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三角测量应用题资料

专题2：三角应用题

探究1：以三角函数的图象为载体的三角应用题

1、如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处.

（1）试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；

（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m? （3）求证：不论t 为何值，)2()1()(++++t f t f t f 是定值.

【解】设点P 离地面的距离为y ，则可令 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b .

由题设可知A ＝50，b ＝60.

又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin(2π

t ＋φ)＋60.

再由题设知t ＝0时y ＝10，代入y ＝50sin(2π3t ＋φ)＋60，得sin φ＝－1，从而φ＝－π

因此，y ＝60－50cos 2π

t (t ≥0).

（2）要使点P 距离地面超过85 m ，则有y ＝60－50cos 2π3t ＞85，即cos 2π3t ＜－1

于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t ＜4π

3，即1＜t ＜2.

所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85 m 的时间有1分钟.

2、如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM ＝60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP ＝θ，θ ∈(0，π)．

（1）当θ ＝2π

3 时，求点P 距地面的高度PQ ；

（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．

（第17题图）

O P

17．解：（1）由题意，得PQ ＝50－50cos θ ．

从而，当θ ＝2π3 时，PQ ＝50－50cos 2π

＝75．

即点P 距地面的高度为75m ． ………………………… 4分（2）（方法一）由题意，得AQ ＝50sin θ ，从而MQ ＝60－50sin θ ，NQ ＝300－50sin θ ．

又PQ ＝50－50cos θ ，

所以tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝6－sin θ1－cos θ ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝6－5sin θ

5－5cos θ

．

………………………… 6分

从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )

＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ

1＋tan ∠NPQ ?tan ∠MPQ ＝6－sin θ1－cos θ －

6－5sin θ

5－5cos θ1＋6－sin θ1－cos θ × 6－5sin θ

5－5cos θ

＝12(1－cos θ)

23－18sin θ－5cos θ

． ………………………… 9分令g (θ )＝12(1－cos θ)

23－18sin θ－5cos θ ，θ ∈(0，π)，

则g '(θ)＝12×18(sin θ＋cos θ－1)

(23－18sin θ－5cos θ)2 ，θ ∈(0，π)．

由g '(θ)＝0，得sin θ ＋cos θ －1＝0，解得θ ＝ π

．

………………………… 11分

当θ ∈(0，π2)时，g '(θ )＞0，g (θ )为增函数；当θ ∈(π

2，π)时，g '(θ )＜0，g (θ )为减函数，

所以，当θ ＝ π

2时，g (θ )有极大值，也为最大值．

因为0＜∠MPQ ＜∠NPQ ＜π2，所以0＜∠MPN ＜π

，

从而当g (θ )＝tan ∠MPN 取得最大值时，∠MPN 取得最大值．

即当θ ＝ π

2时，∠MPN 取得最大值． ………………………… 14分

（方法二）以点A 为坐标原点，AM 为x 轴建立平面直角坐标系，

则圆O 的方程为 x 2＋(y －50)2＝502，即x 2＋y 2－100y ＝0，点M (60，0)，N (300，0)．设点P 的坐标为 (x 0，y 0)，所以Q (x 0，0)，且x 02＋y 02－100y 0＝0．从而tan ∠NPQ ＝NQ PQ ＝300－x 0y 0 ，tan ∠MPQ ＝MQ PQ ＝60－x 0

y 0

．

………………………… 6分

从而tan ∠MPN ＝tan(∠NPQ －∠MPQ )

＝tan ∠NPQ －tan ∠MPQ

1＋tan ∠NPQ ?tan ∠MPQ ＝300－x 0y 0 － 60－x 0

y 01＋300－x 0y 0 ×

60－x 0

y 0 ＝

24y 0

10y 0－36x 0＋1800

．

由题意知，x 0＝50sin θ ，y 0＝50－50cos θ ，

所以tan ∠MPN ＝＝12(1－cos θ)

23－18sin θ－5cos θ ． ………………………… 9分

探究2：以解三角形为载体的三角应用题

3、某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米，BC = 6千米，CD = 2千米，

（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；

（2）因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．

17．解：(1) 180ABC ADC ∠+∠=?，由余弦定理得：

2222246246cos 42224cos AC ABC ADC =+-??∠=+-??∠

∴ 1

cos 2ABC ∠=

………………………………2分 ∵ (0,)ABC π∠∈ ∴ 60ABC ∠=?，120ADC ∠=?

