最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案
高中数学选修2-1测试题全套及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．若命题p ∨q 与命题p ?都是真命题，则 ( )
A ．命题p 不一定是假命题
B ．命题q 一定是真命题
C ．命题q 不一定是真命题
D ．命题p 与命题q 的真假相同
3．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：?x ∈A ，2x ∈B ，则（ ） A ．?p ：?x ∈A ，2x ?B
B ．?p ：?x ?A ，2x ?B
C ．?p ：?x 0?A ，2x 0∈B
D ．?p ：?x 0∈A ，2x 0?B
4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )
A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数
B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数
D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数
5．设U 为全集，A,B 是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ??,是“?=B A ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件来源
6．命题“若△ABC 有一内角为π
3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题（ ）
A ．与原命题同为假命题
B ．与原命题的否命题同为假命题
C ．与原命题的逆否命题同为假命题
D ．与原命题同为真命题
7．若“0＜x ＜1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
B ．(－1，0)
C ．[－1，0]
D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
8．命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( ) A ．“p ∨q ”是真命题 B ．“p ∧q ”是假命题 C ．?p 为假命题
D ．?q 为假命题
9．下列命题中是假命题的是( )
A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β
B ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0
C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin B
D ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数
10．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要的条件是（ ） A ．a >b ＋1 B ．a >b －1C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
11．已知A ：13x -<，B ：(2)()0x x a ++<，若A 是B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )
A ．(4，+∞)
B ．[4，+∞)
C ．(-∞，4]
D ．(-∞，-4) 12．已知命题p:不等式(x-1)(x-2)>0的解集为A ，命题q:不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集为B ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，－1] B ．[－2，－1] C ．[－3,1]
D ．[－2，＋∞)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）
13若关于x 的不等式|x －m |＜2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是
________．
14．若命题“?x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
15．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值范围是________．
16．给出下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <1
2
”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．
[来源学科网]
17．已知命题p ：?x ∈[1,2]都有x 2≥a ．命题q ：?x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，若命题p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．
18．如果甲是乙的必要不充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则丁是甲的__________条件．
三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）已知命题p:若,0≥ac 则二次方程02
=++c bx ax 没有实根. (1)写出命题p 的否命题；
(2)判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.
20．（10分）已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝φ”是假命题，求实数m 的取值范围．
21．（10分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．
(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由；
(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．
22．（10分）已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；命题q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在????1
2，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，求实数c 的取值范围．
23．（10分）已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题p ∨q 是假命题，求a 的取值范围．
24．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.
参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.D
4.B
5.C
6.D
7.C
8.B
9.D 10.A 11.D 12.A 提示：
1．逆命题为：若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0，是真命题． 否命题为：若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0，是真命题． 逆否命题为：若x ≠0或y ≠0，则x 2＋y 2≠0，是真命题．
2．“p ?”为真命题，则命题p 为假，又p 或q 为真，则q 为真，故选B. 3．由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p 是全称命题：?x ∈A ，2x ∈B ，则?p 是特称命题：?x 0∈A ，2x 0?B .故选D.
4．原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项． 5
．
6．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π
3
”，它是真命题．
7．(x －a )[x －(a ＋2)]≤0?a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：?
????a ≤0，a ＋2≥1，?a ∈[－1，0]． 8．因为当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命
题，例如f (x )＝?
????
－x ＋1，x ≤0，
－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题.
9．对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝????lg x ＋122＋34≥3
4>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ?a >b ?2R sin A >2R sin B ?sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π
2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题.
10.a >b ＋1?a －b >1>0?a >b ，但a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，故A 项正确．对于B ，a >b －1不能推出a >b ，排除B ；而a 2>b 2不能推出a >b ，如a ＝－2，b ＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C 项错误；a >b ?a 3>b 3，它们互为充要条件，排除D.
11．由题知1324x x -，即4a <-；当2a =时，B=φ，显然不成立；当2a >时，(2)()02x x a a x ++
(),4a ∈-∞-.
