基本方程的柱坐标形式

1.基本方程的柱坐标形式

在直角坐标系下，空间一点M 的位置是用三个坐标),,(z y x 表示的，而在柱

坐标系下，空间一点的位置用),,(z ?ρ表示。空间同一点的直角坐标与柱坐标之

间的关系为:

? cos ρx = ，?ρsin =y ，z z =

如图所示。

若分别用 ω

γγγεεεττττττσσσ?ρρ?ρ??ρ?ρρ?ρρ???ρ,,;,,,,,;,,,,,u u z z z z z z z z ===表示柱坐标系下的应力分量、应变分量和位移分量、它们满足如下的方程：

平衡（运动）微分方程：

式1） )(012

21t u F z z ??=-??????++++ρρ?ρρ?ρρρρσστ?τρρσ )(0212

21t u F z z ??=??????++++??ρ???ρ?ρρττ?σρρτ )(012

21t F z z z z z z ??=??????++++ωρρτσ?τρρτρ?ρ 这里的)(,,Z F F F ?ρ表示单位体积的体力，等号右边括号内的1ρ为密度

几何方程：

式2） z

u u u z ??=+??=??=ωερ?ρερερ??ρρ,1,

z

u z ??+??=???ωργ1 ργρρ??+??=

w z u z ρ?ρργ?ρ?ρ?u u u -??+??=

1 应力与应变关系：

式3）ρρ

ελθσG 2+=

??ελθσG 2+= z z 2ελθσG +=

z z G ??γτ=

z z G ρργτ=

ρ?ρ?γτG =

z εεεθ?ρ++= 用)21)(1(νννλ-+=E 和)

1(2ν+=E G 代入上式，则又可表示为 式4） )21(1ρρεθν

ννσ+-+=E )21(1??εθν

ννσ+-+=E )21(1z Z εθνν

ννσ+-+= z z E ??γντ)

1(2+= z z E ρργντ)

1(2+=

ρ?ρ?γντ)

1(2+=E 对于轴对称问题，即当物体的几何形状、约束情况或所受其他外界因素都对称于某一轴（设想是z 轴）时则由于变形的对称性，有),(z u u ρρρ=，0=?u ，

