基本方程的柱坐标形式

1.基本方程的柱坐标形式

在直角坐标系下,空间一点M 的位置是用三个坐标),,(z y x 表示的,而在柱

坐标系下,空间一点的位置用),,(z ?ρ表示。空间同一点的直角坐标与柱坐标之

间的关系为:

? cos ρx = ,?ρsin =y ,z z =

基本方程的柱坐标形式

如图所示。

若分别用 ω

γγγεεεττττττσσσ?ρρ?ρ??ρ?ρρ?ρρ???ρ,,;,,,,,;,,,,,u u z z z z z z z z ===表示柱坐标系下的应力分量、应变分量和位移分量、它们满足如下的方程:

平衡(运动)微分方程:

式1) )(012

21t u F z z ??=-??????++++ρρ?ρρ?ρρρρσστ?τρρσ )(0212

21t u F z z ??=??????++++??ρ???ρ?ρρττ?σρρτ )(012

21t F z z z z z z ??=??????++++ωρρτσ?τρρτρ?ρ 这里的)(,,Z F F F ?ρ表示单位体积的体力,等号右边括号内的1ρ为密度

几何方程:

式2) z

u u u z ??=+??=??=ωερ?ρερερ??ρρ,1,

z

u z ??+??=???ωργ1 ργρρ??+??=

w z u z ρ?ρργ?ρ?ρ?u u u -??+??=

1 应力与应变关系:

式3)ρρ

ελθσG 2+=

??ελθσG 2+= z z 2ελθσG +=

z z G ??γτ=

z z G ρργτ=

ρ?ρ?γτG =

z εεεθ?ρ++= 用)21)(1(νννλ-+=E 和)

1(2ν+=E G 代入上式,则又可表示为 式4) )21(1ρρεθν

ννσ+-+=E )21(1??εθν

ννσ+-+=E )21(1z Z εθνν

ννσ+-+= z z E ??γντ)

1(2+= z z E ρργντ)

1(2+=

ρ?ρ?γντ)

1(2+=E 对于轴对称问题,即当物体的几何形状、约束情况或所受其他外界因素都对称于某一轴(设想是z 轴)时则由于变形的对称性,有),(z u u ρρρ=,0=?u ,

),(z ρωω=。由式2和式3可

知,此时0======?ρρ???ρ??ττττγγz z z ,其余的应力分量、应变分量和位移分量仅是z ,ρ的函数,而与?无关。于是式1~式3简化为如下:

式5) )(02

21t u F z z ??=????+++-ρρ?ρρρρρσστρσ )(02

21t F z z z z z ??=????+++ωρρτσρτρρ

式6)z u u Z ??==??=

ωερερερ?ρρ,, ρ

γρρ??+??=

w z u z 式7))21(1ρρεθν

ννσ+-+=E )21(1??εθνννσ+-+=

E )21(1Z E Z εθν

ννσ+-+= z z E ρργντ)1(2+=

z εεεθ?ρ++=

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