S 四边形ABCD

=11

46sin 6024sin12022

????+????=5分

2222cos 28AC AB BC AB BC ABC =+-∠= ∴

AC =

由正弦定理得：2sin 3AC R B =

（千米）

R = ………………………………8分

(2) S 四边形APCD = ADC

APC S S ??+

，又1

sin1202

ADC S AD CD ?=?=9分

设AP = x ，CP = y

，则1sin 602APC S xy ?=

?=…………………10分由余弦定理得：2220222cos6028AC x y xy x y xy =+-=+-=

222x y xy xy xy xy +-≥-=

∴ 28xy ≤，当且仅当x = y 时取“＝”………………………………12分 ∴S 四边形APCD

=28≤= ∴ 作AC 的垂直平分线与圆弧ABC 的交点即为点P

，最大面积为 ……14分

4、如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 与S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）.

（1）设∠ACD=θ，试将S 表示为θ的函数；

（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y

17．（1）△BCD 中B

CDB BC ∠=∠sin sin ，

∴

sin )45sin(CD

a =+θ，∴)

45sin(2

+=θa CD …………4分

∴BCD CD BC S ∠??=sin 21 )

45sin(4cos 22

+=θθa ，

900<<θ……6分（其中范围1分）（2）θsin a d =…………8分

kSd y =)

45sin(4cos sin 23

+=θθθka )cos (sin 2cos sin 3θθθθ+=ka ………………10分令t =+θθcos sin ，则]2,1(∈t ，2

cos sin 2-=t θθ

∴)1

(44)1(323t

t ka t t ka y -=-=

在区间]2,1(上单调递增，…………12分 ∴当2=

t 时y 取得最大值，此时4

θ=

，

即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………14分

答：（1）当3

θ=时，观光道路的总长l 最长，最长为5km ；

（2）当3

θ=

时，鲜花种植面积S 最大． …………………………………………14分

图（1）

D 图（2）

5、如图，在P 地正西方向km 8的A 处和正东方向km 1的B 处各一条正北方向的公路AC 和,BD 现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F . 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和.PF 设).2

0(π

αα<

<=∠EPA （1）为减少周边区域的影响，试确定F E ,的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定F E ,的位置，使PF PE +的值最小.

17.（1）在Rt △P AE 中，由题意可知APE α∠=，AP =8，则8tan AE α=．

所以1

32tan 2

PAE S PA AE α=?=． ………………………………………2分

同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，PB ＝1，则1

tan BF α

=，

所以11

22tan PBF S PB BF α

=?=． ………………………………………………4分

故△P AE 与△PFB 的面积之和为1

32tan α+ …………………………5分

≥=8，

当且仅当132tan 2tan αα=，即tan α故当AE =1km ， BF =8km 时，△P AE ………………6分

（2）在Rt △P AE 中，由题意可知APE α∠=，则8

cos PE α=．

同理在Rt △PBF 中，PFB α∠=，则1

sin PF α=．

令81

()cos sin f PE PF ααα=+=+

，π02

α<<， ………………………………8分则3322228sin cos 8sin cos ()cos sin sin cos f αααα

ααααα

-'=-=

， ………………………………10分令()0f α'=，得1tan 2α=，记01

tan 2α=，0π02

α<<，

当0(0,)αα∈时，()0f α'<，()f α单调减；

当0(,)2π

αα∈时，()0f α'>，()f α单调增．

所以1

tan 2

α=时，()f α取得最小值， …………………………………12分

此时1tan 842AE AP α=?=?=，2tan BP

BF α

==．

所以当AE 为4km ，且BF 为2km 时，PE +PF 的值最小． ……………………14分

6、某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O 附近.现派出四艘搜救船D C B A ,,,，为方便联络，船B

A ,

始终在以小岛O 为圆心，100海里为半径的圆上，船D C B A ,,,构成正方形编队展开搜索，小岛O 在正方形编队外（如图）.设小岛O 到AB 的距离为x ，D AOB ,α=∠船到小岛O 的距离为d . （1）请分别求d 关于α,x 的函数关系式)(),(αf d x g d ==；并分别写出定义域；（2）当B A ,两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即d 最大）.

17. 解：设x 的单位为百海里

（1）由OAB α∠=，2cos AB OA A ==2cos A ，2cos AD AB α==， ……2分

在△AOD 中，()OD f α==……3分

(0,)2α∈（定义域1分） ……5分

若小岛O 到AB 的距离为x ，AB = ……6分

()OD g x == ……8分

(0,1)x ∈ （定义域1分）

……10分

（2）224cos 14cos sin OD ααα=++；π

(0,)2

α∈

1cos2sin 241422

αα

+=?

