随机信号分析(常建平 李海林版)课后习题答案
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随机信号分析 第三章习题答案
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求
（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）
（2）
3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232
()(16)
X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？
②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？
解
[][]()[]2
()cos 2
11
,cos 5cos 22
X E X t E A E t B A B R t t EA τττ
=++=????+=+=+与相互独立
()()()2
1521()lim
2T
T T E X t X t X t X t dt A
T
-→∞??=<∞
???==?是平稳过程
()()[]()
()41122
11222222
2
4
2'
4(1)24()()444(0)4
1132
(1
)2244144
14(2)121tan 132
24X X X
E X t G d R
F
G F e R G d d d arc x x τ
τωωωωω
ππωωπωωπω
π
ωω∞
----∞∞
-∞-∞∞--∞∞
?????==?=???+??
====+==??+ ?==
??=
++??
=?
????P P P P 方法一()
方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)
2
d ω
=
3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为
()()()Y t X t X t T =--。证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-
[][]:
()[()()]
{()()}{()(}2()()()
()()()()
()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-??=+=--+-+-=--=+=-??∴=-+-=已知平稳过程的表达式
利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳
换的延时特性
2()2()22()(1cos )
j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-??
+-????=-
3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为
2
16
()16
X G ωω=+
22
()16
Y G ωωω=
+
令新的随机过程
()()()()()()
Z t X t Y t V t X t Y t =+??=-? ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:
()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0
()()(,)[()][()]0()()(2)()()()
()[()()]
[()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R e
E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τ
τ
τωτδττττττ---==∞=?=????=-?=∴+=?+=?=+=+=++ 、都平稳＝与与联合独平立
稳
[][]{}
2214||
()]()()()()
()0
()()()
16
()()()1
16
(3)()0()0
(4)()[()()]()()()()()
()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+=== {}4||
)[()()]
[()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-
3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为
()()Y t X t '=。求互谱密度()XY G ω和功率谱密度()Y G ω？
Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理
()1
()F X X F G R ωτ- Ⅱ.2-17 已知平稳过程()X t 的均方可导，()()Y t X t '=。证明(),()X t Y t 的互相关函数和()Y t 的
自相关函数分别为
Ⅲ.傅立叶变换的微分性质
2
2
2222
2222
222
27928exp 24
:()[()][2]4
()()()()4
()()()()2)(X X XY X XY X Y X
Y X t e e
e
t P G F R F e R j j R G G e R R G G e τωττσωωτσωωττωωωωττωωσωω-??
??-- ? ???
??
?????
-?-???-
===-
'===?-
''=-=-?
????
?高斯脉冲表第解利用傅立叶变换的＝个微分特性22()
()
()()X
X XY Y dR d R R R d d τττττ
τ
==-
3-17 已知平稳过程()X t 的物理功率谱密度为()4X F ω=，
①求()X t 的功率谱密度()X G ω和自相关函数()X R τ？画出(),(),()X X X F G R ωωτ的图形。
②判断过程()X t 是白噪声还是色噪声？给出理由
(
)(1
()()2,)22
()2()
[()]()0()X X X X X G F R E X t X G t F U ωωωδτωτωω-∞=
===<=?∴<∞
=物理功率谱密度 定义式，是白噪声。
白噪声的定义
若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,)-∞+∞上均匀分布，满足
(3-1)
其中0N 为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。 随机信号分析 第四章习题答案
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应
h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数
1
()2
N G N ω=
()()
()()()
2
222
1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωω
πτττ∞
-∞??==????=-==??=*?思路
()()()10()()
10()10[()(0.5)]
()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数
000
2
0.0
25
()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()
10()()()10()()10101100.55
[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ
λλλλ
μ∞
∞
∞∞
==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==????? 时域法
平均功是白噪声，，，
率面积法
：
22
5
[()][()]5
Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率
()
Y R τ
()()()2
14
12
24
2
22Y
2(P1313711()2415()()()102
42411
5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ
ττωωωωωωωωωωωπ
π
ωωπ
-
--∞
∞
∞
-∞∞--∞??--?? ?????
-???= ?
??
????
=== ? ?
????
??
=
==??= ? ?
??
?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法
）
频()()22
20000
[()][()][()]5
Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-===P 交直流分量为平均功率：流
4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？
分析：直流功率＝直流分量的平方
解: 输入平稳
输出的直流分量 输出的直流功率
()2300
X X m R σ==±==()()()1
03
32
Y X m m h t h t ττ=*=*=?=31-d ()()
()()
()()()()()()
()()()()()2
'
'
'222'[()(1()(1)(1)F )]12122
222j j j j Y h t t t d F j d d F j j
d H A A U t U t A Sa
e j A Sa e Sa e Sa e G U t U t t j ω
ωωω
ωωωω
ωωωωωωωωωω----??
