1. .函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数;
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 注:如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数.
注:若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则)()(a x f a x f +-=+. 注:对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2
b
a x +=
;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=
对称. 注:若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a
对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期
为a 2的周期函数.
3. 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. 4. 两个函数图象的对称性
1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =?=-)()(1.
27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11
b x f k
y -=
-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数
)([1b kx f y +=-是])([1
b x f k
y -=
的反函数. 6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x
f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+, 0
()
(0)1,lim
1x g x f x
→==. 7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; 2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(()(1
)(≠=+x f x f a x f ,或1()()
f x a f x +=-(()0)f x ≠, 或
[]21
()()(),(()0,1)2
f x f x f x a f x +-=+∈,则)(x f 的周期T=2a ;
3))0)(()
(1
1)(≠+-
=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ;
4))
()(1)
()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<,则)(x f 的周期T=4a ;
5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++ ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ; 6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a.
8. 分数指数幂 (1)1
m n
n
m
a
a =
(0,,a m n N *
>∈,且1n >). (2)1m n
m n
a
a
-
=
(0,,a m n N *>∈,且1n >).
9. 根式的性质 (1)()n n a a =.(2)当n 为奇数时,n n a a =; 当n 为偶数时,,0
||,0n
n a a a a a a ≥?==?-
.
10. 有理指数幂的运算性质
(1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r
ab a b a b r Q =>>∈.
注:若a >0,p 是一个无理数,则a p
表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.
34.对数的换底公式
log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).
11. 对数的四则运算法则 若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则
12. (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 注:设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42
-=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验.
13. 对数换底不等式及其推论 若0a >,0b >,0x >,1
x a
≠,则函数log ()ax y bx =
当a b >时,在1(0,)a 和1
(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.
当a b <时,在1(0,)a 和1
(,)a
+∞上log ()ax y bx =为减函数.
推论:设1n m >>,0p >,0a >,且1a ≠,则 (1)log ()log m p m n p n ++<.(2)2log log log 2
a a a m n m n +<.
2011高中总复习数学函数与导数专题练习
一、选择题
1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A∩(
B)等于( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{3}
D.{1,3}
2.设有三个命题,甲:相交直线l 、m 都在平面α内,并且都不在平面β内;乙:直线l 、m 中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.那么,当甲成立时( ) A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 C.乙是丙的充分且必要条件
D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 3.已知命题p :“|x -1|>2”,命题q :“x ∈Z ”,如果“p 且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x 为( ) A.{x|x≥3或x≤-1,x ?Z } B.{x|-1≤x≤3,x Z } C.{-1,0,1,2,3} D.{0,1,2}
4.有限集合 S 中元素的个数记作card(S),设 A,B 都为有限集合,给出下列命题,其中真命题的序号是( ) ①A∩B=φ的充要条件是card(A ∪B)=card(A)+card(B) ②A ?B 的必要条件是card(A)≤ card(B) ③A ?B 的充分条件是c ard(A)≤card(B) ④A=B 的充要条件是card(A)=card(B) A.③④ B.①② C.①④ D.②③
5.(理)已知集合A={t|使{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R },B={t|使{x|x 2+2tx-2t=0}≠φ},其中x ,t ∈R ,则A∩B 等于( ) A.[-3,-2] B.(-3,-2) C.(-3,-2) D.(-∞,0)∪[2,-∞) (文)已知集合M={(x,y )|y-1=k(x-1),x 、y ∈R },集合N={(x,y)|x 2+y 2-2y=0,x 、y ∈R },那么M∩N 中( ) A.恰有两个元素 B.恰有一个元素 C.没有元素 D.至多有一个元素
6.已知f(x)=-2
4x -在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( ) A.[-2,2] B.[-2,0] C.[0,2] D.(-2,2)
7.设函数f(x)=???>≤++.0,
2,
0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.(理)已知x ∈(-∞,1)时,不等式1+2x +(a-a 2)4x >0恒成立,则a 的取值范围是( ) A.(-1,14) B.(-12,32) C.(-∞,14] D.(-∞,6]
(文)函数f(x)=ax 2-(3a-1)x+a 2在区间(1,+∞)上是增函数,那么实数a 的取值范围是( ) A.[0,1] B.(-∞,-1) C.{-1} D.(-∞,5] 9.若x<0,则函数y=x 2+
2
1x -x-x 1的最小值是( ) A.-94 B.0 C.2 D.4
10.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x 2+1,值域为{5,19}的“孪生函数”共有( )
A.10个
B.9个
C.8个
D.7个 11.已知函数f(x)=log 2x,F(x,y)=x+y 2,则F (f(
4
1
),1)等于( )
A.-1
B.5
C.-8
D.3
12.(理)指数函数f(x)=a x (a >0,且a≠1)的图象如图所示,那么方程[f -1(x)]2-2f -1(x)-3=0的解集为( )
A.{-1,3}
B.{
27
1
,3} C.{271} D.{3
1,27}
(文)已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f -1(x)的图象是( )
13.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈[0,2π]时,f(x)=sinx ,则f(3
5π
)的值为( ) A.-
21 B.21 C.-23 D. 2
3
14.函数y=(21)x
与函数y=-16
2x 的图象关于( )
A.直线x=2对称
B.点(4,0)对称
C.直线x=4对称
D.点(2,0)对称
15.已知函数f(x)=???≥<,1x,log 1,
x 1),-0.5)(x -(a a
x 在(-∞,+∞)内是减函数,则a 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,0.5)
C.(-∞,0.5)
D.(0.5,1) 16.函数f(x)=
3
2x 3
-2x+1在区间[0,1]上是( ) A.单调递增的函数 B.单调递减的函数 C.先减后增的函数 D.先增后减的函数 17.曲线y=3
1x 3-x 2
+5在x=1处的切线的倾斜角是( ) A.