++?

2(sin 2cos 2)3αα=++ ππ

)3,(0,)42αα=++∈. ……11分

当ππ5π2(,)444α+∈，则ππ

242α+=时，即π8

α=，OD 取得最大值， ……12分

此时π

2cos

AB ==. ……13分

答：当AB 间距离. ……14分

7、如图，圆O 的半径为 2，A ，B 为圆O 上的两个定点，且

90=∠AOB ，P 为优弧AB 的中点。设C ，D （C 在D 左侧）为优弧AB 上的两个不同的动点，且CD // AB 。α=∠POD ，四边形ABCD 的面积为S 。

（1）求S 关于α的函数关系；

（2）当α为何值时，S 取得最大值？并求出S 的最大值。

17．解：（1）设过圆心O 作AB 的垂线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，

易得AB = 2，OE =1，

①当20<<π时，如图1，易得CD = ααcos 2,sin 222=?OF

∴S =

)()(21

OF OE CD AB +?+ =)cos 21)(sin 222(2

αα++

=1cos sin 2)cos (sin 2+++αααα ………………………………4分 ②当2

α=时，S =

211)222(2

)(21+=?+?=?+EF CD AB ………………6分

③当

παπ

<<2

时，如图2

易得ααcos 2,sin 22-==OF CD

∴S =

)()(21

OF OE CD AB -?+ =)cos 21)(sin 222(2

αα++

=1cos sin 2)cos (sin 2+++αααα 综上得S =4

30,1cos sin 2)cos (sin 2π

ααααα<<+++ ………………………8分 (2)令)4

sin(2cos sin π

ααα+

=+=t

∵430πα<

<， ∴παπ

<<4

∴]2,0(∈t ……………………………………10分此时]2,0(,2

)22(222

∈-+

=+=t t t t S

第2题图

∴当2=

t 时，4max =S ，此时4

α=

……………………………………14分

8、如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．

（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．

（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ?和BOC ?内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．

2．解：（1）由题COD θ∠=，2AOD πθ∠=-，0,2πθ??

∈ ???

取BC 中点M ，连结OM ．则OM BC ⊥，2

BOM θ

∠=．

所以22sin 2

BC BM θ

==．

同理可得2sin 2

CD θ

=，22sin

2cos 2

AD πθ

θ-==．

所以222sin

2sin

2cos 212sin 4sin 22

222l θ

θθθ?

?=+++=-++ ??

?．……………4分即2

14sin 5,0,222l θπθ????

=--+∈ ? ?????

．所以当1sin 22θ=，即3πθ=时，有max 5l =．

（2）1sin 2BOC S θ?=，()1sin 2sin cos 2AOD S πθθθ?=-=，12

COD S θ=扇形．

所以11sin sin cos 24

S θθθθ=++． …………………………………………………………8分所以()()22111

'cos cos sin 4cos 32cos 1244

S θθθθθ=+-+

=+- ………………10分因为0,2πθ??

∈ ???

，随意解'0S =得3πθ=，列表得

所以当3

θ=时，有面积S 取得最大值．

答：当3

θ=

时，鲜花种植面积S 最大．

9、如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,,AB AC ?的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.

（1）若围墙AP,AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？

（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

17．解设AP x =米，AQ y =米．（1）则200x y +=，APQ ?的面积

1sin1202

S xy xy =

． …………………………………………………………3分

∴

S 2

()42

x y +

≤

= 当且仅当100x y ==时取“=”． …………………………………………………………6分（注：不写“＝”成立条件扣1分）

（2）由题意得100(1 1.5)20000x y ??+?=，即 1.5200x y +=． …………………8分要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以

2222cos120PQ x y xy =+-?22x y xy =++

22(200 1.5)(200 1.5)y y y y =-++- 21.7540040000y y =-+（400

y <<

） ………………………………………11分当8007y =

时，PQ

有最小值7

，此时2007x =． …………………………13分答：（1）当100AP AQ ==米时，三角形地块APQ

的面积最大为（2）当2007AP =米800

AQ =米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分

10、如图，将边长为3的正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转α (0＜α＜π

2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根据平面几

何知识，有以下两个结论：

①∠A ′FE ＝α；

②对任意α (0＜α＜π

2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，

△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．

（1）设A ′E ＝x ，将x 表示为α的函数；

B C

（2）试确定α，使正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积最小，并求最小面积．【解】（1）在Rt △EA ′F 中，因为∠A ′FE ＝α，A ′E ＝x ，

