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三角形的内角与外角角平分线培优练习题

三角形的内角与外角角平分线培优练习题
三角形的内角与外角角平分线培优练习题

三角形的内角与外角角平分线

1、 如图1,点D 是△ABC 两个内角平分线的交点。

(1)∠ABC=50°,∠ACB=80°则∠D= .

(2)∠A=100°,则∠D= .

(3)∠D=150°,则∠A= .

(4)写出∠D 和∠A 的关系

2、如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点,

(1)∠ABC=50°,∠A=80°则∠D= .

(2)∠A=100°,则∠D= .

(3)∠D=50°,则∠A= .

(4)写出∠D 和∠A 的关系

3、 如图所示,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点O ,

(1)∠1=80°,∠2=50°则∠O= .

(2)∠A=100°,则∠O= .

(3)∠D=50°,则∠A= .

(4)设∠BOC=a ,则∠A 等于 .

4、如图已知△ABC 中,∠A=39°,∠B 和∠C 的三等分线分别

交于D 、E 两点,则∠BDC 度数是( )

A .133°

B .86°

C .109.5°

D .88°

5、如图所示,已知△ABC 中,∠A=84°,点B 、C 、M 在一条直线上,∠ABC 和∠ACM

两角的平分线交于点P 1,∠P 1BC 和∠P 1CB 两角的平分线交于点P 2,∠P 2BC 和∠P 2CB

两角的平分线交于点P 3,则∠P 3的度数是 .

C

6、如图△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,依次类推,∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的度数为()

7、如图所示,已知△ABC中,∠A=84°,点B、C、M在一条直线上,∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1,∠P1BC和∠P1CM两角的平分线交于点P2,∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3,则

∠P3的度数是.

8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______.

三角形内角和外角练习题及作业

三角形内角和外角练习题 及作业 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

三角形有关的角习题课 一、知识要点 1、三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于______,即:在△ABC中, ∠A+∠B+∠C=_____ 理解与延伸:①一个三角形中最多只有一个钝角或直角 ②一个三角形中最少有一个角不小于60° ③等边三角形每个角都是60° 2、直角三角形的性质与判定 性质:直角三角形的两个锐角__________;判定:有两个角互余的三角形是 _______________ 3、三角形的外角:三角形的一边与另一边的______________组成的角 特点:①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为_______________ ②三角形有____个外角,每个顶点处有____个外角,但算三角形外角和时,每个顶点处只算____个外角,外角和是指三个外角的和,三角形的外角和为________ 性质:三角形的外角等于与它______________的两个内角的和 二、知识应用 1、三角形内角和定理应用

(1)已知两角求第三角 (2)已知三角的比例关系求各角 (3)已知三角之间相互关系求未知角 2、三角形外角性质的应用 (1)已知外角和它不相邻两个内角中的一个可求“另一个” (2)可证一个角等于另两个角的_______ (3)经常利用它作为中间关系式证明两个角相等. 三、例题分析 1、如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中∠A = 150°, ∠B = ∠D = 40°则∠C=_______ 2、如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形, 则∠1+∠2=_______ 3、△ABC中,∠B = ∠A + 10°,∠C = ∠B + 10°.求△ABC的各内角的度数 4. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果∠α=43°, 求∠β的度数 5、如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数 变式:(1)如图①,五角形的顶点分别为A、B、C、D、E,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____ (2)如图②,∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_____

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。 1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围. 2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.

初一数学三角形外角练习题

初一数学三角形练习题 一、选择题: 1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2、如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE=( ) ° ° ° ° 3、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) ° ° ° ° 4、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) °°° ° 5、已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( ) A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 6、已知,在△ABC中,∠A + ∠B = ∠C,那么△ABC的形状为() A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、以上都不对 7、下列长度的三条线段能组成三角形的是() ,4cm,8cm ,6cm,11cm ,6cm,10cm ,8cm,12cm 8、等腰三角形中,一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为() °°°或80°° 9、在△ABC中,∠A=50°,∠B,∠C的角平分线相交于点O,则∠BOC的度数是( )等腰三角形中,一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为() °°°或80°° 10、在△ABC中,∠A=50°,∠B,∠C的角平分线相交于点O,则∠BOC的度数是( ) A. 65° B. 115° C. 130° D. 100 二、填空: ①在△ABC中,已知∠B = 40°,∠C = 80°,则∠A = (度) ⑤如果一个三角形的三边长分别为x,2,3,那么x的取值范围是。 ⑥小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形,那么他选的三根木棒的长度分别是_ .______. ⑦已知等腰三角形的一边长为6,另一边长为10,则它的周长为 例2: (提高) ①△ABC中,∠C=90°,∠B-2∠A=30°,则∠A= ,∠B= ③在等腰三角形中,一个角是另一个角的2倍,求第三个角:_______________________ ④:在等腰三角形中,,周长为40cm,一个边另一个边2倍,求第三个边:_________________ 1、如图,△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上一点,延长CA到E,连EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是______

