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高等数学资料

第一讲随机事件与概率

一、古典概型与几何概型

1．试验，样本空间与事件.

2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则基本事件总数

中有利事件数

A A P =

)(

3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则

、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=

)(A P

【例1】一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取

出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率.

（1）一次取3个；

（2）一次取1 个, 取后不放回；（3）一次取1个, 取后放回.

【例2 】从（0，1）中随机地取两个数，试求下列概率：

（1）两数之和小于1.2；（2）两数之和小于1且其积小于16

3. 一、事件的关系与概率的性质

1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：（1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB

（2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB ,Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）.

? P （B|A ）=P （B ）（P （A ）>0）. ?(|)(|)1P B A P B A += （0

?P （B |A ） =P （B |A ）（ 0 < P （A ） < 1 ）

注: 若（0

0）

? 1)|()|(=+B A P B A P （0

（4） A , B , C 两两独立 ? P （AB ）=P （A ）P （B ）;

P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.

（5） A , B , C 相互独立 ? P （AB ）=P （A ）P （B ）;

P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）; P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.

2. 重要公式

（1） )(1)(A P A P -=

（2） )()()(AB P A P B A P -=- （3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=

)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++= （4）若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===n

i i n

i i

A P A

P 1

)()(

（5）若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(

11i

n i n i i

A P A P ∏==-= )](1[11

i A P ∏=--=.

∏===n

i i n i i A P A P 1

)()( .

（6）条件概率公式: )

()

()|(A P AB P A B P =

（P （A ）>0）【例3】已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C , 且P （ C ）＝3

, 试求P （B ）.

【例4】设两两相互独立的三事件A , B , C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）＝P （C ）

1,且已知9

()16P A B C =, 则P （A ）＝ .

【例5】设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0

（A ）P （A B |C ）＝P （A |C ）+ P （B |C ）. （B ）P （A B |C ）＝P （A B ）. （C ）P （A

B |

C ）＝P （A |C ）+ P （B |C ）. （

D ）P （A

B |

C ）＝P （A

B ）.

【例6】设事件A , B , C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18=

, P （ABC ）＝116

, 则事件A , B , C 中至多一个发生的概率为 .

【例7】设事件A , B 满足 P （B| A ）＝1则

【】

（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|A ）=0. （C ） A B ?. （D ） A B ?.

【例8】设A , B , C 为三个相互独立的事件, 且0

（C ） B A -与C （D ） AB 与C 【例9】设A ，B 为任意两个事件，试证

P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤

1. 三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1．乘法公式：

|()|()|()()().

|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P

2．全概率公式：

()(|)(),,,.i i i j i i i P B P B A P A A A i j A ∞

∞

====Φ≠=Ω∑

3．Bayes 公式：

(|)()

(|),,,.(|)()

j j j i j i i i

i P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞

∞

===

=Φ≠=Ω∑　A

4．二项概率公式:

()(1),0,1,2,,.k k n k

n n

P k C P P k n -=-=　,

【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,

试求另一件也为次品的概率.

【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.

试求下列事件的概率. （1）第三次取得次品; （2）第三次才取得次品;

（3）已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4）不超过三次取到次品;

【例12】甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下,

分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率. （1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （2）甲, 乙两人独立地各射击一次.

【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别

为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ;

(2)

已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q

第二讲随机变量及其分布

考试要求

1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（()()F x P X x =≤）的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.

2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.

3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.

4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布的概率密度为

,0,()0,0.x e x f x x λλ-?>=?≤?

5. 会求随机变量函数的分布.

一、分布函数

1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量.

2．分布函数：∞+-∞=＜＜),≤

()(x x X P x F F （x ）为分布函数 ?（1） 0≤F （x ） ≤1

（2） F （x ）单调不减（3）右连续F （x +0）=F （x ）（4） 1)(,0)(=+∞=-∞F F

3．离散型随机变量与连续型随机变量（1）离散型随机变量

∑∞

=====1

i 1

≥,,,2,1,)(i i i i p p n i p x X P

分布函数为阶梯跳跃函数.

（2）连续型随机变量 ?∞

t t f x F d )( )(

f （x ）为概率密度 ? （1） f （x ）≥0, （2）

?+∞

∞

- f （x ）1d =x

=≤≤=<

x f b X a P b X a P )()()(

4．几点注意

【例1 】设随机变量X 的分布函数为

0,1,57(),11,16161, 1.x F x x x x <-???