),(z ρωω=。由式2和式3可

知，此时0======?ρρ???ρ??ττττγγz z z ，其余的应力分量、应变分量和位移分量仅是z ,ρ的函数，而与?无关。于是式1～式3简化为如下：

式5） )(02

21t u F z z ??=????+++-ρρ?ρρρρρσστρσ )(02

21t F z z z z z ??=????+++ωρρτσρτρρ

式6）z u u Z ??==??=

ωερερερ?ρρ,, ρ

γρρ??+??=

w z u z 式7）)21(1ρρεθν

ννσ+-+=E )21(1??εθνννσ+-+=

E )21(1Z E Z εθν

ννσ+-+= z z E ρργντ)1(2+=

z εεεθ?ρ++=

麦克斯韦方程组浅析

麦克斯韦方程 摘要：本文对麦克斯韦方程组作了全面的分析和阐述，主要包括：麦克斯韦方程组的建立与推导，麦克斯韦方程组的表现形式及其意义，麦克斯韦方程组的应用等三个方面的内容。 关键词：麦克斯韦方程组 库仑定律 毕奥—萨伐尔定律 法拉第定律 引言：麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在1865年英国皇家学会上发表的《电磁场的动力学理论》中提出来的。麦克斯韦在全面深入的审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基础上，经过长达十年的研究后才得到的成果。可以说，麦克斯韦方程组概括了电磁场的基本性质和规律，构成完整的经典电磁场理论体系。它与洛伦磁力方程共同组成经典电磁学的基础方程，其重要性不言而喻。 一 、麦克斯韦方程组的建立与推导 1、麦克斯韦方程组的建立 麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，因此麦克斯韦方程组的建立过程实际上就是经典电磁学理论的建立过程。 到1845年，关于电磁现象的三个基本实验定律：库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律已经被总结出来，这为麦克斯韦方程组的建立提供了理论基础。此外，19世纪30年代，法拉第创造性的提出了场和场线的概念，结束了长期以来科学历史上关于超距作用与近距作用的争论。随后，场的思想逐渐完善，科学家们建立了较为成熟的电磁场概念，这对麦克斯韦的工作具有极大的帮助。 1855年，麦克斯韦开始了电磁学基础理论方面的研究。在随后的十年里，他相继发表了《论法拉第力线》、《论物理力线》、《电磁场的动力学理论》等三篇论文。麦克斯韦建立电磁理论的过程大致可分为三步：第一步，麦克斯韦分析总结了电磁学已有的成果，提出感生电场的概念；第二步，他设计了电磁作用的力学模型，对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释。第三步，他把近距作用理论引向深入，明确地提出了电磁场的概念，并且全面阐述了电磁场的含义，建立了电磁场的普遍方程即麦克斯韦方程组。【1】 2、麦克斯韦方程组的推导 我们先来考察一下库仑定律： r e F 2 00 14r q q πε= 因为q F E =，所以E = r e 2 004r q πε。 （1）电场高斯定律推导 (a) 对于真空中静止的单个点电荷，作任意的高斯面，电荷位于面内。则有：

高中数学1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教版选修4-4

四柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐 标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学? 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q,连接OR 记| OP |= r ，OP 与0Z 轴正 向所夹的角为 ，P 在oxy 平面的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转到 0Q 时所转过的最小 正角为 ，点P 的位置可以用有序数组 （r,,）表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系（或空间极坐标系） 有序数组（r,,）叫做点P 的球坐标，其中 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与球坐标（r, 2 x 2 y 2 2 z r x rsi n cos y r si n sin z r cos 2、柱坐标系 有序数组（p , 9 ,Z ）叫点P 的柱坐标，其中p 》0, 0 <9 <2n , z € R 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与柱坐标（p , 9 ,Z ）之间的变换关系为： x cos y sin r > 0, 0< < , o w v 2 。 ,）之间的变换关系为： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组 系叫做柱坐标系 Q 用（P , 9 ）（ P> 0,0 <0 <2n ）表示点在 （p , 9 ,Z ）表示把建立上述对应 关系的坐标

深入浅出讲解麦克斯韦方程组

深入浅出讲解麦克斯韦方程组 前一段时间给大家发过一篇《世界上最伟大的十个公式》，排在第一位的是麦克斯韦方程，它是电磁学理论的基础，也是相对论假定光速不变的依据，可见排在十大公式之首，理所应当！为了让大家更好地理解该方程，我们找到了一篇由孙研发表在知乎上的关于麦克斯韦方程的非常完美的讲解，呈现个大家。在文章的最后，我们还为大家附上了一段讲解麦克斯韦方程的英文动画视频，如果你英文比较好，不妨看一下。以下是正文： 有人要求不讲微积分来讲解一下麦克斯韦方程组？感觉到基本不太可能啊，你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。 1. 力、能、场、势 经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=m a这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。 在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。 一张图表明关系： 积分 力－－－＞能 ｜｜ 场＜－－－势 微分

麦克斯韦方程组(彩图完美解释版)

麦克斯韦方程组 关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。 麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。 它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。 在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。 该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。 麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是： 变化的磁场可以激发涡旋电场， 变化的电场可以激发涡旋磁场； 电场和磁场不是彼此孤立的， 它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场 （也是电磁波的形成原理）。 麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，

建立了完整的电磁场理论体系。 这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。 麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。 从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。 麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。 从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。 麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。 他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。 现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。 麦克斯韦方程组的地位 麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。

高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系学案含解析新人教A版选修4_4

1．柱坐标系 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有 之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得ρ2＝x 2＋y 2 ， 即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3， 又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8， 求 它的直角坐标． 直接利用公式求解．