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等; (3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: 1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换 中的“对折”. 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”. 3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线 段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 6)特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来,利用三角形面积的知识解答. 常见辅助线写法: ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线,垂足为D ⑶延长AB至C,使BC=AC ⑷在AB上截取AC,使AC=DE ⑸作∠ABC的平分线,交AC于D ⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点

(完整版)三角形的外角习题及答案

三角形的外角(习题) ? 例题示范 例1:已知:如图,点E 是直线AB ,CD 外一点,连接DE 交AB 于点F ,∠D =∠B +∠E . 求证:AB ∥CD . D C E A B F ①读题标注 ②梳理思路 要证AB ∥CD ,需要考虑同位角、内错角、同旁内角. 因为已知∠D =∠B +∠E ,而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ,故∠D =∠AFE ,所以AB ∥CD . ③过程书写 证明:如图, ∵∠AFE 是△BEF 的一个外角(外角的定义) ∴∠AFE =∠B+∠E (三角形的外角等于与它不相邻的两个内 角的和) ∵∠D =∠B +∠E (已知) ∴∠AFE =∠D (等量代换) ∴AB ∥CD (同位角相等,两直线平行) ? 巩固练习 1. 如图,在△ABC 中,∠1是它的一个外角,∠1=115°,∠A =40°, ∠D =35°,则∠2=________. 2 1E F D C B A D C E A B F

2. 已知:如图,在△ABC 中,∠BAC =50°,∠C =60°,AD ⊥BC , BE 是∠ABC 的平分线,AD ,BE 交于点F ,则∠AFB 的度数为____________. F B A E C D α 第2题图 第3题图 3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α 的度数为( ) A .45° B .60° C .75° D .90 4. 如图,已知∠A =25°,∠EFB =95°,∠B =40°,则∠D 的度数为 _____________. F E D C B A D C E A B 第4题图 第5题图 5. 如图,已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线,∠B =30°,∠DAE =50°,则∠D =_______,∠ACB =_______. 6. 如图,在△ABC 中,∠A =40°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于 点D ,∠BDC =70°,求∠C 的度数. 解:如图, ∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 (_____________________) ∴∠BDC =∠A +∠ABD (_____________________) ∵∠A =40°,∠BDC =70° (_____________________) ∴∠ABD =_______-________ =________-________ =________ (_____________________) 第4题图 D C A B

(完整版)三角形边角关系培优训练经典

三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________. 2、如图,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE、CF相交于点G,∠BDC=140°,∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中,AD、BE、CF是角平分线,交点是点G,GH⊥BC。求证:∠BGD=∠CGH. E D C B A F E G A B D C F M K N G A B E F

21 P C B A 5.如图,已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线,CE 交BA 的延长线于点E , 求证:∠BAC > ∠B 6、△ABC 中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高,∠BHC=135° 求证:BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4:1,则最小内角的取值范围是多少? 8.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的度数是 . 9.如图,在△ABC 中,∠ABC = ∠ACB ,∠A = 40°,P 是△ABC 内一点,且∠1 = ∠2.则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中,3条高相交于点H ,若∠BAC =70°,则∠BHC =_______ H A B C E D

11、如图,BE平分∠ABD交CD于F,CE平分∠ACD交AB于G,AB、CD交于点O,且∠A=48?,∠D=46?,则∠BEC= 。 12.已知△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC一定() A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是() A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B,3∠C<2∠B,则三角形是() A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.都有可能