???-?=-??--?=?? ?????
???????????==+?-?? ? ? ? ?
???????=-=-??-=-?变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2
''2
192022241
0001lim 022
239
024
X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=????
????=
-+? ? ?????????
????
---=
= ? ?????
=?=?＝＝直流功率
294
Y m =
()Y X m m h t =*
4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2
222
[sin()]
[()]2
ax dx a ax dx a
x Sa π
∞∞
==
??
()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11
()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωω
ωωδδωλδλω-∞-??=--=--?=?==??=-=+=?=??=?????Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数
：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j T j T j T
e e e j j ωωωπδωπδωωω
----=-+=-＋()2
22222
22
2
002
20221
02
(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T T
N T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτ
ωωωωωωωωωωωωωωωωωπω
ωπωωττω+∞-∞----=?=-?=??=??
=?-???==??＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2
200000sin 2222
j e d N T
N N T d T τ
ω
ωπωπωπ∞-∞∞=??=??=??
4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为
2424
()109
Y G ωωωω+=++
求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？
解：
()()()
()()()()()()()()
()()()()()()
()()()()
()
2
4
2
22
3211242()4109224
3311()()12231311
112()0231921Y t
Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωω
ωωωωωωωωωω----?==?=-=++=
?=
++++?? ?+=++-+-+=
===+ ?++ ???
-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入
4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为
223
()8
X G ωωω+=+
设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？
解：
()()(
)
(
)()2
2
1()1
1
()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=??=?==?==
即
4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为
XH M Hz 。若在1Ω电阻上的输出平均功率为0.1W 。求0N 的值？
书P162 Z H 2e
e f ωπ
?=
单位为，622XH 10e e f ωππ??? 故本题＝＝
或者调用公式 62Y 00m 70ax
XH 1210X 410241()2H 0.1e N H N N ωωπππ-???==???=???P 2
02
2max
m 0ax
()(()2)Y
e N H d H H πωωωωω∞?==??P
图4.24 习题4-18
4-18 如图4.24所示的线性系统，系统输入()W t 是零均值，物理谱密度为1的白噪声，
且()()t
h t e U t -=。
①判断()X t 和()Y t 分别服从什么分布？给出理由。 ②证明()Y t 是严平稳过程。
③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度？ ④写出()Y t 的一维概率密度表达式？
⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由。
解：①()W t 是白噪声 （白噪声带宽无限，由定义）， 线性系统()()t h t e U t -=，系统传递函数1
()1H j ωω
=+，
是个低通线性系统（带宽有限）
由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，()X t 为高斯过程。 由4.5节结论1可知，()Y t 为高斯过程。
?()X t 和()Y t 服从高斯分布
②证明()Y t 是严平稳过程
证：()W t 是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出()Y t 也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。
对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。
③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度
11
()()()(()())22
W t X W e R R t U h U e ττττδττ--=*=*=
()()1()1t H h t e U j t ωω
-?+==
2
21
()()()2(1)X W G H G ωωωω=?=+ 1()exp()4
X
R ττ?=-傅立叶反变换 []
[][]{}()()()()()()()2()()()1
2exp()exp()exp()4Y X X X R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R T R T T T ττττττττττ=+=--+-+-=---+=
?------+??
?
()
()2222221422()411114211cos 4111j T j T Y j T j T G e e e e T ωωωωωωωωωωωω
--??=
--??+++??
??=-+=-??+++??可得
习题3-7 的结论()()2()1cos Y X G G T ωωω=-
④求()Y t 一维概率密度表达式
()[]21
(0)1exp()2
Y Y t R T σ?
??
