高中数学竞赛教材讲义第十二章立体几何
第十二章立体几何
一、基础知识
公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a?a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面．
推论l 直线与直线外一点确定一个平面．
推论2 两条相交直线确定一个平面．
推论3 两条平行直线确定一个平面．
公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．
定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．
定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．
定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．
定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．
定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．
定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．
定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．
结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．
定理4 (三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若c⊥b，则c⊥a．逆定理：若c⊥a，则c⊥b．
定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行
定理6 若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b．
结论2 若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b．
定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．
定义6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交．
定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β.
定理9 平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b．
定义7 (二面角)，经过同一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作α—m—β，也可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角．
它的取值范围是[0，π]．
特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即α⊥β. 定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内．
定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直．
定义8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体． 定义9 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
定理13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则
V+F-E=2．
定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．
定理14 如果球心到平面的距离d 小于半径R ，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心
与球心的连线与截面垂直．设截面半径为r ，则d 2+r 2＝R 2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经
过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．
定义11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经．
定理15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
定理16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中
任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600．
定理17 （面积公式）若一个球的半径为R ，则它的表面积为S 球面=4πR 2。若一个圆锥的母线
长为l ，底面半径为r ，则它的侧面积S 侧=πrl.
定理18 （体积公式）半径为R 的球的体积为V 球=334R π；若棱柱（或圆柱）的底面积为s ，高h ，则它的体积为V=sh ；若棱锥（或圆锥）的底面积为s ，高为h ，则它的体积为V=.31sh 定理19 如图12-1所示，四面体ABCD 中，记∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A ，∠ABC=B ，∠ACB=C 。DH ⊥平面ABC 于H 。
（1）射影定理：S ΔABD ?cos Ф=S ΔABH ，其中二面角D —AB —H 为Ф。
（2）正弦定理：.sin sin sin sin sin sin C
B A γβα== （3）余弦定理：cos α=cos βcos γ+sin βsin γcosA.
cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos α.
（4）四面体的体积公式31=
V DH ?S ΔABC =γβαγβαcos cos cos 2cos cos cos 16