由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． 已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标． 解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2， 故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离． 解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝ －1－ ＋－ ＋ － ＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2

柱坐标系与球坐标系的简介

四、柱坐标系与球坐标系简介 一、导学目标： 知识与技能:借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法; 过程与方法: 与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。 情感态度与价值观:：类比法的建立方法，蕴藏了对立统一的辩证唯物主义思想。 导学重点：柱坐标系、球坐标系概念的理解与应用 导学难点：用柱坐标、球坐标表示空间的点 二、导学策略： 教学方法：探究法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 三、教学过程： （一）、课程导入： 建立平面（或空间）直角坐标系后，平面上（或空间）的点可以用直角坐标表示；建立极坐标系后，平面上的点可以用极坐标表示。类似地，是否建立空间极坐标系，用极坐标表示空间的点呢？ （二）、新知探究： 1

2 1、阅读本节知识，回答以下问题： 1）柱坐标系的定义？如何用柱坐标系描述空间的点？ 2）球坐标系的定义？如何用球坐标系描述空间的点？ 2、探究结果： 1）、设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的 极坐标。点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示。 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z ＜+∞ 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部 分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： cos sin x y z z ρθρθ=?? =??=? 2）、设P 是空间任意一点，在oxy

麦克斯韦方程的理解

.麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。麦克斯韦的四个方程分别表达了:电荷是如何产生电场的（高斯定理）；验证了磁单极子的不存在（高斯磁场定律）；电流和变化的电场是怎样产生磁场的（安培定律），以及变化的磁场是如何产生电场（法拉第电磁感应定律）。 1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程组，由20个等式和20个变量组成。他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。当代使用的数学表达式是由奥利弗·亥维赛和威拉德·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的 二.国际单位制下的麦克斯韦方程组 在国际单位制下，真空中的麦克斯韦方程组（微分形式）可以表示成： 介质中的麦克斯韦方程组可以表示成： 另外，还有两个辅助方程经常用到： 其中， ?是电通量密度（单位:库伦/平方米，C/m2）； ?是磁通量密度（单位:特斯拉，T），也称磁感强度； ?是电场强度（单位:伏特/米，V/m）； ?是磁场强度（单位:安/米，A/m）； ?ρ是自由电荷体密度（单位:库伦/立方米，C/m3）； ?是自由电流面密度（单位:安/平方米，A/m2）；

?是真空介电常数； ?μ0是真空磁导率； ?是介质的极化强度； ?是介质的介电常数； ?是介质的相对介电常数； ?是介质的磁化强度； ?μ是介质的磁导率； ?μr是介质的相对磁导率。 三.麦克斯韦方程组的含义 第一个方程表示电场是有源的。（单位电荷就是它的源） 第二个方程表示变化的磁场可以产生电场。（这个电场是有旋的） 第三个方程表示磁场是无源的。（磁单极子不存在，或者说到现在都没发现） 第四个方程表示变化的电场可以产生磁场。（这个磁场是有旋的） 2009-12-115:25上传 提起电磁波，我们脑海里立刻会浮现出众多科学家的身影，库仑，安培，法拉第，赫姆赫兹，但是，缔造这个帝国大厦的三个代表性人物绝对是麦克斯韦（Maxwell），赫兹(Hertz)和马可尼。其中，麦克斯韦奠定了电磁场的理论基础，人们把他称为电磁波之父。麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）。

