空观

【空观】

观察诸法皆空的道理。

指观想一切诸法皆空之观法。观诸法皆空之理也。一切诸法，尽为因缘所生，因缘所生之法，无有自性，空寂无相也。观此空寂无相之理即为空观。

中观论四谛品曰：…因缘所生法，我说即是空。?

如是诵观空咒：嗡桑巴瓦（许勿）打，沙瓦达麻，桑巴瓦（许勿）多行

如是诵已应观自蕴及圣福田由是乃至别余诸法一切皆是缘起安立是故远离断常等边自性无我当体卽空也

虚空观的描述

不染世法，心如虚空。

只要我们的心像虚空一样，我们心头一切的障碍、一切墙壁，当下就冰消瓦解。

我们的心量如虚空，我们当下就能够与万物融为一体了。

禅坐是为了唤醒我们原本像天空般的心性，让我们认识自己的真面目——不变的、构成生死根本的纯净觉性。把自已想象成虚空，接纳着整个宇宙。

怀着宇宙的心过活现象界的正常人生。体会出来吗？怀着宇宙，宇宙就是无量无边，无止境的虚空，那么大的胸量过活我们现在现象界的生活，现象就是你的起居作习，你必须吃饭，你必须穿衣对不对？你必须与人际交关系，这一些平常的生活。就是怀着如同虚空的胸量，过活你每一个生命的每一个点。

虚与空。虚与空都是无的别名。虚无形质，空无障碍，故名虚空。

虚空，即无碍；无为，指离因缘造作，不为生、住、异、灭四相所迁之实在法。虚空无为，谓真空之理不为惑染所障碍；即以无碍为性，容受万物而遍满一切处。

谓真如离各种障碍，犹如虚空，故称虚空无为。

法性之体，离诸障碍，称为虚空无为，非别有容受万物之无为虚空。

佛教中“虚空”是什么意思？

《涅盘经》∶…犹如虚空，无处不有，如来亦尔，遍一切处。?有云：…如世间中，无挂碍处，名为虚空。?

《净土论》∶…究竟如虚空，广大无边际。?

又如《赞阿弥陀佛偈》云∶…光云无碍如虚空。?容受之义∶指宽广含容一切，无所余，《涅盘经∶…譬如虚空，广大无对，悉能容受一切诸法。?虚空无亲疏、远近、爱憎之差别，《涅盘经》∶…譬如虚空，无有父母、兄弟、妻子，乃至无有众生寿命，（中略）菩萨摩诃萨见一切法，亦复如是，其心平等，如彼虚空。?

又如《净土论》云∶…同地、水、火、风、虚空，无分别故。?

跏趺观的描述

无量寿经上曰：…跏趺而坐，奋大光明。

禅坐的姿势

身体的姿势会影响到心的态度，因为心和身是互相关联的，一旦姿势和态度受到启发，禅定自然会生起。

你的心是宁静的，有启发性的状态，你就可以轻松自在的坐着。因此，重要的是，要让身体的姿势和心境结合在一起。

1、坐如山

像山一般稳固、坚定与雄伟。不管狂风如何吹袭，不管乌云如何翻滚，山还是泰然自若。

像山一般的禅坐，这个姿势要特别注意的是保持背部挺直，挺如箭，稳若山。如此，气(prana )才可以轻易流过身上的脉，心也才能找到它真正的休息处所。但什么都不要勉强,脊椎的下半部有一个自然的曲线，保

持轻松，但不要歪曲。头舒服的平衡在肩颈之上。两肩和上身维持着平衡，但不要用力,自然中带出山的力量和美感。

2、双腿交叉

如佛陀一般，安详而庄严的禅坐着，天空就在他的四周上方，心像天空一般开放，身却稳固在大地。天空就是绝对的本性，没有藩篱，无边无际；大地则是相对的现实，相对心和凡夫心。

观息法

可以让我们获得禅定，同时，如法的思维可以获得无漏的智慧，是我们佛教修行人修定的基本法门。

透过观察呼吸的方式来平衡内心的情绪，提升自我情绪管理的能力。持续观察呼吸，心就会平静下来，稳定的心变得纯洁，自然会达到痛苦的解脱。观息法的精髓是，透过观察呼吸来净化人的内心深层，回归安详、平稳的生命本真。

