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常微分方程第三章考试卷4

常微分方程第三章考试卷4
常微分方程第三章考试卷4

常微分方程第三章测验试卷(4)

班级 姓名 学号 得分

一. 填空:

1. 函数f(x,y)称为在矩形域R 上满足利普希兹条件,如果

————————————————————————。

2.

对毕卡逼近序列,()()≤--x x k k 1??——————。

3. 若函数f(x,y)在区域G 内连续,且关于y 满足利普希兹条件,

则方程()y x f dx

dy

,=的解()00,,y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围是—

—————————。

4. 微分方程的奇解是指————————————————————

————————————————————。

5. 方程22y x dx

dy

+=定义在矩形域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上,则

经过点(0,0)的解的存在区间是————————。 二. 求解下列各题:

1. 求方程2y x dx

dy

+=过点(0,0)的第三近似解。

2.

求初植问题()?????=--=0

12

2y y x dx dy

R ;1,11≤≤+y x 的解的存在区间,并

求第二近似解,给出解的存在区间的误差。

3. 求曲线xco -p=0的奇解。

4. 求02

22

=-++y c cx x 的奇解。 5. 5. 求p

xp y 1

+

=的奇解。

三. 证明题:

假设函数()y x f ,于()00,y x 的领域内是y 的不增函数,试证方程()y x f dx

dy

,=满足条件()00y x y =的解于0x x ≥一侧最多只有一个。

常微分方程第三章测验试卷(4)参考答案

一. 填空 1.?常数0?L ,使

()()122211,y y L y x f y x f -≤--,对所有的

()()2211,,,y x y x 都成立;

2.h x x x h k ML k

k +≤≤-001,!

3.连续且存在连续偏导;

4.一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线,且满足积分曲线上的每一点都有积

分曲线族中的一条曲线和它在此点相切;

5.4

1≤x 。 二. 求解下列各题: 1. 解: ();000==x y ?

()()[]();2

10

22011x xdx x

dx x x x

x y ==+==????

()()[]();20

12

10

5

22122x x dx x x x

x y +

=+==??? ()()[]()

;

4400

11601201210118522

233x x x x dx x x x x y +++=+==??? 2.解:()()4,max ,==∈y x f M R

y x ,h 是a=1及

4

1

=M b 的最小者,故4

1

=

h 在R 上函数的利普希兹常数22≤-=??=y y f L ; ()()≤-x x n ??()()()!

11

21412!1124!11

1+??

?

??=??

?

???+=+++n n h n ML n

n n n ; 411=≤+h x ,解的存在区间为.4

345-≤≤-x

()()[]();3

13

1

13

2

2

11+=-=-==??

x dx x x dx x x x x

x y ??

()()[]()

;42

1191181631311

44732

12

22+---=

--==?x x x x dx x x x

x y ?? ≤-2y y ()()24

1

2=

-x x ??。

3.解:由xco -p=0 (1)

-xsina+ycosa=0 ( 2 ) 得 222p y x =+.

4.解:由 02

22

=-++y c cx x (1)

02=+c x ( 2 )

得 4

2

x y =.

5. 解:由 p

xp y 1

+= (1) 01

2

=-

p x ( 2 ) 得 x y 42=.

三.证明:假设满足条件()00y x y =的解在0x x ≥有两个()x y 1,()x y 2,则()001y x y =,()002y x y =;另()()(),211x y x y x -=?()02=x ?,()x y 1,()x y 2为 连续函数,不妨设在(]10,x x 上()()x y x y 21?,于是()∈?x x ,0?(]10,x x ;

()()()()()0,,221121≤-=-=y x f y x f dx

x dy dx x dy dx x d ?,又()0=x ?;

故在(]10,x x 上()0≤x ?矛盾,则原命题成立。

常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限,则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程,若它有一个特解 ) (x y,则经过变换___________________ ,可化为伯努利方程. 二求下列方程的解 1 3 y x y dx dy + = 2求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 3讨论方程 2 y dx dy = , 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢?下面是的常微分方程知识 点总结,欢迎大家阅读! 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的;在初等数学中 就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来,列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解。 但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如:物质在一定条件下的运动变化,要寻求它的运动、变化的规律;某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似, 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来,从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识。因此,凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程教学大纲