12.不等式（x-1）（x-2）>0，解得x >2或x <1，所以A 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即B 为(－∞，－a )∪(1，
＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2 13.(1，4) 14.[－8,0] 15. ? ???－2，9 416.①② 17.(－∞，－2]∪{1} 18.充分不必要 提示： 13．由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2 ＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有? ????m －2＜2 m ＋2＞3，由此解得1＜m ＜4，即实数m 的取值范围是(1， 4)． 14．由题意知，x 为任意实数时，都有ax 2－ax －2≤0恒成立． 当a ＝0时，－2≤0成立． 当a ≠0时，由? ????a ＜0， Δ＝a 2 ＋8a ≤0得－8≤a ＜0， 所以－8≤a ≤0. 15.设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，???? ?Δ＝（2a －1）2 －4（a 2 －2）≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0?? ????4a ≤9， a ＞12， a ≤－2或a ≥ 2. 即2≤a ≤9 4 .综上， 得－2≤a ≤9 4 . 16.①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否 命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <1 2”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 17.若p 是真命题，即a ≤(x 2 )min ，x ∈[1,2]，所以a ≤1；若q 是真命题，即x 2 ＋2ax ＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a ≤－2或a ＝1. 三、解答题 19.解：(1)命题p 的否命题为:若,0 =++c bx ax 有实根. (2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,02>-=?>- 所以二次方程02 =++c bx ax 有实根. 故该命题是真命题. 20.解：因为“A ∩B ＝?”是假命题，所以A ∩B ≠?. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 则U ＝{m |m ≤－1或m ≥3 2 }． 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ???? ? m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0?????? m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0 ?m ≥3 2 . 又集合{m |m ≥3 2}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}， 所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}． 21.解：(1)不存在.由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 因为x ∈P 是x ∈S 的充要条件，所以P ＝S ， 所以????? 1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以? ???? m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在． (2)存在. 由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ?P . 所以? ???? 1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 又1+m ≥1-m,所以m ≥0. 综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 22.解：因为函数y ＝c x 在R 上单调递减，所以0 又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在????12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0 2，因为c >0且c ≠1， 所以?q ：c >1 2 且c ≠1. 又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． ①当p 真，q 假时，{c |0 ??? ??c |c >12且c ≠1＝? ??? ?? c |12 ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩? ?? ? ??c |0 综上所述，实数c 的取值范围是? ??? ?? c |12 23.解：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0, 所以x ＝a 2 或x ＝－a ， 所以当命题p 为真命题时???? a 2≤1或|－a |≤1，所以|a |≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， 所以Δ＝4a 2－8a ＝0，所以a ＝0或a ＝2. 所以当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. 所以命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. 因为命题“p 或q ”为假命题，所以a >2或a <－2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 24.证明: 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n － 1，即S n ＋1 ＝(a 1＋1)·4n － 1. 因为a n ＝?????a 1，n ＝1，S n －S n －1 ，n ≥2， 所以a n ＝?????a 1，n ＝1，3（a 1＋1）· 4n － 2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1 a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2 a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n ＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2 a 1＝4， 即3（a 1＋1）a 1 ＝4，解得a 1＝3. 综上，数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3. 第二章 圆锥曲线与方程 测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是（ ） A ．y 2＝－16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16x D ．y 2＝－12x 2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2 －y 2 9＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5， 则|PF 2|＝（ ） A ．5 B ．3 C ．7 D ．3或7 3．已知椭圆x 225＋y 2 9＝1，F 1，F 2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．“2 6－m ＝1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1（a >0，b >0）的焦距为4，一个顶点是抛物线y 2＝4x 的焦点，则双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．