心理学上讲，专注于呼吸是身心一体的练习，可以让分离以久的身心开始融合，消除内在思想的对抗，回归本真的自我。从医学上讲，呼吸、心跳、肠胃蠕动是受自律神经也就是植物神经的控制，专注于呼吸的训练可以修复高级神经系统，这是其他任何医学手段、营养或补品不能达到的。抑郁症患者可在早晚的时间练习观息法，要以不推、不抗、不纠缠的心接纳它，而你所需要做的就只是纯然的观察呼吸，以盘腿的姿态，二十分钟时间为基础，半个月至一个月后，可以延长练习时间至四十分钟到—个小时。

练习观察呼吸是入微的过程，身心不断进入更细微的境界。身体就会越来越流畅、轻柔、敏锐、有活力，内心也越来越宁静和喜悦。心理学上讲，专注于呼吸是身心一体的练习，可以让分离以久的身心开始融合，消除内在思想的对抗，回归本真的自我。

从医学上讲，呼吸、心跳、肠胃蠕动是受自律神经也就是植物神经的控制，专注于呼吸的训练可以修复高级神经系统，这是其他任何医学手段、药品或补品不能达到的。

修出入息观是将心集中一处，克服胡思乱想的心。心乱则没有定力，整天被外境所转。佛教经典说：“制心一处，无事不办。”就是说，只要你能够专心地定在一点，心定不动，心就有力量做很多事情。

锻炼是一个原因,以为时间坐长了,容易痉挛,气血不通，其实主要是,在坐禅久了人容易昏沉,这样人就清醒了。

禅堂跑香的规矩

行如风，如风之行止无迹，不得回互盼顾，穿长褂不能抄手，须徐徐行步，轻轻摆手。行香摆手左手摆三分，右手甩七分，须顺圈子而走，不得穿堂直过。进堂不问讯、不合掌，不得抄手而行，须两手垂直，不得东张西望，不得低头或昂脑，不得掉头顾视，不得交头接耳，必须将头靠衣领，端严整肃。行走与前人相距三块砖，行走近人之前，而失行之威仪。

在禅堂里，所谓的跑香又叫行香。跑香也并不是要跑，实际上是走。为什么要跑香？是因为坐久了，要下来活动一下身体。久坐不行，久跑也不行，坐和行都必须恰到好处，这样，对用功最有利。坐香很重要，跑香也很重要，坐香跑香都是助道的因缘，都是为了调节身体把功夫用好。若坐得太久不跑香或跑香不够，身体气血不畅通，就很容易生病。

跑香的姿势是左摆右甩，即左手摆三分，右手甩七分。为什么右手是甩的，而且比左手的幅度大？因为跑香是右绕而行，身体自然产生一股向左向外甩出去的力量，若右手向右前甩则刚好抵消身体向外的力量，从而使身体保持平衡，道理很简单。虽然很简单，但也有人偏偏说是左甩右摆的，这样的人，一看就知道是没有参学的。

跑香最关健的是量的大小，不可过小，不可过大。这个量是由两个方面组成的，一是时间，二是速度快慢。关于跑香的时间，一般根据坐香的时间而定，坐香长则跑香长，坐香短则跑香短，约二比一左右。饭后跑香，因为消化饮食要一定的时间，所以要求比较长，一般要五十分钟以上，否则坐在那里肚子会胀。关于速度，饭后正在消化饮食，这时行香应该是最慢的，到后面逐渐快起来。一般情况下，要不快不慢。关于量的问题，其实必须自己掌握好，自己的情况自己是最清楚的。太慢了，就到快的圈子去，太快了，就到慢的圈子去，或出去休息一下。禅堂人多，不可能把每个人都照顾得恰到好处。

关于跑香还有一个很大的误会，就是“跑得好坐得好”。本来这句话是不错的，跑得好不光坐得好，用功还好呢！大家要注意了，这里的跑得好应该是指跑得恰到好处，也就是说，跑的量不大不小，恰好起到了调节身体的作用。不过，有的人偏就理解错了，把跑得好理解成跑得多了，认为跑得越多越快量越大越好。有了此误会，有的维那就口里喊着“跑得好坐得好”，手里拿着香板催人家猛跑。更有人不用人家催，自己主动多跑猛跑久跑的。笔者见到这种情况，有时会好心提醒一下，但有的人就是不听。就是有这样的人，而且不是一个两个。当然，猛跑也是可以的，但只能跑二、三个圈子，跑多了就跑过量了。跑过量了跑累了，一坐下来，当然会感到很轻松，好象精神也很好，其实这是假象，就好比干活干累了，一坐下来休息会感到轻松一样。实际上，这时的身体已经消耗了很多了。假设认为这就是坐得好，那真是大错特错了。这样跑的结果，时间久了，身体就跑虚了跑亏了，精神也跑乏了，工夫也就当然的是用不上了！到这时才后悔就太晚了！为什么？因为用功是以身体为基础的！用功的过程本身就是一个身心不断得到调节的过程，是由弱转强由差转好由病转健的过程，只有在整个身心向越来越好的方向转化时才谈得上工夫，才谈得上工夫的进步！工夫好，身体肯定好，绝对没有身体不好而工夫很好的。不知道这个道理，证明你还没有入门！