6π B.3π C.4π D.34
π
18.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 19.下列图象中,有一个是函数f(x)=
3
1x 3+ax 2+(a 2
-1)x+1(a ∈R ,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)等于( )
A.
31 B.-31 C.37 D.-31或3
5 20.点P 的曲线y=x 3-x+3
2
上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )
A.[0,2π]
B.[0,2π]∪[43π,π]
C.[43π,π]
D.(2π,4
3π]
21.已知f(x)=-x 3-x,x ∈[m,n ]且f(m)·f(n)<0,则方程f(x)=0在区间[m,n ]上( ) A.至少有三个实数根 B.至少有两个实根 C.有且只有一个实数根 D.无实根
22.函数f(x)的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与y=log 2
1
x 的图象重合,则f(x)是( ) A.y=2-x B.y=2log 4x C.y=log 2(x+1) D.y=
2
1·4x 23.已知函数 f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=
x
x f )
(在间(1,+∞)上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 24.已知函数f(x)=x 2(ax+b)(a,b ∈R )在x=2时有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行,则函数f(x)的单调减区间为( )
A.(-∞,0)
B.(0,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,+∞)
25.设点P 是曲线:y=x 3-3x+b(b 为实常数)上任意一点,P 点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( )
A.[32
π,π] B.(2π,6
5π)
C.[0,
2π]∪[6
5π,π]
D.[0,
2π)∪[3
2π,π)
二、填空题
26.下列判断:(1)命题“若q 则p”与命题“若」p 则」
q”互为逆否命题;(2)“am 2 27.(理)已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③,则实数m 的取值范围是___________. (文)已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,若在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_______________. 28.已知定义在区间[0,1]上的函数y=f(x),图象如图所示.对满足0<x 1<x 2<1的任意x 1,x 2,给出下列结论: ①f(x 1)-f(x 2)>x 1-x 2; ②x 2f(x 1)>x 1f(x 2); ③ 2)()(21x f x f +<f(2 2 1x x +). 其中正确结论的序号是________________(把所有正确结论的序号都填上). 29.若函数y=f(x)=ax 3-bx 2+cx 的图象过点A(1,4),且当x=2时,y 有极值0,则f(-1)=_______. 30.写出一个函数的解析式f(x)=_________,使它同时满足下列条件:①定义域为R ,②是偶函数,③值域是(0,1],④不是周期函数.(只写出满足条件的一个答案即可) 三、解答题 31.在M={x||x-1|>4},P={x|x 2+(a-8)x-8a≤0}的前提下: (1)求a 的一个值,使它成为M∩P={x|5 32.在等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,若S m ,S m+2,S m+1成等差数列,则a m ,a m+2,a m+1成等差数列. (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真,并给出证明. 33.已知函数f(x)=4x 2-4ax+a 2-2a+2在[0,2]上有最小值3,求a 的值. 34.已知对于x 的所有实数值,二次函数f(x)=x 2-4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的,求关于x 的方程2 +a x =|a-1|+2的根的取值范围. 35.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数,当x≤0时,f(x)=193x +x -2 1 . (1)判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性; (2)求y=f(x)的值域; (3)求不等式f(x)> 3 1 的解集. 36.定义在(-1,1)上的函数f(x),①对任意x ,y ∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f(xy y x ++1);②当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,回答下列问题: (1)判断f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; (3)(理)若f( 51)=21,试求f(21)-f(111)-f(19 1 )的值. 37.