3 2D ． 2 6．已知点A （3，4），F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|AM |＋|MF |最小时，M 点坐标是（ ） A ．（0，0） B ．（3，26） C ．（3，－26） D ．（2，4） 7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）的离心率为52，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为（ ） A ．12B ．33C ．32D ．22 8．设F 1，F 2是双曲线x 2 －y 2 24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|， 则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．42 B ．83 C ．24 D ．48 9．已知点A （1，2）是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k （x ＋1）的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是（ ） A ．22 B ．2 C ．32 2D ．2 2 10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2 3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP → 的最大值为（ ） A ．6 B ．3 C ．2 D ．8 11．已知以F 1（－2，0），F 2（2，0）为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．32 B ．26 C ．27 D ．7 12．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，且|BC|=|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y=±3x B ．y=±22x C ．y=±（1+3）x D ．y=±（3－1）x 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 13．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿． 14．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是＿＿＿＿＿． 15．若点P 在曲线C 1：x 216－y 2 9＝1上，点Q 在曲线C 2：（x －5）2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x ＋5）2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是＿＿＿＿＿． 16．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A （7 2，4），则|PA |＋|PM |的最小值是＿＿＿＿＿． 17．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2 ＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，则|F 1A |＋|F 1B |的值为＿＿＿＿＿． 18．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在y 轴上的正射影分别为D ，C ，若梯形ABCD 的面积为103，则p=＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4 3x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程． 20．（10分）已知点P （3，4）是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1⊥PF 2．试求： （1）椭圆的方程；（2）△PF 1F 2的面积． 21．（10分）抛物线y 2＝2px （p >0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程． 22．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点（AB 不垂直于x 轴），且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q （6，0），求此抛物线的方程． 23．（10分）设双曲线C ：x 2a 2－y 2 ＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ． （1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围； （2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB → ，求a 的值． 24．（10分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，1 2）． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值． 参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 提示： 1．由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点（4，0）即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x ． 2．因为双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2，所以|PF 2|＝7或3． 3．由题意知|MF 2|＝10－|MF 1|＝8，ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|ON |＝1 2|MF 2|＝4． 4．若x 2 m －2＋y 2 6－m ＝1表示椭圆，则有????? m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ， 所以2 是x 2m －2＋y 2 6－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．依题意，得c ＝2，a ＝1，所以e ＝c a ＝2． 6．由题知点A 在抛物线内．设M 到准线的距离为|MK |，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MK |，当|MA |＋|MK |最小时，M 点坐标是（2，4）． 7．因为在双曲线中，e 2 ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，在椭圆中，e 2 ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2 ＝1－b 2a 2＝1－14＝34，所以椭圆的离心率e ＝32． 8．由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝1 2×6×8＝24． 9．将点（1，2）代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为（1，0），将点（1，2）代入y ＝k （x ＋1）中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，所以抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1| 2 ＝2． 10．由椭圆方程得F （－1，0），设P （x 0，y 0），则OP →·FP → ＝（x 0，y 0）·（x 0＋1，y 0）＝ x 20＋x 0＋y 2 0，因为 P 为椭圆上一点，所以x 204＋y 203＝1，所以OP →·FP →＝x 2 0＋x 0＋3（1－x 204）＝x 2 04＋x 0 ＋3＝14（x 0＋2）2＋2，因为－2≤x 0≤2，所以OP →·FP → 的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6． 