混合驱动五杆机构轨迹规划及常数电机转速的影响分析 (1)

混合驱动五杆机构轨迹规划

及常数电机转速的影响分析

韩波，郭为忠，邹慧君，张青

（上海交通大学机械与动力工程学院，上海２０００３０）摘要：运用逆运动学原理和样条函数给出了混合驱动五杆机构的轨迹规划方法，并讨论了常速电机的转速末端执行器和伺服电机加速度的影响，得出了他们之间的数学关系式。给出了算例并进行了仿真计算，验证研究的正确性。

关键词：混合驱动；五杆机构；样条函数；轨迹规划

中图分类号：ＴＨｌｌ２．１；ＴＰ２４１．２文献标识码：Ａ

ＮＹ

ＴｒａｊｅｃｔｏｒｙＰｌａｎｎｉｎｇｏｆＦｉｖｅ—ｂａｒＨｙｂｒｉｄＤｒｉｖｅｎＭｅｃｈａｎｉｓｍａｎｄＥｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅＳｐｅｅｄｏｆＲｅａｌＴｉｍｅＮｏｎ—ＡｄｊｕｓｔａｂｌｅＭｏｔｏｒ

ＨＡＮＢｏ。ＧＵＯＷｅｉ—ｚｈｏｎｇ，ＺＯＵＨｕｉ—ｊｕｎ。ＺＨＡＮＧ０ｉｎｇ

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏＴｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００３０）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｐｌａｎｎｉｎｇｏｆｆｉｖｅ－ｂａｒｈｙｂｒｉｄｄｒｉｖｅｎｍｅｃｈａｎｉｓｍｂａｓｅｄｏｎｉｎｖｅｒｓｅｋｉｎｅｍａｔｉｃｔｈｅｏｒｙａｎｄｓｐｌｉｎｅｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎａｌｙｓｅｓｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｐｅｅｄｏｆｒｅａｌｔｉｍｅｎｏｎ－ａｄｊｕｓｔａｂｌｅｍｏｔｏｒＯｉｌｔｈｅａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｅｎｄｐＤｍａｎｄｒｅａｌｔｉｍｅａｄｊｕｓｔａｂｌｅｍｏｔｏｒ，ａｎｄｔｈｅｎｄｅｒｉｖｅｓｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃｒｅｈｆｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎｅｘａｍｐｌｅｏｎｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｐｌａｎｎｉｎｇｉｓｇｉｖｅｎａｎｄｓｉｍｕｌａｔｅｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｙｂｒｉｄｄｒｉｖｅｎ；ｌ＇ｗｅ－ｂａｒｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ｓｐｌｉｎｅｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙｐｌａｎｎｉｎｇ

轨迹规划是机构学研究中的一个重要方面，＿般说来，机构要完成所规定的任务要进行轨迹规划，特别是多自由度机构。机器人的轨迹规划研究起源于２０世纪６０年代。传统的轨迹规划分为两种，一种是关节空间的规划，另一种是在笛卡尔空间的规划。这两种方式各有其优缺点，关节空间的轨迹规划相对要简单，而且一般不会出现奇异位形，但是其末端的运动轨迹不直观：笛卡尔空间的轨迹规划则比较直观，但在规划过程中容易进入机器人的奇异位形，同时其运动学反解也相对复杂。目前工业机器人常用的方法是一种示教法，也就是在机器人的运动轨迹上取一些关键点，记住这些点所对应的关节坐标，然后在每两个关键点之间进行插补。显然，要想使末端执行器严格的按照所要求的轨迹运动，则必须取得足够多的点。在实际应用中往往需要操作机器人沿着大量的、复杂的空间轨迹进行运动，如果每一轨迹都要进行示教，可想而知工作量是巨大的。机器人的运动轨迹一般都是圆弧或直线，而对复杂的运动往往用样条函数进行拟合，已有许多学者在这方面做了大量的研究工作。较常用的样条函数为三次样条函数和非均匀有理Ｂ样条函数咖服Ｂｓ），后者因为其对所有的样条曲线都有统一的表达形式，正在取代其它样条函数成为主流，但是其表达式相对较为复杂。

