§3.5 直线与平面的相关位置

§3.5 直线与平面的相关位置

一、位置关系

1. 设直线l: ＝＝和平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0，

则l与π的相互位置关系有下面的充要条件:

(1) 相交：AX＋BY＋CZ≠0;

(2) 平行：AX＋BY＋CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D≠0;

(3) 直线在平面上：AX＋BY＋CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D＝0.

2. 在直角坐标系下, 平面π的法矢量为＝{A, B, C}, 直线l的方向矢量= {X, Y, Z}. 从几何上看：l与π相交的条件AX＋BY＋CZ≠0 就是不垂直于; l与π平行的条件AX＋BY＋CZ＝0, Ax0＋By0＋Cz0+D≠0就是⊥且直线l上的点(x0, y0, z0)不在平面π上;

l在π上的条件AX＋BY＋CZ＝0, Ax0＋By0＋Cz0+D＝0 就是⊥且l上的点(x0, y0, z0)在平面π上.

二、夹角

1．如图4-8, 当直线和平面不垂直时，直线和平面间的夹角?是指这直线和它在平面上的射影所构成的锐角. 当直线和平面垂直时，规定直线与平面间的夹角?为直角.

2．在{O;,,}下，l：＝＝和平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0间的夹角由下式确定

sin?＝.

进而由此式直接得到l//π或l?π的充要条件是

AX＋BY＋CZ＝0.

l⊥π的充要条件是＝＝.

例1. 证明直线l：＝＝与平面π：2x+y－z+3＝0相交，并求出它们的交点和夹角.

解：因为?＝{－1, 1, 2}?{2, 1, －1}＝－3≠0, 所以l与π相交.

将直线l的方程化为参数式

代入平面方程解得t＝1，从而得交点为 (－1, 2, 3).

因为 sin?＝＝,

所以直线l与平面π间的夹角为?＝.

例2. 决定直线l:和平面π：(A1+A2)x+(B1+B2)y

+(C1+C2) z＝0的相互位置.

解：因为l的方向矢量

＝{X, Y, Z}＝，

平面π的法矢量＝{A1+A2, B1+B2, C1+C2}, 又

?＝(A1+A2)+(B1+B2)+(C1+C2)

＝+＝0.

且显然l上有一点(0, 0, 0)在π上，故l在平面π上.

例3. 设直线与三坐标平面的夹角为λ, μ, ν，试证

cos2λ＋cos2μ＋cos2ν＝2.

证明：如图4-9, 设直线的方向矢量为, 它与xOy平面的夹角为λ, 则它与z轴的夹角为γ＝－λ，同理与x, y轴夹角为α＝－μ，β＝－ν. 从而

sinα＝cosμ, sinβ＝cosν, sinγ＝cosλ.

所以 cos2λ＋cos2μ＋cos2ν＝sin2γ＋sin2α＋sin2β＝2.

例4. 求下列球面的方程：

(1) 与平面x＋2y＋2z＋3＝0相切于点M(1, 1,－3)且半径r＝3的球面；

(2) 与两平行平面π1：6x－3y－2z－35＝0和π2：6x－3y－2z＋63＝0都相切且与其中之一相切于点M(5, －1, －1)的球面.

解: (1) 显然M在已知平面上，故只要求出球心即可. 设球心为P(x0, y0, z0)，则P, M所在直线为

＝＝,

则有且 (x0－1)2＋(y0－1)2+(z0+3)2＝32，

即t2＋(2t)2+(2t)2＝9, t＝±1,

故球心有二个P1(2, 3, －1)，P2(0, －1, －5),

从而所求球面方程有二个 (x－2)2＋(y－3)2＋(z＋1)2＝9,

x2＋(y＋1)2＋(z＋5)2＝9.

（2）显然M∈π1，设球心为P (x0, y0, z0)，则P, M所在直线方程为

l：＝＝,

或

代入π2方程求交点

6(6t＋5)－3(－3t－1)－2(－2t－1)＋63＝0,

t＝－2.

故l与π2交点的坐标为M'(－7, 5, 3)，从而P为M, M'之中点

x0＝＝－1, y0＝＝2, z0＝＝1,

球面半径r＝＝7.

故所求球面方程为 (x+1)2+(y－2)2+(z－1)2＝49.

作业题：

1. 判别下列直线与平面的相关位置:

(1) ＝＝与 2x+7y－3z＋1＝0;

(2) ＝＝与 2x－y－z－9＝0;

(3) 与 5x－3y＋2z－5＝0.

2. 求直线＝＝与平面x＋y＋z－2＝0的交点到(3, 4, 5)的距离.