所以EF ＝x sin α，A ′F ＝x

tan α ．

由题意AE ＝A ′E ＝x ，BF ＝A ′F ＝

tan α

，所以AB ＝AE ＋EF ＋BF ＝x ＋x sin α＋x

tan α＝3．

所以x ＝3sin α1＋sin α＋cos α

，α∈(0，π

（2）S △A ′EF ＝12?A ′E ?A ′F ＝12?x ?x tan α＝x 22tan α＝(3sin α1＋sin α＋cos α)2?cos α2sin α＝9sin αcos α

2(1＋sin α＋cos α)2

．

令t ＝sin α＋cos α，则sin αcos α＝t 2－1

．

因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以t ＝2sin(α＋π

4)∈(1，2]．

S △A ′EF ＝9(t 2－1)4(1＋t )2＝94(1－2t ＋1)≤94(1－2

2＋1

)．正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 重叠部分面积 S ＝S 正方形A ′B ′C ′D ′－4S △A ′EF ≥9－9 (1－

2＋1

)＝18(2－1)．当t ＝2，即α＝π

时等号成立．

11、如图所示，直立在地面上的两根钢管AB

和CD ，AB

=，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：

（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？

（2）如图（

2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？

【解】（1）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则

1tan cos cos y θθθ+==+（其中002πθθ<<<，0tan 7θ=）

，sin sin cos y θθθ

当tan θ=34=BE 时，min 8y = （2）设钢丝绳长为y m ，CFD θ∠=，则

()1cos sin y θθ=+++??（其中00θθ<<

，0tan 3θ==）………9分

(

)()22cos sin 1sin cos cos sin sin cos y θθθθθθθθ?-'=++++-?

???

令0y '=得sin cos θθ=，当π4θ=时，即36=BE

时)

min 2y =………12分

探究5：以追击问题为载体的三角应用题

12、如图，AB 是沿太湖南北方向道路,P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场， 5.2PQ =km ．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q ,已知游船以13km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶， 13

sin =

θ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h ．（1）设5

sin =

α，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q ；（2）设小船速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．【解】(1) 如图，作PN AB ⊥,N 为垂足．13

5sin =θ，4sin 5=a ，

在

Rt △PNQ 中，

θs i n PQ PN =55.2213

=?=

(km),

θcos PQ QN ==12

5.2 4.813

=(km)． A

D C

A E

D C

B F 图1

图2

在Rt △PNM 中，2

1.54

tan 3

PN MN a =

==(km) 设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为2t h ，小船的速度为1v km/h ，则 126

513135

PQ t ===(h ),21112.5 3.3516666220PM MQ t v v v =+=+=+（h ）．由已知得：21120

t t +

=，

151********v ++=，∴1253v =． ∴小船的速度为

km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q ．（2）在Rt △PMN 中，2sin sin PN PM ==a a (km),2cos tan sin PN MN ==

a a

(km)． ∴2cos 4.8sin QM QN MN =-=-

a a (km)． ∴14cos 10665sin 5533sin PM QM t a a a

=+=+-

＝1335cos 4165sin 55a a -?+． ∵22215sin (335cos )cos 533cos 165sin 165sin t a a a a

a a

---'=?=

, ∴令0t '=得：5cos 33a =．当5cos 33a <时，0t '>；当5

cos 33

a >时，0t '<．

∵cos a 在)2

0(π

α∈上是减函数，

∴当方位角a 满足5

cos 33

a =时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ．

【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？

锐角三角函数应用题完美手册

锐角三角函数基础练习一、选择题。 1.90,5,4,sin Rt ABC C c a A ?∠===在中，则的值为（）. A.35 B.45 C.34 D.43 2.12 90,tan ,5 ABC A ABC ?∠= ?的周长是60cm,若C=则的面积是（）. A.230cm B.260cm C. 2 120cm D. 2 240cm 3、在Rt △ABC 中，∠C=900 ，BC=4，sinA=54 ，则AC=（）、 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 4、若cosA=31，则A A A A tan 2sin 4tan sin 3+-=（） A 、74 B 、31 C 、21 D 、0 5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（） A 、1：1：2 B 、1：1：2 C 、1：1：3 D 、1：1：22 6、在Rt △ABC 中，∠C=900 ，则下列式子成立的是（） A 、sinA=sin B B 、sinA=cosB C 、tanA=tanB D 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（） $