对于机器人轨迹规划的文献很多，国内外的学者也是做了大量的研究。ＹｏｕｅｅｆＴｏｔ删ｉ［１］提出了机器人高速轨迹控制方法：Ｌｕｈ和Ｌｉｎ［２］提出三次样条函数法来描述手的ＣＰ运动；任敬轶［３】通过对螺旋理论和空间样条曲线生成原理的有机结合，给出了一种新颖的笛卡尔空间的机器人轨迹规划方法。还有就是轨迹规划时间最优的问题：Ｋａｈｎ和Ｒｏｔｈ［４］研究机器人ＰＴＰ移动轨迹时间最优规划问题，但作了不少假设和近似：Ｋｉｎ和Ｓｈｉｎ嘲提出了关节空间的最优时问路径规划：钱东海旧对沿着特定路径运动的机器人的时间最优轨迹规划问题作深入研究。近年来，主张采用样条函数法来进行机器人运动轨迹规划的学者比较多。ＣｈａｎｇＹＨ和ＬｉｎｅＳ等人提出了轨迹规划的三次样条函数法，但此法需要懈一个（ｎ－２）×（ｎ一２）的三对角方程组（ｎ为轨迹中间点数目），当ｎ较大时，此法所需计算量也较大。Ｐａｕ］和Ｌｅｅ等人分别在文献中提了４—３—４和３—３—３—３—３

—＿２７１—

轨迹规划法，这两种方法的优点是：简单、直观。当对中间段轨迹点无特殊运动要求时，使用这两种方法效果较好。

混合驱动五杆机构在某种意义上也叫平面五杆闭链机器人，其轨迹规划也相当于机器人的轨迹规划，但由于其自身的结构特点和输入方式，决定了混合驱动五杆机构的轨迹规划与

机器人的轨迹规划有相似点又有不同之处。虽然国内外的学者

在混合驱动五杆机构的研究上有所进展，但主要集中在其驱动电机的能量分配，功能实现，设计综合等问题上，对于混合驱动五杆机构的轨迹规划问题的研究比较少。即使有，也是不系统、不具体的，没有考虑实际的应用情况。保证末端执行器和伺服电机加速度曲线的连续性和加速度的极值在所限制的范围内是混合驱动五杆机构能执行工作任务的基本要求，与实际

的应用情况是紧密联系的。这里将采用三次样条插值函数对关

键轨迹点进行插值拟合，分析末端执行器和伺服电机加速度曲线的连续性和加速度的极值在所限制的范围内所应遵循的原

则。

本文在逆运动学原理的基础上，对混合驱动五杆机构工作

空间的路径点用样条函数拟合，推导出了常速电机转速与末端执行器、伺服电机加速度的数学关系，揭示了其隐藏的数量关系。下面从建立混合驱动五杆机构的数学模型，根据输出（工作轨迹），运用逆运动学原理推导出输入（伺服电机）的数学表达式着手，给出了三次样条插值函数的数学定义和计算程序，对关键点用三次样条插值函数进行拟合，推导出常速电机转速与末端执行器、伺服电机加速度的数学关系，给出轨迹规