跑得好就坐得好用功也好，跑不好就跑亏了，用功根本谈不上。对于跑不好的人，若能认识自己的错误还有救，若不能认识此一错误，下一句话就不好讲了。

就是这么简单的一个跑香，就导致不同的结果。跑香者，可不慎乎！

排列组合问题之捆绑法-插空法和插板法

行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法 “相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再 考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1 ?若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■< 种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种 例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若 将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法 共有多少种 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3 本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将 问题解决的策略。 例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法

【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列, 有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：?D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。 例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目 去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。 例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电， 可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法（国考2008-57） A. 20 B . 12 C . 6 D . 4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求

插空法解排列组合题

插空法解排列组合题 令狐采学 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。 五. 座位问题

例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？ 解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 种，所以每个人左右两边都空位的排法有种。 解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。

插空法解排列组合题

插空法解排列组合题 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为： 。

三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为 种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。所以共有 种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？

-排列组合的方法捆绑法,插空法和插板法

“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。 例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。 例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？ 【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。 【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。 “不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。 例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？ 【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位

置，也即是：︺ D ︺ C ︺ E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。由乘法原理，共有排队方法： 。 例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。 例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。 【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57） A．20 B．12 C．6 D．4 插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求每组至少一个元素;若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解题呢?下面先给各位考生看一道题目：

专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)

隔板法在解排列组合问题中的应用 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考. 一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题 例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？ 分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法. 解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔 板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球 放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数 原理，共有222C ×1=231种不同的方法. 点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法， 再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因 1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的 排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题 例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？ 分析：本题是名额分配问题，用隔板法. 解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有17 19C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法. 点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有

插板法插空法解排列组合问题

插板法、插空法解排列组合问题 华图教育 邹维丽 排列组合问题是行测数学运算中的经常碰到的一类问题，试题具有一定的灵活性、机敏性和综合性，也是考生比较头疼的问题。掌握排列组合问题的关键是明确基本概念，熟练基本题型。解决排列组合问题的方法很多，有插板法，捆绑法，优先法等等，本文主要介绍插板法、插空法在行测数学运算中的应用，以供大家参考。 所谓插板法，就是在n 个元素间的n-1个空中插入若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成b+1组的方法，共有b n C 1-种方法。 应用插板法必须满足三个条件： (1) 这n 个元素必须互不相异； (2) 所分成的每一组至少分得一个元素； (3) 分成的组别彼此相异 举个普通的例子来说明。 把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？问题的题 干满足条件（1），（2），（3），所以适用插板法。在8个小球间的7个空插入3个板，共有3537=C 种情况。 上面介绍的插板法主要是用解决相同元素的名额分配问题，而对于排列组合中常出现的几个元素的不相邻问题，我们可以用插空法来解决，对这种问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。 下面我们通过几道题来熟悉这两种方法的应用。 例1 某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）（国2010 -46） A.7 B.9 C.10 D.12 【解析】C 。本题乍一看不满足应用插板法的条件，插板法的条件（2）要求所分成的每一组至少分得一个元素，可本题要求每个部门至少发放9份材料。事实上，我们可以分两步来解这道题： 1. 先给每个部门发放8份材料，则还剩下30-8*3=6份材料。 2. 本题即可转化为：将6份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放1份材料。 问一共有多少种不同的发放方法？应用插板法可得共有1035=C

隔板法解决排列组合问题

隔板法解决排列组合问题 Prepared on 22 November 2020

“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有 序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种 （2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种 （3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种 解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以 不同的放法有3 11 C=165种。 （2）法1：（分类）①装入一个盒子有1 44 C=种；②装入两个盒子，即12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有21 41166 C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32 411 C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每 盒至少装一个有3 11165 C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。