1222+---abc ?sin 6
11d aa =（其中d 是a 1, a 之间的距离，?是它们的夹角） a
32=S ΔABD ?S ΔACD ?sin θ(其中θ为二面角B —AD —C 的平面角)。 二、方法与例题
1．公理的应用。
例1 直线a,b,c 都与直线d 相交，且a//b,c//b ，求证：a,b,c,d 共面。
[证明] 设d 与a,b,c 分别交于A,B,C,因为b 与d 相交，两者确定一个平面，设为a.又因为a//b ，所以两者也确定一个平面，记为β。因为A ∈α，所以A ∈β，因为B ∈b ，所以B ∈β，所以d ?β.又过b,d 的平面是唯一的，所以α，β是同一个平面，所以a ?α.同理c ?α.即a,b,c,d 共面。
例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？
[解] 充要条件。先证充分性，设图12-2中PQRSTK 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的正六边形截面，延长PQ ，SR 设交点为O ，因为直线SR ?平面CC 1D 1D ，又O ∈直线SR ，所以O ∈平面CC 1D 1D ，又因为直线PQ ?平面A 1B 1C 1D 1，又O ∈直线PQ ，所以O ∈平面A 1B 1C 1D 1。所以O ∈直线C 1D 1，由正六边形性质知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ 为正三角形，因为CD//C 1D 1，所以RO SR R C CR =1=1。所以R 是CC 1中点，同理Q 是B 1C 1的中点，又ΔORC 1≌ΔOQC 1，所以C 1R=C 1Q ，所以CC 1=C 1B 1，同理CD=CC 1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。
2．异面直线的相关问题。
例3 正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？
[解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线12×4=48对，而每一对异面直线被计算两次，因此一共有=2
4824对。 例4 见图12-3，正方体，ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，求面对角线A 1C 1与AB 1所成的角。
[解] 连结AC ，B 1C ，因为A 1A =//B 1B =//C 1C ，所以A 1A =
//C 1C ，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1=
//AC 。 所以AC 与AB 1所成的角即为A 1C 1与AB 1所成的角，由正方体的性质AB 1=B 1C=AC ，所以∠B 1AC=600。
所以A 1C 1与AB 1所成角为600。
3．平行与垂直的论证。
例5 A ，B ，C ，D 是空间四点，且四边形ABCD 四个角都是直角，求证：四边形ABCD 是矩形。
[证明] 若ABCD 是平行四边形，则它是矩形；若ABCD 不共面，设过A ，B ，C 的平面为α，过D 作DD 1⊥α于D 1，见图12-4，连结AD 1，CD 1，因为AB ⊥AD 1，又因为DD 1⊥平面α，又AB ?α，所以DD 1⊥AB ，所以AB ⊥平面ADD 1，所以AB ⊥AD 1。同理BC ⊥CD 1，所以ABCD 1为矩形，所以∠AD 1C=900，但AD 1 例6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。 [证明] 见图12-5，设四面体ABCD 的高线AE 与BF 相交于O ，因为AE ⊥平面BCD ，所以AE ⊥CD ，BF ⊥平面ACD ，所以BF ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABO ，所以CD ⊥AB 。设四面体另两条高分别为CM ，DN ，连结CN ，因为DN ⊥平面ABC ，所以DN ⊥AB ，又AB ⊥CD ，所以AB ⊥平面CDN ，所以AB ⊥CN 。设CN 交AB 于P ，连结PD ，作'CM ⊥PD 于'M ，因为AB ⊥平面CDN ，所以AB ⊥'CM ，所以'CM ⊥平面ABD ，即'CM 为四面体的高，所以'CM 与CM 重合，所以CM ，DN 为ΔPCD 的两条高，所以两者相交。 例7 在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 中点，沿BE 将ΔABE 折起，并使AC=AD ，见图12-6。求证：平面ABE ⊥平面BCDE 。 [证明] 取BE 中点O ，CD 中点M ，连结AO ，OM ，OD ，OC ，则OM//BC ，又CD ⊥BC ，所以OM ⊥CD 。又因为AC=AD ，所以AM ⊥CD ，所以CD ⊥平面AOM ，所以AO ⊥CD 。又因为AB=AE ，所以AO ⊥BE 。因为ED ≠BC ，所以BE 与CD 不平行，所以BE 与CD 是两条相交直线。所以AO ⊥平面BC-DE 。又直线AO ?平面ABE 。所以平面ABE ⊥平面BCDE 。 4．直线与平面成角问题。 例8 见图12-7，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，G 为BF 的中点，将正方形沿 EF 折成1200的二面角，求AG 和平面EBCF 所成的角。 [解]设边长AB=2，因为EF =//AD ，又AD ⊥AB 。所以EF ⊥AB ，所以BG=52 121=BF ，又AE ⊥EF ，BE ⊥EF ，所以∠AEB=1200。过A 作AM ⊥BE 于M ，则∠AEM=600，ME= 2121=AE ，AM=AEsin600=23.由余弦定理MG 2=BM 2+BG 2-2BM ?BGcos ∠MBG=2345495135232252322-+=???-??? ? ??+??? ?? =2，所以MG=.2因为EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，所以EF ⊥平面AEB ，所以EF ⊥AM ，又AM ⊥BE ，所 以AM ⊥平面BCE 。