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行列式习题1

行列式习题1
行列式习题1

行列式习题

一、单选题

1. 若行列式210

120312

x --=-, 则x =( )

A. –2

B. 2

C. -1

D. 1

2.n 阶行列式0001

0010

0100

1000

的值为( )

A. (1)n -

B. 1(1)2(1)n n --

C. 1

(1)2(1)n n +- D. 1

3.设ij A 是行列式A 的元素(),1,2,,ij a i j n = 的代数余子式,当i j ≠时下列各式中错误的是(

) A. 1122i j i j in jn A a A a A a A =++ B. 1122i i i i in in A a A a A a A =++ C. 1122j j j j nj nj A a A a A a A =++ D. 11220i j i j in jn a A a A a A =++

4.行列式000

00

00000a b c d e f

的值等于( )

A. abcdef

B. abdf -

C. abdf

D. cdf

5.1111

2222

00

000000a b c d a b c d =( )

A. 11222121a c b d a b c d -

B. 22112211()()a b a b c d c d --

C. 12121212a a bb c c d d

D. ()12211221()a b a b c d c d --

6.设行列式111222333,a b c D a b c a b c = 则 111111

222222333333

223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c +++++++++ =( )

A. -D

B. D

C. 2D

D. -2D

7.如行列式11

12132122

23313233a a a a a a d a a a =, 则31323321222311

1213333222a a a a a a a a a ---=( ) A . -6d B . 6d C . 4d D . -4d

二、填空题

1. 四阶行列式10

85196207

3004000

=( ). 2. 排列12345a a a a a 的逆序数等于3,排列54321a a a a a 的逆序数等于( ).

3. n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的第一列移到最后一列,其余各列依次保持原来的次序向左移动,

则得到的行列式值为( ).

4. n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的所有元素改变符号,得到的行列式值为( ).

5. n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的每个第(),i j 个元素ij a 换到第()1,1n i n j -+-+个元素的位置

上,得到的行列式的值为( ).

6. n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的每个ij a 换成()

1i j ij a +-,则得到的行列式的值为( ). 7. n 阶行列式A 的值为c ,若将A 的每个ij a 换成()()0i j ij b a b -≠,则得到的行列式的值为( ).

8. n 阶行列式A 的值为c ,若从第二列开始每一列加上它前面的一列,同时对第一列加上A 的第n

列,则得到的行列式的值为( ).

9. 行列式1

23

40000

000

00000a a a a 的所有代数余子式之和为__________________________.

10. 所有n 级排列的逆序数之和为____________.

11. 若在n 阶行列式中等于零的元素个数超过2

n n -个,则这个行列式的值等于_______

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练:复数与行列式

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、(2018上海高考)已知复数z 满足117i z i +=-()(i 是虚数单位),则∣z ∣= 2、(2017上海高考)已知复数z 满足3 0z z +=,则||z = 3、(2016上海高考)设i i Z 23+= ,期中i 为虚数单位,则Im z =__________________ 4、(宝山区2018高三上期末)若i z i 23-+= (其中i 为虚数单位),则Imz = . 5、(崇明区2018高三上期末(一模))若复数z 满足iz=1+i (i 为虚数单位),则z= . 6、(奉贤区2018高三上期末)复数 i +12 的虚部是________. 7、(静安区2018高三二模)若复数z 满足(1)2z i i -=(i 是虚数单位),则||z = 8、(普陀区2018高三二模)已知i 为虚数单位,若复数2(i)i a +为正实数,则实数a 的值为……………………………( ) )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、(青浦区2018高三二模)若复数z 满足2315i z -=+(i 是虚数单位),则=z _____________. 10、(青浦区2018高三上期末)已知复数i 2i z =+(i 为虚数单位),则z z ?= . 11、(松江、闵行区2018高三二模)设m ∈R ,若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上,则m = . 12、(松江区2018高三上期末)若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根(其中i 为虚数单位,R q p ∈,),则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、(杨浦区2018高三上期末)在复平面内,复数2i z i -= 对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、(浦东新区2018高三二模)已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ,若12||1x x -=,则实数p 的值为( ) A. 3± B. 5± C. 3,5 D. 3±,5± 15、(浦东新区2018高三二模)在复数运算中下列三个式子是正确的:(1)1212||||||z z z z +≤+;(2)1212||||||z z z z ?=?;(3)123123()()z z z z z z ??=??,相应的在向量运算中,下列式子:(1)

