初中几何 第二册 第三章
初中几何 第二册 第三章
第五单元 直角三角形
一.教法建议 【抛砖引玉】
本单元向同学们介绍勾股定理这个古老的数学问题，2000多年前我们的祖先对其就有专门研究，并取辉煌成就。这是中华民族自毫，炎黄子孙的骄傲，今天我们又来学习这个问题──勾股定理，它是几何中最重要的定理之一，勾股定理反映了一个直角三角形三边之间关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，由勾股定理及逆定理，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足c 2=a 2+b 2）。它把形与数密切地联系起来，拓宽了视野。勾股定理是解直角三角形的主要根据之一，在生产生活实际中用处很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。为此，我们对它进行专门的学习与研究，并向同学们介绍一种面积证法，即同一种图形用两种面积关系式表示，列出关系式，使问题得到解决。例如：直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边及斜边上的高分别c 、h ，其面积为s △ ，则有
s ab ch ab ch ?==?=121
2
这个问题同学们在小学已不陌生，应用这种面积思维几何问题又熠熠生辉。我们祖先发现：图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变，利用计算可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法，也是我国古代证明几何题常用方法。如何掌握及应用面积法，要认真观察图形，发现它的图形整体特征及分割后的图形特征或拼凑（割补）成不同图形的特征，分别用面积公式表示出来，再找出面积相等关系，列出等式，计算一下，便达目的。教学必须紧紧扣住这一点，用面积法证明勾股定理就迎刃而解。再通过生产生活实际问题引导同学们用勾股定理去解决，以强化勾股定理的应用。
把勾股定理的题设和结论交换（一对一的交换），可以得到它的逆命题，能够证明这个命题是真命题，即“勾股定理的逆定理”，它是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，与前面学过的判定方法（直角三角形定义或两直角边互相垂直）不同，它需要通过代数方法“算”出来。这点在教学中通过实例与练习让同学们弄清楚用代数法证几何问题妙处，进一步开阔学生眼界。 【指点迷津】
勾股定理及其应用是本单元重点之一。采取面积法证明勾股定理有些陌生。为此，应复习小学学习过的面积公式，如直角形面积公式，正方形面积公式，长方形面积公式等，并复习小学学过的用拼凑法证明平行四边形面积公式等。然后再研究用面积法证明勾股定理便容易接受了。勾股定理应用很重要，要通过例习题进行强化练习，以便熟练掌握。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要依据，也是介绍用代数法证几何题的开拓，因此对其证法进行详细说明，使学生弄清证明的依据及方法，并掌握用代数法证几何题方法及技巧，以便今后的应用。 二.学海导航 【思维基础】 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 ；如果两条直角边长为a 、b ，斜边为长c ,则c 2= 。 2.由勾股定理已知直角三角形任意两边可求
3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下列关系：a 2+b 2=c 2，哪么这个三角形为 三角形。
4.运用勾股定理的逆定理可用来判定 三角形或用来确定 角。 【学法指要】
例1.如图已知Rt △ABC 中，∠A =90°,D 、E 分别是AB 、AC 上的点， 求证：CD 2+BE 2=BC 2+DE 2
思路分析：题设告知Rt △ABC ，且∠A =90°，或观察图形，又发现三个
Rt △，即Rt △ADE ，Rt △ABE ，Rt △ACD ，同时，结论又告知平方和的关系式，结论已暗示我们用勾股定理作“向导”，是最佳“人选”。于是在Rt △ABC ，
Rt △ADE ，Rt △ABE ，Rt △ACD 中，分别由勾股定理，得： BC 2=AB 2+AC 2 BE 2=AB 2+AE 2
CD
2=AC 2+AD 2
DE 2=AD 2+AE 2
?CD 2+BE 2=BC 2+DE 2 例2.已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上任一点，
?CD 2+BE 2=AB 2+AC 2+AD 2+AE 2
求证：AB 2－AD 2
=BD ·DC
思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE ⊥BC 于E ，便出现两个全等的直角三角形。 由AB =AC ?BE =EC
结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt △ABE ，Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AB 2=AE 2+BE 2 AD 2=AE 2+DE 2
由于BE 、DE 均在一条直线BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是
AB 2－AD 2=(BE +DE )(BE －DE ) 结合图形知：BE +DE =BD BE －DE =CE －DE =CD
上一点,且GD =1
2
AG ,
例3.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =90°,AD =BD =CD ,G 为AD 求证:BG 2+CG 2=5AG 2
思路分析:结论关系式左边告知平方和的关系式,通常联想勾股定理解之为先,又BG ,CG 与直角三角形没有“姻缘”。必须添设垂线作引线，使它与直角三角形牵上“红线”，便可促成“美满姻姻”。于是作GE ⊥BC 于点E ,便出现 Rt △BGE ,Rt △CGE ,由勾股定理,得