11．根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2 b 2＝1（b >0），则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得 4（b 2＋1）y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，因为椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点， 所以Δ＝（83b 2）2－4×4（b 2＋1）（－b 4＋12b 2）＝0，即（b 2＋4）·（b 2－3）＝0，所以b 2＝3，长轴长为2b 2＋4＝27． 12．根据双曲线的定义有|CF 1|－|CF 2|=2a ，而|BC|=|CF 2|，那么2a=|CF 1|－|CF 2|=|CF 1|－|BC|=|BF 1|，而又由双曲线的定义有|BF 2|－|BF 1|=2a ，可得|BF 2|=4a ，由于过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的左、右支分别于点B 、C ，那么sin ∠BF 1F 2= c a ，那么cos ∠BF 1F 2=c b ，根据余弦定理有cos ∠BF 1F 2=c b =c a a c a 222)4()2()2(222??-+，整理有 b 2－2ab －2a 2=0，即（a b ）2－ 2 a b －2=0，解得a b =1+3（a b =1－3<0舍去），故双曲线的渐近线方程为y=±a b x=±（1+3）x ． 二、填空题 13．1814．x 281＋y 272＝115．10 16．9217．82 318．3 提示： 13．由x 2＝14y 知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝1 8． 14．依题意知：2a ＝18，所以a ＝9，2c ＝1 3×2a ，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，所以椭圆方程为x 281＋y 2 72＝1． 15．依题意得，点F 1（－5，0）、F 2（5，0）分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|（|PF 2|＋1）－（|PF 1|－1）|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10． 16．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F （12，0），又点A （7 2，4）在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －1 2，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥9 2． 17．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由????? x 2 2＋y 2＝1， y ＝x －1，消去y 整理得3x 2－4x ＝0，解 得x 1＝0，x 2＝43，易得点A （0，－1）、B （43，13）．又点F 1（－1，0），因此|F 1A |＋|F 1B |＝12＋(－1)2 ＋ (73)2＋(13)2＝82 3． 18．由抛物线y 2=2px （p>0）得其焦点F （ 2p ，0），直线AB 的方程为y=3（x －2 p ）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（假定x 2>x 1），由题意可知y 1<0，y 2>0，联立?? ? ?? =-=px y p x y 2)2(32， 整理有3y 2－2py －3p 2=0，可得y 1+y 2= 3 2p ，y 1y 2=－p 2，则有x 1+x 2=35p ，而梯形ABCD 的面积为S= 21（x 1+x 2）（y 2－y 1）=6 5p 212214)(y y y y -+=103，整理有p 2=9，而p>0， 故p=3． 三、解答题 19．解：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ（λ≠0）， 从而有（|λ|4）2＋（|λ|3 ）2 ＝100，解得λ＝±576， 所以双曲线的方程为x 236－y 264＝1和y 264－x 2 36＝1． 20．解：（1）因为P 点在椭圆上，所以9a 2＋16 b 2＝1，① 又PF 1⊥PF 2，所以43＋c ·43－c ＝－1，得：c 2＝25，② 又a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③得a 2 ＝45，b 2 ＝20，则椭圆方程为x 245＋y 2 20 ＝1； （2）S 21F PF ?＝1 2|F 1F 2|×4＝5×4＝20． 21．解：设抛物线y 2＝2px （p >0）的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－1 2x ， 解方程组? ???? y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为???? p 2，p ； 解方程组????? y ＝－12x ， y 2＝2px ，可得点B 的坐标为（8p ，－4p ）． 因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513， 所以????p 24＋p 2＋（64p 2＋16p 2）＝325， 所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x ． 22．解：设抛物线的方程为y 2＝2px （p >0），其准线方程为x ＝－p 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为|AF |＋|BF |＝8， 所以x 1＋p 2＋x 2＋p 2 ＝8，即x 1＋x 2＝8－p ， 因为Q （6，0）在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ， 即（x 1－6）2＋y 21＝（x 2－6）2＋y 2 2， 又y 21＝2px 1，y 2 2＝2px 2，所以（x 1－x 2） （x 1＋x 2－12＋2p ）＝0， 因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p ，故8－p ＝12－2p ，所以p ＝4， 所以所求抛物线方程是y 2＝8x ． 23．解：（1）联立? ???? x 2－a 2y 2－a 2＝0， x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2＝0， 即（1－a 2 ）x 2 ＋2a 2 x －2a 2 ＝0，得???? ? x 1＋x 2＝－2a 21－a 2 ， x 1x 2 ＝－2a 21－a 2 . 因为与双曲线交于两点A 、B ，所以? ???? 1－a 2 ≠0， 4a 4＋8a 2(1－a 2 )>0，可得0 6 2 ，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得???? ? x 1＋x 2＝－2a 21－a 2 ， x 1x 2 ＝－2a 21－a 2 . 因为P A →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 21－a 2，① 512x 22＝－2a 2 1－a 2 ，② 由①2②得，a 2＝289169， 结合a >0，则a ＝17 13． 24．