所以∠AGM 为AG 与平面EBCF 所成的角。而tan ∠AGM=462 23 =。所以AG 与平面EBCF 所成的角为4 6arctan . 例9 见图12-8，OA 是平面α的一条斜角，AB ⊥α于B ，C 在α内，且AC ⊥OC ，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。证明：cos α=cos β?cos γ. [证明] 因为AB ⊥α，AC ⊥OC ，所以由三垂线定理，BC ⊥OC ，所以OAcos β=OB,OBcos γ=OC,又Rt ΔOAC 中，OAcos α=OC ，所以OAcos βcos γ=OAcos α，所以cos α=cos β?cos γ. 5．二面角问题。 例10 见图12-9，设S 为平面ABC 外一点，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A —SB —C 为直角 二面角，求∠ASC 的余弦值。 [解] 作CM ⊥SB 于M ，MN ⊥AS 于N ，连结CN ，因为二面角A —SB —C 为直二面角，所以平面ASB ⊥平面BSC 。又CM ⊥SB ，所以CM ⊥平面ASB ，又MN ⊥AS ，所以由三垂线定理的逆定理有CN ⊥AS ，所以SC ?cos ∠CSN=SN=SC ?cos ∠CSM ?cos ∠ASB ，所以cos ∠ASC=cos450cos600=42。 例11 见图12-10，已知直角ΔABC 的两条直角边AC=2，BC=3，P 为斜边AB 上一点，沿CP 将此三角形折成直二面角A —CP —B ，当AB=7时，求二面角P —AC —B 的大小。 [解] 过P 作PD ⊥AC 于D ，作PE ⊥CP 交BC 于E ，连结DE ，因为A —CP —B 为直二面角，即平面ACP ⊥平面CPB ，所以PE ⊥平面ACP ，又PD ⊥CA ，所以由三垂线定理知DE ⊥AC ，所以∠ PDE 为二面角P —AC —B 的平面角。设∠BCP=θ，则cos ∠ECD=cos θ?cos(900-θ)=sin θcos θ，由余弦定理cos ∠ACB=2 13227322 22=??-+，所以sin θcos θ=21，所以sin2θ=1.又0<2 θ<π，所以θ=4π，设CP=a ，则PD=2 2a,PE=a.所以tan ∠PDE=.2=PD PE 所以二面角P —AC —B 的大小为2arctan 。 6．距离问题。 例12 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求对角线AC 与BC 1的距离。 [解] 以B 为原点，建立直角坐标系如图12-11所示。设P ，Q 分别是BC 1，CA 上的点，且 BC 3 1,311== ，各点、各向量的坐标分别为A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，111313131313131313131BB BA BC BB BC BC BA BC BC CA BC BP BQ PQ -+=---+=-+=-=)31,31,31(a a a -=,所以a 3 3||=，所以311-=?BC a ×a+31a ×a=0, 31=?a ×a-3 1a ×a=0.所以CA PQ BC PQ ⊥⊥,1。所以PQ 为AC 与BC 1的公垂线段，所以两者距离为.3 3a 例13 如图12-12所示，在三棱维S —ABC 中，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面，E ，D 分别是BC ，AB 的中点，求CD 与SE 间的距离。 [分析] 取BD 中点F ，则EF//CD ，从而CD//平面SEF ，要求CD 与SE 间的距离就转化为求点C 到平面SEF 间的距离。 [解] 设此距离为h ，则由体积公式 .3 131SEF CEF S CEF S h V S SC ?-??==?? 计算可得S ΔSEF =3，.3=?CEF S 所以.3 32=h 7．凸多面体的欧拉公式。 例14 一个凸多面体有32个面，每个面或是三角形或是五边形，对于V 个顶点每个顶点均有T 个三角形面和P 个五边形面相交，求100P+10T+V 。 [解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因为T+P 个面相交于每个顶点，每个顶点出发有T+P 条棱，所以2E=V(T+P). 由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60. 由于每个三角形面有三条棱，故三角形面有3VT 个，类似地，五边形有5 VP 个，又因为每个面或者是三角形或者是五边形，所以??? ? ?+53P T V =32，由此可得3T+5P=16，它的唯一正整数解为T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。 8．与球有关的问题。 例15 圆柱直径为4R ，高为22R ，问圆柱内最多能装半径为R 的球多少个？ [解] 最底层恰好能放两个球，设为球O 1和球O 2，两者相切，同时与圆柱相切，在球O 1与球O 2上放球O 3与球O 4，使O 1O 2与O 3O 4相垂直，且这4个球任两个相外切，同样在球O 3与球O 4上放球O 5与球O 6，……直到不能再放为止。 先计算过O 3O 4与过O 1O 2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为R R R 2)3(22= -。设共 装K 层，则(22-2)R<2R(K-1)+2R ≤22R ，解得K=15，因此最多装30个。 9．四面体中的问题。 例16 已知三棱锥S —ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是ΔSBC 的垂心，二面角H —AB —C 的平面角等于300，SA=32。求三棱锥S —ABC 的体积。 [解] 由题设，AH ⊥平面SBC ，作BH ⊥SC 于E ，由三垂线定理可知SC ⊥AE ，SC ⊥AB ，故SC ⊥平面ABE 。设S 在平面ABC 内射影为O ，则SO ⊥平面ABC ，由三垂线定理的逆定理知，CO ⊥AB 于F 。同理，BO ⊥AC ，所以O 为ΔABC 垂心。