BG 2=GE 2+BE 2 CG 2=GE 2+CE 2
在Rt 中,DG 2－DE
2=GE 2
结合图形发现：BE 2=(BD +DE )2，CE 2=(CD －DE )2 ?BG 2+CG 2=2(DG 2－DE 2)+(BD +DE )2+(CD －DE )2
此时便想借“数”的一臂之力，用完全平方公式“帮忙”，得： BG 2+CG 2=2DG 2－2DE 2+BD 2+DE 2+2BD ·DE +CD 2+DE 2－2CD ·DE 又知BD =CD
?BG 2+CG 2=2DG 2+2BD 2
结合已知条件知：GD =1
2AG
AD =BD =AG +GD =AG +12AG =3
2AG
∴BG 2+CG 2=2·(12AG )2+2(3
2
AG )2
=2AG 2(1494+)=2AG 2
·104
=5AG 2
例1～例3都是用勾股定理当主力军，担任“主攻”。可见遇到平方和与平方差问题，通常应迅速作出决策，应用勾股定理作开路“先锋”，一般会旗开得胜。但是孤军作战还是挺冒险的，必须“友军相助”，运筹帷幄，才能立于不败之地，例1～例3是形的问题，借助“友军”数中平方差公式，完全平方公式，提取公因式等，使问题向予定的胜利目标前进，最终夺取胜利。可见打开问题既要确定主攻路线，又要有策略──思维方法，如数形结合法，转化法等，才能从胜利走向胜利。
例4.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c ,试判断△ABC 的形状 思路分析：“遇到平方想配方”，即遇到平方关系，设法配成完全平方式。通常可达到目的，根据本例的题设条件，出现上述所说的特征，应立即对题设进行配方变换，于是有： (a 2－10a +25)+(b 2－24b +144)+(c 2－26c +169)=0 ?(a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0
∴(a －5)2=0,(b －12)2=0 (c －13)2=0 ∴a =5 b =12 c =13
∴52+122=25+144=169=132
∴a 2+b 2=c 2,由勾股定理逆定理知： ∴△ABC 是直角三角形。
?AB 2－AD 2=BE 2－DE 2
?AB 2－AD 2=BD ·CD ?BG 2+CG 2=2GE 2+BE 2+CE 2
例5.如图，已知四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别为3、4、13、12，∠CBA =90°,求S 四边形ABCD 思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC 为佳，因∠CBA =90°，便出现了直角三角形ABC ，由勾股定理可求 AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25
在△CAD 中，我们又可发现： AC 2+AD 2=25+122=169 DC 2=132=169 ∴AC 2+AD 2=CD 2
，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为Rt △，且∠DAC =90°
此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。 S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD
=?+?=??+??=+=121
2123412
51263036AB BC AC AD ()
平方单位 判定一个三角形是否是直角形，用定义，即证明三角形中有一个角有直角，或者一个三角形中有两条边互相垂直，这是已学过的两种方法，现又增加判定一个三角形是否是直角形的新方法──应用勾股定理逆定理，用代数法计算一下三边的关系，便可果断作出判定，例4与例5用勾股定理逆定理进行判断，使思路打通了，也可给同学们开辟了证解几何题的新思路──代数法。望同学们按照新开辟的“航道”大胆“启航”吧！一定会一帆风顺。 【思维体操】 例1.已知：△ABC 中,∠BAC =120°,∠ABC =15°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，那么a ∶b ∶c = (本题结论保留根号)
思路分析1：本例题设告知∠BAC =120°，很容易想到它的邻补角为60°，它已隐含告知我们构造一个含30°的特殊直角三角形。这时，只要过B 作
BD ⊥CA 交其延长线于点D ,含30°的直角三角形便出现了,以其为”领路人”,便可顺利前进了。 如图，设AD =1，则AB =2，由勾股定理，得 BD AB AD =-=-=2222213 又∠BAC =120°，∠ABC =15°∴∠ACB =45° ∵∠D =90°∴∠DBC =45° ∴∠DCB ＝∠DBC ?CD =DB =3 ∴b =AC =CD －AD =3－1 在Rt △BCD 中,由勾股定理,得
a BC CD BD a
b
c ==+=+=∴=-=-22223366312
362
2
2()()()∶∶∶∶∶
∶
思路分析2:仿思路分析1便构造出两个特殊直角三角形,即含30°的直角三角形ABD 及等腰直角三角形DBC 。再过D 作DE ⊥BC 于E ，又构造出两个等腰直角形，为解题创造出更有利的条件。 设CE =1，则BE =1，DE =1 在Rt △DBE 中,由勾股定理,得
DB DE BE =+=+=2222112 则DC =DB =2
在Rt △ADB 中,∠ABD =30°,则AD =12
AB ∴设AD =x ，则AB =2x 由勾股定理，得4x 2－x 2=(2)2
∴x =
63
∴b AC DC AD ==-=-
=
-263326
3
c AB x a a b c ===
==-=-226
3
22326326
3362
2
2
又∴∶∶∶∶
∶∶ 思路分析3:题设告知∠BAC =120°，∠ABC =15°，也就隐含告知 ∠ACB =45°。必须设法构造含45°角的直角三角形，于是我们过点A 作