柱坐标系与球坐标系的简介第一八版

四、 柱坐标系与球坐标系简介 一、导学目标： 知识与技能: 借助具体实例了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法; 过程与方法: 与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。 情感态度与价值观:：类比法的建立方法，蕴藏了对立统一的辩证唯物主义思想。 导学重点：柱坐标系、球坐标系概念的理解与应用 导学难点：用柱坐标、球坐标表示空间的点 二、导学策略： 教学方法：探究法、讲授法 教学手段：多媒体辅助教学 三、教学过程： （一）、课程导入： 建立平面（或空间）直角坐标系后，平面上（或空间）的点可以用直角坐标表示；建立极坐标系后，平面上的点可以用极坐标表示。类似地，是否建立空间极坐标系，用极坐标表示空间的点呢？ （二）、新知探究： 1、阅读本节知识，回答以下问题： 1）柱坐标系的定义？如何用柱坐标系描述空间的点？ 2）球坐标系的定义？如何用球坐标系描述空间的点？ 2、探究结果： 1）、设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的 极坐标。点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示。 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z ＜+∞ 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间 直角坐标系中的一部 分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： cos sin x y z z ρθρθ=??=??=? 2）、设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影 为Q 。连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所 夹的角为φ，P 在oxy 平面的射影为Q 。 Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为 θ，点P 的位置可以用有序数组(r,φ,θ)表示，我们把 建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标，其中， 0,0,02r ?πθπ≥≤≤≤< 。 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为：

柱坐标系与球坐标系

柱坐标系与球坐标系 1、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面oxy 上的极坐标， 点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z ＜+∞ 2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系 及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为： 3 应用：例1：设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标. 解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为 （ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 练习： 1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 3，柱坐标系： r 为常数 圆柱面 半平面 平 面 x y z o P(ρ,θ,Z) Q θ 4π?? ???===z z y x θρθρsin cos ?? ???===z 1sin 1cos 1θρθρ224π?),,(z y x M ),(θr P ?θr z x y z o 点在柱坐标系中的坐标为(2,,1)4π求它的直角坐标。的柱坐标为、设点),7,6,2(2πM (3,1,7) 为常数θ为常数z

球坐标系 1，球坐标系： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为φ. 设P 在oxy 平面上的射影为Q ， Ox 轴按逆时 针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示. 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标， 2 , 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为； 3 应用：例：设点的球坐标为(2， ， ) 求它的直角坐标.？ 点在直角坐标系中的坐标为（ －1 ，1 ，－ ）. 4 小结： 数轴 平面直角坐标系 坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化， 从而产生了坐标法. y o P Q X Z 其中 πθπ?20,0,0<≤≤≤≥r x y z o P(r,φ,θ) Q θ r φ 称为高低角 －的方位角，被测点称为 球坐标中的角应用，在测量实践中，文学中有着广泛的球坐标系在地理学、天 ?θ?θ090),,(r P ?? ???===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x 43π43π22222r z y x =++） ，，（为直角坐标。 、将下列点的球坐标化例65381ππM

麦克斯韦方程组的理解

麦克斯韦方程组的积分形式： 麦克斯韦方程组的积分形式: (in matter) 这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。 其中：（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献。 （2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。 （3）描述了变化的磁场激发电场的规律。 （4）描述了变化的电场激发磁场的规律。 变化场与稳恒场的关系： 当 变化场与稳恒场的关系 时， 方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程： (in matter) 在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式：

(in matter) 麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。 编辑本段 微分形式 麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法，可得： (in matter) 注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。 (2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系： 在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。 编辑本段 科学意义 (一)经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电

柱坐标系与球坐标系简介教案

四 柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ?θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?? ???===z z y x θ ρθρsin cos

简析麦克斯韦方程组的意义与地位

成绩 论文题目简析麦克斯韦方程组的意义与地位 课程名称大学物理 任课老师贾艳华 班级水利与土木工程学院能动141班 学号1409080210 姓名王丹阳

摘要 麦克斯韦方程组的建立于物理学理论的统一起到了重要作用。这组公式融合了电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。比较的谦虚的评价是：“一般地，宇宙任何的电磁现象，皆可由此议程组解释。”到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。也正是因为这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名的“大一统理论”。爱因斯坦直到去世都没走出这个难题，可见其思维上一生都深受麦克斯韦的影响。 关键词：麦克斯韦方程组、意义、地位 目录 摘要 (2) 目录 (2) 绪言 (3) 背景 (3) 麦克斯韦方程 (3) 麦克斯韦方程组的特点 (4) 麦克斯韦方程组的意义 (4) 划时代的大统一 (5) 参考文献 (5)