???==--?是高斯过程输入零均值，输出零均值，则易得 (
)2
2
2;y Y f y t σ-=
思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t ，根据()Y t 严平稳过程的特性也可以推到。
思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。
⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由
()X t 和()Y t 独立（高斯过程）
等价 互不相关（零均值） 等价 正交
()X t 和()Y t 联合平稳，再由两者的相互关系可得
[][]()()()()()()1
(0)()1exp()4
()()()(0)0XY X X X XY X E X t Y t E X t X t X t X t T R R T R R T T R R ττττττ=+=+-+-=?=--=?---???-≠即不正交
()X t ?和()Y t 在同一时刻不独立。
随机信号分析习题
随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 绪论单元测试 1 【单选题】(2分) 确定性信号和随机信号的区别是什么？ A. 能否用计算机处理 B. 能否用有限个参量进行唯一描述 2 【单选题】(3分) 如何由连续时间信号获得离散时间信号？ A. 在信号幅度上进行量化 B. 在时域上对连续时间信号进行采样 第一章测试 1 【单选题】(2分) 以下那个说法是正确的？ A. 在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，只要实现了等间隔采样，采样间隔T怎样选择都不会影响采样后离散时间信号的频谱特征。 B. 在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，采样间隔T的选择非常关键，如果选择不当，采样后的离散时间信号将存在频域混叠失真现象。 2 【单选题】(2分) A. B. C. D. 3 【判断题】(2分) A. 错 B. 对 4 【单选题】(2分) 下面哪段语句不会报错？ A. x=ones(1,5); n h=0:2; h=(nh+1).*ones(1,3); n=0:6; y=conv(x,h); stem(n,y); B. x=[123]; h=ones(1,5); n=0:7; y=conv(x,h); stem(n,y); C. x=ones(1,4); n h=0:2; h=(nh+1)*ones(1,3); n=0:5; y=conv(x,h); stem(n,y); 5 【单选题】(2分) A. B. C. D. 6 【单选题】(2分) 请问以下哪个说法是正确的？ A. 连续时间正弦信号采样后不一定为周期序列。 B. 连续时间正弦信号采样后一定为周期序列。 7 【单选题】(2分) A. B. C. 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω = 当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分) 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时： （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。 填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（ x）则 F（ -∞） =0, F（ +∞） =1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程 X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称 X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程 X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称 X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声 ,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布 ,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布 ,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ） =25+4/ （1+6τ），则其均值为 5 或 -5,方差为 4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声 ,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声 ,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________ 。 5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程， 离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性 ,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意 n 维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越 慢 ,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快 , 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为 ，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1 渤海大学继续教育学院考试卷 年级 专业 学习形式 科目 随机信号分析 学 号 姓名 …………………………………………………………………………………………… ……………………………………………… 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 一、填空题（每2分，共20分） 1. 数学期望是描述随机变量的（ 集中特性 ），方差是用来度量随机变量偏离其（ 数学期望 ）的程度 2. 随机变量的X 特征函数是（ ][)(jwx e E =ωφ ）第二特征函数是（ )(ωψ ）它们之间的关系是（ )(ln )(ωφωψ= ） 3. 两个随机变量统计独立，它们必然是（不 ）相关的 4. 设有实信号，)(t x 它的希尔伯特换定义是（ τττπd t x ?∞∞--)(1 ），反变换定义为（ ττπd t t x ?∞ ∞---)(?1 ） 5. 各态历经过程必须是（ 平稳的 ），但平稳过程 （ 不一定 ）都具有各态历经性。 6. 按照随机过程的时间和状态，可以将随机过程分为（ 连续随机过程 ）、（ 离散过程）、（连续随机序列 ）和（离散随机序列 ） 7. 对于高斯过程，不相关和（ 互相独立 ）是等价的，狭义平稳和（ 广义平稳 ）是等价。 8. 具有高斯分布的噪声称为（高斯噪声）。