A ． sinB=23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=3 2 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（） A ．（32，12） B ．（-32，12） C ．（-32，-12） D ．（-12，-3 2） 9.sin AOB AOB ∠∠正方形网络中，如图1放置，则等于 ( ). A. 55 B. 255 C. 12 D. 2 10、△如图，A ．B ．C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tanB ′的值为（） A ． B ． C ． D ． 11、如图，在Rt △ABC 中，△ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan △ACD 的值为（） A ． B ． C ． D ． 12．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．?某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（） A ．6.9米 B ．8.5米 C ．10.3米 D ．12.0米（： A O B

中考数学专题复习——锐角三角函数的实际应用

课题：锐角三角函数的实际应用【基础知识回顾】知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切）技巧点拨： ①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思余弦——分子是剩下的直角边（即邻边）余切——分子是剩下的直角边（即邻边）简记为：正弦——对比斜(或正比斜）正切——对比邻余弦——邻比斜知识点2：常见的锐角三角函数值三角函数 30° 45° 60° 技巧点拨 sin α 21 22 23 分母都是2，分子分别是 √13 cos α 2 3 22 21 分母都是2，分子分别是 3√1 tan α 33 1 3 分母都是3，分子分别是 3、1、3 【新课知识讲解】知识点3：解直角三角形 1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形角和）（3）边角之间的关系：（锐角三角函数） b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥 AB 的长(结果保留根号)．【分析】第一步：确定相关直角三角形本题中∠α、∠β分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线错角相等转化已知角）第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值第三步：代入已知条件求值，并简答【答案】由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形， ∠PAO=∠α＝30°，∠PBO=∠β＝45°，PO=450m

简单的三角恒等变换(基础)

第20讲：简单的三角恒等变换【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定，或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一

陕西省中考数学解答专项锐角三角函数的实际应用题库(1)

锐角三角函数的实际应用 1. 如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°，由光源O 射出的边缘光线OC 、OB 与水平面所形成的夹角∠OCA 、∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC .(结果精确到 1 cm ，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈1.73)．第1题图解：∵tan∠OBC ＝tan30°＝ 33OC BC ,∴OC ＝3 3 BC ， ∵sin∠OAC ＝sin75°＝ OC OA ≈0.97， ∴3340 BC ≈0.97, ∴BC ≈67(cm)．答：该台灯照亮水平面的宽度BC 约为67 cm. 2. 某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图②所示，点O 是台历支架OA ，OB 的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA ＝OB ＝14 cm ，CA ＝CB ＝4 cm ，∠ACB ＝120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6 cm.求点O 到直线AB 的距离．(结果保留根号 ) 第2题图解：如解图，连接AB 、OC ，并延长OC 交AB 于点D ，

第2题解图 ∵OA ＝OB ，AC ＝BC ， ∴OC 垂直平分AB ，即AD ＝BD ，∠CDA ＝90°，又∠ACB ＝120°，∠ACD ＝60°， ∴在Rt△ACD 中，sin∠ACD ＝AD AC ， ∴AD ＝AC ·sin60°＝4× 3 2 ＝23cm ， ∵在Rt△AOD 中，AD ＝2 3 cm ，AO ＝14 cm ， ∴OD ＝AO 2 －AD 2 ＝142 －（23）2 ＝246 cm ， ∴点O 到直线AB 的距离为246 cm. 3. 如图①是一台仰卧起坐健身器，它主要由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成，靠背的角度α可以用档位调节器调节，将图①仰卧起坐板的主体部分抽象成图②，已知OA ＝OD ＝81 cm ，OC ＝43 cm ，∠C ＝90°，∠A ＝20°.求BC 的长和点O 到地面的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin20°≈0.3420，cos20°≈0.9397，tan20°≈0.3640；sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713) 第3题图解：根据题意可知AC ＝OA ＋OC ＝81＋43＝124 (cm)，在Rt△ABC 中，tan A ＝BC AC ， ∴BC ＝AC ·tan A ≈124×0.3640≈45(cm)，如解图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，

锐角三角函数应用题

锐角三角函数应用 1.（2015青岛）小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：12 735sin ≈?， 6535cos ≈?，10735tan ≈? 2.