绪言 电现象与磁现象很早就被人们所发现，但是电和磁的本质以及它们之间的关系直到19世纪麦克斯韦方程组产生后才真正为人们所了解，麦克斯韦方程组建立了电荷、电流和电场之间的普遍联系，麦克斯韦方程组的产生是19世纪物理学上最伟大的成就之一，意义非常重大爱因斯坦在《麦克斯韦对物理实在观念发展的影响》一文中写到“自从牛顿奠定理论物理学的基础以来，物理学的公理基础——换句话就是我们关于实在的结构的概念——的伟大的变革是由法拉第和麦克斯韦在电磁现象方面的工作所引起的”。[1]本文将通过对麦克斯韦方程组于电磁学方面影响的分析，说明麦克斯韦方程组是物理学的基础，从而阐述了麦克斯韦方程组是电磁学理论的高度浓缩，论证了它在物理学中的核心地位。 背景 麦克斯韦是在前人的基础上，把由实验得出的电磁学规律加以总结和推广而得出他的方程组的。他的推广有两个方面:其一是假定变化的电场(位移电流)产生磁场，从而把安培环路定理加以推广，使之包括位移电流;其二是假定变化的磁场产生电场，从而把法拉第电磁感应定律由导体回路中产生感应电动势推广到一般情况[2]。 到1845年，关于电磁现象的三个基本实验定律：库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律已经被总结出来，这为麦克斯韦方程组的建立提供了理论基础。此外，19世纪30年代，法拉第创造性的提出了场和场线的概念，结束了长期以来科学历史上关于超距作用与近距作用的争论。随后，场的思想逐渐完善，科学家们建立了较为成熟的电磁场概念，这对麦克斯韦的工作具有极大的帮助。 1855年，麦克斯韦开始了电磁学基础理论方面的研究。在随后的十年里，他相继发表了《论法拉第力线》、《论物理力线》、《电磁场的动力学理论》等三篇论文。麦克斯韦建立电磁理论的过程大致可分为三步：第一步，麦克斯韦分析总结了电磁学已有的成果，提出感生电场的概念；第二步，他设计了电磁作用的力学模型，对已经确立的电学量和磁学量之间的关系给以物理解释。第三步，他把近距作用理论引向深入，明确地提出了电磁场的概念，并且全面阐述了电磁场的含义，建立了电磁场的普遍方程即麦克斯韦方程组。[3] 麦克斯韦方程 方程组的微分形式 ?·D = ρ ?×E =- B t ?? ?·B =0 ?×H = j + D t ?? 式中ρ是自由电荷的体密度，j是传导电流密度； D t ? ? 称为位移电流密度。通常所说 的麦克斯韦方程组，大多指其微分形式。它是描述各点的电磁场的方程组。 方程组的积分形式

麦克斯韦方程组与电磁学感悟

麦克斯韦方程组与电磁学感悟 通信四班叶萌 1006020425 摘要 麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。 关键词：麦克斯韦电磁场理论电磁波 历史背景与提出过程 1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。 法拉第用直观、形象、自然的语言表述的物理观念发表之后，由于没有严密的数学论证，仅有少数理论物理学家对它表示欢迎，而大多数都认为缺乏理论的严谨性。麦克斯韦非常钦佩法拉第的思想，把法拉第天才的观念用清晰准确的数学形式表示出来，使之更具有深刻性和普遍性。 麦克斯韦与法拉第不同，他是一位极优秀的数学家，具有很高的数学天赋，早年的兴趣主要在纯数学方面，他是英国著名数学家霍普金斯(W，H“妙ins)的研究生，在这位数学家的指导下，不到三年就基本上掌握了当时所有先进的数学方法，成为一名有为的青年数学家，并且，麦克斯韦在他的直接影响下，很注重数学的应用，这一点对日后完成电磁场理论无疑是很关键的。 麦克斯韦本着为法拉第观念提供数学方法的思想，认真分析了法拉第的场和力线，同时考察了诺伊曼和所发展起来的超距作用的电磁理论，发现“其假设中所包含着的机制上的困难”决定从“另一方面寻找对事实的解释”。他继承了法拉第的场观念和近距作用J思想，于1855年发表了其电磁学的第一篇重要论文一一《论法拉第的力线》。采用几何观点，类比流体力学理论，对法拉第的场作了精确的数学处理，