三角形的外角练习题及标准答案

7.2.2 三角形的外角 基础过关作业 1.若三角形的外角中有一个是锐角,则这个三角形是________三角形. 2.△ABC中,若∠C-∠B=∠A,则△ABC的外角中最小的角是______(填“锐角”、“直角”或“钝角”). 3.如图1,x=______. (1) (2) (3) 4.如图2,△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上一点,延长CA到E,连EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是_________. 5.如图3,在△ABC中,AE是角平分线,且∠B=52°,∠C=78°,求∠AEB的度数.6.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高,H是BD、?CE的交点,求∠BHC的度数. 综合创新作业 7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°, 则∠EDC=______. 8.一个零件的形状如图7-2-2-6所示,按规定∠A 应等于90°,∠B、∠D应分别是30°和20°, 李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合 格,你能说出道理吗?

9.(1)如图7-2-2-7(1),求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数; (2)如图7-2-2-7(2),求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数. 10.(易错题)三角形的三个外角中最多有_______个锐角. 培优作业 11.(探究题)(1)如图,BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线,试探索∠BDC与∠A之间的数量关系. (2)如图,BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC的外角∠ACE的平分线,它们相交于点D,试探索∠BDC与∠A之间的数量关系.

三角形的外角的练习题

11.2.2 三角形的外角 一、选择题: 1.(2011?襄阳)如图,CD ∥AB ,∠1=120°,∠2=80°,则∠E 的度数是( ) A . 40° B . 60° C . 80° D . 120° 2.(2011?娄底)如图,将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为( ) A . 80 B .] 50 C . 30 D . 20 3.(2013?毕节地区)如图,已知AB ∥CD ,∠EBA=45°,∠E+∠D 的度数为( ) A . 30° B . 60° C . 90° D . 45° 4.(2011?台湾)如图中有四条互相不平行的直线L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确( ) A . ∠2=∠4+∠7 B . ∠3=∠1+∠6 C . ∠1+∠4+∠6=180° D . ∠2+∠3+∠5=360° 5.(2013?鄂州)一副三角板有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是( ) A . 165° B . 120° C . 150° D . 135° 6.(2011?枣庄)如图,直线AB ∥CD ,∠A=70°,∠C=40°,则∠E 等于( ) A . 30° B . 40° C . 60° D . 70° 7.(2011?桂林)下面四个图形中,∠1=∠2一定成立的是( ) 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第8题

A . B . C . D . 8.(2011?怀化)如图所示,∠A ,∠1,∠2的大小关系是( ) A . ∠A >∠1>∠2 B . ∠2>∠1>∠A C . ∠A >∠2>∠1 D . ∠2>∠A >∠1 二、填空题 9.(2011?绵阳)将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB 的度数为________ 10.(2011?泰安)如图,l ∥m ,等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上,若∠β=20 °,则∠α的度数为________ 11.若三角形的外角中有一个是锐角,则这个三角形是________三角形. 12.△ABC 中,若∠C-∠B=∠A ,则△ABC 的外角中最小的角是______(填“锐角”、“直角”或“钝角”). 13.如图,x=______. 14.(2012?长沙)如图,在△ABC 中,∠A=45°,∠B=60°,则外角∠ ACD= _________ 度. 15.(2013?黔西南州)如图,已知△ABC 是等边三角形,点B 、C 、D 、E 在同一直线上,且CG=CD ,DF=DE ,则∠E= _________ 度. 16.将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则α=________. 17.(2013?威海)将一副直角三角板如图摆放,点C 在EF 上,AC 经过点D .已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC .∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= _____ . 18.(2013?龙岩)如图,AB ∥CD ,BC 与AD 相交于点M ,N 是射线CD 上的一点.若∠B=65°,∠MDN=135°,则∠AMB= ____ . 第13题 第14题 第15题 第16题 a 第17题 第18题 第9题 第10题

培优专题二:与三角形有关的角

D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理: 二、三角形外角的性质: 如图,∠是△的外角, 则:①∠ =∠ +∠ ; 或∠ =∠ —∠ ; 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 基本图形介绍: 1、对顶三角形: ①如图,、相交于O ,求证:∠∠∠∠D ②如图,、相交于O ,、分别平分∠、∠, 求证:∠12 (∠∠C ) A