划的详细步骤，用具体算例验证研究来叙述全文。

１笛卡尔空间的数学模型

如图１所示，在笛卡尔空间坐标系中将平面闭链混合驱动

五杆机构抽象成几何约束关系的数学模型，需要确定８个参数：力，ｎ，ｒ３，ｒ４，ｐ，ｆｏ，ｄｌ和ｄ２。曲柄０。Ａ由固定在地面的

常速电机驱动，曲柄０２Ｃ由固定在地面的伺服电机驱动，点Ｐ

为末端执行器。根据右手定则，建立的坐标系中，原点为０。。

１．１逆运动学

铰链空间的角参数有曲柄ＯｌＡ与水平面的夹角鼠（角度），

ａ（角速度）和萌（角加速度）；曲柄０２ｃ与水平面的夹角良

（角度），反（角速度）和反（角速度）。工作空间的参数有

末端执行器点Ｐ的位置ｘｐ，妇（工作点位置），ｊ，，多，（工作点

速度）和戈，，ｊ），（工作点加速度）。根据运动学模型，能够导出逆运动学模型。以下是用封闭矢量等式关系描述的运动学模型：

【ｒｌ＋ｒ，２≥＝＝ｄ‘＋＋ｒ骚４＋‘

（１）

巧，

心和石的矢量。ｄ是从Ｄｌ到０２的矢量，

‘是从

图１混合驱动五杆机构的数学模型

原点Ｄｌ到工作点Ｐ的矢量，如图１所示。为了计算的方便，矢量式（１）分解为标量式如下：

＝ｄｌ＋■ＣＯＳ０２＋吩ＣＯＳ０２＝ｄ２－Ｉ－ｒ４ｓｉｎ０２十吩ｓｉｎ０２

ｑ＋ｐｃｏｓ（ｆ１１＋，）ｑ＋ｐｓｉｎ（，８，＋，）

这里，崩是沿着逆时针方向连杆船与Ｊ轴正向的夹

角，

厉是沿着逆时针方向连杆凹与Ｊ轴正向的夹角。从

上面的等式中可以解出伺服电机的角位移，角速度，角加速度，

这样就实现了根据末端执行器的运动学要求和常速电机的定常输入来确定伺服电机的输入函数。

１．２样条函数

对于混合驱动五杆机构来说，运动的精确性和柔性是其优于传统机构的一个显著特征。为了保证运动的精确性和柔性，

就必须将工作空间内所给定的轨迹点用有二阶光滑度的函数

拟合起来。三次样条函数有二阶连续导数，光滑性好，进行插值时有—致收敛性，能满足所有的这些要求，并且方法成熟，直观，简单。其数学定义如下：

定义：若函数Ｓ（ｘ）∈Ｃ２［口，ｂ】，且在每个小区间［ｚ，，ｘ『＋ｌ】上是三次多项式，其中口＝‰＜ｘｌ＜…＜ｘ。＝６是给定节点，

则称ｓ（ｘ）是节点％，五，…，‘上的三之噼条函数。若在节点ｚ，上

给定函数值乃＝—鸭）（ｊ２０，１，…，ｎ），并成立

这里，‘，

厂２，

吒，

丘，

和Ｐ是相对应于ｒｌ，圪，．

Ｓ（ｘｊ）＝乃

（ｊ

２０，１，

…，ｎ），（★）

—＿２７２＿一

届屈凇凼嘲Ｍ器

倒．马强叫缈邵ＩＩ＾萨竹竹

唧郎日ｑ？ｉｊ、

则称ｓ（ｘ）为三次样条插值函数。

从定义知要求出ｓ（ｘ），在每个小区间［ｘｊ，ｔ＋１】上要确定４个待定系数，共有１１个小区间，故应确定４ｎ个参数，根据Ｓ（ｘ）在［ａ，ｂ］上二阶导数连续，在节点ｘ；（Ｊ＝０，１，…，ｎ一１）处应满足连续性条件