AD ⊥BC 于D ,便出现等腰直角三角形ACD ,那么还得构造含30°的直角三角形,由∠BAC =120°.我们作∠BAC 的平分线,便出现60°的角,再在AB 取AE =AC ,连CE ,交AF 于点F ,便出现一对全等的含30°角的直角三角形ACF 和AEF ,这时,题设与结论便联系上,使问题出现了生机. 如图,设AD =CD =1,则由勾股定理,得
AC =2,即b =2 AF AC =
=1222,在△ACF 中,由勾股定理,得: CF CE CF =
∴==6
2
26, ∵∠AEC =∠B +∠ECB
∴∠ECB =∠AEC －∠B =30°－15°=15° ∴∠ECB =∠B , ∴CE =BE ∴c =AB =AE +BE =26+ 在Rt △ABD 中,由勾股定理,得
BD AB AD a BC CD BD a b c =
-=+-=+=+∴==+=+∴=++=-2222
26174323
333
33226362
2
2()()()
∶∶∶∶∶
∶
思路分析4：由思路分析3知，作AD ⊥BC 于D ,便构造出等腰Rt △ADC 及直角△ABD ,再在△ABD 内作∠EAB =∠B =15°,便出现含30°角的直角三角形.问题已转化为研究含特殊角的直角三角形. 由∠BAE =∠B =15°?AE =BE
∠AEC =∠BAE +∠B ?∠AEC =30° 在Rt △ADE 中,设AD =1,则AE =2,EB =2
由勾股定理，得DE AE AD =-=223 在等腰Rt △ACD 中,CD =AD =1
由勾股定理,得b AC CD AD ==+=222 DB =DE +EB =3
+2
a =BC =CD +DE +EB =3+3 在Rt △ADB 中，由勾股定理，得
AB AD BD c a b c =
+=++=+=+=+∴=++=-2222123843
26
26
33226362
2
2
()()()
∶∶∶∶∶∶
思路分析5:作AB 的垂直平分线,便可构造等腰△AEB ,那么它的外角
∠AED =30°.通过A 作AD ⊥BC 于D 。使出现等腰直角△ADC 和含30°角的直角△ADE ，使思路分析4即可求得结果。
从原例扩散成如下命题你能解决吗？ 已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，∠A =135°，∠B =15°， 求a ∶b ∶c
（可仿上例解之，答案：a b c ∶∶∶∶=-2312()）
扩散二：
已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =60°，∠C =45°，BC =6， 求AD 的长。
思路分析：由题设知△ABD 和△ACD 分别为含30°的Rt △和等腰Rt △，应用特殊直角三角形的性质可一举获胜。
在Rt △ACD 中，∠C =45°，则∠CAD =45° ∴∠CAD =∠C ?AD =DC 设AD =DC =x
在Rt △ABD 中,∠B =60°∴∠BAD =30°
∵DC =x ,∴BD =6－x,AB =2(6－x )
在Rt △ABD 与Rt △ACD 中,由勾股定理,得 AB 2－BD 2=AD 2=AC 2－CD 2
[]即整理得266218540
2
222
2
()()():---=--+=x x x x x x
x x AD 12939393
=-=+=-,(,)不合题意舍即
扩散三：
已知：如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别AB ，AD 上的点，又AB =12，EF =10，△AEF 的面积等于五边形
EBCDF 面积的1
5
，求AE ，AF 的长。
思路分析：依题意知△AEF 为Rt △用勾股定理，立马而定，于是有 EF 2=AE 2+AF 2
设AE =x ,AF =y ,又EF 2=100,则x 2+y 2=100 ①
又即②
①②或①②或解得或即或五边形正方形
S S S S xy xy x xy y x y x y x xy y x y x y x y x y AE AF AE AEF EBCDF
AEF ??=∴=∴=?=+++=?+=?
+=---+=?-=?-=-=======1
51
6
121
612296
2196
1961414
24
422
8668
8662
222222:():():,,,,AF =8
本例未告知AF ,AE 谁大,所以应取两解.
从例题到扩散三,我们寻找解题思路的过程中,首先是发现直角三角形,再用勾股定理,当“主力军”攻之，但往往直角三角形不是现成存在的，我们可因题而定，作出三角形的高，而出现直角三角形，或由特殊角(30°,45°,60°……)而作出相应的含特殊角的直角形,再用勾股定理,思路就打通了.解题过程,便是不断创造的过程,不断探索过程,“新大陆”也就会被发现。 三.智能显示 【心中有数】
本单元向同学们介绍了勾股定理及其应用，是学习重点。勾股定理的应用应为重中之重，如何应用，怎样使用的适当，这是在学习中应弄明白问题，勾股定理的逆定理也是本单元重点学习内容，它向同学们揭示了判定一个三角形是直角三角形的又一方法，用计算法证几何题从此有新的开端，对这一代数证法同学们熟练驾驭，以便今后更好地应用它，并要学会用勾股定理及逆定理处理生活，生产中的实际问题。 【动脑动手】 1.如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知：AB =8cm ，BC =10cm ，求EC 的长。
2.东西和南北的两条街道相交于点O ，甲沿着东西道由西向东走，速度是每秒4米，乙沿着南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通过O 点后又继续前进50米，甲刚好通过O 点，求这两个人在相距85米时每人的位置。
3.在△ABC 中,∠B =90°，AB =6cm,BC =3cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/秒速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /秒的速度移动，如果P 、Q
分别从A 、B 同时出发，几秒钟后P 、Q 间的距离等于42cm ?
