一元二次函数分类练习题

一元二次函数分类练习题

【二次函数的定义】

（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .

①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2

+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

4、若函数y=(m －2)x m －2

+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。

6、已知函数y=(m －1)x m2 +1

+5x －3是二次函数，求m 的值。

7..函数245

(5)21a a y a x

x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数.

8.将121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ?=_____。

9,已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为

【二次函数的对称轴、顶点、最值】

★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 1、开口方向; 2、对称轴; 3、顶点; 4、与x 轴的交点; 5、与y 轴的交点 关系式 一般式y=ax 2＋bx+c （a ≠０）

顶点式y=a(x-h) 2＋k （a ≠０） 图象形状 抛物线

开口方向 当a>0时，开口向____ ；当a<0时，开口向_____

顶点坐标 ），（a

4b -ac 4a 2b -2 ），（k h

对称轴

直线x=-a

2b 直线x=h 特别地：两根式y=(x-x 1)(x-x 2) x=h=(x 1+x 2)/2

增减性

a>0

对称轴左侧，即x<-a 2b

或x-a 2b

或x>h ，y 随x 的________ a<0

对称轴左侧，即x<-a

2b

或x-a

2b

或x>h ，y 随x 的

_________而_________________ 最大值或最小值

a>0

当x=-a

2b

时，y 最小＝a

4b -ac 42

当x=h 时，y 最小＝k

a<0

当x=-a

2b

时，y 最大＝a

4b -ac 42

当x=h 时，y 最大＝k

a,开口方向问题：

1，二次函数52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则a 的取值范围是

2,若抛物线

2

2y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a < Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤

b,对称轴问题：

1，若二次函数k ax y +=2，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为

2.抛物线y=(k-1)x 2+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____

3.若二次函数3622+-=x x y 当X 取两个不同的值X1和X2时，函数值相等，则X1+X2= c,顶点：

1.抛物线42++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为:_________.

2.若函数k h x y ---=2)(的顶点在第二象限,则h 0 ，k 0

3.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３,０）点求解析式？

4.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（ ） （A ）8 （B ）14 （C ）8或14 （D ）-8或-14

5.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9

6..若0

（A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限

7实数X,Y 满足0332=-++y x x 则X+Y 的最大值为 . d,与x 轴的交点：

已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。

1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14

5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴

6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －1

4

的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .

7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。

8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。

13.抛物线5)43()1(22+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝

【函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质】

1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。

2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。 3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2+8x －2； （3）y=－1

4 x 2+x －4

5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

6．把抛物线y=－2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？

【函数y=a(x －h)2的图象与性质】

1．填表：

抛物线

开口方向

对称轴 顶点坐标

()2

23--=x y ()232

1

+=

x y

2．已知函数y=2x 2,y=2(x －4)2，和y=2(x+1)2。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2？

3．试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2

3 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单

位。

4．试说明函数y=1

2

(x －3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增

减性、最值）。

5．二次函数y=a(x －h)2的图象如图：已知a=1

2 ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析

式。

【二次函数的增减性】

1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。

3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .

4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+5

2 的图象上有三点

A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3

5.抛物线2)13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大.

6.已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）

A ．若12y y =，则12x x =

B ．若12x x =-，则12y y =-

C ．若120x x <<，则12y y >

D ．若120x x <<，则12y y >

7..若),4

1(),,45(),,413(321y C y B y A --为二次函数

245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）

A ．123y y y <<

B ．213y y y << 8.右图是二次函数

y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的 图像，?观察图像

写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．

【二次函数图象的平移】

向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位

向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位

向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位

y=a (x-h )2+k

y=a (x-h )2

y=ax 2+k

y=ax 2

口诀：左加右减，上加下减。（要在括号内进行）

6.抛物线y= －3

2 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线

的关系式为 。

7.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。

8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

9.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

10.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .

11.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线

经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.