3. 直线与平面间的夹角?的取值范围是什么？

4. l⊥π时，如何从

sin?＝

推出

＝＝？

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定理 线面垂直的定义 两平面的法线垂 直则两平面垂直 面面垂直判定定理 线面平行判定定理 线面平行性质定理 线面平行转化 面面平行判定定理 面面平行性质定理

3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α βαβ??????=?；b a b a //????⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ??=???=? ；b c c a b a //////????； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ????=????；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////????；

高三数学上册 14.4《空间平面与平面的位置关系》教案(1) 沪教版

14.4（1）空间平面与平面的位置关系 一、教学内容分析 二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义. 二、教学目标设计 理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题. 三、教学重点及难点 二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识 .

平面中的角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 图形 结构射线—点—射线 表示法∠AOB,∠O等 2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角） 3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容. 二、学习新课 （一）二面角的定义 平面中的角二面角 定义从一个顶点出发的两条射线 所组成的图形，叫做角 课本P17

图形 结构射线—点—射线半平面—直线—半平面 表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β （二）二面角的图示 1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示. 2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角 平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？ 1.二面角的平面角的定义（课本P17）. 2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关. [说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题. ②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量. ③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直. 3.二面角的平面角的范围：[0,] （四）例题分析

平面之间的位置关系

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平面 1．以下是一些命题的叙述语言 ① 点αα平面点平面??B A ,，∴ 直线α平面?AB ； ② 点αα平面点平面∈∈B A ,，∴ 直线α平面∈AB ； ③ 点βα平面点平面∈∈B A ,，∴ 平面AB =βα ； ④ 直线βα平面直线平面∈∈a a ,，∴ 平面a =βα ； 则其中命题和叙述方法都正确的个数是 【 】 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.给定下面四个命题： (1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； (2)两条直线可以确定一个平面； (3)若b M M =∈∈βαβα ,,,则b M ∈； (4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一个平面内； 其中真命题的个数是 【 】 A.1 B.2 C.3 D.4 3.空间三条直线交于同一点，它们中的两条确定的平面个数记为n ，则n 的可值可能为 【 】 A.1 B.1,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4 4．ABC ?在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=，求证：P ，Q ，R 三点 共线. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1．正方体1111D C B A ABCD -的各面的对角线中，与1AB 成?60角的异面直线有【 】 A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 2．空间四边形ABCD 中AB BC CD ,,的中点分别是P Q R ,,，且3,5,2===PR QR PQ ， 那么异面直线AC 和BD 所成的角是 【 】 A ．?90 B ．?60 C ．?45 D ．?30 3.已知异面直线a ，b 所成的角为60°，直线l 与a ，b 所成的角都为θ，那么θ的取值范 围是什么？ 4.Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ，Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心. 求证：Ｄ Ｅ∥ＡＣ.

平面与平面之间地位置关系(附问题详解)

平面与平面之间的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类 ?? ? 有无公共点??? ?? 直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行 (2)按直线是否在平面分类 ??? 直线在平面内——所有点在平面内 直线在平面外? ?? ?? 直线与平面相交直线与平面平行 思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？ 答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二 两个平面的位置关系

思考分别位于两个平行平面的两条直线有什么位置关系？ 答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. 题型一直线与平面的位置关系 例1下列命题中，正确命题的个数是() ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0 B.2 C.1 D.3 答案 C 解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C. 跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面 ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误； A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交， 故②错误； AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误； A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.

§3.3 两平面的相关位置

§3.3 两平面的相关位置 一、位置关系 1.两平面的位置关系有：相交，平行，重合三种. 2.设两平面πi：A i x+B i y+C i z+D i＝0 (i=1,2) , 则π1, π2的法矢量为 ＝{A1, B1 ,C1}, ＝{A2, B2, C2}. (1)π1, π2相交的充要条件是: A1:B1:C1 ≠A2:B2:C2（与不平行）. (2)π1, π2平行的充要条件是: ＝＝≠ (∥). (3)π1, π2重合的充要条件是: ＝＝＝ (∥). 二、夹角 1. 如图3-5, 在{O;,,}下，两平面的夹角为：∠(π1, π2)＝θ或 (π－θ)，其中θ＝∠(,), (i＝1, 2)是平面πi的法矢量，从而 cos∠(π1, π2)＝±cosθ＝±＝±. 2. 两平面π1与π2相互垂直的充要条件是：⊥即 A1A2＋B1B2＋C1C2＝0. 例 1. 由cos∠(π1, π2)＝±，证明π1//π2的充要条件 是＝＝. 证明：因为π1//π2 （∠(π1, π2)＝0或π）, 所以 cos∠(π1, π2)＝±1, 所以 ±＝±1, 平方得 (A1A2+B1B2+C1C2)2＝(A21+B12+C21)(A22+B22+C22),