3.(2014东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（≈1.732，结果保留小数点后一位） 4.（2014?枣庄）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）

5.（2015济宁）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即 sin sin sin a b c A B C ==.利用上述结论可以求解如下题目.如：在ABC ?中，若45A ∠=，30B ∠=，6a =，求b . 解：在ABC ?中，sin sin a b A B = 16sin 6sin 30sin sin 45a B b A ?∴==== 问题解决：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，且乙船从1B 处按北偏东 15方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B 处，此时两船相距. （1）判断122A A B ?的形状，并给出证明 . （2）乙船每小时航行多少海里？

锐角三角函数及应用

锐角三角函数【知识梳理】【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角【例题精讲】例题1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______．例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长．例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．

【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图第8题图第9题图

三角恒等变换讲义

三角恒等变换讲义一、【知识梳理】： 1．两角和与差的三角函数公式 2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 3．公式的变形与应用 (1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)/(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)/ (1＋tan αtan β)． (2)升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2. (3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2 . (4)其他常用变形 sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α ； 1±sin α＝? ????sin α2 ±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．辅助角公式 a sin α＋ b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2. 5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝????π4＋α－π4＝? ???α－π3＋π3. (2)互余与互补关系：例如，????π4＋α＋????3π4－α＝π，????π3＋α＋????π6－α＝π2 . (3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°. 三、方法归纳总结： 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等． 2．三角函数求值的类型及方法 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角

《锐角三角函数》基础练习题

《锐角三角函数》A 姓名_____________ 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，BC ＝5，求A sin , A cos ，A tan ， 2．在Rt △ABC 中，sin A =5 4 ，AB =10，则BC =______，cos B =_______． 3．在△ABC 中，∠C =90°，若cos A =2 1，则sin A =__________． 4．已知在△ABC ,∠C =90°,且2BC =AC ,那么sin A =_______． 5、=???45cos 2 260sin 2 1 . 6、∠B 为锐角，且2cosB - 1=0，则∠B ＝ . 7、等腰三角形中，腰长为5，底边长8，则底角的正切值是 . 8、如图，在距旗杆4米的A 处，用测角仪测得旗杆顶端C 的仰角为60，已知测角仪AB 的高为1.5米，则旗杆CE 的高等于米．三、选择题 9、在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 10．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（） A ．sinA = sin B B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90° 11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 12、 45cos 45sin +的值等于（） A. 2 B. 2 1 3+ C. 3 D. 1 D E 60

初中数学锐角三角函数的经典测试题及解析

初中数学锐角三角函数的经典测试题及解析一、选择题 1．如图，在扇形OAB中，120 AOB ∠=?，点P是弧 AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33 CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π 【答案】A 【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H． ∵C、D分别是弦AP、BP的中点． ∴CD是△APB的中位线， ∴AB＝2CD＝63 ∵OH⊥AB， ∴BH＝AH＝33 ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ AH AO ， ∴AO＝ 33 6 sin3 AH AOH == ∠， ∴扇形AOB的面积为： 2 1206 12 360 π π = g g ，

故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（） A 2 B 22 C 42 D 32 【答案】C 【解析】【分析】在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?DE 即可求出AE 的长度．【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90? 在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45? ∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60? ∴BD=33AD=263 ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠EBD=30°．在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30° ∴DE=33BD=223 ∴AE=AD ?DE=222242 故选：C 【点睛】

三角恒等变换知识点总结

、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ）； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形把两个三角函数的和或差化为形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2

锐角三角函数专项练习题

1 锐角三角函数专项练习题在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

) 正切的邻边的对边Atan??baA?tan0tan?A (∠A为锐角) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 30°、45°、60°特殊角的三角函数值三角函数 30° 45° 60° ?cos232221 ?tan33 1 3

基础练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，已知AC=3，AB=5，则tan∠BCD等于( ) A．43； B．34； C．53； D．54 2．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( ) A． sinA=135； B．cosA=1312； C． tanA=1213； D．tanB=125 )90cot(tanAA???)90tan(cotAA??? BAcottan? BAtancot?)90cos(sinAA???)90sin(cosAA??? BAcossin?BAsincos?A90B90??????????得由BA 对边邻边斜边 A C B b a c A90B90??????????得由BA D C A B 2