具有均匀分布的噪声叫（均匀噪声），而如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为（白噪声）。 9. 如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为（ 白噪声 ） 二、单选题（每小题2分，共20分）_ 1. 随机过程的样本函数是（ A ） A 确定的时间函数 B 随机函数 C 随机变量的函数 D 常量 2 .若)()()]()([2121t m t m t Y t X E Y X = 则随机过程 )(1t X 与)(2t Y ( A ) A 不相关 B 正交 C 独立 D 平稳过程 3 若联合宽平稳过程)(t X 与)(t Y 的互功率密度0)(=ωXY S ,则)(t X 与)(t Y （ B ） A 不相关 B 正交 C 独立 D 平稳过程 4 各态历经随机过程（ A ） A 必定宽平稳 B 非定稳 C 不一定平稳 5 平稳随机过程)(t X 的均方值为 （ B ） A 负的 B 非负的常量 C 时间t 的函数 6 白噪声是根据其( A )定义的 A. 概率密度的特点 B 噪声的大小 C 噪声出现的时间 D 白噪声的自相关函数 7 设dt e x x t ?∞ - = Φ2 2 21 )(π 为标准正态分布随机变量的概率积分函数，则=-Φ)(x ( B ) A )(x Φ B 1 － )(x Φ C －)(x Φ D 2 1 －)(x Φ 8 若随机变量X 的概率密度为4 42 21)(-+-= x x e x f π 则E[X]=（ C ） A 0 B 1 C 2 D 3 9. 平稳随机过程X(t)希尔伯特变换 )(?t X 的统计自相关函数 )(?τX R ，和时间自相关函数)(?τT X R ，分别等于：( B ) A )()(), ()(??ττττ-=-=XT T X X X R R R R B )()(),()(??ττττXT T X X X R R R R == C )()(),(?)(??ττττ-==XT T X X X R R R R D )(?)(),(?)(??ττττXT T X X X R R R R == 10 以下（ B ）不是平稳随机过程自相关函数的性质 A )()(ττ-=X X R R B )()0(τX X R R ≤ C )()(ττ-=+X X R T R D 2 )()(X X X m R R im l =∞=∞ →ττ 三 简答 （共10分） 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωω πτττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)] ()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==????? 时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ ()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞ ∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = = =??= ? ? ?? ??? ??P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-===P 交直流分量为平均功率：流 随机信号分析习题参考答案 北京工业大学电控学院 2008.12.9 第一章 随机信号基础 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为： 求： （1） 系数A （2）X 取值在（0.5 ，1）内的概率)15.0(< 解： 如果一个函数它是概率分布函数则比须满足三个条件： （I ）)(x F 是x 的单调非减函数 （II ）)(x F 是非负函数，且满足：1)(0<≤x F （III ）)(x F 处处连续 （1）0 )(0 12 <= ≥--x x F x e x 可证明)(x F 满足以上三个条件，可知)(x F 是一个概率分布函数。 )()(0 2 1' 2 <= =≥-x x F x f x e X x （2）0 1 10)(0 2 ≥<≤= 精心整理《随机信号处理》上机实验仿真报告 学院：电子工程与光电技术学院 指导老师：顾红 日期：2014年11月10日 B=543e6;%带宽（这里设置带宽为学号后三位），程序段①从这行开始 fs=10*B;%采样频率 ts=1/fs; T=10e-6;%脉宽10μs N=T/ts;%采样点数 t=linspace(-T/2,T/2,N); K=B/T; a=1;%这里调频信号幅值假设为1 %%线性调频信号 si=a*exp(j*pi*K*t.^2); figure(1) plot(t*1e6,si); xlabel('t/μs');ylabel('si');title('线性调频信号时域波形图');gridon; sfft=fft(si); f=(0:length(sfft)-1)*fs/length(sfft)-fs/2;%f=linspace(-fs/2,fs/2,N); figure(2) plot(f*1e-6,fftshift(abs(sfft))); xlabel('f/MHz');ylabel('sfft');title('线性调频信号频域波形图');gridon; axis([-300,300,-inf,inf]);%程序段①到这行结束 %%叠加高斯白噪声 disp(' %% %% n2=conv(ht,ni);%噪声 n22=abs(n2); s2=conv(ht,si);%信号 s22=abs(s2); SNRo=(max(s22)^2)/(var(n2))/2; disp('输出信噪比为：'); SNRo=10*log10(SNRo) disp('信噪比增益为：');disp(SNRo-SNRi) %%匹配滤波器的幅频特性 hw=fft(ht); 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 西安电子科技大学 考试时间 120 分钟 试 题 班级 学号 姓名 任课教师 一﹑简答下列问题（25分） 1. 随机变量与随机过程的区别是什么？给出一个常见的随机过程的例子。（2分） A ． 随机变量与时间t 无关而仅与样本有关，而随机过程()X t 与样本和时间都有关，是一族与样本有关的时间函数。若t 固定，()X t 是一个随机变量。例如，电子元件上的热噪声电压。 B ． 一维随机变量是一与时间无关的一维分布函数来描述的，而随机过程是由有限维分布函数来描述的。随机过程是我们周围随处可见的随机现象，例如在一段时间内我们自身的血压就是一随机过程。 2. 随机变量的分布函数与随机过程的分布函数的区别是什么？分别写出描述服从高斯分布的随机变量和平稳正态过程的二维概率密度函数。（4分） A ．随机变量的分布函数是指在状态空间上的分布，而随机过程的分布函数是指随时间变化的状态空间上的分布。 B ．随机过程的分布是与时间有关的有限维分布，随机变量的分布是与时间无关的固定维分布。 一维标准正态随机变量的概率密度：2())2x f x =- 平稳正态过程的二维概率密度函数： 1111 222 11((),())exp 22T x x x x x x x m x m f x t x t x m x m τπ-??--???? ?+= -???? ?