A21A22+B12B22+C21C22+2A1A2B1B2+2B1B2C1C2+2C1C2A1A2 ＝A21A22+B12B22+C21C22+A21B22+A21C22+A22B12+A22C21+B12C22+B22C21, 整理得 (A1B2－A2B1)2＋(B1C2－B2C1)2＋(C1A2－C2A1)2＝0, 所以A1B2－A2B1＝0, B1C2－B2C1＝0, C1A2－C2A1＝0, 从而. 例2. 求过一点P0(x0, y0, z0)且垂直于两相交平面 A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0和A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0 的平面方程. 解：由于已知两平面相交, 所以它们的法矢量＝{A1, B1 ,C1},＝{A2, B2, C2}不共线，从而可作为所求平面的方位矢量，由平面的点位式方程就有 ＝0. 例3. 设三平行平面 πi：Ax+By+Cz+D i＝0 (i=1, 2, 3), L, M, N是分别属于平面π1,π2, π3的任意点，求△LMN的重心的轨迹. 解：设点L, M, N的坐标分别为(x i, y i, z i)(i=1, 2, 3), 则△LMN的重心坐标为 x＝(x1＋x2＋x3), y＝(y1＋y2＋y3), z＝(z1＋z2＋z3), 因为L, M, N分别属于π1,π2, π3， 所以Ax i+By i+Cz i+D i＝0 (i=1, 2, 3). 两边对i求和得 A(x1+x2+x3)+B(y1+y2+y3)+C(z1+z2+z3)+(D1+D2+D3)＝0 或 3Ax+3By+3Cz+(D1+D2+D3)＝0, 所以所求轨迹为 Ax+By+Cz+(D1+D2+D3)＝0. 它是平行于πi (i=1, 2, 3)的一个平面. 例4. 证明两平行平面Ax+By+Cz+D i＝0 (i＝1, 2) 间的距离为 d＝. 证明：设P(x0, y0, z0)是Ax+By+Cz+D1＝0上一点，即Ax0+By0+Cz0+ D1＝0，则两平面间距离就是P到平面Ax+By+Cz+D2＝0的距离，所以 d＝＝. 作业题： 1. 判别下列各对平面的相关位置： （1）x+3y+6z+2＝0与x+y+2z+1＝0， （2）2x－2y+z－5＝0与x－y + z－1＝0.

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线 两平面的法线 垂 面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定 面面平行性质定 两平面内分别垂直于交线的直线互相 两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两 面面垂直定

3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；

直线与平面位置关系典型例题

典型例题一 例1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：α?b 或A b =α ； （2）由图（2）可知：α//b 或α?b ． 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面 BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ?的中位线， ∴OQ PC //． ∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

典型例题三 例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面； （2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ， a '， b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面． 说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α?b ． 求证：α//b ． 证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β． 设c =βα ， ∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //． ∵α?b ，α?c ， ∴α//b ． 说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．

点直线平面之间的位置关系知识点归纳

第二章点、直线、平面之间的位置关系 知识点总结 1、平面的性质 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 四个公理： 公理1 文字语言： 符号语言： 公理2： 文字语言： 符号语言： 公理3： 文字语言： 符号语言： 推论： （1）过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 （2）过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）过两条相互平行的直线，有且只有一个平面。 2、空间中直线与直线之间的位置关系 异面直线： 空间中两条直线有且只有三种位置关系（它们的特征）： 相交直线：

平行直线： 异面直线： 公理4 ：（平行线的传递性） 文字语言： 符号语言： 等角定理： 异面直线所成的角： 3、空间中直线与平面与直线间的位置关系 （1）直线在平面内： （2）直线与平面相交： （3）直线与平面平行： 4、平面与平面之间的位置关系 （1）两个平面平行： （2）两个平面相交： 二、直线、平面平行的判定的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定及其性质 （1）直线与平面平行的判定（线线平行，则线面平行）： 符号语言： （2）直线与平面平行的性质（线面平行，则线线平行）：

符号语言： 2、平面与平面平行的判定及其性质 （1）平面与平面平行的判定（线线平行，则面面平行）: 符号语言： （2）平面与平面平行的性质（面面平行，则线线平行）： 符号语言： 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线平面垂直的的判断及其性质 （1）直线与平面垂直的定义： （2）直线与平面垂直的判定2、2（线线垂直，则线面垂直）： 符号语言： （3）直线与平面垂直的性质： 符号语言： （4）平面与直线所成角的角：