《常微分方程》课程教学大纲 课程代码: 090131009 课程英文名称:Ordinary Differential Equations 课程总学时:48 讲课:48 实验:0 上机:0 适用专业:信息与计算科学 大纲编写(修订)时间:2017.11 一、大纲使用说明 (一)课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课,通过本课程的学习,可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识,掌握普通的线性微分方程的求解办法,为对非线性微分方程的求解打下一定的基础,同时,使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象,或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习,学生将达到以下要求: 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论,线性微分方程组理论,着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法,提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 (二)知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识:要求学生掌握一阶微分方程的初等解法;一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓;高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法;求矩阵指数,求解常系数线性微分方程组;非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法:掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法,理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论,并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论,会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力;对微分方程的建模、求解的分析能力;利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能:使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 (三)实施说明 1.教学方法:课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解;采用启发式教学,培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力;引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识,培养学生的自学能力;讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2.教学手段:本课程属于专业基础课,在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段,以确保在有限的学时内,全面、高质量地完成课程教学任务。 (四)对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 (五)对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课,总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度,由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业,将作业情况反馈给学生,要补充有一定难度和综合度的练习题,以拓宽同学们的思路。

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题(每个空格4分,共80分) 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C (C 为任意常数) ,方程与通过点(2,3)的特解为 2 1=-y x ,与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ,满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ,可将其化为变量可分离方程,其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ,满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ,该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题: 设()x f 在[)+∞,0上连续,且()b x f x =+∞ →lim ,又0>a ,求证:对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ,均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式,方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0, 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ,则存在X ,当X x >时,M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? , 由0>a ,从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ,显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题:线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解,其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解,首先要证明它有n 个线性无关的解,然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

(完整版)常微分方程的大致知识点

= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 (一)初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程(一般含有 x 或 y 的项) y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法,或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ,则 dz = (1 - n ) y -n dy ,可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ,则u (x , y ) = C ,(留意书上公式) ?x ≠ ?N ,则找积分因子,(留意书上公式) ?x f (x f ( y , (二)毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx , y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx , y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ,其余类推 (三)常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法:特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ,令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ,令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族

? ? dy 单的实根, , y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i , y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = , y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ,3, 4 = ± i , y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法:三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ? 当 f (x ) = P m (x )e x 时, y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时, y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时, y * = ? x W (x ,) f ()d ,其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () (四)常系数方程组 方法:三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解, Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ,并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解, Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ,(定积分与不定积分等价) = A (t ) X + f (t ) 的通解, Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds (五)奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质,用特征方程: A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况:相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况:相异实根,1 ≠ 2 1 1 m m m

常微分方程教案(王高雄)第二章

第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法(初等积分) (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y(或x)的方程 (24) 二、不显含y(或x)的方程 (25) 本章小结及其它 (27)

内容提要及其它 授课题目 (章、节) 第二章:一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书(注明页数)教材:常微分方程(第三版),王高雄等,高等教育出版社,2006年,p30-74 主要参考书: [1]常微分方程,东北师范大学微分方程教研室编,高等教育出版社,2005, p1-70 [2]常微分方程教程,丁同仁等编,高等教育出版社,1991,p1-20 [3]偏微分方程数值解法(第2版),陆金甫关治,清华大学出版社,2004, p1-12 [4]常微分方程习题解,庄万主编,山东科学技术出版社,2003,p28-169 [5]微分方程模型与混沌,王树禾编著,中国科学技术大学出版社,1999, p15-158 [6]差分方程和常微分方程,阮炯编著,复旦大学出版社,2002,p38-124 目的与要求: 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法.理解变量变换思想方法和积分因子方法,并能应用于求解一些特殊的常微分方程.掌握四类典型的一阶隐方程的解法. 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程.领会变量变换思想方法和积分因子方法,并能应用于求解一些特殊的常微分方程. 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段: 教学内容: 第1节变量分离方程与变量变换; 第2节线性方程与常数变易法; 第3节恰当方程与积分因子; 第4节一阶隐方程与参数表示:可以解出(或 y x)的方程、不显含(或 y x)的方程.时间安排:8学时 教学方法:讲解方法 教学手段:传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析: 熟悉各种类型方程的初等解法,并且能正确而又敏捷地判断方程的类型,从而用初等方法求解。 教学难点分析: 本章的教学难点是判断微分方程的类型,以及方程的转化(即把能转化为用初等方法求解的方程)。