人教A版高中数学选修4-4同步练习-柱坐标系与球坐标系简介

第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介 A 级 基础巩固 一、选择题 1．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的( ) A ．以x 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 B ．以y 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 C ．以z 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 D ．以原点为球心，半径为2的球面 解析：由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z 轴为中心，底面半径为2的圆柱面． 答案：C 2．若点M 的球坐标为? ?? ?? 8，π3， 5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6，23，4) B ．(6，23，4) C ．(－6，－23，4) D ．(－6，23，－4) 解析：由x ＝8sin π3cos 5π 6＝－6， y ＝8sin π3sin 5π 6 ＝23， z ＝8cos π 3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4)． 答案：A 3．设点M 的直角坐标为(2，0，2)，则点M 的柱坐标为( )

A ．(2，0，2) B ．(2，π，2) C ．(2，0，2) D ．(2，π，2) 解析：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 所以ρ＝x 2 ＋y 2 ＝2，tan θ＝y x ＝0， 所以θ＝0，z ＝2，所以点M 的柱坐标为(2，0，2)． 答案：A 4．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0，0，0)的对称的点P 的坐标为(0<θ≤π)( ) A ．(－ρ，－θ，－z ) B ．(ρ，θ，－z ) C ．(ρ，π＋θ，－z ) D ．(ρ，π－θ，－z ) 解析：点P (ρ，θ，z )关于点O (0，0，0)的对称点为P ′(ρ，π＋θ，－z )． 答案：C 二、填空题 5．空间点P 的柱坐标为? ?? ??6，π 3，4，则点P 关于z 轴的对称点 为________． 答案：? ?? ??6，4π 3，4 6．已知点M 的球坐标为? ???? 4，π4，3π4，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________． 答案：(－2，2，22) ? ?? ??22，3π4，22 7．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为? ?? ??2，2π 3，5，且点M 在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________．