空间中直线和平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

§3.5 直线与平面的相关位置

§3.5 直线与平面的相关位置 一、位置关系 1. 设直线l: ＝＝和平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0， 则l与π的相互位置关系有下面的充要条件: (1) 相交：AX＋BY＋CZ≠0; (2) 平行：AX＋BY＋CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D≠0; (3) 直线在平面上：AX＋BY＋CZ＝0, Ax0+By0+Cz0+D＝0. 2. 在直角坐标系下, 平面π的法矢量为＝{A, B, C}, 直线l的方向矢量= {X, Y, Z}. 从几何上看：l与π相交的条件AX＋BY＋CZ≠0 就是不垂直于; l与π平行的条件AX＋BY＋CZ＝0, Ax0＋By0＋Cz0+D≠0就是⊥且直线l上的点(x0, y0, z0)不在平面π上; l在π上的条件AX＋BY＋CZ＝0, Ax0＋By0＋Cz0+D＝0 就是⊥且l上的点(x0, y0, z0)在平面π上. 二、夹角 1．如图4-8, 当直线和平面不垂直时，直线和平面间的夹角?是指这直线和它在平面上的射影所构成的锐角. 当直线和平面垂直时，规定直线与平面间的夹角?为直角. 2．在{O;,,}下，l：＝＝和平面π：Ax＋By＋Cz＋D＝0间的夹角由下式确定 sin?＝. 进而由此式直接得到l//π或l?π的充要条件是 AX＋BY＋CZ＝0. l⊥π的充要条件是＝＝.

例1. 证明直线l：＝＝与平面π：2x+y－z+3＝0相交，并求出它们的交点和夹角. 解：因为?＝{－1, 1, 2}?{2, 1, －1}＝－3≠0, 所以l与π相交. 将直线l的方程化为参数式 代入平面方程解得t＝1，从而得交点为 (－1, 2, 3). 因为 sin?＝＝, 所以直线l与平面π间的夹角为?＝. 例2. 决定直线l:和平面π：(A1+A2)x+(B1+B2)y +(C1+C2) z＝0的相互位置. 解：因为l的方向矢量 ＝{X, Y, Z}＝， 平面π的法矢量＝{A1+A2, B1+B2, C1+C2}, 又 ?＝(A1+A2)+(B1+B2)+(C1+C2) ＝+＝0. 且显然l上有一点(0, 0, 0)在π上，故l在平面π上. 例3. 设直线与三坐标平面的夹角为λ, μ, ν，试证 cos2λ＋cos2μ＋cos2ν＝2. 证明：如图4-9, 设直线的方向矢量为, 它与xOy平面的夹角为λ, 则它与z轴的夹角为γ＝－λ，同理与x, y轴夹角为α＝－μ，β＝－ν. 从而 sinα＝cosμ, sinβ＝cosν, sinγ＝cosλ. 所以 cos2λ＋cos2μ＋cos2ν＝sin2γ＋sin2α＋sin2β＝2. 例4. 求下列球面的方程： (1) 与平面x＋2y＋2z＋3＝0相切于点M(1, 1,－3)且半径r＝3的球面； (2) 与两平行平面π1：6x－3y－2z－35＝0和π2：6x－3y－2z＋63＝0都相切且与其中之一相切于点M(5, －1, －1)的球面. 解: (1) 显然M在已知平面上，故只要求出球心即可. 设球心为P(x0, y0, z0)，则P, M所在直线为

点 线 面之间的位置关系知识易错点及例题合集

点、线、面之间的位置关系知识易错点及例题合集 最近许多高二的同学问必修二点线面之间的知识点，普遍感觉这块非常难学，小数老师今天整理了易错点和例题给大家，作为参考！ [整合·网络构建]

[警示·易错提醒] 1、不要随意推广平面几何中的结论 平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立． 2、弄清楚空间点、线、面的位置关系 解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致。 3、不要忽略异面直线所成的角的范围 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°，90°]。 两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 4、透彻理解直线与平面的关系 直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与直线在平面外（包括直线与平面平行和相交）；另一种分法是直线与平面平行（无公共点）和直线与平面不平行（直线在平面内和直线与平面相交）。 5、使用判定定理时不要忽略条件 应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点。 专题1共点、共线、共面问题 （1）、证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。 （2）、证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上。 （3）、证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题。 [例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F 分别为AB，AD 的中点，G，H分别在BC，CD上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证： （1）、E，F，G，H四点共面； （2）、EG与HF的交点在直线AC上。 证明：（1）、因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD。 又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面。 （2）、因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG 与FH必相交。 设交点为M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M ∈平面ACD。 因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC 上。 归纳升华：证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做