4.如图，在△ABC 中，∠B =90°，点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移
动，点Q 从B 开始，沿BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，(1)经过几秒钟P 、Q 的距离最短？(2)经过几秒钟△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？
5.如图所示，一艘轮船以20浬时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40浬/时的速度由南向北移动，距台风中心2010浬圆形区域(包括边界)都属台风区，当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB =100
海浬。
(1)若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由。
(2)现轮船自A 处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60浬的D 港驶去，为使
1336≈.)
台风到来之前到达D 港，问船速至少应提高多少？(提高的船速取整数， 揭示思路：
1.由图形翻转性质知：△ADE ≌△AFE ∴EF =DE ,AF =AD =10 设EC =x ,则EF =DE =8－x
在Rt △ABF 中,由勾股定理,得
BF AF AB FC BC BF =-=-=∴=-=-=222210861064
在Rt △EFC 中,由勾股定理,得
EF 2=EC 2+FC 2 即(8－x )2=x 2+42 解得x =3 即EC =x =3
2.设甲通过O 点，以后t 秒时，甲、乙的位置分别是A 、B ，则OA =4t ，OB =50+3t ，依题意，并有勾股定理，得 OA 2+OB 2=AB 2
即(4t )2+(50+3t )2=852 ∴t 2+12t －21×9=0 ∴t 1=9或t 2=－21
当t =9时,OA =36,OB =77
当t =－21时,OA =－84,OB =－13
答：甲、乙分别在通过O 点后又前进36米、77米或尚未通过O 点，分别在距离O 点84米，13米的位置。 3.设t 秒后P 、Q 间距离等于42，依题意，得 PB =6－t ,BQ =2t
在Rt △PBQ 中,由勾股定理,得 (6－t )2+(2t )2=(42)2
∴5t 2－12t +4=0
∴t 1=2
5
,t 2=2
当t =2时,2t =4＞3=BC ,应舍去
答：2
5
秒钟后,P 、Q 间的距离等于42cm 。
4.(1)设经过t 秒钟AP 和BQ 的长度分别为： AP =t ,BP =2t ,(0≤t ≤6) 则BP =AB －AP =6－t
在Rt △PBQ 中，由勾股定理，得
PQ PB BQ t t t t t =+=-+=-+=-+2222
22625123656
5
1445
()()()
∴经过115
秒钟P 、Q 的距离最短。
(2)设△PBQ 的面积为S ，则
S BP BQ t t t t t =
?=-?=-=--+121
262639
22()() ∴当t =3时，S 取得最大值9。
∴经过3秒钟△PBQ 的面积最大，最大面积是9cm 2。
5.(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t 小时，此时轮船位于C 处，台风中
心移到E 处，连结CE ，则有 AE =AB －BE =100－40t
在Rt △AEC 中，由勾股定理，得 AC 2+AE 2=EC 2
即(20t )2+(100－40t )2=(2010)2
∴t 2－4t +3=0 ① ∵△=(－4)2－4·1·3=4＞0 ∴途中会遇到台风的影响。 解①得 t 1=1 t 2=3
∴最初遇到台风的时间为1小时。
(2)设台风到达D 港的时间为t 小时，此时台风中心至M 点 过D 作DF ⊥AB 垂足为F ，连结DM 在Rt △ADF 中,AD =60,∠F AD =60° ∴DF =303,FA=30
又FM =F A +AB －BM =130－40t ,MD =2010 在Rt △FDM 中,由勾股定理,得 DF 2+MF 2=MD 2
即(303)2+(130－40t )2=(2010)2
∴-+=∴=-=
+4263901313413134
212t t t t ,
∴台风抵达D 港的时间为
1313
4
-小时. 轮船从A 处用
13134-小时到达D 港的速度为60÷1313
4
-≈25.5 因此,为使台风抵达D 港之前轮船到达D 港,轮船到少提速6浬/小时.
【创新园地】
题:现有四块直角边为a 、b ,斜边为c 的直角三角形的纸板，请从中取出若干块拼图，(需画出可拼的图形)证明勾股定理。
b )，每个三角形面积为1
2
ab
证法一：拼成的图形如右图，图中空白处正方形边长为(a － ∴1
2
ab ×4+(a －b )2=c 2
即a 2+b 2=c 2
证法二:拼成的图形如右图,则有
(a +b )2=
1
2ab ×4+c 2 a 2
+2ab +b 2=2ab +c 2 ∴a 2+b 2=c 2
证法三:拼成的图形如右图,则有
1
2
ab ×4+(a －b )2=c 2
∴a 2+b 2=c 2
证法四:拼成的图形如右图,则有
S S S a b a b ab c
Rt Rt 梯形小大即=+++=?+2212212
2??
()() ∴a 2+2ab +b 2=2ab +c 2 ∴a 2+b 2=c
2
注:勾股定理,目前在世界上可查到的证明勾股理明有关专著收集近400种证法.1998.4P 1～5《中学数学教学》
(合肥)人民教育出版社于琛老师发表勾股定量证明一文:“……由此可见，我们利用这一类图形证明勾股定理，不仅给出了1088种新证法……”有兴趣同学可学习于琛老师这篇文章，一定受益匪浅！
四、同 步 题 库
一、 填空题 1. 点O 是◇ABCD 的对角线的交点，若△AOB 的面积为6cm 2，则◇ABCD 的面积为 cm 2.