A B C P E A B C P A C D P A B C D 2、“飞镖”形: ①如图,求证:∠∠∠∠C ②如图,、分别平分∠、∠,求证:∠12 (∠∠D ) 3、三角形内外角平分线问题: ①如图,△中,P 是△的角平分线的交点,求证:∠90°+12∠A ②如图,△中,P 是∠的角平分线和△的外角∠的角平分线的交点。 求证:∠12 ∠A

A B C E F P ③如图,△中,P 是外角∠与∠的角平分线的交点。 求证:∠90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题: ①由光的反射原理:∠1=∠2 又因为∠1=∠3,所以∠2=∠3,所以平分∠。 ②作法线,则平分∠ 4、一角平分线问题: ①在△中,平分∠,∠C>∠B 求证:(1)∠ =90°-12 (∠C —∠B) (2)∠12 (∠∠B) D C A E

D E D C B A P E D C B A P E D C B A ②在△中,平分∠,⊥,求证:∠ =12 (∠C —∠B) 拓展:①在△中,平分∠,P 是延长线上一点,过P 作⊥, 求证:∠ =12 (∠C —∠B) 拓展:②在△中,平分∠,P 是延长线上一点,过P 作⊥, 求证:∠ =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题: ①如图,△中,∠90°,⊥于D ,求证:∠1=∠

(完整word版)垂直平分线角平分线培优提高练习

垂直平分线角平分线培优提高练习 一.选择题(共6小题) 1.如果三角形内有一点到三边距离相等,且到三顶点的距离也相等,那么这个三角形的形状是() A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 2.下列各语句中不正确的是() A.全等三角形的周长相等B.全等三角形的对应角相等 C.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等 3.如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下: (甲)作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求; (乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确() A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确 4.如图,在四边形ABCD中,M、N分别是CD、BC的中点,且AM⊥CD,AN⊥BC,已知∠MAN=74°,∠DBC=41°,则∠ADC度数为() A.45°B.47°C.49°D.51° 5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交BC于D点,E,F分别是AD,AC上的动点,则CE+EF的最小值为() A.B.C.D.6 6.如图,四边形ABCD中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、DC上的点,当△AEF 的周长最小时,∠EAF的度数为()

A.50°B.60°C.70°D.80° 二.填空题(共5小题) 7.△ABC中,DF是AB的垂直平分线,交BC于D,EG是AC的垂直平分线,交BC于E,若∠DAE=30°,则∠BAC等于. 8.如图,△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥AC交AC于F,AC=12,BC=8,则AF=. 9.在△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E.若BC=10,DE=4,则AD+AE=.10.△ABC中,∠C=90°,DE是AB的中垂线,AB=2AC,且BC=18cm,则BE的长度是.11.如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=6,当△PMN的周长取最小值时,△PMN的周长为. 三.解答题(共6小题) 12.如图,△ABC中,∠A=60°,∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G.求证:GE=GD. 13.已知如图,CD是RT△ABC斜边上的高,∠A的平分线交CD于H,交∠BCD的平分线于G,求证:HF∥BC. 14.在△ABC中,AB边的垂直平分线交直线BC于点D,垂足为点F,AC边的垂直平分线交直线BC于点E,垂足为点G. (1)当∠BAC=100°(如图)时,∠DAE=°;

三角形内角与外角练习题

1)如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=() 2)将一副直角三角板如图所示放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为() 3)三角形内角中锐角至少有()个,钝角最多有()个,直角最多有()个,外角中锐角最多有()个,钝角至少有()个,直角最多有()个。 4)如图,已知AB∥CD,∠A=60°,∠C=25°,则∠E等于() 5)如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列正确 的有()∠2=∠4+∠7 } ①∠5=∠1+∠4②∠3=∠1+∠6③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6⑧∠2=∠4+∠7 6) 若△ABC中,2(∠A+∠C)=3∠B,则∠B的外角度数() 7) 如图,△ABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2=()

8) △ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=() 9) 将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为() $ 10) 一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为() 11) 如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠B=23°,∠A的度数是() 12) 如图,∠1、∠2、∠3的大小关系为() 13) 如图是A、B两片木板放在地面上的情形.图中∠1、∠2分别为A、B两木板与地面的夹角,∠3是两