3 ..在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=4,BC=3,则sinA=（）. A. 43; B. 34; C. 53; D. 54. 4 在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA=22,则cosB的值是( ). A. 21; B. 23; C.1; D. 22. 5. 4sintan5????若为锐角,且，则为( ) 933425543ABCD． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（） A． c =sinaA B． c =cosaA C．c = a·tanA D． c = tan aA 7、??45cos45sin?的值等于（） A.2 B. 213? C. 3 D. 1 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，2sin3A?，则边AC的长是（） A5 B．3 C43 D13 9．如图，两条宽度均为40m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（） A.?sin1600(m2) B.?cos1600(m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2) 10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝31，则 tanA＝（）

锐角三角函数应用题专题

1、（09年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28) 2、（09年湖南怀化）如图，小明从 A 地沿北偏东 30方向走1003m 到 B 地，再从B 地向正南方向走 200m 到C 地，此时小明离A 地 m ． 3、（09年山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（）米． A ．25 B ．253 C ．10033 D ．25253+ 4、（09年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点 A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =?∠；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米；（3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为米．（精确到0.1米，3 1.73≈） 5、（09年广东深圳、山东东营）如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度． 6、（09年广东湛江）如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P 相距182海里．求：（1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？（2）两军舰M N 、的距离．（结果保留根号）第6题图 N M P 北 A B C D 6米 52° 35° (第1题图) A D B E C 60° （第4题图）第2题图 B C A D l 第3题图 A B C D 第5题图

三角恒等变形及应用

三角恒等变形及应用一．知识点精讲 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2 2 2 2 s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=； 2 2tan tan 21tan ααα = -。学习时应注意以下几点：（1）善于公式的正用 ,逆用，变形应用. sin(sin cos cos sin β αβαβα±=±； )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= ； ()()， αββαββαcos sin sin cos cos =+++ ()()βαβαβαt a n t a n t a n t a n 1t a n +=-+ （2）善于拆角、拼角如()ββαα-+=,ββαα+-=)(，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22， ()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2等；（3）注意倍角的相对性.α2是α倍角、α4是α2的倍角、 α3是α2 3 的倍角 3.降幂公式 ααα2sin 2 1cos sin = ； 2 2cos 1sin 2 α α-= ； 2 2c o s 1c o s 2 α α+= 。 4.辅助角公式 ) sin(cos sin 2 2 ?θθθ++= +b a b a ，其中2 2 c o s b a a += ?， 2 2 sin b a b += ?

完整版锐角三角函数练习题及答案.doc

锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值．解直角三角形一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2

锐角三角函数应用题专项习题一

锐角三角函数应用题专项习题一 1、数学活动小组来到校园内一盏路灯下测量路灯高度，测角仪AB高度为1.5米，测得仰角α为30°，点B到电灯杆底端N距离BN为10米，求路灯高度MN是多少米？（=1.414，=1.732，结果保留两位小数） 2、某中学九年级学生开展测量物体高度活动，他们要测量学校教学楼高度．如图他们先在点C测得教学楼AB顶点A仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A仰角为45度．求出这幢教学楼高度． 3、东方山主峰海拔约为600米，主峰AB上建有一座电信信号发射架BC，现在山脚P处测得峰顶仰角为α，发射架顶端仰角为β，其中tanα=tanβ=求发射架高BC． 4、如图，小芸在自家楼房窗户A处，测量楼前一棵树CD的高．现测得树顶C处俯角为45°，树底D处俯角为60°，楼底到大树距离BD为20米．请计算树高度（精确到0.1米）． 5、数学活动小组去测量太子灵踪塔高度，小华先在塔前平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶（M）仰角α=35°，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶（M）仰角β=45°，然后用皮尺量出A、B两点距离为18.6m，自身高度为1.6m．请计算出塔高度？（tan35°≈0.7，结果保留整数） 6、同学们去测量一座古塔CD高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C仰角 ∠CFE=21°，然后往塔方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠ CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD高度．（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin21°≈ ，tan21°≈ ） 7、某旅游区有一个望天洞，D点是洞入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下B处．在同一平面内，若测得斜坡 BD长为100米，坡角∠DBC=10°，在B处测得A仰角∠ABC=40°，在D处测得A 仰角∠ADF=85°，过D点作地面BE垂线，垂足为C．（1）求∠ADB度数；（2）求索道AB长．（结果保留根号）