2. 已知一直角三角形斜边为4，有一锐角为30°，那么斜边上的高为 .
3. 用一块面积为800cm 2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，用竹条作梯形的对角线， 对角线恰好互相垂直，那么，至少需要竹条 cm.
4. 已知：如图1-5-17，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=7，EF 是中位线，AH ⊥BC ， 分别交EF ，BC 于点G 、H ，则S 梯形AEFD ∶S 梯形EBCF = .
图1-5-17
5.
已知M 为△ABC 的一边AB 上的一点，且有AM 2+BM 2+CM 2=2AM+2BM+2CM-3，那么AC 2+BC 2=
.
6. 设三角形三条边的长分别为3，4，5，那么这个三角形三条高的长分别是 .
7. 在△ABC 中，∠A=45°，AB=8，AC=2，那么S △ABC = .
8.
在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕长为 . 9.
直角三角形中，周长为2+6，斜边上的中线为1，则此直角三角形面积为 .
10.在△ABC 中，D 、E 是A 、B 上的点，CD ⊥AB ，∠ACD=∠DCE=∠ECB ，AD=3，AC=6，则 BC 的长是 .
二、 选择题
1.
直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为5和40，那么这个直角三角形斜
边长为（ ）.
（A ）10 （B ）40 （C ）13 （D ）132
2. 如图1-5-18，设F 为正方形ABCD 的边AD 上一点，CD ⊥CF 交AB 的延长线于E ，若 正方形ABCD 的面积为64，△CEF 的面积为50，则△CBE 的面积为（ ）.
（A ）20 （B ）24 （C ）25 （D ）26
图1-5-18
3.把一个正三角形用平行于对边的直线分别截去三个小正三角形，这样就截得一个正 六边形，若原正三角形边长为3cm ，则截得正六边形的面积为（ ）.
（A ）
439cm 2 （B ）239cm 2
（C ）
2
3
3 cm 2 （D ）29cm 2
4.若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1∶2，则菱形的面积是（ ）. （A ）34cm 2 （B ）83cm 2 （C ）316cm 2 （D ）203cm 2
5.已知菱形ABCD 的面积为96，对角线AC 的长为16，则此菱形的边长是（ ）. （A ）32 （B ）10 （C ）14 （D ）20
6.如图1-5-19，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BC 相交于点O ，那么，图中面积
相等的三角形有（ ）.
（A ）一对 （B ）两对 （C ）三对 （D ）四对
图1-5-19 图1-5-20
7.如图1-5-20，以正方形各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形的面积（阴影部分），下列计算方法正确的是（）.
（A）三个半圆的面积减去正方形面积（B）四个半圆的面积减去正方形的面积（C）正方形的面积减去两个半圆的面积（D）正方形的面积减去三个半圆的面积
8.已知一个等腰梯形的高是2m，它的中位线长是5m，一个底角为45°.这个梯形的周长是（）.
（A）14m （B）（5+22）m （C）（10+22）m （D）（10+42）m
9.关于x的一元二次方程（a-c）x2-bx+
4c
a
=0有两个相等的实数根，那么a、b、c
为三边长的三角形是（）.
（A）以a为斜边的直角三角形
（B）以c为斜边的直角三角形
（C）以b为底边的等腰三角形
（D）以c为底边的等腰三角形
10.一块四边形土地如图1-5-21，其中∠ABD=120°，AB⊥AC，BD⊥CD，测得AB=303m，
CD=503m，则这块土地的面积是（）.
（A）2400m2（B）48003m2
（C）24003m2（D）23503m2
图1-5-21
三、解答题
1.如图1-5-22，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC边上任意一点，求证：AP2+PB·PC=16.
图1-5-22 图1-5-23
2.如图1-5-23,◇ABCD中BE⊥AD，BF⊥AD垂足分别为E，F，CE=2，DF=1，∠EBF=60°，求平行
四边形ABCD的面积.
3.如图1-5-24，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=22cm，AD是BC边上的高，
求CD的长.
图1-5-24
4.如图1-5-25，在等腰三角形ABC中，底边BC上有任意一点P，则P点两腰的距离之
和等于定长（腰上的高）即PD+PE=CF.若P点在BC的延长线上，那么PD、PE和CF存在什么等式关系？写出你的猜想并加以证明.
5.如图1-5-26，已知在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为BC的中点，DE⊥AB于
E.
求证：AC2=8DE2
图1-5-25 图1-5-26
6.如1-5-27，已知△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E.
求证：AD=DE=ED
图1-5-27 图1-5-28
7.如图1-5-28，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E.
求证：BC2-AB2=AE2+DE2+DC2
8.如图1-5-29，已知∠C=90°，E、D分别是AC，BC上的点.