--?????? K K 其中：22 (())() ()(())x E X t R R E X t τττ??=??+?? K 3.严平稳与宽平稳的主要区别是什么？（2分） A ．严平稳是指有限维分布函数只与给定的时间间隔有关的随机过程；而宽平稳是指均值为常数，相关函数只与时间间隔有关的随机过程。 B ．严平稳是指统计特性与时间起点无关而仅与时间间隔有关的随机过程，而宽平稳是指一阶矩与时间无关和二阶矩与时间间隔有关的随机过程。 4. 写出两个复数过程1()Z t 和2()Z t 的自相关函数和互相关函数的表达式。（2分） *1212(,)()()Z R t t E Z t Z t ??=?? ， 12*121122(,)()()Z Z R t t E Z t Z t ??=?? 5. 遍历性（各态历经）过程的定义是什么？（2分） A ． 时间平均等于集合（统计）平均 B ． 时间均值等于统计均值，时间相关函数等于统计相关函数。 6. 写出在齐次条件下，马尔可夫链的n 步转移概率矩阵与一维转移概率矩阵之间的关系。（2分） ()n n =P P 7. 当线性系统的输入端为高斯过程，线性系统的输出端是什么分布的随机过程？为什么？（2分） 高斯分布的随机过程。 线性系统是对输入进行线性变换，而高斯过程具有线性变换不变性。 8. 写出实随机过程()X t 的解析过程（复包络）()X t 的表达式，以及()X t 的自相关函数与()X t 的自相关函数的关系。 （3分） 1??()()(), ()*()X t X t jX t X t X t t π=+= ， ?()2()2()X X X R R j R τττ=+ 9. 什么是窄带信号？实际中的窄带信号的近似准则是什么？（3分） 信号带宽远远小于载频。实际中的窄带信号的近似准则是信号带宽小于等于10%（小于20%也可以）的载频。 10. 3dB 带宽的定义是什么？（1分） 系统传输函数下降至半功率点时的带宽。 11. 色噪声与白噪声的区别是什么？举一例说明你所见到的色噪声。（2分） 色噪声的功率谱密度是ω的非均匀函数。课间间隔教室里的噪声。 随机信号分析 第一章 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 设随机试验X 的分布律为 求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：()()()())0.210.520.33i i i f x p x x x x x δ δδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i i F x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（ 9. 10. 设随机变量X 的概率密度函数为()x f x ae -=， 求:(1)系数a ；（2）其分布函数。 解：（1）由 ()1f x dx ∞ -∞ =? () ()2x x x f x dx ae dx a e dx e dx a ∞ ∞ ∞ ---∞ -∞ -∞ ==+=? ?? ? 所以12a = （2）()1()2 x x t F x f t dt e dt --∞ -∞= =? ? 所以X 的分布函数为 ()1,02 11,02 x x e x F x e x -? 求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。 解：（1） ()() ()()()()()() ,,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j F x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑ ()() ()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j i j f x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑ （2）X 的分布律为（i ij j P P ?=∑） ()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++= Y 的分布律为 ()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35 P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {}{}{} ()() 0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x dx k ∞ -∞==? 第②问 {}()()()21 1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ??? 第一章 信号及其描述 （一）填空题 1、 测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来 传输的。这些物理量就是 ，其中目前应用最广泛的是电信号。 2、 信号的时域描述，以 为独立变量；而信号的频域描述，以 为独立变量。 3、 周期信号的频谱具有三个特 点： ， ， 。 4、 非周期信号包括 信号和 信号。 5、 描述随机信号的时域特征参数有 、 、 。 6、 对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是 对称，虚频谱（相频谱）总是 对 称。 （二）判断对错题（用√或×表示） 1、 各态历经随机过程一定是平稳随机过程。（ ） 2、 信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。（ ） 3、 非周期信号的频谱一定是连续的。（ ） 4、 非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。（ ） 5、 随机信号的频域描述为功率谱。（ ） （三）简答和计算题 1、 求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值μ|x|和均方根值x rms 。 2、 求正弦信号)sin()(0?ω+=t x t x 的均值x μ，均方值2x ψ，和概率密度函数p(x)。 3、 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。 4、 求被截断的余弦函数???≥<=T t T t t t x ||0 ||cos )(0ω的傅立叶变换。 5、 求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x at ω的频谱。 参考答案 第一章 信号及其描述 （一）1、信号；2、时间（t ），频率（f ）；3、离散性，谐波性，收敛性；4、准周期，瞬态 非周期；5、均值x μ，均方值2x ψ，方差2x σ；6、偶，奇； （二）1、√；2、√；3、╳；4、╳；5、√； （三）1、π0 2x ，20x ；2、0，22 0x ，)cos(10?ωπ+t x ；3、f j a A π2+；4、()()T f c T T f c T )2(sin )2(sin 00ωπωπ-++； 5、fa j f a πωπω 44202220+--；智慧树知道网课《数字信号处理》课后章节测试满分答案
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