又因为ΔABC 是等边三角形，故O 为ΔABC 的中心，从而SA=SB=SC=32，因为CF ⊥AB ，CF 是EF 在平面ABC 上的射影，又由三垂线定理知， EF ⊥AB ，所以∠EFC 是二面角H —AB —C 的平面角，故∠EFC=300，所以 OC=SCcos600=32132=?,SO=3tan600=3，又OC=3 3AB ，所以AB=3OC=3。所以V S —ABC =4 331?×32×3=349。 例17 设d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h 是四面体的最小高的长，求证：2d>h. [证明] 不妨设A 到面BCD 的高线长AH=h ，AC 与BD 间的距离为d ，作AF ⊥BD 于点F ，CN ⊥BD 于点N ，则CN//HF ，在面BCD 内作矩形CNFE ，连AE ，因为BD//CE ，所以BD//平面ACE ，所以BD 到面ACE 的距离为BD 与AC 间的距离d 。在ΔAEF 中，AH 为边EF 上的高，AE 边上的高FG=d ，作EM ⊥AF 于M ，则由EC//平面ABD 知，EM 为点C 到面ABD 的距离（因EM ⊥面ABD ），于是EM ≥AH=h 。在Rt ΔEMF 与Rt ΔAHF 中，由EM ≥AH 得EF ≥AF 。又因为ΔAEH ∽ΔFEG ，所以EF EF AF EF AE FG AH d h +<==≤2。所以2d>h. 注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。 三、基础训练题 1．正三角形ABC 的边长为4，到A ，B ，C 的距离都是1的平面有__________个. 2．空间中有四个点E ，F ，G ，H ，命题甲：E ，F ，G ，H 不共面；命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙的__________条件。 3．动点P 从棱长为a 的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P 运动的最大距离为__________。 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面ADD 1A 1、面ABCD 的中心，G 为棱CC 1中点，直线C 1E ，GF 与AB 所成的角分别是α，β。则α+β=__________。 5．若a,b 为两条异面直线，过空间一点O 与a,b 都平行的平面有__________个。 6．CD 是直角ΔABC 斜边AB 上的高，BD=2AD ，将ΔACD 绕CD 旋转使二面角A —CD —B 为600， 则异面直线AC 与BD 所成的角为__________。 7．已知PA ⊥平面ABC ，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上一点且AC= 2 1AB ，则二面角A —PC —B 的大小为__________。 8．平面α上有一个ΔABC ，∠ABC=1050 ，AC=)26(2+，平面α两侧各有一点S ，T ，使得SA=SB=SC=41，TA=TB=TC=5，则ST=_____________. 9．在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，二面角A —SB —C 为直二面角，若∠BSC=450，SB=a ，则经过A ，B ，C ，S 的球的半径为_____________. 10．空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________. 11．异面直线a,b 满足a//α,b//β,b//α,a//β，求证：α//β。 12．四面体SABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，S 0，S 1，S 2，S 3分别表示ΔABC ，ΔSBC ，ΔSCA ， ΔSAB 的面积，求证：.23222120S S S S ++= 13．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 在棱BB 1上，截面A 1EC ⊥侧面AA 1C 1C ，（1）求证：BE=EB 1；（2）若AA 1=A 1B 1，求二面角EC-A 1-B 1C 1的平面角。 四、高考水平训练题 1．三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，M 为A 1B 1的中点，N 为B 1C 与BC 1的交点，平面AMN 交B 1C 1于P ，则1 1PC P B =_____________. 2.空间四边形ABCD 中，AD=1，BC=3，且AD ⊥BC ，BD=213，AC=2 3，则AC 与BD 所成的角为_____________. 3．平面α⊥平面β，α β=直线AB ，点C ∈α，点D ∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CD ⊥AB ， 则直线AB 与平面ACD 所成的角为_____________. 4．单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，二面角A —BD 1—B 1大小为_____________. 5．如图12-13所示，平行四边形ABCD 的顶点A 在二面角α—MN —β的棱MN 上，点B ，C ，D 都在α上，且AB=2AD ，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD 在半平面β上射影为为菜，则二面 角α—MN —β=_____________. 6．已知异面直线a,b 成角为θ，点M ，A 在a 上，点N ，B 在b 上，MN 为公垂线，且MN=d ，MA=m ，NB=n 。则AB 的长度为_____________. 7．已知正三棱锥S —ABC 侧棱长为4，∠ASB=450，过点A 作截面与侧棱SB ，SC 分别交于M ，N ， 则截面ΔAMN 周长的最小值为_____________. 8．l 1与l 2为两条异面直线，l 1上两点A ，B 到l 2的距离分别为a,b ，二面角A —l 2—B 大小为θ，则l 1与l 2之间的距离为_____________. 