隔板法”解决排列组合问题.docx

“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三） 排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法” 可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。 例1、（ 1） 12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有 多少种？ （ 2） 12 个相同的小球放入编号为1， 2， 3， 4 的盒子中，问不同放法有多少种？ （ 3） 12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于 其编号数，问不同的方法有多少种？ 解：（ 1）将 12 个小球排成一排，中间有11 个间隔，在这11 个间隔中选出 3 个，放上“隔板”，若把“ 1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C113=165 种。 （ 2）法 1：（分类）①装入一个盒子有C41 4 种；②装入两个盒子，即12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C11166 种;③装入三个盒子，即12 个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至 少装一个有 C43C112=220 种 ;④装入四个盒子，即12 个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有 C113165 种;由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。 法 2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C153455 种。 （ 3）法 1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩 2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有 C41C4210 种。 法 2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310 由上面的例题可以看出法 2 要比法 1 简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。 例 2、（ 1）方程x1x2x3x410 的正整数解有多少组？ (2)方程 x1 x2x3x410 的非负整数解有多少组？ （ 3）方程2x1x2x3L x 103的非负整数整数解有多少组？

巧用隔板法解排列组合题

巧用隔板法解排列组合题 徐帮利 临沂市第二中学 解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之. 例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种. 解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7 份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A. 例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解 解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程 的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解. 例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种 解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法. 强化训练:

排列组合插板法插空法捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法(不相邻)、捆绑法(相邻) 插板法(m为空得数量) 【基本题型】 有n个相同得元素,要求分到不同得ｍ组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分法？ ? 图中“”表示相同得名额,“"表示名额间形成得空隙,设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10 个名额分割成七个部分,将第一、二、三、……七个部分所包含得名额数分给第一、二、三……七所学校,则“挡板”得一种插法恰好对应了10 个名额得一种分配方法,反之,名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法,即挡板得插法种数与名额得分配方法种数就是相等得, 【总结】?需满足条件:n个相同元素,不同个m组,每组至少有一个元素,则只需在n个元素 得ｎ—1个间隙中放置ｍ—１块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。? 注意:这样对于很多得问题,就是不能直接利用插板法解题得。但,可以通过一定得转变,将其变成符合上面3个条件得问题,这样就可以利用插板法解决,并且常常会产生意想不到得效果。 插板法就就是在n个元素间得(n-1)个空中插入若干个(b)个板,可以把n个元素分成(ｂ+１)组得方法.?应用插板法必须满足三个条件:?(１)这ｎ个元素必须互不相异 (2)所分成得每一组至少分得一个元素 (3) 分成得组别彼此相异 举个很普通得例子来说明?把1０个相同得小球放入３个不同得箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况??问题得题干满足条件(1)(2),适用插板法,c9 2＝３6 ?下面通过几道题目介绍下插板法得应用?e 二次插板法 例８:在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加３个节目,共有几种情况？ —o - o - o —ｏ－o －o －三个节目ａbｃ?可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插８个空位,用最后个节目去插９个空位?所以一共就是c7 1×c81×ｃ9 １=５04种 【基本解题思路】 将ｎ个相同得元素排成一行,n个元素之间出现了(n-1)个空档,现在我们用(ｍ-１)个“档板”插入(ｎ－1)个空档中,就把n个元素隔成有序得m份,每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素(可能就是1个、2个、３个、4个、….),这样不同得插入办法就对应着n个相同得元素分到ｍ组得一种分法,这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方法称之为插板法。? 【基本题型例题】 【例１】共有10完全相同得球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法？?解析:我们可以将10个相同得球排成一行,10个球之间出现了９个空隙,现在我们用6个档板"插入这9个空隙中,就“把10个球隔成有序得7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置得几个球(可能就是1个、2个、3个、4个),这样,借助于虚拟“档板"就可以把10个球分到了7个班中。? 【基本题型得变形(一)】 ?题型:有ｎ个相同得元素,要求分到m组中,问有多少种不同得分法？?解题思路:这种问题就是允许有些组中分到得元素为“0",也就就是组中可以为空得。对于这样得题,我们就首先将每组都填上１个,这样所要

插空法解排列组合题 专题辅导

插空法解排列组合题 插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有A 33 种排法，然后再将1，2插入四个空位共有A 42种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有A A 423372?=种。 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有A 71种方法；再用另一个节目去插八个空位有A 81种方法；用最后一个节目去插九个空位有A 91种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：A A A 718191789504??=??=种。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有C 73种方法，因此所有不同的关灯方法为C 7335=种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解析：先排好8辆车有A 88种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C 91种方法。所以共有A C 8891种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？ 解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33种，产生的四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 41种，所以每个人左右两边都空位的排法有A A 334124=种。 解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 4324=种。