麦克斯韦方程组 电磁场

第十四章 麦克斯韦方程组 电磁场 第一节 位移电流 19世纪以前，人们曾认为电和磁是互不相关联的两种东西。自从发现了电流的磁效应，人们开始注意到电流（运动电荷）与磁场之间的相互关系，可是很长时间只能看到电流产生磁场，而不能做到磁场产生电流，更谈不上揭示电场与磁场之间的关系。法拉第发现的电磁感应定律，不仅实现了磁生电，还进一步揭示了变化磁通与感应电动势的关系。麦克斯韦在前人实践和理论的基础上，对整个电磁现象做了系统的研究，提出了感生电动势来源于变化磁场所产生的涡旋电场，指出了“变化磁场产生电场”的磁场与电场之间的联系。在研究安培环路定律用于时变电流电路的矛盾之后，他又提出了位移电流的假说，不仅将安培环路定律推广到时变电路中，还进一步指出了“时变电场也产生磁场”的电场与磁场之间的联系。在此基础上，麦克斯韦总结出将电磁场统为一体的一组方程式，即所称的麦克斯韦方程组，该方程组不仅可以描述时变的电磁场，而且覆盖了静态的电磁场。麦克斯韦方程组表明，不仅电荷会产生电场，而且变化的磁场也会产生电场；不仅电流会产生磁场，而变化电场也同样会产生磁场。由此麦克斯韦推断，一个电荷或电流的扰动就会形成在空间传播并相互激发的电场、磁场的波动即电磁波。麦克斯韦不仅预言了电磁波的存在（1865年）而且还计算出电磁波的传播速度等于光速。由此，麦克斯韦将光和电磁波统一在一个理论框架下。1888年赫兹首次用实验证实了电磁波的发生与存在。以后的大量实验充分证明了麦克斯韦理论的正确性。 麦克斯韦关于电磁场的理论可以概述为“四个方程、三个关系（电介质、磁介质及导体中的场量关系）、两个假说、一个预言”，它们是宏观电动力学的理论基础。 1．位移电流、全电流 麦克斯韦将安培环路定理运用于含电容的交变电路中时，发现了一个突出的矛盾，为了解决这个矛盾，麦克斯韦提出了位移电流的假说。 稳恒电流磁场的安培环路定理具有如下形式： d d L S H l I j s ?==??? 式中j 为传导电流密度，I 是穿过以闭合曲线L 为边线的任意曲面的传导电流强度（电流密度通量）。例如在图8-1a 的稳恒电路中，穿过L 为边线的曲面S 1、S 2的电流I 是相同的。 在图8-1b 所示的含电容C 的交变电流电路中，如果将安培环路定理应用于闭合曲线L ， 于是对S 1 面有1d d L S H l j s i ?=?=?? 而对S 2有: 2d d 0L S H l j s ?=?=?? 上面两式是互相矛盾的。这表明，在稳恒情况下得到的磁场环路定理式（8.1），一般地不能应用到可变电流（非稳恒）的情况。那么，在非稳恒情况下磁场强度的环流应该是一

第十三章电磁场与麦克斯韦方程组习题解答和分析

第十三章习题解答 13-1 如题图13-1所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面，且导线框的一个边与长直导线平行，到两长直导线的距离分别为r 1，r 2。已知两导线中电流都为0sin I I t ω=，其中I 0和ω为常数， t 为时间。导线框长为a 宽为b ，求导线框中的感应电动势。 分析：当导线中电流I 随时间变化时，穿过矩形线圈的磁通量也将随时间发生变化，用法拉第电磁感应定律d d i t Φ ε=- 计算感应电动势，其中磁通量s B d S Φ=?，B 为两导线产生 的磁场的叠加。 解：无限长直电流激发的磁感应强度为02I B r μ= π。取坐标Ox 垂直于直导线，坐标原点取在 矩形导线框的左边框上，坐标正方向为水平向右。取回路的绕行正方向为顺时针。由场强的 叠加原理可得x 处的磁感应强度大小 00122() 2() I I B r x r x μμ= + π+π+， 垂直纸面向里 通过微分面积dS adx =的磁通量为 00122()2()I I d B dS B dS adx r x r x μμππ?? Φ===+??++?? 通过矩形线圈的磁通量为 ~ 000122()2()b I I adx r x r x μμΦ??=+??π+π+?? ? 012012ln ln sin 2a r b r b I t r r μω? ?++= + ?π?? 感生电动势 012012012012d ln ln cos d 2()()ln cos 2i a r b r b I t t r r a r b r b I t r r μωΦ εωμωω??++=- =-+ ?π???? ++=- ??π?? 0i ε>时，回路中感应电动势的实际方向为顺时针；0i ε<时，回路中感应电动势的实际方 向为逆时针。 题图13-1 题图13-2

球坐标系与柱坐标系

4.1.3球坐标系与柱坐标系 1．球坐标系、柱坐标系的理解． 2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化． [基础·初探] 1．球坐标系与球坐标 (1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系． 图4-1-5 (2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P 的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π. 2．直角坐标与球坐标间的关系 图4-1-6 若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox 轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．

x 2＋y 2＋z 2＝r 2， x ＝r sin_θcos_φ， y ＝r sin_θsin_φ， z ＝r cos_θ. 3．柱坐标系 建立了空间直角坐标系O -xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R . 图4-1-7 4．直角坐标与柱坐标之间的关系 ??? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，z ＝z . [思考·探究] 1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？ 【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成． 2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？