已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ,g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0) (1)若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行,求a 的值; (2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根,求a 、b 的值;并求此时函数y=f(x)的单调区间. 38.一水渠的横截面如下图所示,它的横截面曲线是抛物线形,AB 宽2m ,渠OC 深为1.5m ,水面EF 距AB 为0.5m. (1)求截面图中水面宽度; (2)如把此水渠改造成横截面是等腰梯形,要求渠深不变,不准往回填土,只准挖土,试求截面梯形的下边长为多大时,才能使所挖的土最少? 39.已知平面向量a=( 23,-2 1 ),b=(21,23). (1)证明:a ⊥b; (2)若存在不为零的实数t,x,y,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x 2)b,且c ⊥d,试求函数y=f(x)的表达式; (3)若t ∈[6,+∞],当f(x)在区间[0,1]上的最大值为12时,求此时t 的值. 40.(理)已知函数f(x)= b x ax +2,在x=1处取得极值为2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在区间(m ,2m +1)上为增函数,求实数m 的取值范围; (3)若P (x 0,y 0)为f(x)= b x ax +2图象上的任意一点,直线l 与f(x)=b x ax +2 的图象相切于点P ,求直线l 的斜率的取值范围. (文)已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12. (1)求f(x)-f(0)的表达式; (2)若对任意的x ∈[-1,4],都有f(x)>f′(x)成立,求f(0)的取值范围. 高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案 一、选择题 1. D 解析:∵B={1,3,4},∴A∩( B)={1,3}. 2. C 解析:乙成立时,平面α、β有交点,即丙成立;当丙成立时,若直线l 、m 均不相交,则l 、m 与平面α、β的交线平行,此时l ∥m ,与甲矛盾,故乙也成立,即乙是丙的充要条件. 3. C 解析:∵“p 且q”与“非q”同时为假命题?p 为假,q 为真,又|x-1|>2?x<-1或x>3, ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ,即x=-1,0,1,2,3. 4. B 解析:令A={1},B={2},则card(A)=card(B),故④为假,排除A 、C ;又令A={1},B={1,2},则car d(A)≤card(B),A ?B ,排除③,故选B. 5.(理)B 解析:{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解, 故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3 故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0, ∴B={t|t≤-2或t≥0},A∩B=(-3,-2]. (文)A 解析:直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点(1,1)且斜率存在,故直线与圆相交(不相切),即选A. 6. B 解析:∵-4-x 2∈[-2,0],∴M ?[-2,0],故选B. 7. C 解析:?? ?-=-=-2 )2() 0()4(f f f ?f(x)=x 2+4x+2(x≤0),f(x)=x ?x=2,-1,-2. 8.(理)B 解析:设t=2x ,t ∈(0,2],则1+2x +(a-a 2)4x >0?a 2-a< 2 1t t +=(t 1+21)2-41 . ∵t ∈(0,2),t 1∈[ 2 1 ,+∞], ∴(t 1+21)2-41∈[4 3,+∞], ∴ a 2-a<43?-21 3 . (文)A 解析:令a=-1,则f(x)=-x 2+4x+1,易知不满足题意,排除B 、C 、D ,选A. 9. D 解析:y=(x+ x 1)2-(x+x 1)-2=(x+x 1-21)2-49,令t=x+x 1, 因x<0,故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在(-∞,-2)递减,∴ y min =(-2-21)2-4 9=4. 10. B 解析:令2x 2+1=5,则x=±2;令2x 2+1=19,则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素,故定义域有)()(2 21 22 21 2C C C C +?+×=9种,即“孪生函数”有9个. 11. A 解析:f( 41)=log 241=-2,F(f(4 1 ),1)=F(-2,1)=-2+1=-1. 12.(理) B 解析:f(x)=( 31)x ,f -1(x)=3 1log x ,由原方程得 f -1(x)=-1或3,故x=3或271 . (文)D 解析:根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析:f(5 35π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin 3π=2 3. 14. D 解析:设点(x 0,y 0)是y=( 2 1)x 图象上的点,关于点(2,0)对称点为(x,y ),则x 0=4-x,y 0=-y, 又y 0=(21)x0,故-y=(21)4-x ,即y=-2x-4 =-16 2x ,故选D. 15. B 解析:?? ?<<<-1 00