插空法解排列组合题之欧阳家百创编

插空法解排列组合题 欧阳家百（2021.03.07） 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后

一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种方法。所以共有种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？

实用文库汇编之插空法解排列组合题

*作者：角狂风* 作品编号：1547510232155GZ579202 创作日期：2020年12月20日 实用文库汇编之插空法解排列组合题 曾安雄 插空法就是先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。运用插空法解答有关元素不相邻问题非常方便。下面举例说明。 一. 数字问题 例1. 把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？ 解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有 二. 节目单问题 例2. 在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？ 解析：若直接解答则较为麻烦。故可先用一个节目去插七个空位，有种方法；再用另一个节目去插八个空位有种方法；用最后

一个节目去插九个空位有种方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。 三. 关灯问题 例3. 一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。 四. 停车问题 例4. 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起，则在每2 辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有种 方法。所以共有种方法。 五. 座位问题 例5. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？

排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻） 插板法（m为空的数量） 【基本题型】 有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？ ”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的， 【总结】 需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。 注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。 【基本解题思路】 将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。 【基本题型例题】 【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？ 解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。 【基本题型的变形（一）】 题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？ 解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。 【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法. A．35 B．28 C．21 D．45 解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。 【基本题型的变形（二）】 题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s 值可以不同），问有多少种不同的分法？

排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法

排列组合中的基本解题方法之插空法和捆绑法 一、基础理论： 捆绑法：遇到有“相邻元素”的问题，先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列，当需要考虑元素的相对顺序时，再进行松绑。 题干中常见的词语如：相邻站位、相连、连续等。 插空法：遇到有“不相邻元素”的问题，先把无要求的元素进行排序，然后行程中间的空位或两端的空位，然后进行插空。 运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。 可见：捆绑法主要解决相邻问题，而插空法主要解决的是不相邻的问题。 二、真题精析 例1、5名学生和2名老师站成一排照相，要求2名老师相邻但不站在两端，则不同的排法共有： A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种 【分析】题干当中有“相邻”，所以选择的做题方法一定是捆绑法，要想把这件事解决清楚，要分如下几步：第一步，首让没有要求的元素进行排序，即先排5名学生，有A(5,5) 种方法;第二步，将2名老师“捆绑”在一起，看成一个人，插空到5名学生中间的4个空中，即C(4,1)种方法;第三步，这2名老师不同，要进行排列，即A(2,2)种方法，此件事情完成。分步做的事情，根据乘法原理可知，共有A(5,5)×C(4,1)×A(2,2)=960种不同的排法。所以答案为B. 小结：捆绑法和插空法虽然是两种不同的方法，但是却经常一起结合起来使用。 例2、一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法? A.20 B.12 C.6 D.4

【分析】此题是插板法的典型例题，因为相当于把2个新节目插到原来3个节目中，所以要搞清楚具体有几个空位。 【解析】原来的3个节目已经固定下来了，所以在排原来的3个节目的时候，不用再混排了。 所以这件事可以分步完成，需要把放进去的2个新节目分第一步放进去和第二步放进去。 第一步，排其中一个节目，在原来的3个节目中有4个空位可以选择，即C(4,1)中方法;第二步，排第二个节目，那么此时第一个节目放进去之后，就有4个节目了，也就是有5个空位可以选择，所以排法是C(5,1)中方法，此时这件事情完成。分步完成所以选择乘法原理解题，即C(4，1)×C(5,1)=20种排法，所以答案为A。 例3、某道路旁有10盏路灯，为节约用电，准备关掉其中3盏。已知两端的路灯不能关，并且关掉的灯不能相邻，则有( )种不同的关灯方法。 A.20 B.28 C.48 D.96 【分析】读清楚题干中的逻辑关系，做题之前把等量关系适当的转化。题干的意思也就是说把3盏关掉的等，插空插到7盏亮的灯中间，又可以保证关掉的灯不相邻，所以此题应该属于插空法。 【解析】7盏亮着的灯，首尾两端是不能放关掉的灯的，所以7盏灯只有中间6个空可以放关掉的灯，即C(6,3)=20种。所以答案为A。 小结：捆绑法和插空法是解题的小技巧，应用灵活，它可以应用到所有类型的排列组合题目中，所以大家一定要分清什么时候使用该方法。 （红麒麟2014版强势升级，打造更权威、更智能、更实用的公考学习平台，专属方案、迭代题库、视频课程和配套练习、解析问答、学霸排名、能力测评、申论批改打分、面试语音答题、名师语音点评……一切尽在免费中）。