行列式练习题及答案资料

一、填空题 1.设自然数从小到大为标准次序,则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ,排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2.在6阶行列式中,651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3.所有n 元排列中,奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 0000010 020 001000Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛ -= ( ). (A )!n (B )!)1(2 ) 1(n n n -- (C )!) 1(2) 2)(1(n n n --- (D )!)1()1(n n n -- 2.在函数x x x x x x f 2 1 1 232 3 21 01)(= 中,3x 的系数是( ). (A )1 (B )-1 (C )2 (D )3 3.四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项,共有( )个. (A )4; (B )2; (C )6; (D )8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式: 1. 各项以行标为标准顺序排列; 2. 各项以列标为标准顺序排列; 3. 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中,等于零的元素个数大于n n -2,则此行列式的值等于多少?说明理由.

一、填空题 1.若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2.方程 2 2 913 2 5 1 3 232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1. 817116045153016 9144 3 1 2 ----- 2.d c b a 100 1100 11001--- 3.a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案

《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵,且|A |=5,则|A*|=__125____,|2A |=__80___,|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解,则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上,行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时,方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1.设) (则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B (A)0 ; (B)―12 ; (C )12 ; (D )1 2.设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解,则k = ( A ) (A )2 (B )0 (C )-1 (D )-2 3.设A=7 925138 02-,则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4.已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4, 则D= ( A ) (A ) -15 (B ) 15 (C ) 0 (D ) 1 三、计算行列式

行列式经典例题及计算方法

行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ,求x 。 解:由行列式的加法性质,原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算:(化三角形法) 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =

行列式的计算 (四)升级法(加边法) 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解:1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 (二)箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解:把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列,得: 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑

行列式检验测试题(有规范标准答案)

第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题(每小题2分,满分20分) 1.全体3阶排列一共有 6 个,它们是123,132,213,231,312,321; 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列,奇排列经过偶数次 对换变为奇排列; 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =; 4. 交换一个行列式的两行(或两列),行列式的值改变符号; 5. 如果一个行列式有两行(或两列)的对应元素成比例,则这 个行列式等于零; 6. 一个行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边; 7. 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行(列) 的对应元素上,行列式的值不变; 8. 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零; 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L

10.当 k=22 ±时,542k k k =。 二、判断题(每小题3分,满分24分) 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 (∨) 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 (×) 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行(列)元素相同. (×) 4.若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0,则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组,只要方程个数等于未知数个数,就可以直接使用克莱姆法则求解。 (×) 6.若行列式D 的相同元素多于2n n -个,则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号,副对角线上元素乘积项带负号。 (×) 三、单项选择题(每小题4分,满分20分) 1.位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为( A )

行列式习题答案

行列式习题答案

2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一.选择题 1.若行列式x 5 22 31521- = 0,则 = x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ,则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] (A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13, 5 -) (D )(5,13--) 3 . 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )3

3 4.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A ] (A )665144322315 a a a a a a (B )6553443226 11a a a a a a (C ) 34 6542165321a a a a a a (D ) 26 654413 3251a a a a a a 5.若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] (A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负 6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2.排列36715284的逆序数是 13 3.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =- ,故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,221 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2 倍, ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

行列式典型例题

第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次.

n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式: 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +

行列式典型例题

第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是零. n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解,充分应用了行列式的各种性质. 方法1 利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质,将行列式化为上三角行列式. n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理,将行列式化成对角行列式. n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B . 将最后一行逐行换到第2行,共换了2n -次;将最后一列逐列换到第2列,也共换了2n -次.

n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B . 例2.2 计算n 阶行列式: 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持 原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素. 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来. 例2.3 计算n 阶行列式:

线性代数习题册行列式-习题详解.doc

行列式的概念 一、选择题 1. 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ; c d c ; c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ; (D) c d c . d d 答案: D 2.行列式 D n 不为零,利用行列式的性质对 D n 进行变换后,行 列式的值( ). (A) 保持不变; (B) 可以变成任何值; (C) 保持不为零; (D) 保持相同的正负号. 答案: C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析: log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析: 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中, x 3 的系数为 ; 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中, x 3 的系数为. 1 2 x 答案: -2 ; -2.

