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2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点03 利用函数的图象研究函数性质(含答案解析)

2020年新课标高考数学二轮热点专题提升-考点03 利用函数的图象研究函数性质

第1讲利用函数的图像探究函数的性质（1）

【知识框图】

【自主热身，归纳提炼】

1、(2017苏州暑假测试）若函数6,2,

()(0,1)3log ,2,a x x f x a a x x -+?=>≠?

+>?

≤的值域是[4,)+∞，则实数

a 的取值范围是

．

【答案】12a <≤．

解析作出函数的图象，易知当2x ≤时，()64f x x =-+≥，要使()f x 的值域为[4,)+∞，由图可知，显然1a >且3log 24a +≥，即12a <≤．

2、(2016苏锡常镇调研）已知函数f (x )＝||2x －2(x ∈(－1,2))，则函数y ＝f (x －1)的值域为________．【答案】[0,2)

解法1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域．画出函数f (x )＝|2x －2|的图像．由下图易得值域为[0,2)．

解法2 因为x ∈(－1,2)，所以2x

∈? ????12，4，2x

－2∈? ??

??－32，2，所以|2x －2|∈[0,2)．因为y ＝

f (x －1)是由f (x )向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以y ＝f (x －1)的值域为[0,2)．

3、(2017苏锡常镇二模）已知函数f (x )＝???

4， x ≥m ，

x 2＋4x －3， x

若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有

三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】(1,2]

解法 1 问题转化为g (x )＝0，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，即???

x ≥m ，

4＝2x 或

??? x

因为方程f (x )＝2x 有三个不同的解，所以???

2≥m ，1

－3

解得1

解法2 由题意知函数g (x )＝???

4－2x ， x ≥m ，

x 2＋2x －3， x

图像，可知函数g (x )的三个零点为－3，1,2，因此可判断m 在1与2之间．当m ＝1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m ＝2时，图像包含点(2,0)，符合题意．所以1

4、(2016南京学情调研）已知直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝??????x ＋1x －??????

x －1x 恰有四个不同的

交点，则实数k 的取值范围为________．

【答案】????

－18，0，18

解析：由题意得f (x )＝??????x ＋1x －??????

x －1x 是偶函数，且f (x )＝?????

－2

x ， x ≤－1，

－2x ，－1

， x ≥1，作出曲

线的图像(如图所示)．当k ＝0时，直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝??????x ＋1x －??????

x －1x 有四个公共点；

当k >0时，要使它们有四个公共点，则需y ＝kx ＋1与y ＝－2

x (x ≤－1)有一个公共点，此时kx ＋

＝－

x，即方程kx

2＋x＋2＝0有两个相等的实数解，从而Δ＝1－8k＝0，解得k＝

8；当k<0时，根据对称性可得k＝－

8.从而满足条件的k的取值范围是??

－

8，0，

易错警示本题会忽视当直线与y＝－

x相切时，其实就是有四个交点．处理动直线与曲线交点时要注意两个特殊情形：一是过端点，二是相切的时候．

5、(2017南京学情调研）已知函数f(x)＝

?12x－x3，

x≤0，

－2x，

x＞0.

)当x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范

围为[－16，＋∞)，则实数m的取值范围是________．

答案：[－2,8]

解析：由于f(x)的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数f(x)在R上的单调性及相关的性质，然后根据f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16时的x的值，借助于函数f(x)的图像来对m的取值范围进行确定．

当x≤0时，f(x)＝12x－x3，所以f′(x)＝12－3x2.令f′(x)＝0，则x＝－2(正值舍去)，所以当x ∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x∈(－2,0]时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，故函数f(x)在x≤0时的极小值为f(－2)＝－16.当x＞0时，f(x)＝－2x单调递减，f(0)＝0，f(8)＝－16，因此，根据f(x)的图像可得m∈[－2,8]．

解后反思根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力．

6、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 答案. {2}

思路点拨首先判断f (x )是偶函数，而偶函数有唯一零点时，零点只能是x ＝0.

解析：f (x )是偶函数，若f (x )有唯一零点，故f (0)＝0，由f (0)＝0，得m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2

－2cos x ＋2＝x 2

＋4sin 2x

2，有唯一零点x ＝0；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋4cos x －4.因为f (2)＝4cos2＜0，f (π)＝π2－8＞0，所以在(2，π)内也有零点，不合题意．

解后反思因为f (0)＝0只是偶函数f (x )有唯一零点的必要条件，所以检验是必须的．说明不充分常用举反例的方法．【问题探究，开拓思维】

题型一、运用图像研究函数零点的个数

知识点拨：运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像，观察图像交点的个数。由于答案依赖于图像因此，要正确规范的做出图像，该标的关键的点、线要标出，另外有时为了更好地作图也要多对函数进行调整，变成常见的函数。

1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间

[2，4)上???<≤-<≤-=43,43

2,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为

【答案】. 5

【解析】因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出

函

数f(x)在区间[2，4)

上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

解后反思本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．

【变式1】(2017南通期末）已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝????