=+-≤

则2(1)P X == .

【例2 】设随机变量X 的密度函数为 f （x ）, 且 f （－x ） = f （x ）, 记()X F x 和()X F x -分别是X 和X -的分布函数, 则对任意实数x 有【】（A ）()()X X F x F x -=.

（B ）()()X X F x F x -=-.

（C ）()1()X X F x F x -=-.

（D ）()2()1X X F x F x -=-.

【例3 】设随机变量X 服从参数为0λ>的指数分布, 试求随机变量 Y = min { X ,

2 } 的分布函数

【例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立

每个元件正常工作时间服从参数为 0λ>的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.

【例5】设随机变量X 的概率密度为 ??

?<-=.,

1|||,|1)(其他x x x f 试求（1） X 的分布函数)(x F ; （2）概率)4

12(<

<-X P . 二、常见的一维分布

（1） 0-1分布：1,0,)1()(1 =-==-k p p k X

P k k .

（2）二项分布n k p p C k X P p n B k n k

k n ,,1,0,)1()(:),( =-==- .

（3） Poisson 分布)(λP ： ,2,1,0,0＞,e !

)(==

=-k k k X P k

λλλ.

（4）均匀分布?????-=.,

＜＜1

)(:),(其他０，

，　b x a a b x f b a U

（5）正态分布N （μ，σ2）： 0,,e

π21)(2

22)(+∞<<∞->=

μσσ

σμ x x f

（6）指数分布?

??=-. ,0 ＞0,

,e )(:)(其他x x f E x λλλ　

＞0λ.

（7）几何分布.2110,)

1()(:)(1

,,k ,＜p＜p p k X P p G k =-==-

（8）超几何分布H （N ,M ,n ）: },min{,,1,0,)(M n k C C C k X P n

n M N k M ===--　. 【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p （0

)1(6p p -.

（C ） 22)1(3p p -. （D ） 2

2)1(6p p -. 【例7】设X ～Ｎ（μ, σ2

）, 则 P （ X ≤1＋μ）【】（A ）随μ的增大而增大 . （B ）随μ的增大而减小. （C ）随σ的增大而不变 .

（D ）随σ的增大而减小.

【例8】设X ～Ｎ（μ, σ2）, ()F x 为其分布函数，0μ<，则对于任意实数a ，

有【】

（A ） ()() 1.F a F a -+> （B ） ()() 1.F a F a -+= （C ） ()() 1.F a F a -+< （D ） 1()().2

F a F a μμ-++=

【例9】甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一

球交换放入另一袋中，试求交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.

三、随机变量函数的分布：

1. 离散的情形

2. 连续的情形

3. 一般的情形

【例10】设随机变量X 的概率密度为

????

?????<≤<<-=.,

20,4

1,01,21

)(其他x x x f X

令),(,2

y x F X Y =为二维随机变量（X , Y ）的分布函数.

（Ⅰ）求Y 的概率密度)(y f Y ;

（Ⅱ）

)4,2

(-F 第三讲多维随机变量及其分布

考试要求

1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.

2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.

3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .

4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.

一、各种分布与随机变量的独立性

1. 各种分布

（1）一般二维随机变量 F （x , y ）=P { X ≤ x , Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质

F （x , y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x , y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）;

2） F （?∞, y ）= F （x , ?∞）=0, F （+∞,+∞）=1;

3） F （x , y ）关于x , y 均为单调不减函数； 4） F （x , y ）关于x , y 均分别右连续.

（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布

联合概率分布律 P {X = x i , Y = y j } = p i j , i , j =1, 2 ,??? , p i j ≥ 0, 1=∑∑i

i p

边缘分布律 p i ? = P {X = x i }=

∑j

i p

, i =1, 2 ,??? ,

p ? j = P { Y = y j }=

∑i

i p

, j =1, 2 ,??? ,

条件分布律

P {X = x i |Y = y j } =

j i p p ?, P { Y = y j | X = x i } =

i j i p p .

二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度

f （x , y ）为联合概率密度 ? 1? f （x , y ）≥0,

1=??

∞+∞-∞

+∞

- ),(d x d y y x f .