麦克斯韦方程组电磁场

麦克斯韦方程组电磁场

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第十四章 麦克斯韦方程组 电磁场 第一节 位移电流 19世纪以前，人们曾认为电和磁是互不相关联的两种东西。自从发现了电流的磁效应，人们开始注意到电流（运动电荷）与磁场之间的相互关系，可是很长时间只能看到电流产生磁场，而不能做到磁场产生电流，更谈不上揭示电场与磁场之间的关系。法拉第发现的电磁感应定律，不仅实现了磁生电，还进一步揭示了变化磁通与感应电动势的关系。麦克斯韦在前人实践和理论的基础上，对整个电磁现象做了系统的研究，提出了感生电动势来源于变化磁场所产生的涡旋电场，指出了“变化磁场产生电场”的磁场与电场之间的联系。在研究安培环路定律用于时变电流电路的矛盾之后，他又提出了位移电流的假说，不仅将安培环路定律推广到时变电路中，还进一步指出了“时变电场也产生磁场”的电场与磁场之间的联系。在此基础上，麦克斯韦总结出将电磁场统为一体的一组方程式，即所称的麦克斯韦方程组，该方程组不仅可以描述时变的电磁场，而且覆盖了静态的电磁场。麦克斯韦方程组表明，不仅电荷会产生电场，而且变化的磁场也会产生电场；不仅电流会产生磁场，而变化电场也同样会产生磁场。由此麦克斯韦推断，一个电荷或电流的扰动就会形成在空间传播并相互激发的电场、磁场的波动即电磁波。麦克斯韦不仅预言了电磁波的存在（1865年）而且还计算出电磁波的传播速度等于光速。由此，麦克斯韦将光和电磁波统一在一个理论框架下。1888年赫兹首次用实验证实了电磁波的发生与存在。以后的大量实验充分证明了麦克斯韦理论的正确性。 麦克斯韦关于电磁场的理论可以概述为“四个方程、三个关系（电介质、磁介质及导体中的场量关系）、两个假说、一个预言”，它们是宏观电动力学的理论基础。 1．位移电流、全电流 麦克斯韦将安培环路定理运用于含电容的交变电路中时，发现了一个突出的矛盾，为了解决这个矛盾，麦克斯韦提出了位移电流的假说。 稳恒电流磁场的安培环路定理具有如下形式： d d L S H l I j s ?==??? 式中j 为传导电流密度，I 是穿过以闭合曲线L 为边线的任意曲面的传导电流强度（电流密度通量）。例如在图8-1a 的稳恒电路中，穿过L 为边线的曲面S 1、S 2的电流I 是相同的。 在图8-1b 所示的含电容C 的交变电流电路中，如果将安培环路定理应用于闭合曲线L ，于是对S 1 面有 1d d L S H l j s i ?=?=?? 而对S 2有: 2 d d 0L S H l j s ?=?=?? 上面两式是互相矛盾的。这表明，在稳恒情况下得到的磁场环路定理式（8.1），一般地不能应用到可变电流（非稳恒）的情况。那么，在非稳恒情况下磁场强度的环流应该是一

麦克斯韦方程组的推导及说明

13-6 麦克斯韦方程组 关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理： 静电场的高斯定理： 静电场的环路定理： 稳恒磁场的高斯定理： 磁场的安培环路定理： 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。 麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法 拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即 上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。 2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即 上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。 综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在 一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为 又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间 任一点的磁感强度应该表示为 因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律， 根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。变化电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系 列的闭合曲线。通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有： 2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是 3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。因此，磁场的高斯定理仍适用，即