9．在半径为R 的球O 上一点P 引三条两两垂直的弦PA ，PB ，PC ，则PA 2+PB 2+PC 2=_____________. 10．过ΔABC 的顶点向平面α引垂线AA 1，BB 1，CC 1，点A 1，B 1，C 1∈α，则∠BAC 与∠B 1A 1C 1的大小关系是_____________. 11．三棱锥A —BCD 中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A —CD —B 为直角二面 角。（1）求直线AC 与平面ABD 所成的角；（2）若M 为BC 中点，E 为BD 中点，求AM 与CE 所成的角；（3）二面角M —AE —B 的大小。 12．四棱锥P —ABCD 底面是边长为4的正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=6，M ，N 分别是PB ，AB 的中点，（1）求二面角M —DN —C 的大小；（2）求异面直线CD 与MN 的距离。 13．三棱锥S —ABC 中，侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，M 为ΔABC 的重心，D 为AB 中点，作与SC 平行的直线DP ，证明：（1）DP 与SM 相交；（2）设DP 与SM 的交点为'D ，则'D 为三棱锥S —ABC 外接球球心。 五、联赛一试水平训练题 1．现有边长分别为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，41的三角形四个，边长分别为26 5，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_________个四面体。 2．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数n m ，那么mn=_________。 3．已知三个平面α，β，γ每两个平面之间的夹角都是?? ? ?? ≤<20πθθ，且βα =a,c b ==αγγβ ,，命题甲：3π θ>；命题乙：a,b,c 相交于一点。则甲是乙的 _________条件。 4．棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_________. 5．将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_________。 6．空间三条直线a,b,c 两两成异面直线，那么与a,b,c 都相交的直线有_________条。 7．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a ，这个球的体积为_________。 8．由曲线x 2=4y,x 2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 1，满足 x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则=2 1V V _________。 9．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆围上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥C —HPC 体积最大时，OB=_________。 10．OC OB OA ,,是三个互相垂直的单位向量，π是过点O 的一个平面，',','C B A 分别是A ，B ，C 在π上的射影，对任意的平面π，由2 22'''OC OB OA ++构成的集合为_________。 11．设空间被分为5个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。 12．在四面体ABCD 中，∠BDC=900，D 到平面ABC 的垂线的垂足S 是ΔABC 的垂心，试证： (AB+BC+CA)2≤6(AD 2+BD 2+CD 2)，并说明等号成立时是一个什么四面体？ 13．过正四面体ABCD 的高AH 作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与 四面体的底面夹角为α，β，γ，求tan 2α+tan 2β+tan 2γ之值。 六、联赛二试水平训练题 1．能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1的正四 面体？ 2．P ，Q 是正四面体A —BCD 内任意两点，求证：.2 1cos >∠PAQ 3．P ，A ，B ，C ，D 是空间五个不同的点，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，这里θ为已知锐角，试确定∠APC+∠BPD 的最大值和最小值。 4．空间是否存在有限点集M ，使得对M 中的任意两点A ，B ，可以在M 中另取两点C ，D ，使直线AB 和CD 互相平行但不重合。 5．四面体ABCD 的四条高AA 1，BB 1，CC 1，DD 1相交于H 点（A 1，B 1，C 1，D 1分别为垂足）。三条高上的内点A 2，B 2，C 2满足AA 2：AA=BB 2：B 2B 1=CC 2：C 2C 1=2：1。证明：H ，A 2，B 2，C 2，D 1在同一个球面上。 6．设平面α，β，γ，δ与四面体ABCD 的外接球面分别切于点A ，B ，C ，D 。证明：如果平面α与β的交线与直线CD 共面，则γ与δ的交线与直线AB 共面。 1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) §23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。 第五章 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ± 高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos高中数学竞赛讲义_复数
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