12.抛物线

c bx x y ++=2

图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为

322

--=x x y ，则b 、c 的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0

C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

【函数图象与坐标轴的交点】

11.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。 12.直线y=7x+1与抛物线y=x 2

+3x+5的图象有 个交点。 【函数的的对称性】

二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2

y ax bx c =---；

()2y a x h k

=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2

y ax bx c =-+；

()2y a x h k

=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2

y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22

2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k

=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．

13.抛物线y=2x 2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。 14.抛物线y=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3，则

a= b= c=

二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X 轴的对称图象的解析式为

关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为

二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有_ _个，交点坐标为_______。

25.已知二次函数222--=x ax y 的图象与X 轴有两个交点，则a 的取值范围是

26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。

【函数的图象特征与a 、b 、c 的关系】

1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0

C.a>0,b<0,c=0

D.a>0,b<0,c<0

2.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a

C ．a-b+c> 0

D ．c< 0

3.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论： ①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为

（ ）

A ．①②

B ．①④

C ．①②③

D ．①③⑤

4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）

5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )

6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5所示，那么abc ，b 2－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c

四个代数式中，值为正数的有( )

1

x

A y

O 1

x B

y O 1

x

C

y

O 1

x

D

y

O

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

7.在同一坐标系中，函数y= ax 2

+c 与y= c

x

(a

A B C D

8.反比例函数y= k

x 的图象在一、三象限，则二次函数y ＝kx 2-k 2x-1c 的图象大

致为图中的（ ）

9.反比例函数y= k

x 中，当x> 0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx 2+2kx

的图象大致为图中的（ ）

A B C D

10.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0;

④

当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

11.37已知y=ax 2+bx+c 的图象如下，

则：a____0 b___0 c_ __0

0 2 3

-

x

y

a+b+c____0，

a-b+c_ _0。2a+b____0 b 2-4ac___0 4a+2b+c 0

12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示． 有下列结论：

①2

40b ac -<； ②0ab >；

③0a b c -+=； ④40a b +=；

⑤当2y =时，x 等于0．

⑥02=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑦22=++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑧0102=-++c bx ax 有两个不相等的实数根 ⑨42-=++c bx ax 有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ）

13..小明从右边的二次函数c bx ax y ++=2图象中，观察得出了下面的五条信息：

14.①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，

15.⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（ ）

Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5

16.已知二次函数c bx ax y ++=2，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．

17.直已知y=ax 2+bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。

C A y x

O

18.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则 （ ）

（A ） ac+1=b

（B ） ab+1=c （C ）bc+1=a （D ）以上都不是

【二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）】 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程2

0ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.

图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()

x x ≠，其中的

12x x ，是一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离

2214b ac

AB x x a

-=-=

.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2. 抛物线

2

y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝

（写一个即可）

2. 二次函数y ＝x 2

-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

4. 如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于

点C ， 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4

C.3

D.1

5. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离

平方等于为

49

25

，则m 的值为( ) A.－2 B.12

C.24

D.48

6. 若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值

范围是

7 .已知二次函数2)3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值为

8.已知抛物线y ＝x 2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

9.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0 10.已知二次函数y=x 2+mx+m-5，求证①不论m 取何值时，抛物线总与x 轴有两个交点；②当m 取何值时，抛物线与x 轴两交点之间的距离最短。

11.如果抛物线y=2

1x 2

-mx+5m 2与x 轴有交点，则m______

【函数解析式的求法】 一、

已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解

三元方程组求解；

1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

3.已知二次函数当x=4时Y有最2值是１.且过（6.０）点求解析式？

4.已知抛物线在X轴上截得的线段长为６.且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写）

5.y= ax2+bx+c图象与x轴交于A、B与y轴交于C，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。

1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x

)(x－

1

)。

x

2

1．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。

7．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

8．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。

9．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、

（3,0），则b＝，c＝ . 10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。

11．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式

（1）当x=3时，y

最小值

=－1，且图象过（0，7）

（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3 2

（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）

11．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式

12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

13．知二次函数图象顶点坐标（－3，12 ）且图象过点（2，112 ），求二次函数解

析式及图象与y 轴的交点坐标。

14．已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)， (－1,0)与y 轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

15若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 1

2

对称，那么图象

还必定经过哪一点？

16．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

17．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= －

1

2

x+2上，求函数解析式。