11.2与三角形有关的角能力培优训练含答案

11.2与三角形有关的角 专题一利用三角形的内角和求角度 1.如图,在厶ABC中,/ ABC的平分线与/ 线相 交于D点,/ A=50°则/ D=( A. 15 ° B. 20 ° C. 25° 2.如 图,已知:在直角△ ABC中,/ C=90 °, BD平 分/ ABC且交AC于D.若AP平分/ BAC 且交BD于P,求/ BFA的度数. 3.已知:如图1 ,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下,/ DAB 和/ BCD的 平分线AF和CF相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N .试解答下列问题: (1)__________________________________________________________________ 在图1中,请直接写出/ A、/ B、/ C、/ D之间的数量关系: _______________________________ ; (2)在图2中,若/ D=40° / B=30°,试求/ F的度数;(写出解答过程) (3)如果图2中/ D和/B为任意角,其他条件不变,试写出/ F与/ D、/ B之间的数量关系.(直接写出结论即可)

6.如图: (1 )求证:/ BDC = / A+/ B+/C ; (2)如果点D 与点A 分别在线段 BC 的两侧,猜想/ BDC 、/ A 、/ ABD 、/ ACD 这4个 专题二利用三角形外角的性质解决问题 4. 如图,/ ABD ,/ ACD 的角平分线交于点 P ,若/ A=50 ° / D=10°,则/ P 的度数为( ) A . 15 ° B . 20 ° C . 25 ° D . 30 ° 5. 如图,△ ABC 中,CD 是/ ACB 的角平分线,CE 是AB 边上 的高,若/ A=40° , / B=72° . (1) 求/ DCE 的度数; (2) 试写出/ DCE 与/ A 、/ B 的之间的关系式. (不必证明 ) 角之间有怎样的关系,并证明你的结论.

培优专题等腰三角形含答案

9、等腰三角形【知识精读】 (-)等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理:等腰三角形有两边相等; 定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 (二)等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC 延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点。 分析:欲证M是BE的中点,已知DM⊥BC,所以想到连结BD,证 1∠ABC,而由CE=CD,BD=ED。因为△ABC是等边三角形,∠DBE= 2 1∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。 又可证∠E= 2 证明:因为三角形ABC是等边三角形,D是AC的中点

三角形内角外角练习题

与三角形有关的角 三角形的内角 一、选择题 1.一个三角形的两个内角和小于第三个内角,这个三角形是()三角形.A.锐角B.钝角C.直角D.等腰 2.三角形的三个内角() A.至少有两个锐角B.至少有一个直角 C.至多有两个钝角D.至少有一个钝角 3.一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和,这个三角形是()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.何类三角形不能确定 4.一个三角形的两个内角之和小于第三个内角,那么该三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能 5.一个三角形的三个内角的度数比是1:2:1,这个三角形是(). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2=() A.90°B.100° C . 130°D.180° 7.如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,∠A=50°,则∠D=() A.15°B.20°C.25°D.30° 8.如图,直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=65°,则∠3=() A.65°B.70°C.75°D.85° 二、填空题 9.如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥B C于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE的度数是_______ 10.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,a∥b,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数为_______11.(2008?沈阳)已知△ABC中,∠A=60°,∠ABC、∠ACB 的平分线交于点O,则∠BOC的度数为________度. (第6题) (第7题)(第8题)(第9题) (第10题) (第12题)(第14题) 1

(完整word版)三角形提高题 培优卷

1 、如图,三角形ABC 内任一点P ,连接PA 、PB 、PC , 求证:1/2(AB+BC+AC )∠CAD 4、1}一个等腰三角形的一个外角等于110?,则这个三角形的三个角应该为 。 2}在⊿ABC 中,AB = AC ,周长为20cm ,D 是AC 上一点,⊿ABD 与⊿BCD 面积相等且周长差为3cm ,⊿ABC 各边的长为 。 5、如图,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=1.5BC ,在AC 上取点D ,使得AD=0.5BC ,量得BD=1cm ,求△ABD 的面积。 6、如图,在七星形ABCDEFG 中,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。 7、如图,△ABC 中,∠C >∠B ,AE 为角平分线,AD ⊥BC 于D 。 (1)求证:∠EAD =2 1(∠C -∠B) ; (2)当垂足D 点在直线BC 上运动时(不与点E 重全),垂线交直线AE 于A ’,其它条件不变,画出相应的图形,并指出与(1)相应的结论是 什么?是否仍成立? A B C P B E C A D