空间点、直线平面之间的位置关系讲义与例题

平面 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线？ 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成 一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） 课本P41 图 2.1-4 说明 平面有无数个点，平面可以看成点的集合。 点A 在平面α，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α 2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。 师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面 （教师引导学生阅读教材P42前几行相关容，并加以解析） 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α D C B A α α β α β · B ·A α L A · α ·B

B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面 师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等…… 引导学生归纳出公理2 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面，没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图： 2、（1）师：在同一平面，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 （投影） C · B · A · α =>a ∥c P · α L β 共面直线

空间点,直线,平面之间的位置关系教案.

§2.1.1 平面 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点：1、平面的概念及表示； 2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、教学思想 （一）实物引入、揭示课题 师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 师：那么，平面的含义是什么呢这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义 师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师：在平面几何中，怎样画直线（一学生上黑板画） 之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） 平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 D C B A α

直线与平面、平面与平面的位置关系知识点

//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b

【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b

直线与平面的位置关系知识点归纳

直线与平面的位置关系知识点 归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

P · α L β D C B A α 第二章 直线与平面的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； L A · α C · B · A · α 共面直线 =>a ∥c 2

平面与点的相关位置.

－34－ §3.2 平面与点的相关位置 平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧. 1．点到平面的距离 定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线，垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0 上的射影叫做M 0与平面π之间的离差，记作 δ = 射影n 00QM (3.2－1) 显然 δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ，n 0) =±∣0QM ∣ 当0QM 与n 0同向时，离差δ > 0；当0QM 与n 0反向时，离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时，离差δ = 0. 显然，离差的绝对值就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面（3.1－13）之间的离差为 δ = n 0r 0－p (3.2－2) 推论 1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα，则),,(0000z y x M 与π 间的离差 =δp z y x -++γβαcos cos cos 000 (3.2－3) 推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0间的距离为 ()2 2 2 0000,C B A D Cz By Ax M d +++++= π (3.2－4) 2．平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义 设平面π的一般方程为 Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0 则空间中任一点M （x ，y ，z ）与π间的离差为 =δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax ＋By ＋Cz ＋D )

两平面的相关位置讲解

§3 两平面的相关位置 一 两平面的夹角： 定义 两平面的法线向量的夹角称作两平面间的夹角. 下面，我们阐述一下用两平面间法线向量的夹角来定义两平面间夹角的合理性. 如图3-4所示，设想平面1π与平面2π重合在一起的，于是它们的法线向量应平行，即 12//n n .将平面2π的一侧向上提起，与1π之间产生倾角θ，与此同时，2π的法线向量2n 发生转动，与平面1π的法线向量1n 产生的角度θ . 下面，我们导出计算两平面夹角θ的公式.设平面π1与π2的方程分别是 π1： 11110A x B y C z D +++=， （1） π2： 22220A x B y C z D +++=， （2） 则π1与π2的法线向量分别为 11112222{,,},{,,}n A B C n A B C ==， 因两向量间夹角的余弦为 cos θ= ++++?++A A B B C C A B C A B C 121212121212222222， 所以两平面的夹角的余弦为 12cos (,)ππ∠ = . (3.3-1) 由(3.3-1)式，立刻可给出如下结论： 121212120A A B B C C ππ⊥?++=， （3.3-2） 二 两平面位置关系的解析条件： 平面π1与π2是相交还是平行或重合，就决定由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解或无数个解，从而我们可得下面的定理. 定理 两平面（1）与（2）相交的充要条件是 111222::::A B C A B C ≠， （3.3-3） 平行的充要条件是 (图3.3)

11112222A B C D A B C D ==≠， （3.3-4） 重合的充要条件是 11112222A B C D A B C D ===. （3.3-5） 例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和 2(0,1,1)M - 且垂直于平面 x y z ++=0，求它的方程. 解 设所求平面的法线向量为 {,,}n A B C =， 显然， 12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上， 故 12M M n ⊥， 120M M n ?=， 即 20A C --= . 又 n 垂直于平面x y z ++=0的法线向量'= n {,,}111， 故有 0A B C ++= 解方程组 20,0,A C A B C --=??++=? 得 2,,A C B C =-??=? 据点法式方程有 2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=， 约去非零因子 (0)C ≠ 得 2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=， 故所求方程为 02=--z y x

直线与平面的关系

第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2