Ｓ（ｘｊ＋ｏ）＝ｓ（Ｘｊ—ｏ），

Ｊ’（ｘｊ＋ｏ）＝Ｓ。ＧＪ—ｏ），Ｓ‘２’（＿＋０）＝Ｓ‘２１（ｘｊ一０）。

共有３ｎ－３个条件，再加上Ｓ（ｘ）满足插值条件（幸），共有４ｎ一２个条件，因此还需要２个条件才能确定Ｓ（ｘ）。通常可在区问［ａ，

ｂ］端点口＝ｘｏ，ｂ＝Ｘ。上各加一个条件（边界条件），这里根据问题的实际情况，给定的边界条件如下：

当／（ｘ）是以Ｘｎ一而为周期的周期函数时则要求Ｓ（ｘ）也是周期函数。这是边界条件应满足Ｓ（ｘｏ＋０）＝Ｓ（ｘｏ一０），

Ｓ’＠ｏ＋０）＝Ｓ’（ｘｏ－ｏ），

ｓ‘２’Ｘｏ＋０）＝Ｓ‘２’‰一ｏ），

而此时（?）式中Ｙｏ＝ｙ。。这样确定的样条函数ｓ（ｘ），称为周期样条函数。

考虑到所研究问题的针对性，这里主要是结合流水线作业机器人的ＰＴＰ轨迹规划来做的，当然对机器人的ＣＰ运动也是适用的，所以用到周期样条函数。这里专门编写了一套ｖＣ＋＋程序用于解决算法的问题，只要输入轨迹点我们就可以求出三次样条插值函数。

２常速电机的转速对加速度的影响和规划方法

２．１常速电机的转速与末端执行器、伺服电机加速度的数学关系式

混合驱动五杆机构是由一个常速电机和伺服电机作为输入来决定所要求的输出，在一个工作循环内，常速电机转动１周回到初始工作状态（通常只考虑这种情况），末端执行器走完轨迹点所确定的路径。对于一个工作循环内实现某一任务的机械手来说，必然会经历从静止状态加速到一定速度，沿着给定路径运动，然后回到初始状态。在这种情况下，常速电机的转速与末端执行器、伺服电机的加速度密切相关，下面将定量的分析所隐藏的关系。

设起始点与给定路径上最远点的直线距离为Ｌ，则运动路程的最小值为２Ｌ。令末端执行器的轨迹函数为ｓ（ｒ），—个周期Ｔ（设常速电机的转速为ｎｒ／ｍｉｎ，Ｔ＝６０／ｎ）内的路程为Ｓ，

则｝Ｓｉｔ）出豸，

乞

。

由积分中值定理，一定有

￡．．

ＩＳｑ）ｄｔ叮ｓ（‘），０＜‘≤ｒ

；

即有ｓ：丁§（‘）（１）

又因为；（‘）：ｉ≥（ｔ）ｄｔ，

０

又由积分中值定理，一定有

ｊ；（ｆ）出：‘ｉ（ｏ），Ｏ＜ｔｉ≤岛

可得到Ｓ（岛）＝岛Ｓ（ｆ，）（２）

联立（１），（２）可推出

翰圳ｒ啦肿２≥２Ｌ幸０２

对于伺服电机来说，可以推出类似的结论

翰捌幸唔）２

从上面分析所得到的数学关系式可以看出，为确保末端执行器和伺服电机的平稳运转，常速电机的转速不能过快。否则，末端执行器和伺服电机将会出现非常大的加速度，这对机构系统的稳定性和柔性是非常有害的。另外，所得到的数学关系式的一个重要作用上是可以通过限制末端执行器和伺服电机加速度的上限来确定常速电机的转速，这为轨迹规划提供了一个重要的指导原则。

２．２规划方法

轨迹规划的方法如下：①根据实际任务的需要，确定关键轨迹点。②确定混合驱动五杆机构的工作空间，将关键轨迹点映射到工作空间。③根据常速电机的转速和加速度的数学关系式，确定常速电机的转速。④在工作空间对关键轨迹点用三次样条函数拟合，确定轨迹的函数表达式。⑤用逆运动学原理，将常速电机和末端执行器作为输入，解出伺服电机的数学表达式。⑥对常速电机和伺服电机进行初始化，确定两驱动电机的运动规律。