2018国考行测数量关系：捆绑法和插空法解排列组合题

2018国考行测数量关系：捆绑法和插空法解排列组 合题 【导读】在国家公务员考试中，对于排列组合的考察较为常见，但同时也是很多考生感到无从下手的问题，然而事实上，这部分题目的难度并不大，只要熟记常用方法，这类题目解题基本上属于快速作答，在排列组合中，有两种特别常用的技巧：捆绑法、插空法。这两种方法有特定的应用环境，应注意不同方法之间的差异及应用环境。 一、捆绑法 应用环境：题中出现相邻、挨着、在一起等字眼时使用 使用方式：将相邻元素捆绑在一起，看成一个整体。 例1.甲、乙、丙、丁、戊，五个同学排队照相，甲乙同学必须站在一起，问有多少种站法?( ) A、20 B、24 C、40 D、48 中公解析：因为甲乙同学必须站在一起，说明甲乙同学要相邻，所以使用捆绑法，将甲乙看成一个人，那么此题相当于四个同学排队照相共有A4 4=24种，但是由于甲乙两人还有A2 2=2种站法，因此共有24×2=48种。因此选择D。 例2.有两个三口之家一起出行去旅游，他们被安排坐在两排相对的座位上，其中一排有3个座位，另一排有4个座位。如果同一个家庭的成员只能被安排在同一排座位相邻而坐，那么共有多少种不同的安排方法?( ) A、36 B、72 C、144 D、288 中公解析：因为是两个不同的家庭，所以哪个家庭坐在三人一排的位置，哪个家庭坐在四人一排的位置，共有A2 2=2种排列方式，对于坐到三人一排的家庭，其家庭内部还有A3 3=6种坐法，对于坐到四人一排的家庭，我们可知，由于每一个人要相邻而坐，所以将3个人捆绑看成一个整体，将四个椅子中的相邻三个捆绑在一起，于是共有A2 2=2种坐法，三人内部共有A3 3=6种坐法，因此共有2×6×2×6=144种坐法。因此选择C。 二、插空法

常见排列组合题型及解题策略

可重复的排列求幂法 相邻问题捆绑法 相离问题插空法 元素分析法（位置分析法） 多排问题单排法 定序问题缩倍法（等几率法） 标号排位问题（不配对问题） 不同元素的分配问题（先分堆再分配） 相同元素的分配问题隔板法： 多面手问题（分类法---选定标准） 走楼梯问题（分类法与插空法相结合） 排数问题（注意数字“0”） 染色问题 “至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三．几何中的排列组合问题: 排列组合常见题型及解题策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法 （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果 （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法

【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67 种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、3 8A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有3 8种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与 排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的 排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 22223242C A A A =432 种 其中男生甲站两端的有12222 23232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排 列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法 种数是52563600A A =种 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不 同的插法（具体数字作答） 【解析】： 111 789A A A =504 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的

巧用插空法解排列组合题 人教版

巧用插空法解排列组合题 对于某些排列组合问题，有时用常规方法很难解决，但转换一下思考角度，用插空法却极为方便. 例1. 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 解法1：先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 3 3，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子 再去插空有A 1 4种，所以每个人左右两边都空位的排法有3314A A =24种. 解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 3 4=24种. 例2. A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按A 在前，B 居中，C 在后的原则排列，共有多少种排法？ 解法1：依题意，○A ○B ○C ○，将D 、E 、F 按下列分类去插四个空.①将D 、E 、F 看作整体去插4个空有A 1 4种，D 、 E 、 F 自身全排列有A 3 3种，共有A 14A 33种.②将D 、E 、F 分开（每空一个元素）插法有A 34种.③将D 、E 、F 中两个元素看 成整体去插空有C 23331 423A A A 种，于是共有A 14A 33+A 34+C 22131423A A A =120种. 解法2：在解法1的图示空中，让D 、E 、F 分别去插空，若将D 去插这四个空有A 1 4种，在A 、B 、C 及D 中间及两端 就出现5个空，再将E 去插空有A 1 5种，这样就在A 、B 、C 及D 、E 中间及两端出现6个空，再将F 去插空有A 16种，所以 符合题意的排法有A 16151 4A A =120种. 例3.停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 解：先排好8辆车有A 8 8种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车 位置插入有C 1 9种方法，所以共有C 19A 88种方法. 注：题中*表示元素，○表示空.