设（ X , Y ）~ f （x , y ）则分布函数:

??∞-∞

-=x

dxdy y x f y x F ),(),(;

边缘概率密度: ?

∞

+∞

),()(dy y x f x f X , ?

∞

+∞

-= ),()(dx y x f x f Y .

条件概率密度: )(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =

, )

()

,()|(|x f y x f x y f X X Y =.

??=∈D

dxdy y x f D Y X P ),(}),{(

,(),(y

x y x F y x f ???=2

2. 随机变量的独立性和相关性

X 和Y 相互独立 ? F （x , y ）= F X （x ）F Y （y ）;

? p i j = p i ? ? p ? j （离散型）

? f （x , y ）= f X （x ）f Y （y ）（连续型）

【注】 1? X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 ? f （X ）与g （Y ）也独立.

2? 若X 1, ????, X m , Y 1, ????, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数 ? f （X 1, ????, X m ）与g （Y 1, ????, Y n ）也独立. 3? 常数与任何随机变量独立.

3. 常见的二维分布

（1）二维均匀分布（X , Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为

?????∈=.,

.),(,)(),(其他01

D y x D S y x f （2）二维正态分布（X , Y ）~ N （μ1 , μ2, σ12 ,σ22, ρ ）, ?∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0, |

ρ | <1. 联合概率密度为

21121

σπσ?-=

),(y x ???

????

?-+------222

22121212122121

σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e

性质:

（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22 ）（ b ） X 与Y 相互独立 ? ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关.

（ c ） C 1X +C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12 σ12 + C 22σ22 +2C 1C 2 ρ σ1 σ2 ）. （ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([221

22111ρσμσσρμ--+y N

【例1 】设A ，B 为事件，且P （A ）＝

41, P （B |A ）＝2

1, P （A |B ）＝12

令 X ＝??

?否则发生若,0,1A , Y ＝?

??否则发生

若,0B ,1

（1）试求（X , Y ）的联合分布律；（2）计算Cov （ X , Y ）；（3）计算 2

(2,43)Cov X Y +

【例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X , Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.

【例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为

13221P

记{}{}Y X V Y X U ,min ,,max ==. （I ）求（U , V ）的概率分布;

（II ）求（U , V ）的协方差C ov （U , V ）. 【详解】（I ）易知U , V 的可能取值均为: 1, 2. 且

{}{}})1,min ,1,(max )1,1(=====Y X Y X P V U P

)1,1(===Y X P 9

)1()1(=

===Y P X P , {}{}0})2,min ,1,(max )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,min ,2,(max )1,2(=====Y X Y X P V U P

)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P

)2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 9

, {}{}})2,min ,2,(max )2,2(=====Y X Y X P V U P

)2()2()2,

2(======Y P X P Y X P 9

, 故（U , V ）的概率分布为:

（II ） 9122941209411)(??+??++?

?=UV E 9

而 914952941)(=?+?

=U E , 9

10912981)(=?+?=V E . 故 81

910914916)()()(),(=?-=

-=V E U E UV E V U Cov . 【例4】设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求

（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度; （Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y X P .

二、二维（或两个）随机变量函数的分布

1．分布的可加性

（1）若X ~B （m, p ）, Y ~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X +Y ~ B （m +n , p ）. （2）若X ~P （λ1）, Y ~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.

（3）若X ~N （211,μσ）, Y ~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （22

1212,μμσσ++）.

一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n , 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y =C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为

(

i i

i i i i N C C C

σ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.

2. 两个随机变量函数的分布. 【例

5】设

与

相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则

{max(,)0}______;P X Y ≠=

{min(,)0}__________.P X Y ≠=

【例6】设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:

01,()X x f x <

?0,

其他. ,0,

()y Y e y f x -?>=??0,其他.

求Z ＝2X ＋Y 的概率密度

【例7】设二维随机变量（X , Y ）的概率密度为

2,01,01,

(,)0,

x y x y f x y --<<<

（I ）求{}Y X P 2>；

（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】（I ）{}Y X P 2>??>=

x dxdy y x f 2),(??--=1

221

)2(y

dx y x dy 24

. （II ）方法一：先求Z 的分布函数: ??≤+=

≤+=z

y x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(

当z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ??