２．３轨迹规划实例仿真

—＿２７３—

这里设计了一个算例并进行了仿真计算。其主要做法如下：

解出混合驱动五杆机构的工作空间，在工作空间内选取关键轨

迹点Ｐ（一２０，１００），（－４０，９５），（一６０，８０），（一４０，８５），其

中点（－６０，８０）为工作行程的终点，（－２０，１００）为一—个工作

循环的起始点和终止点。

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图２算例的工作空间及关键轨迹点

分别给定常速电机２种不同的转速，对每种不同转速在同一个工作空间的关键轨迹点上进行仿真计算。

表ｌ常速电机的转速对应的轨迹点和伺服电机加速度ＶＬＡＸ

ｎ

Ｔ（ｓ）

（ｒ／ｍｉｎ）

Ｓｘｍ／ｓ２

Ｓｖｍ／ｓ２

秒删ｓ２）

１２０Ｏ．５２５．８２８．５６．８１９．４４

６０

１

５．４９

１．１５

－２２０．２０

图（ａ）和图（ｂ）表示的是常速电机的转速ｎ＝１２０（ｒ／ｍｉｎ）时，在一个周期内，末端执行器在ｘ方向、Ｙ方向的加速度曲线。图（ｃ）表示同一情况下伺服电机的加速度曲线。图（ｄ）和图（ｅ）表

示的是常速电机的转速ｎ＝６０（ｒ／ｍｉｎ）时，在一个周期内，末端执行器在ｘ方向、Ｙ方向的加速度曲线。图（ｆ）表示同一—情况下

伺服电机的加速度曲线。

通过计算我们可以看到，末端执行器和伺服电机的加速度曲线在工作行程和回程都是连续的，并且随着常速电机转速的提高，末端执行器和伺服电机的加速度也会提高。当常速电机的转速增加—倍时，末端执行器和伺服电机的最大加速度近似变成原来的４倍，表ｌ中给出了它们对应的数据，这与前面得

出的数学关系式是吻合的。

末端执行器在ｘ方向的加速度曲线

—－２７４一一

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（ａ）ｎ＝１２０（ｒ／ｍｉｎ）

末端执行器在Ｙ方向的加速度曲线

≯１０ｍ／ｓ２

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（ｂ）ｎ＝１２０（ｒ／ｒａｉｎ）

伺服电机一个工作循环内的加速度曲线

（ｃ）

ｎ＝１２０（ｒ／ｍｉｎ）

末端执行器在ｘ方向的加速度曲线

｜｝≯卦…¨｝…

；；｛¨：：◇陟

警ｉ淹卜…０…

（ｄ）

ｎ＝：６０（ｒ／ｍｉｎ）

磊谢

末端执行器在Ｙ方向的加速度曲线

（ｅ）１１＝６０（ｒ抽ｌｉｎ）

伺服电机一个工作循环内的加速度曲线

１００

５０：ｉ毒ｆ

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０１１＝６０（ｒ／ｒａｉｎ）

３结束语

从仿真计算的结果可以看出，用三次样条插值函数对关键轨迹点进行拟合，所得到的末端执行器的加速度曲线在工作行程和回程都是连续的，并且伺服电机的加速度曲线在一个工作循环内也是连续的，证明了该轨迹规划方法的有效性。还可以从仿真计算的结果可以看出，当常速电机转速增加时，末端执行器、伺服电机积分意义上的平均加速度会成几何级数的增加，证明了推导出的常速电机转速与末端执行器、伺服电机加速度的数学关系式的正确性，从而在受到末端执行器、伺服电机加速度限制的条件下，为选择合适的常速电机转速提供了重要的理论依据。

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研究，蝉季交通大学，博士论文，２００１

［８］楼鸿棣，邹慧君，高等机械原理，高等教育出版社，１９９０

作者简介：韩波（１９８０－），男，硕士生，主要从事可控机构

机电一体化研究。

热烈欢迎来自于国外、境外机构学专家

参加第十四届全国机构学学术研讨会

暨第二届海峡两岸机构学学术交流会！

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混合驱动五杆机构轨迹规划及常数电机转速的影响分析

作者：韩波， 郭为忠， 邹慧君， 张青

作者单位：上海交通大学机械与动力工程学院(上海)本文链接：https://www.wendangku.net/doc/523641782.html,/Conference_5503577.aspx