求证：AD2+BE2=AB2+DE2
图1-5-29 图1-5-30
9.如图1-5-30，已知∠ACB=∠ADB=90°，∠CAB=30°，CE ⊥AB 于E ，AF=
2
1
AD. 求证：EF=BC=AD
10.如图1-5-31，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落
在C '的位置，BC '交AD 于G ，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于M ，则ME 的长为多少？
图1-5-31
参 考 答 案
参考答案
动脑动手
1． 由图形翻转性质知：△ADE ≌△AFE ∴EF=DE ，AF=AD=10 设EC=x ，则EF=DE=8-x
在Rt △ABF 中，由勾股定理，得
68102222=-=-=AB AF BF
∴FC=BC-BF=10-6=4
在Rt △EFC 中，由勾股定理，得 EF 2=EC 2+FC 2
即（8-x ）2=x 2+42 解得x=3 即EC=x=3
图1-5-32
2.设甲通过O 点，以后t 秒时，甲、乙的位置分别是A 、B ，则OA=4t,OB=50+3t,依题意，并有勾股定理，得 OA 2+OB 2=AB 2
即（4t ）2+(50+3t)2=852 ∴t 2+12t-21×9=0 ∴t 1=9或t 2=-21
当t=9时，OA=36，OB=77 当t=-21时，OA=-84，OB=-13
答：甲、乙分别在通过O 点后又前进36米、77米或尚未通过O 点，分别在距离O 点84米，13米的位置。
图1-5-33
3．设t 秒后P 、Q 间距离等于42，依题意，得 PB=6-t,BQ=2t
在Rt △PBQ 中，由勾股定理，得 （6-t ）2+(2t)2=(42)2 ∴5t 2-12t+4=0 ∴t 1=,5
2t 2=2
当t=2时，2t=4>3=BC,应舍去
答：52秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm 。
图1-5-34 4．（1）设经过t 秒钟AP 和BQ 的长度分别为： AP=t,BP=2t,(0≤t ≤6) 则BP=AB-AP=6-t
在Rt △PBQ 中，由勾股定理，得
2222)2()6(t t BQ PB PQ +-=+=
361252+-=t t
5144
5652
+
??
? ??-=t ∴经过5
1
1秒钟P 、Q 的距离最短。
图1-5-35
（2）设△PBQ 的面积为S ，则
t t BQ BP S 2)6(2
1
21?-=?=
9)3(622+--=-=t t t
∴当t=3时，S 取得最大值9。
∴经过3秒钟△PBQ 的面积最大，最大面积是9cm 2
.
图1-5-36
5.(1)设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t 小时，此时轮船位于C 处，台风中心移到E 处，连结CE ，则有
AE=AB-BE=100-40t
在Rt △AEC 中，由勾股定理，得 222EC AE AC =+
即2
221020()40100()20(=-+t t ∴0342=+-t t ① ∴04314)4(2>=??--=?
∴途中会遇到台风的影响。 解①得 t 1=1 t 2=3
∴最初遇到台风的时间为1小时。
（2）设台风到达D 港的时间为t 小时，此时台风中心至M 点过D 作DF ⊥AB 垂足为F ，连结DM 在Rt △ADF 中，AD=60，∠FAD=60° ∴DF=303，FA=30
又FM=FA+AB-BM=130-40t ，MD=2010 在Rt △FDM 中，由勾股定理，得 DF 2+MF 2=MD 2
即（30222)1020()40130()3=++t ）
4
1313,413130
39264212+=
-=∴=+-∴t t t t
∴台风抵达D 港的时间为4
13
13-小时。 轮船从A 处用
41313-小时到达D 港的速度为60÷5.254
13
13≈- 因此，为使台风抵达D 港之前轮船到达D 港，轮船至少提速6海里/时。
图1-5-37
创新园地
【证法一】拼成的图形如图1-5-38，图中空白处正方形边长为（a-b ）,每个三角形面积为ab 2
1
∴22)(42
1c b a ab =-+? 即 222c b a =+
图1-5-38
【证法二】拼成的图形如右图，则有
2
22222222242
1
)(c b a c ab b ab a c ab b a =+∴+=+++?=
+
【证法三】拼成的图形如右图，则有
2
222
2)(42
1
c b a c b a ab =+∴=-+? 【证法四】拼成的图形如右图，则有
2
222222
2221
2212))((2c b a c ab b ab a c ab b a b a S S S Rt Rt =+∴+=++∴+?=+++=?
?即
大小梯形
图1-5-39
同步题库 一、
填空题
1.24
2.3
3.80
4.2∶3
5.4
6.2, 1.5, 1.2
7.42
8.7.5
9.2
1 10.63 二、
选择题
1.D
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.B
8.D
9.B 10.C 三、
解答题
1．提示：作AD ⊥BC 于D ，再利用PB=BD+DP PC=BD-DP 即可证得结论。 2．124
3．【略解】AD=BD ，AB=22，∴AD=2，易得CD=33
2
cm. 3．猜想：PD=CF+PE
【证明】连结AP ，则ABC ACF ABP S S S ???=-
PE CF PD AC AB CF AB PE AC PD AB CF AB PE AC PD AB ==∴=?=?-??=?-? 21
2121即
4．提示：∵∠ A=∠B=45°， ∴△DEB 是等腰Rt △ DE=BE 在Rt △DEB 中，DB 2=2DE 2 而AC 2=(2DB)2=4DB 2=8DE 2
6.提示: ∠ABC=∠C=45°,又∵ BD 平分∠ABC
∴AD=DE,又∵ △DEC 为等腰Rt △
∴DE=EC.