8、如图,△ABC 中,AD 是高,AE ,BF 是角平分线,它们相交于点O ,∠CAB =50°,∠ C =60°,求∠DAC 及∠BOA . 9.观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由。 (1)如图①,△ABC 中,P 为边BC 上一点,试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小,并 说明理由。 C B A P 图① (2)将(1)中点P 移至△ABC 内,得图②,试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。 C B A P 图② (3)将(2)中点P 变为两个点P 1、P 2得图③,试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ (4)将(3)中的点P 1、P 2移至△ABC 外,并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧,且∠P 1BC <∠ABC ,∠P 2CB <∠ACB ,得图④,试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。 图④ C B A P 1P 2

七年级三角形的内角与外角角平分线培优练习题

三角形的内角与外角角平分线 1、如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点。 (1)∠ABC=50°,∠ACB=80°则∠D= . (2)∠A=100°,则∠D= . (3)∠D=150°,则∠A= . (4)写出∠D和∠A的关系 2、如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点, (1)∠ABC=50°,∠A=80°则∠D= . (2)∠A=100°,则∠D= . (3)∠D=50°,则∠A= . (4)写出∠D和∠A的关系 3、如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O, (1)∠1=80°,∠2=50°则∠O= . (2)∠A=100°,则∠O= . (3)∠D=50°,则∠A= . (4)设∠BOC=a,则∠A等于 . 4、如图已知△ABC中,∠A=39°,∠B和∠C的三等分线分别 交于D、E两点,则∠BDC度数是() A.133°B.86°C.°D.88°

5、如图所示,已知△ABC中,∠A=84°,点B、C、M在一条直线上,∠ABC和∠ACM 两角的平分线交于点P1,∠P1BC和∠P1CB两角的平分线交于点P2,∠P2BC和∠P2CB两角的平分线交于点P3,则∠P3的度数是 . 6、如图△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,依次类推,∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的度数为() 7、如图所示,已知△ABC中,∠A=84°,点B、C、M在一条直线上,∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1,∠P1BC和∠P1CM 两角的平分线交于点P2,∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3,则∠P3的度数 是 . 8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______. A P3 P2 P1 C B

(完整版)三角形内角和外角练习题

规律方法指导 1.三角形内角和为180°,三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件; 在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小. 2.在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角,最少有两个锐角. 3.三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据. 外角的性质应用:①证明一个角等于另两个角的和;②作为中间关系式证明两角相等;③证明角的不等关系. 4.利用作辅助线求解问题,会使问题变得简便. 经典例题透析 类型一:三角形内角和定理的应用 1.已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6,则其最大内角的度数为() A.60° B.75° C.90° D.120° 举一反三: 【变式1】在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为()A.50° B.75°C.100° D.125° 【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。 类型二:利用三角形外角性质证明角不等 2.如图所示,已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线,CE交BA延长线于点E。求证:∠BAC >∠B。

举一反三: 【变式】如图所示,用“<”把∠1、∠2、∠A联系起来________。 类型三:三角形内角和定理与外角性质的综合应用 3.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 举一反三: 【变式】如图所示,五角星ABCDE中,试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 类型四:与角平分线相关的综合问题 4.如图9,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D.(1)若∠ABC=70°,∠ACB=50°,则∠BDC=________; (2)若∠ABC+∠ACB=120°,则∠BDC=________; (3)若∠A=60°,则∠BDC=________; (4)若∠A=100°,则∠BDC=________;