常微分方程期末考试练习题及答案

一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个自变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F(x,y,y,.....y(n))=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f(x)使常微分方程两端恒等,则f(x)称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F(t,x(3))=0的通解的形式为:x(t)=c1x(t)+c2x(t)+c3x(t)。 4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在)。 5.常微分方程之线性及非线性:对于F(x,y,y,......y(n))=0而言,如果方程之左端是y,y,......y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与自变量无关)。如:xy(2)-5y,+3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y(2)+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义:形如 dx dy =f (x)φ(y)的方程,称为分离变量方程。这里f (x ),φ(x )分别是x ,y 的连续函数。 2.解法:分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. (*) 说明: a 由于(*)是建立在φ(y )≠0的基础上,故而可能漏解。需视情况补上φ(y )=0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解:由题意分离变量得:04 2=+-y dy x dx 即: 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之,得:c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为:cx y x =-4)4( (c 为任意常数),特 解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x )满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ,则f (x )是? 解:对给定的积分方程两边关于x 求导,得: )(2)('x f x f = (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:x Ce x f 2)(= 由原方程知: f (0)=ln2, 代入上解析式得: C=ln2, B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想:即把遇到的新问题,结合已知

常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020

常微分方程的大致知识点 (一)初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程(一般含有x y y x 或的项) 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法,或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1,则dx dy y n dx dz n --=)1(,可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??,则C y x u =),(,(留意书上公式) 若 x N y M ??≠??,则找积分因子,(留意书上公式) 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =,令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =,令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 (二)毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001,?+=x x dx y x f y y 0),(102,?+=x x dx y x f y y 0),(203,其余类推 (三)常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法:特征方程 单的实根21,λλ,x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1,)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21,x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1,i βαλ±=4,3,]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.2 1.dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=|)1(|ln 1 +x c 3.dx dy =y x xy y 321++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为:

dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为: dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

微分方程教案-精选.

第七章 微分方程 教学目的: 1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。 2.熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程。 4. 会用降阶法解下列微分方程:() ()n y f x =, (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9.会解微分方程组(或方程组)解决一些简单的应用问题。 教学重点: 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =, (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程; 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程; 教学难点: 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程; 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理; 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

§7. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ? =xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数. 把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得 2=12+C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.02 2-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件: t =0时, s =0, 20== dt ds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0 =20. (5)

《常微分方程》考试参考答案(A卷)

《常微分方程》考试参考答案(A 卷) 一、填空题(每空2分,共30分) 1、()dy y g dx x = ln y x c x =+ 2、()()dy f x y dx ?= 2x y e = 3、2222M N y x = 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤- 5、存在不全为0的常数12,k c c c ,使得恒等式11()()0k k c x t c x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立 ()0w t ≡ 6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++ 7、322x xy y c -+= 二、判断题(每题2分,共10分) 1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、√ 三、计算题(每题15分,共60分) 1、解:231()dy y dx x x y +=+ 变量分离23 1y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x x λ+=-++??? 2211ln 1ln ln 122 y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++= 从而解得通解为:222(1)(1)x y cx ++=

2、解:先求30dx x dt +=的通解:33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法,令原方程解为3()t x c t e -= 解得:3223551()5 dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+??? ∴原方程的通解为:533211()55 t t t t x e c e ce e --=+=+ 3、解:先求对应齐线性方程:(4)20x x x ''-+=的通解 特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==- 从而通解为:1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解,这里:2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根,即原方程有形如:2x At Bt c =++的特解 把它代入原方程有:2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C === 21x t =+ ∴原方程通解为:21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++ 4、解:令cos sin y p t x t '==?= 2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为:11sin 242 y t t c =++ 5、解:由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y R f M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源:文都教育 复习过半, 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来, 如何将零散的知 识点有机地结合起来, 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆, 使知识自成 体系,建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴, 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”,对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例, 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容, 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多, 遇到具体的题 目不知该如何下手, 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结,一目了然,便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时,得到 dy f (x)dx , g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果; dx 当 g( 0 ) 0 时,则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法:令 u y xdu udx ,代入 ,则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法:令 u y1 n,有 du (1 n) y n dy , dy P( x) y Q( x) y n(n≠0,1)代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程:2 pq 三种情况: 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根:1, 2 通解: y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根:1 2 通解: y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根:i , 通解: y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况: x ( 1)f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根,令特解 y Q m ( x)e x;若是特征方程的单根,令特 解 y xQ m ( x)e x;若是特征方程的重根, 令特解 y*x2Q m (x)e x; (2)f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程教学设计