解：（1）由e 2 ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝1 3 ，① 由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋1 4b 2＝1，② 联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 23 ＋y 2 ＝1； （2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2， 将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2 ）x 2＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2－36（1＋3k 2）>0，得k 2>1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝9 1＋3k 2 ， 所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝1 2 ×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|， 因为（x 1－x 2）2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2 －361＋3k 2＝36(k 2－1)(1＋3k 2)2 ， 设k 2－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2＝ 36t (3t ＋4)2 ＝ 36 9t ＋16 t ＋24≤362 9t ×16 t ＋24 ＝3 4， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2＝73，△AOB 面积取得最大值3 2． 第三章 空间向量与立体几何 一、选择题 1．若A (0，－1，1)，B (1，1，3)，则|AB |的值是()． A ．5 B ．5 C ．9 D ．3 2．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为()． A ．0 B ． C ．AC D ．AD 3．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是()． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m b D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) 4．已知＋＝(2，－1，0)，－＝(0，3，－2)，则cos的值为()． A ．3 1 B ．－ 3 2 C ． 3 3 D ． 3 7 5．若P 是平面α 外一点，A 为平面α 内一点，n 为平面α 的一个法向量，且 A ．40o B ．50o C ．40o或50o D ．不确定 6．若A ，B ，C ，D 四点共面，且0 ＝ ＋ 3＋ 2＋ OD x OC OB OA ，则x 的值是()． A ．4 B ．2 C ．6 D ．－6 7．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90o，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60o，则AC 1的长等于()． A ．85 B ．50 C ．85 D ．52 8．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝（1，－x ，2），若(a ＋b )⊥c ，则x 等于()． A ．4 B ．－4 C ． 2 1 D ．－6 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题 ①(A A 1＋11D A ＋11B A )2＝3(11B A )2 ； ②A 1·(11B A －A A 1)＝0； ③向量1AD 与向量B A 1的夹角为60o； ④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ··AD |． 错误命题的个数是()． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．已知四边形ABCD 满足·BC ＞0，BC ·CD ＞0，CD ·＞0，·＞0，则该四边形为()． A ．平行四边形 B ．梯形 C ．任意的平面四边形 D ．空间四边形 二、填空题 11．设a ＝(－1，1，2)，b ＝(2，1，－2)，则a －2b ＝． 12．已知向量a ，b ，c 两两互相垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s |＝． 13．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 所成角的大小． 14．若n 1，n 2分别为平面α，β 的一个法向量，且 15．设A (3，2，1)，B (1，0，4)，则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是 ． 16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30o，且|a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为． 三、解答题 17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形， O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1． 1 18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底边CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90o，棱AA 1＝2，M ，N 分别是11B A 、的中点． (1)求·M C 1； (2)求cos<1BA ，1CB >． 19．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． A A 1A C B A 1C 1 B 1 N M （第18题） A B A 1 B 1D C D 1 C 1 O （第17题） (1)证明：D 1E ⊥A 1D ； (2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4 ． 20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC 、CD 中点． (1)试证：CD ⊥平面BEF ； (2)设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30o，求k 的取值范围． B A C P E F D （第20题） A B A 1 D B 1 C D 1 C 1 E （第19题） 参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．B 解析：两已知条件相加，得 ＝（1，1，-1），再得 ＝（1，－2，1），则 cos<，> ＝－ 3 2． 5．B 6．D 7．C 8．B 9．B 10．D 解析：由AB ·BC ＞0得∠ABC ＞90o，同理，∠BCD ＞90o，∠CDA ＞90o，∠DAB ＞90o，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360o，这与上述得到结论矛盾，故选D ． 二、填空题 11．(－5，－1，6) ． 12．14． 13．90°． 14．60o或120o． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3． 三、解答题 17．提示：∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1)0． 提示：可用向量计算，也可用综合法得C 1M ⊥BN ，进而得两向量数量积为0． (2) 10 30 ． 提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴． 19．(1)提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，可得1·E D 1＝0． (2) 3 1． 提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2)，d ＝ 1 1n n | |1·E D ＝31 ． (3)2－3． 提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2）（其中AE ＝x ），利用 cos 4 x ＝2－3． 20．(1)提示：坐标法，A 为原点，直线AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴． (2)k ＞ 15 15 2． 提示：不妨设AB ＝1，则PA ＝k ，利用cos 3 ，其中n 1，n 2分别为面EBD ，面BDC 的一个法向量．
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