三角恒等变形测试题及答案解析

则tanA= ，△ABC的面积为第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上) 11.________________________ 12._______________________ 13._________________________ 14.______________________ 15._________________________ 16._______________________ 三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18.已知12 cos, 13 α=求sinα和tanα 19．设cos(α－β 2 )＝－ 1 9 ，sin( α 2 －β)＝ 2 3 ，且 π 2 ＜ α＜π，0＜β＜ π 2 ，求cos（α＋β）． 20．已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈ [ π 2 ,π]，求sin(2α＋ π 3 )的值． 21．在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值． 22.已知函数2 ()2cos2sin4cos f x x x x =+- (1)求() 3 f π值的； (2)求()f x的最大值和最小值。

三角恒等变换测试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 13.2 1 2 m -14. 4π 3 15.] 6 5 , 3 [ π π 16.[解析]①②．③中π 4 5 = x是)25 2 sin(π + =x y的对称中心．17.[解析]sinA＋cosA＝2cos(A－45°)＝ 2 2 ，∴cos(A－45°)＝ 1 2 ． ∵0°＜A＜180°，∴A－45°＝60°，A＝105°，∴tanA＝tan(60°＋45°)＝―2―3， sinA＝sin(60°＋45°)＝ 6＋2 4 ， ∴S △ABC ＝ 1 2 AC·AB．s5inA＝ 1 2 ×2×3× 6＋2 4 ＝ 3 4 (6＋2)．三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) https://www.wendangku.net/doc/573362929.html, 18.[解析]因为12 cos 13 α=>0,且cosα≠1,所以α是第一或第

锐角三角函数应用题练习

应用题练习 1．在高出地平面50米的小山上有一塔AB ，在地面D 测得塔顶A 和塔基B 的仰角分别为60°和45°，求塔高． 2．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为30°，求西楼高(精确到0.1米)． 3．在溆浦县街道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点6米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°. 问：距离B 点16米远的保护物是否在危险区内？ ?60?30B D C A

A B A B E D C F 光线 4．为缓解“停车难”的问题，县国土局拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE ．（精确到0.1m ）（下列数据提供参考：sin 20°＝0.3420，cos 20°＝0.9397，tan 20°＝0.3640） 5．学校教学楼ED （高为13.8米）前有一棵大树AB （如图1）．（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC ＝2.1米，DF ＝6.3米，求大树AB 的高度．（2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）； ②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度（用字母表示）．图1 图2

锐角三角函数练习题(含答案)

锐角三角函数练习题一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（D） A.30米 B.10米 C. 米 D. 米 2．如图，坡角为的斜坡上两树间的水平距离AC为，则两树间的坡面距离AB为（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 3.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（A）Ａ.250ｍＢ．ｍＣ．ｍＤ．ｍ 4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（C）Ａ．2 3 B. 3 2 C. 3 4 D. 4 3 （第2题）（第3题）（第4题） 5．如果∠A是锐角，且，那么∠A=（B） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（A） A. B. C. D. 7．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（B） A．150 B．C．9 D．7 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则边AC的长是（A） A．B．3 C．D． 9．如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ A ） A. (m2) B. (m2) C.1600sinα(m2) D.1600cosα(m2) 10.如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD＝AB，连结CD，若tan∠BCD＝，则tanA ＝（C） A.1 B. C. D. （第9题）（第10题）二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．已知为锐角, sin( )=0.625, 则cos =___ 0.625 。 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC= ，则梯子长AB = 4 米。 13．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米（答案可保留根号）。 14．如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为，旗杆底部

北师大版初三数学运用锐角三角函数测试题(附答案)

1/9 班级_____________________ 姓名________ 考场号_____ 考号_____ ---------------------------------------密--------------------封---------------------线------------------------------------ 北师大版九年级数学运用锐角三角函数测试题（附答案）一、选择题 1. 一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40o的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（）．（A ）30海里（B ）40海里（C ）50海里（D ）60海里 2. 如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30的方向，则河的宽度是（） A ． B C ．D ．100m 3. 王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60 o ，又知水平距离BD =10m ，楼高AB =24 m ，则树高CD 为（） A ．() 31024-m B ．??? ? ?? - 331024m C ．() 3524-m D ．9m 4. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A ．8米 B ． C 米 D ． 3 米 5. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（） A ．5sin 40° B ．5cos 40° C ． 5 tan 40° D ． 5 cos 40° 6. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（） (A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米 (C) m ·cos α米 (D) α tan m 米 7. 小明沿着坡度为2:1的山坡向上走了m 1000，则他升高了（） A ．m 5200 B ．m 500 C ．m 3500 D ．m 1000 A B C m α