常微分方程教学设计 第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中,未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数,并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分,则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数,其他的量都是已知的,则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式),(一阶线性非齐次方程)(正规形式),(二阶线性齐次方程),(二阶线性非齐次方程),(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程,微分方程中可以不出现未知函数x本身,但必须实质上含有未知函数x的导数.注意,在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程:常微分方程组之例:记vector),是自变量t的函数,用个变量为m维列矢量(column,其中,,简记的已知函数,(以后都这样表示,不要误解为矢量x的是常微分方程组.函数),则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数).(提示)方程组的

阶:例中的方程组是n阶方程组.注意:但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程,而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的,因此也可称它(关于x是一阶的).n 阶微分方程的一般形式为:,其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义,并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数:以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式,(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution).称区间I是解的定义区间.微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解,隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到:,其中是的n次累次积分.为n个任意独立的实常数,2例:一阶方程义区间是:当时为的通解可以写成;当时为,其中c是非零实常数.定.严格而言不能写成的形式,因为后者的定义域不是一个区间.但是可以写成在不同区间上的两个通解:,和和.如果把这些解写成形式.则称为隐式解,这种隐式解也称为方程的积分.定义4微分方程的解,或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数,则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数,其他的量都是已知的,则下列方程

常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3.),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件. 4.方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5.方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6.变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8.方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题(每小题 3 分,共 15分)。 9.一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是( ). (A )?=x x p d )(e μ (B )?=x x q d )(e μ (C )?=-x x p d )(e μ (D )?=-x x q d )(e μ 10.微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是( ) (A )可分离变量方程 (B )线性方程 (C )全微分方程 (D )贝努利方程 11.方程x (y 2-1)d x+y (x 2-1)d y =0的所有常数解是( ). (A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程222+-='x y y ( )奇解. (A )有一个 (B )有无数个 (C )只有两个 (D )无 三、计算题(每小题8分,共48分)。 14.求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15.求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16.求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称:常微分方程学时/学分:3/54 先修课程:数学分析,高等代数,空间解析几何,或线性代数(行列式,矩阵与线性方程组,线性空间F n,欧氏空间R n,特征值与矩阵的对角化), 高等数学(多元微积分,无穷级数)。 面向对象:本科二年级或以上学生 教学目标:围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动,通过该课程的教学,希望学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握基本理论和主要方法,具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式,如定性分析解的性态和定量近似求解等思想,并希望学生初步了解常微分方程的近代发展,为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分,对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数,第一个数为课堂教学时数,第二个数为习题课时数) 第一章基本概念(2,0) (一)本章教学目的与要求: 要求学生正确掌握微分方程,通解,线性与非线性,积分曲线,线素场(方

向场),定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 (二)教学内容: 1.由实际问题:质点运动即距离与时间关系(牛顿第二运动定律),放射性元素衰变过程,人口总数发展趋势估计等,通过建立数学模型,导出微分方程。 2.基本概念(常微分方程,偏微分方程,阶,线性,非线性,解,定解问题,特解,通解等)。 3.一阶微分方程组的几何定义,线素场(方向场),积分曲线。 4.常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法(4,2) (一)本章教学目的与要求: 要求学生熟练掌握分离变量法,常数变易法,初等变换法,积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法,勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练,提高解题技巧。 (二)教学内容: 1. 恰当方程(积分因子法); 2. 分离变量法 3. 一阶线性微分方程(常数变易法) 4. 初等变换法(齐次方程,伯努利方程,黎卡提方程)

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