),()(D Z dxdy y x f z F ?

?---=y

z z

dx y x dy 0

)2(

1z z -

=；当21<≤z 时, ??

),(1)(D Z dxdy y x f z F ?

?-----=111

)2(1y

z z dx y x dy

3)2(3

1z --=；当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度

)(z f Z =)(z F Z '??

??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z

方法二： ?

∞

+∞

--=

dx x z x f z f Z ),()(，

?<-<<<---=-.,0,

10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ??

?+<<<<-=.,

1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ;

当01z <<时, ?-=z

Z dx z z f 0

)2()()2(z z -=；

当21<≤z 时, ?

--=11

)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；

故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度

)(z f Z ??

??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z

【例8】设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为

()i i P Y a p ==,　i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.

第四讲数字特征与极限定理

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.

2．会根据随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数学期望)(X Eg ；会根据随机变量X 和Y 的联合概率分布求其函数),(Y X g 的数学期望),(Y X Eg .

3．了解切比雪夫不等式.

4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）

5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率

一、数学期望与方差（标准差）

1. 定义（计算公式）

离散型 {}

i i p x X P ==,

∑=

i p

x X E )(

连续型 )(~x f X ,

x xf X E d )()(?

+∞

∞

方差：[]22

2)()())(()(X E X E X E X E X D -=-=

标准差：)(X D , 2. 期望的性质：

1° )())((,)(X E X E E C C E == 2° )()()(2121Y E C X E C Y C X C E +=+ 3° )()()(Y E X E XY E ，Y X =则独立与若 4° [])()(≤)(222Y E X E XY E

3. 方差的性质：

1° 0))((,0))((,0)(===X D D X E D C D 2° )()()(Y D X D Y X D Y X +=±相互独立，则与

3° )()(2121X D C C X C D =+

4° 一般有 ),Cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±

)()(2)()(Y D X D Y D X D ρ±+=

5°2

()()C D X E X <-, )(X E C ≠

【例1】设试验成功的概率为43, 失败的概率为4

, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望.

【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回

【例3】设随机变量X 的概率密度为?????≤≤=.,

0,2cos 21

)(其他πx x x f 对

X 独立地重复观察4次, 用Y 表示观察值大于3

的次数, 求2Y 的数学期望.

【例4】设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下

不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望.

二、随机变量函数的期望（或方差）

1、一维的情形

)(X g Y =

离散型：{}i i P X

x p == ， ∑=

i i

x g Y E )()(

连续型：~()X

f x x x f x

g Y E d )()()(?

+∞

∞

2、二维的情形

),(Y X g Z =

离散型{}

i i p y Y x X P Y X ===,~),(,

∑∑=

ij j

y x g Z E ),()(

连续型),(~),(y x f Y X , y x y x f y x g Z E d d ),(),()(?

?+∞

∞

-+∞∞-=

【例5】设X 与Y 独立且均服从N （0，1），求Z ＝

22Y X + 的数学期望与方差.

【例6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从N （0，2

）, 试求Z ＝｜X －Y ｜的数学期望与方差.

三、协方差，相关系数与随机变量的矩

1、重要公式与概念：

协方差 []))()((()Cov(Y E Y X E X E X,Y --= 相关系数 )

()()Cov(Y D X D X,Y XY =

)(k X E k 阶原点矩

[]

k X E X E k ))((- 阶中心矩

2、性质： 1°

),(Cov ),(Cov X Y Y X =

2° ),(Cov ),(Cov Y X ab bY aX =

3° ),(Cov ),(Cov ),(Cov 2121Y X Y X Y X X +=+ 4° |(,)|1X Y ρ≤

5° 1)(1),(=+=?=b aX Y P Y X ρ )＞0(a 1)(1),(=+=?-=b aX Y P Y X ρ )＜0(a

3、下面5个条件互为充要条件：

（1）0),(=Y X ρ （2）0)Cov(=X,Y （3）)()()(Y E X E XY E = （4）)()()(Y D X D Y X D +=+ （5）)()()(Y D X D Y X D +=-

【例7】设)2(,,,21>n X X X n 为独立同分布的随机变量, 且均服从)1,0(N , 记

∑==n

i i X n X 1

1, .,,2,1,n i X X Y i i =-= 求:

（I ） i Y 的方差n i Y D i ,,2,1),( =；（II ） 1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ; （III ） }.0{1≤+n Y Y P

四、极限定理

1. 切比雪夫不等式

{}

()()

|()|,|()|<1-22 D X D X P X E X P X E X εεε

-≥≤

-≥或

2. 大数定律

3. Poisson 定理

4. 中心极限定理

列维—林德伯格定理: 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立同分布, 且

2(),(),i i E X D X μσ== 1,2,

i n =，则对任意正数x ，有

l i m

e d n t i x n X n P x t μ-∞→∞??-???