阶行列式 D n中的n最小值是. 答案: 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案: 5. 6.若 2x 8 0 ,则x= . 1 2 答案: 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中,当 i

综合练习一-矩阵、行列式-习题+答案

第一、二章阶段练习答案 1、设三阶行列式1)det(==ij a D ,则=++231322122111A a A a A a 0 。 2、设三阶行列式3 88 838 1 43-=D ,则元素13a 的代数余子式=13A 40 。 3、如果11 2101 3=c b a ,则 =---1 1 1 4253 33c b a 1 。 4、行列式=-1 11 1 021********* 7 。 5、行列式 =2300120000340 023 1 。 6、行列式 =3 3 3 3 22225432543254321111 12 。 7、方程组?? ? ??=-+=-+=-+434212633352z y x z y x z y x 的解)2,1,1(),,(--=z y x 。 8、设多项式x x x x x x x x f 123011 3215)(=,则多项式的次数为 4 。 9、四阶行列式 2 23 5 7 022220403 --的第四行各元素代数余子式之和的值为 0 。 10、设方程?? ? ??=+-=-+=++0200z y x z y x z y x λλ有非零解,则=λ 4或 1 。

11、若??? ? ??-=???? ??-0921209612y x ,则=x 2 ,=y 6 。 12、设A 为三阶方阵,且2 1 =A ,则=--*12)3(A A 16/27 。 13、设???? ??--=7865A ,???? ??--=8616B ,则=-B A 32???? ??--1034158。 14、设???? ??-=???? ??12643152X ,则=X ???? ? ?-80232。 15、已知????? ??--=121011322A ,则=-1A ???? ? ??-----461351341。 16、解矩阵方程 X B AX =+,其中????? ??---=101111010A ,????? ??--=350211B ,=X ??? ?? ??--110213。 17、已知方阵A 、B 满足E AB A =-2 ,其中????? ??--=100110111A ,则=B ????? ??000000120。 18、设B A 、均为三阶方阵,已知B A AB +=2,其中???? ? ??=202040202B , 证明E A -可逆,且1)(--E A =????? ??001010100。 19、设????? ??=????? ??????? ??987654321100010101100001010A ,则=A ??? ? ? ??287221254。 20、设B A 、为n 阶对称矩阵,且A 和AB E +均可逆, 证明A AB E 1)(-+为对称矩阵。

行列式练习题目及答案

第一章 行列式 一、单项选择题 1.=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 3332 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133312221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 8. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.

( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2.行列式 =-0 10000200 0010Λ ΛΛΛΛΛΛn n . 3.行列式 =--0 01)1(2211)1(111Λ ΛΛΛ Λn n n n a a a a a a . 4.如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221 131211 ,则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为 . 6.行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7.n 阶行列式=+++λ λλ 111 1 11111Λ ΛΛΛ Λ. 8.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1,则该行列式的值为 . 9.设行列式5 678123487654 321= D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,

矩阵典型习题解析

2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础,而对于初学者来讲,对于矩阵的理解是尤为的重要;许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难,这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候,我们才会发现,原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙!于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时,那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1.矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵,记为n m ij a A ?=)( 2.特殊矩阵 (1)方阵:行数与列数相等的矩阵; (2)上(下)三角阵:主对角线以下(上)的元素全为零的方阵称为上(下) 三角阵; (3)对角阵:主对角线以外的元素全为零的方阵; (4)数量矩阵:主对角线上元素相同的对角阵; (5)单位矩阵:主对角线上元素全是1的对角阵,记为E ; (6)零矩阵:元素全为零的矩阵。 3.矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(==

若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===,则称A 与B 相等,记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1.加法 (1)定义:设mn ij mn ij b B A A )(,)(==,则mn ij ij b a B A C )(+=+= (2)运算规律 ① A+B=B+A ; ②(A+B )+C =A +(B+C ) ③ A+O=A ④ A +(-A )=0, –A 是A 的负矩阵 2.数与矩阵的乘法 (1)定义:设,)(mn ij a A =k 为常数,则mn ij ka kA )(= (2)运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3.矩阵的乘法 (1)定义:设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 (2)运算规律 ①)()(BC A C AB =;②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( (3)方阵的幂 ①定义:A n ij a )(=,则K k A A A = ②运算规律:n m n m A A A +=?;mn n m A A =)( (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4.矩阵的转置

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式 (一)行列式概念和性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质:(用于化简行列式) (1)行列互换(转置),行列式的值不变 (2)两行(列)互换,行列式变号 (3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式 (4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。 (5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。 (6)两行成比例,行列式的值为0。 (二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则

7、n阶(n≥2)德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值: (三)按行(列)展开 9、按行展开定理: (1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0 (四)行列式公式 10、行列式七大公式:

(1)|kA|=k n|A| (2)|AB|=|A|·|B| (3)|A T|=|A| (4)|A-1|=|A|-1 (5)|A*|=|A|n-1 (6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则 (7)若A与B相似,则|A|=|B| (五)克莱姆法则 11、克莱姆法则: (1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解 (2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0 (3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。 2 矩阵 (一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项: (1)矩阵乘法要求前列后行一致; (2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i -j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =- ,故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解: 方法1 递推法 按第1列展开,有 D n = x D 1-n +(-1) 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1,221 1x D a x a -=+,于是D n = x D 1-n + a n =x (x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2 倍, ,第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案.doc

《线性代数》 (工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵 A 为 4 阶方阵,且 | A| =5,则 | A* | =__125____,| 2A| =__80___, | A1 |= 1/5 bx ay 0 、若方程组cx az b 有唯一解,则 abc≠ 2 cy bz a 3 、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上,行列式0 . x1 x2 x3 0 4 、当 a 为 1 or 2 时,方程组x1 2x2 ax3 0 有非零解. x1 4x2 a2 x3 0 3 1 2 5 、设 D 2 3 1 , 则2 A11 A21 4 A31 .0 01 4 二、单项选择题 a 11 a 12 a 13 4a11 2a11 3a12 a 13 1.设 D a 21 a 22 a 23 1, 则D 4a21 2a21 3a22 a 23 ( B )a 31 a 32 a 33 4a31 2a31 3a32 a 33 (A)0 ;(B)―12 ;(C)12 ;(D)1 kx ky z 0 ( A .设齐次线性方程组2x z 0 有非零解,则k = )2 kx 2 y z 0 (A)2 (B)0 (C)-1 (D)- 2 2 0 8 3.设 A= 3 1 5 ,则代数余子式A 12 ( B ) 2 9 7 (A) 31 (B) 31 (C) 0 (D) 11 4.已知四阶行列式 D中第三列元素依次为 -1 ,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,3,-7,4 ,则 D= ( A ) ( A) -15 (B) 15 (C) 0 (D) 1 三、计算行列式 1

(完整版)第一章行列式试题及答案

第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分,共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换,变为i n … i 2 i 1,则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中,x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1,则det(-a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλN O 21 2 1 = ,则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 22 2c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同,则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解,则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分,共15分) ⑴ 在五阶行列式中,3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ,则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数,则当a =___且b =___时,有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根,则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分,共30分) ⑴ 0 1 1 2 2 1032101132 221 13 132 11----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n Λ ΛM M O M M Λ Λ =(a ≠b ) 四 证明题 (每小题10分,共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列,一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax , 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a

行列式经典例题

大学——行列式经典例题 例 1计算兀素为a ij = | i — j|的n 阶行列式 解方法1 由题设知, an =0, a 〔2 1 , L ,a 1n n 1 丄 故 0 1 L n 1 0 1 L n 1 1 L n 2 r i r 1 1 1 L 1 D n M O i n ,n 1,L ,2 M O n 1 n 2 L 0 1 1 L 1 n 1 n L L n 1 2 L L 1 C j C n M O O L ( 1)n 12* 2 (n 1) j 1,L ,n 1 M 0 2 L 0 1 其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行?第二步用的每列加第 n 列. 证明:考察范德蒙行列式: =(a 一②o -打)3 -刃3 一 (匚 -y) 1 L n 1 1 1 L 1 1 0 L n 2 r i r i 1 1 1 L 1 M O i 1,2,L ,n 1 M O n 1 n 2 L n 1 n 2 L 方法2 D n Cj q j 2,L ,n 例2. 1 1 M n 1 设a , 0 L 2 L O 2n 3 L b , c 是互异的实数 =0 =(1)n 12n 2(n 1) 的充要条件是a + c =0.

=-1 ■■■■ J J - I .■- ■ ■ J I . 1 1 1 a b c 行列式云即为y2前的系数?于是 1 1 1 a b c 口m ={a-b)[a - e)(b-c){a-\-b-\-c) =0 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D a n 1 a n 2 a i 解:方法1递推法按第列展开, D n = x D n 1 + (-1) a n 由于D1 = x + a 1,D2 2 1+ a n=x(x D n 2+a n 1) + a n=x D n 2+ a2 a1 n 1 a n 必+ a n = L = x D 1+ a n 2X n + a n 1x + a n =x n a〔x L a n 1x a n 方法2第2列的x倍,第3列的x 倍, ,第n列的x n1倍分别加到第1列上 q XC2 D n a n xa n 1 a n 1 a n 2 K x a1

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