7.提示: ∵BC 2-AB 2=AC 2,AC 2=AD 2+DC 2 ∴BC 2-AB 2=AD 2+DC 2
又∵ AD 2=AE 2+ED 2即可得。
8．提示：∵ AD 2=AC 2+CD 2，BE 2=BC 2+CE 2
两式相加得：AD 2+BE 2=AC 2+CD 2+BC 2+CE 2
又∵ AC 2+BC 3=AB 2 ∴CE 2+CD 2=DE 2即可得证。
9．提示：先证∠ABD=∠ADF=∠BCE=∠CAB=30°，再证Rt △ABC ≌Rt △BAD 得BC=AD ∴AB=2AD ，AF=BE=AD 2
1 而EF=AB-AF-BE=AD ∴EF=BC=AD
10．【解】由对称性可知：△BCD ≌BC ′D ，△ABG ≌△DC ′G ∴ 可设C ′G=AG=x ，则GD=BG=4-x 由勾股定理得 DG 2=GC ′2+DC ′2 即（4-x ）2=x 2+32 解得：8
7=x
由对称性可知：G C D DME AD DM '∠==∠==9022
1
又 DG
C MDE
'∠=∠
DME ?∴∽DG C '
12
73
2
8
7=
∴='
=
'∴EM EM C D DM
G C EM 即
同步题库
一、
填空题
1.24
2.3
3.80
4.2∶3
5.4
6.2,1.5,1.2
7.42
8. 7.5
9.2
1
10.63
二、 选择题
1.D
2.B
3.C
4.B
5.B
6.C
7.B
8.D
9.B 10.C 三、 解答题 1. 提示：作AD ⊥BC 于D ，再利用PB=BD+DP PC=BD-DP 即可证得结论.
2.123
3.【略解】AD=BD ，AB=22，∴ AD=2，易得CD=
33
2
cm. 4.猜想：PD=CF+PE
【证明】连结AP ，则S △ABP -S △ACF =S △ABC
即21AB ·PD-21AC ·PE=21
AB ·CF
AB ·PD-AC ·PE=AB ·CF
∵ AB=AC ∴ PD=CF+PE 5.提示：∵ ∠A=∠B=45°， ∴ △是等腰Rt △ DE=BE 在Rt △DEB 中，DB 2=2DE 2 而AC 2=（2DB ）2=4DB 2=8DE 2 6. 提示：∠ABC=∠C=45°，又∵ BD 平分∠ABC ∴ AD=DE ，又∵ △DEC 为等腰Rt △ ∴ DE=EC. 7. 提示：∵ BC 2-AB 2=AC 2，AC 2=AD 2+DC 2 ∴ BC 2-AB 2=AD 2+DC 2
又∵ AD 2=AE 2+ED 2 即可得. 8. 提示：∵ AD 2=AC 2+CD 2，BE 2=BC 2+CE 2 两式相加得：AD 2+BE 2=AC 2+CD 2+BC 2+CE 2
又∵ AC 2+BC 2=AB 2 ∴CE 2+CD 2=DE 2即可得证.
9.提示：先证∠ABD=∠ADF=∠BCE=∠CAB=30°，再证Rt △ABC ≌Rt △BAD
得BC=AD ∴ AB=2AD ，AF=BE=2
1
AD
而EF=AB-AF-BE=AD ∴ EF=BC=AD
10.【解】由对称性可知：△BCD ≌△BC 'D ，△ABG ≌DC 'G ∴ 可设C 'G=AG=x ，则DG=BG=4-x 由勾股定理得 DG 2=GC '2+DC '2
即（4-x ）2=x 2+32
解得：x=8
7
由对称性可知：DM=22
1
=AD ∠==90DME ∠DC 'G
又 ∠MDE=∠C 'DG ∴ △MDE ∽△C 'DG
∴
C D DM
G C EM '
=' 即3287=EM ∴ EM=12
7
初中数学几何空间与图形知识点
初中数学《几何空间与图形》知识点 初中数学《几何空间与图形》知识点 A、图形的认识 1、点，线，面 点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面动成体。 展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。 弧、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。 2、角 线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。 比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。
初中数学基本几何图形
初中数学基本几何图形 这篇帖子是关于几何基本图形的。每一个几何压轴题，几乎都是由几个基本图形构成的，所以如果能把这些图形 用熟，做几何题应该不成问题。 1、 正方形与等腰直角三角形 正方形 ABCD ，EF 为过正方形点 B 的直线且 AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，则有△AEB ≌△BFC 。 将上图进行转换，则该基本图形存在于等腰三角形中，可利用此图证明勾股定理： 1 1 令 AD=BE=a ，DB=CE=b ，AB=BC=c ，S △ABC = 2 c = 2 （a+b ） -ab ；化简得到：c =a +b 2、 梯形中位线 梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为 AB 、DC 中点，则有 EF= 1 （AD+BC ） 结合 1、2 有一道经典题目，在此奉上。 1 △ABC ，分别以 AB 、AC 为边向外做正方形 ABFG 、ACDE ，连接 FD ，取 FD 中点 H ，作 HI ⊥BC ，证明：HI= BC 2 2 2 2 2 2 2
提示:先证明BC等于梯形上下底边之和 【变形题 1】 如图1，以△A BC的边AB、AC为边向内作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中点，N是BC的中点，连接MN．探究线段MN与BC之间的关系，并加以证 明．说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一种情况完成你的证明，选取①比原题少得6分，选取②比原题少得8分． ①如图2，将正方形ACDE绕点A旋转，使点C、E分别落在AG、AB上； ②如图3，将正方形ACDE绕点A旋转，使点B、A、C在一条直线． 答案： 解：BC⊥MN． 证明：连接CM，然后延长CM至H，使CM=MH，连接FH、BH、CM、BM，HG、CG，延长CD，与BF相交于I， ∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
初中数学几何基础知识整理
初中数学几何基础知识整理 轴对称 31. 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的中垂线 32. 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的中垂线 33. 定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 34. 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 35. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 36. 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 37. 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 38. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 39. 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （等角对等边） 40. 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 41. 三个角都相等的三角形是等边三角形 42. 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 43. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
44. 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 45. 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（新增） 46. 勾股定理直角三角形两直角边 a、b的平方和、等于斜边 c的平方，即a2+b2=c2 47. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a、b、c 有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 四边形 48. 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 49. 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 50. 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 51. 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 52. 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 53. 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 54. 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形55. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 56. 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 57. 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 58. 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 59. 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 60. 矩形判定定理 3 有一个角是直角的平行四边形是矩形 61. 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 62. 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
初中数学几何图形综合题(供参考)
初中数学几何图形综合题 必胜中学2018-01-30 15:15:15 题型专项几何图形综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.