≤=??

????

∑?

棣莫弗—拉普拉斯定理: 设~(,),n B n p η（即X 1，X 2，…，X n ，…相互独立, 同服从0

一1分布）则有

lim d t x n P x t -

-∞→∞

???

≤=???

?. 【例8】银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.

【分析】若X 为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X ，设银行该日应准备现金x 元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P （1000X ≤x ）≥0.999. 【详解】设X 为该日到银行领取本息的总人数，则X~B （500，0.4）所需支付现金为1000X ，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x 元，则 P （1000 X ≤x ）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：

(1000)()1000

x P X x P X ≤=≤

5000.4x P ??-? ?

=≤

0.999(3.1).ΦΦ≈≥=

即

3.1,≥得 x ≥ 233958.798.

因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.

第五讲数理统计

考试要求

1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本

方差定义为

.)(1

121

X X n S i n

i --=∑

2. 了解2χ分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.

3. 了解正态总体的常用抽样分布.

4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.

5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.

6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.

7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.

8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.

9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.

10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验

一、样本与抽样分布

1. 总体、个体与简单随机样本:

2. 常用统计量:

1° 样本均值 i n

i X n

X ∑

2° 样本方差 21

)(1

X X n S i n

i --=

∑

3° 样本标准差

: S = 4° 样本k 阶原点矩 1

1,1,2,

n k

k i i A X k n ===∑

5° 样本k 阶中心矩 1

1(),1,2,

n k

k i i B X X k n ==-=∑

3．分位数

4. 重要抽样分布

（1）分布2χ

（2） t 分布

（3） F 分布

5. 正态总体的常用抽样分布:22,,

,(,),n X X X N μσ1设为来自正态总体的样本

11n i i X X n ==∑, 2

1()1n i i S X X n ==--∑, 则（1）

2~,~(0,1).X N N n σμ?? ??

? （2） 2

222

(1)1

()~(1).n

i i n S X X n χσσ=-=

--∑

（3）

222

()~().n

i i X n μχσ=-∑

（4）

~(1).t n - （5） X 与2

S 相互独立, 且 μ=)(X E , 2

2)(σ=S E , n

X D 2

)(σ=.

【例1】设总体2

~(,),X N μσ设12,,

,n X X X 是来自总体X 的一个样本, 且

221

()n

n i

i i X X S X

X n

===

-∑∑，求 21()n E X S .

【例2】设总体2

~(,),X N μσ 设12,,

,n X X X 是取自总体X 的一个样本, 且

,()1n

i i i i X X S X X n

n ===

=--∑

∑

，则 2()_________D S =.

【例3】设随机变量~()(1),X t n n >, 则 21

~________Y X

【例4】设总体X 服从正态分布)2,0(2N , 而1521,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本, 求随机变量

)

(22

152112

21X X X X Y ++++= 的分布.

【例5】设总体2~(,),X N μσ 设121,,

,,n n X X X X +是来自总体X 的一个样本, 且

,()()n

i i

i i X X S X

X n

===

-∑

∑，试求统计量

的分布. 二、参数估计

1. 矩估计

2. 最大似然估计

3. 区间估计

4. 估计量的评选标准

【例6】设总体12~(,)X U θθ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，试求12,θθ的矩估计和最大似然估计.

【例7】设总体X 的概率密度为

??<≤-<<=.,0,21,1,10,

),(其他x x x f θθθ

其中θ是未知参数)10(<<θ, n X X X ,,2,1 为来自总体X 的简单随机样本, 记N 为样本值n x x x ,,2,1 中小于1的个数, 求：（1）θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计.

高等数学教材(较完整)

目录一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：

大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

高等数学（通用复习）师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意第一章函数与极限函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：