三角形边角关系培优训练

三角形三边关系、内角练习题一、三边关系 1.已知 ABC中,周长为12,b=1 2 (a+c),则b为 2.一边长为5cm,另一边长为10cm的等腰三角形的周长是 3.有木条4根,长度为14厘米,10厘米,8厘米,6厘米,选其中三根组成三角形,则选择的种数有种 4.三角形两边长为2cm和7cm,第三边长为奇数,那么这个三角形的周长是 cm 5.一条线段的长为a,若要使3a—l,4a+1,12-a这三条线段组成一个三角形,求a的取值范围? 6.设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数,且a≤b≤c ,a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中,已知AD是△ABC的BC边上的高,AE是BC边上的中线,求证: AB+AE+1 2 BC>AD+AC 证明:∵AD⊥BC( )∴AB>AD( ) 在△AEC中,AE+EC>AC( )又∵AE为中线( ) ∴EC=1 2 BC( ) 即AE+1 2 BC>AC( ) ∴AB+AE+ 1 2 BC>AD+AC

21P C B A B 7.如图,已知D 是△AB C 内任意一点,则有AB+AC >DB+DC. 8.如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ,PB,PC, 求证:(1)PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的度数是 . 2.已知△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ,则∠BOC 一定( ) A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC,∠ABC = ∠ACB,∠A = 40°,P 是△ABC 内一点,∠1 = ∠2.则∠BPC =____。

1.4 角平分线同步培优练习题(含答案解析)

1.4 角平分线同步培优练习题 一.选择题(共10小题) 1.如图,已知点O为△ABC的两条角平分线的交点,过点O作OD⊥BC,垂足为D,且OD=4.若△ABC的面积是34,则△ABC的周长为() A.8.5B.15C.17D.34 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的一条角平分线.若AC=6,AB=10,则点D到AB边的距离为() A.2B.2.5C.3D.4 3.如图,△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P,若点P 到直线AC的距离为4,则点P到直线AB的距离为() A.4B.3C.2D.1 4.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,AB=20,CD=6,若∠C=90°,则△ABD面积是() A.120B.80C.60D.40 5.如图,BP为∠ABC的平分线,过点D作BC、BA的垂线,垂足分别为E、F,则下列结

论中错误的是() A.∠DBE=∠DBF B.DE=DF C.2DF=DB D.∠BDE=∠BDF 6.如图,PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB的度数() A.30°B.45°C.60°D.50° 7.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=2,P为AB上一动点,则PD的最小值为() A.2B.3C.4D.无法确定 8.在△ABC内部取一点P,使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P是△ABC的()A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三边的垂直平分线的交点 9.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,DE=2,AC=3,则△ADC 的面积是() A.3B.4C.5D.6 10.如图所示,△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P,PH⊥AC于H.若∠ABC=60°,则下面的结论:

三角形的外角练习题及答案

三角形的外角 基础过关作业 1.若三角形的外角中有一个是锐角,则这个三角形是________三角形. 2.△ABC中,若∠C-∠B=∠A,则△ABC的外角中最小的角是______(填“锐角”、“直角”或“钝角”). 3.如图1,x=______. (1) (2) (3) (4) 4.如图2,△ABC中,点D在BC的延长线上,点F是AB边上一点,延长CA到E,连EF,则∠1,∠2,∠3的大小关系是_________. 5.如图3,在△ABC中,AE是角平分线,且∠B=52°,∠C=78°,求∠AEB的度数. 6.如图4,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高,H是BD、?CE的交点,求∠BHC的度数. 综合创新作业 7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC=______. 8.一个零件的形状如图7-2-2-6所示,按规定∠A应等于90°,∠B、∠D应分别是30°和20°,李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格,你能说出道理吗? 9.求出图(1)、(2)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数; 第7题图第8题图第9题图第11题图10.(易错题)三角形的三个外角中最多有_______个锐角. 培优作业 11.(探究题)(1)如图,BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF?的平分线, 试探索∠BDC与∠A之间的数量关系. (2)如图,BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC的外角∠ACE的平分线, 它们相交于点D,试探索∠BDC与∠A之间的数量关系. 12.(趣味题)如图,在绿茵场上,足球队员带球进攻, 总是向球门AB冲近,说明这是为什么? 数学世界:七桥问题 18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥,将河中的两个岛和河岸连接.如图所示.城中的居民经常沿河过桥散步,于是就提出一个问题:?能否一次不重复地把这七座桥走遍?可是,走来走去,这个愿望还是无法实现.该怎样走才好呢??这就是著名的哥尼斯堡七桥问题.??好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉(1707~1783).欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在.你知道欧拉是根据什么道理证明的吗? 答案: 1.钝角

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