;另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标:通过主动探究,合作交流学习,使学生养成积极思考,勇于探索的思想,同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维。在教学过程中通过类比,回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法,加深对指数函数的认识,让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;同时通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流的意识。 (三)教学问题诊断分析
指数函数及其性质教案 课题:指数函数及其性质(第1课时) 教材:普通高中课程标准试验教科书人教社A 版,数学必修1 教学内容:第二章,基本初等函数(I ),2.1.2指数函数及其性质 教学目标 1. 知识目标:理解指数函数的概念,初步掌握指数函数的图像和性质 2. 能力目标:通过定义的引入,图像特征的观察,培养学生的探索发现能力,在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 3. 情感目标:通过学生的参与过程,培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点﹑难点 重点:指数函数的概念和图像 难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 (一)指数函数概念的构建 1.探究:本节问题2中函数)0()2 1 (5730≥=t P t 的解析式与问题1中函数 )20,(073.1* ≤∈=x N x y x 的解析式有什么共同特征? 师生活动:教师提出问题引导学生把对应关系概括到x a y =的形式,学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 3.剖析概念 (1)规定底数a 大于零且不等于1的理由: 如果a =0,?????≤>无意义 时,当; 恒等于时,当x x a x a x 000 如果,2 1 ,41,)4(,0= -= 2.1.2 指数函数及其性质(二) 自主学习 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系,能运用指数函数的单调性解决一些问题. 2.理解指数函数的底数a 对函数图象的影响. 基础自测 1.下列一定是指数函数的是( ) A .y =-3x B .y =x x (x >0,且x ≠1) C .y =(a -2)x (a >3) D .y =(1-2)x 2. 指数函数y =a x 与y =b x 的图象如图,则( ) A .a <0,b <0 B .a <0,b >0 C .01 D .02 C .-10,且a ≠1),求x 的取值范围. 规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性,它的一般步骤为 变式迁移2 已知(a 2+a +2)x >(a 2+a +2) 1-x ,则x 的取值范围是____________. 指数函数的最值问题 【例3】 (1)函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ,求a 的值; (2)如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1)在[-1,1]上有最大值14,试求a 的值. 规律方法 指数函数y =a x (a >1)为单调增函数,在闭区间[s ,t ]上存在最大、最小值,当x =s 时,函数有最小值a s ;当x =t 时,函数有最大值a t .指数函数y =a x (00,a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6,求a 的值; (2)0≤x ≤2,求函数y =4x -12 -3·2x +5的最大值和最小值. 1.指数函数的定义及图象是本节的关键.通过图象可以求函数的值域及单调区间. 2.利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小 (1)当两个正数指数幂的底数相同时,直接利用指数函数的单调性比较大小. (2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时,可利用两个指数函数的图象比较它们 2.1.2指数函数及其性质(二) 自主学习 1.理解指数函数的单调性与底数a的关系,能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响. 基础自测 1.下列一定是指数函数的是() A.y=-3x B.y=x x(x>0,且x≠1) C.y=(a-2)x(a>3) D.y=(1-2)x 2. 指数函数y=a x与y=b x的图象如图,则() A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.01 D.02 C.-1 规律方法 比较两指数大小时,若底数相同,则先构造出该底数的指数函数,然后利用单调性比较;若底数不同,则考虑选择中间量,通常选择“1”作为中间量. 变式迁移1 比较????4313,223,????-233,????3412的大小. 解简单的指数不等式 【例2】 如果a 2x +1≤a x - 5(a >0,且a ≠1),求x 的取值范围. 规律方法 解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性,它的一般步骤为 变式迁移2 已知(a 2+a +2)x >(a 2+a +2)1- x ,则x 的取值范围是____________. 指数函数的最值问题 【例3】 (1)函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ,求a 的值; (2)如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1)在[-1,1]上有最大值14,试求a 的值. 2.1?2-1指数函数的概念学案 1.2-1指数函数的概念学案 课前预习学案 一.预习目标 通过预习理解指数函数的概念 简单掌握指数函数的性质 二.预习内容 1.一般地,函数 叫做指数函数. 2.指数函数的定义域是 值域 3.指数函数的图像必过特殊点 4.指数函数,当 时,在上是增函数;当 时, 在上是减函数. 三.提出疑惑通过以上自我预习你还有什么疑惑请写在下面 的横线课内探究学案 一.学习目标 理解指数函数的概念能画出具体的指数函数图象 在理解指数函数概念、性质的基础上,能运用所学知识解决简单的数学问题 学习重点:指数函数概念、图象和性质 学习难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 二.学习过程 探究一 1.函数是指数函数,则有 A.a=1或a = 2 B. a=1 C. a = 2 D. a >0且 2.关于指数函数和的图像,下列说法不正确的是 A.它们的图像都过点,并且都在x轴的上方. B.它们的图像关于y轴对称,因此它们是偶函数. C.它们的定义域都是R,值域都是. D.自左向右看的图像是上升的,的图像是下降的. 3.函数在R上是减函数,贝U的取值范围是 A、B、c、D、 4.指数函数f的图像恒过点,则f = 5.函数的单调递增区间是。 探究二 例1:指出下列函数那些是指数函数: 例2:求下列函数的定义域与值域: 例3:将下列各数从小到大排列起来: 三.当堂检测 1.下列关系式中正确的是 A.VV B.VV C.VV D.VV 2 .若一1VxV 0,则下列不等式中正确的是 A.VV B.<< C.VV D.VV 3.下列函数中值域是的函数是 A. B. C. D. 4 .函数的值域是 A、B、c、D、 课后练习与提高 1 .函数图像在不在第二象限且不过原点,则m的 取值范围是 A.a>1 b.a>1且mV0 C.OVaV 1且 指数与指数函数复习学案(解析篇) 【高考要求】指数函数(B ) 【学习目标】理解有理数指数幂的含义;了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 【学习重难点】指数函数的性质及其应用 (课前基础知识回顾,事先发给学生填写,课上用投影打出一起回顾) 一、根式 1.根式的概念 2.两个重要公式 (1)n a n =??? a , n 为奇数, |a |=? ???? a (a ≥0),-a (a <0), n 为偶数; (2)(n a )n =a (注意a 必须使n a 有意义). 二、有理数指数幂 1.幂的有关概念 (1)正分数指数幂:a m n =n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); (2)负分数指数幂:a -m n =1a m n =1 n a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1); (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质 (1)a r a s =a r + s (a >0,r ,s ∈Q); (2)(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q); (3)(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q).最新2.1.2指数函数及其性质(二)学案(人教A版必修1)汇编
人教新课标版数学高一必修1学案 2.1.2指数函数及其性质(二)
2.1.2-1指数函数的概念学案
指数与指数函数复习学案