1－|2x －3|，1≤x <2，12f ? ??

12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．

【答案】11

【解析】解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝???

2x －2，1≤x ≤3

2，4－2x ， 32

设x ∈[2n －1,2n )(n ∈N *)，

则

n －1∈[1,2)，又f (x )＝

12n －1f ? ??

12n －1x ， ①当x

2n －1∈??????1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2

]，所以f (x )＝12n －1f ? ????12n －1x ＝12n －1? ??

??2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1? ????2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；

②当x

2n －1∈? ????32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n )，所以f (x )＝12n －1f ? ????12n －1x ＝12n －1? ??

??4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1? ?

???4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x

∈(3·2n －2,2n )，所以无解．

综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.

解法2 由题意得当x ∈[2n －1,2n )时，因为f (x )＝

2n －1·f ? ????12n －1x ，所以f (x )max

＝f ? ????32·2n －1＝12n －1.令

【精品】江苏高考数学试卷及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷) 数学Ⅰ 参考公式：样本数据 12,, ,n x x x 的方差2 2 1111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1。若复数12429,69z i z i =+=+,其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★. 【答案】20- 【解析】略 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30 ,||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b ★。

【答案】3 【解析】2332=?? =a b 。 3。函数 32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★。【答案】 (1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由 (11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-. 4。函数 sin()(,,y A x A ω?ω? =+为常数， 0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ★。【答案】3 【解析】3 2T π=， 23T π =，所以3ω=, 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位:m ）分别为2.5，2.6，2.7，2。8，2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★. 【答案】0。2 【解析】略

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次,学生 1号 2号 3号 4号 5号甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2 s =★。【答案】2 5 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W =★。【答案】22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为★。【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 3 :103C y x x =-+上, 且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★. 【答案】 (2,15)- 【解析】略 10.已知51 2a -= ，函数()x f x a =，若实数,m n 满足 ()()f m f n >，则,m n 的大小关系为★. 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合 {}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞,若A B ?则实数a 的取值范围是 (,)c +∞，其中c =★。【答案】4 【解析】由 2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4. 12。设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；结束

高三数学二轮复习教学案一体化：函数的性质及应用(2)

专题1 函数的性质及应用（2）高考趋势 1.函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想．在江苏高考文理共用卷中，函数小题（不含三角函数）占较大的比重，其中江苏08年为3题，07年为4题． 2.函数的图像往往融合于其他问题中，而此时函数的图像有助于找出解决问题的方向、粗略估计函数的一些性质。另外，函数的图像本事也是解决问题的一种方法。这些高考时常出现。图像的变换则是认识函数之间关系的一个载体，这在高考中也常出现。通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质。在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察。在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易。考点展示 1. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是 B 2. 函数x y 1=的图像向左平移2个单位所得到的函数图像的解析式是 21 +=x y 3. 函数 )(x f 的图像与函数2)1(2---=x y 的图像关于 x 轴对称，则函数 )(x f 的解析式是 2)1(2+-x 4. 方程22 3x x -+=的实数解的个数为 2 5. 函数)1(x f y +=的图像与)1(x f y -=的图像关于 x=0 对称函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，大致有两类：一类是同一个函数图象自身的对称性；一类是两个不同函数之间的对称性。定理1 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线2 a b x += 对称。定理2 函数()y f a x ω=+与函数()y f a x ω=-的图象关于直线2b a x ω -=对称特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线2 b a x -= 对称。 6. 函数2 1()2 f x x x =-+定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，m n <，则m n += -2 样题剖析例1. 已知R 上的奇函数)(x f 在),0[+∞上是单调递增函数，且2)3(=f ,若函数)(x f 的图像向右平移1个单位后得到函数)(x g 的图像，试解不等式： 02 )(2 )(>+-x g x g ),4()2,(+∞--∞ 变式：若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是（-2，2）．例2. 已知函数x b b ax x f 22242)(-+-=，R b a a x x g ∈---=,,)(1)(2 其中（1）当b=0时，若)(x f 在),2[+∞上单调递增，求a 的取值范围；1≥a （2）求满足下列条件的所有实数对),(b a ：当a 为整数时，存在0x ，使得)(0x f 是)(x f 的最大值， )(0x g 是)(x g 的最小值。（2224b b a -+=2)1(5--=b ，502≤