类型1操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC；
初中数学几何基本图形
432 1F E D C B A 432 1F E D C B A F E D C B A H G F E D C B A c b a C B A D C B A F E D C B A C B A 初中数学几何基本图形 1． 平行线的性质： ∵A B ∥CD （已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等。） ∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等。） ∴∠1+∠4=180° （两直线平行，同旁内角互补。） 2． 平行线的判定： （1）∵∠1=∠2（已知） ∴A B ∥CD （同位角相等，两直线平行。） （2）∵∠1=∠3（已知） ∴A B ∥CD （内错角相等，两直线平行。） （3）∵∠1+∠4=180o （已知） ∴A B ∥CD （同旁内角互补，两直线平行。） 3． 平行线的传递性： ∵A B ∥CD ，A B ∥EF （已知） ∴C D ∥EF （如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行。） 4． 两条平行线间距离： ∵A B ∥CD ，EF ⊥CD ，GH ⊥CD （已知） ∴EF=GH （平行线间距离处处相等。） 5． 三角形的性质： （1）∠A+∠B+∠C=180o （三角形内角之和为180o 。） （2）a+b ＞c ，∣a-b ∣＜c （三角形任意两边之和大于第三边， 三角形任意两边之差小于第三边。） （3）∠ACD=∠A+∠B （三角形一个 外角等于与它不相邻的两个外角之和。） 6．三角形中重要线段： （1）∵AD 是△ABC 边BC 上的高（已知） ∴AD ⊥BC 即∠ADC=900（三角形高的意义） （2）∵BF 是△ABC 边AC 上的中线（已知） ∴AF=FC=12 AC （AC=2AF=2FC ）（三角形中线的意义） （3）∵CE 是△ABC 的∠ACB 的角平分线（已知） ∴∠ACE=∠BCE= 1 2 ∠ACB （∠ACB=2∠ACE=2∠BCE ）（三角形角平分线的意义） 6． 等腰三角形的性质和判定： （1）∵AB=AC （已知）∴∠B=∠C （等边对等角） （2）∵∠B=∠C （已知）∴AB=AC （等角对等边）
初中数学几何经典模型
初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2 图1 G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF 于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C
E A B C O D E A B C O D B O A C 角平分线模型 【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为. H G F E A D B C 手拉手模型 【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠ ，， 【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠ 平分； - 【例5】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为. 【例6】如图，ABC中，90 BAC? ∠=，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE，AG⊥BE 于F，交BC于点G，求DFG ∠ G F D C B A E
全新 中考数学几何知识点全总结
初中几何公式：线 1、同角或等角的余角相等 2、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3、过两点有且只有一条直线 4、两点之间线段最短 5、同角或等角的补角相等 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 初中几何公式：角 9、同位角相等，两直线平行 10、内错角相等，两直线平行 11、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 初中几何公式：三角形 15、定理三角形两边的和大于第三边 16、推论三角形两边的差小于第三边 17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 初中几何公式：等腰三角形 30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 初中几何公式：四边形 48、定理四边形的内角和等于360° 49、四边形的外角和等于360° 50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51、推论任意多边的外角和等于360° 52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
初中数学平面几何图形
第四课时几何图形初步 LYX 1、几何图形 ①几何图形：我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 ②平面图形：几何图形（如线段、角、三角形、长方形等）的各部分都在同一平面内。 常见平面图形： ③立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平内,这样的几何图形叫做立体图形。 ⑴常见立体图形：⑵常见立体图形的归类： ★画立体图形时，看得见的棱线画成实线，看不见的棱线画成虚线。 ④展开图：有些立体图形是由平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 例1、圆锥由_______面组成,其中一个是_______面 ,另一个是_______面. 例2、如图所示，一个三边相等的三角形，三边的中点用虚线连接，如果将三角形沿虚线 向上折叠，得到的立体图形是（）. （A）三棱柱（B）三棱锥（C）正方体（D）圆锥 例3、分别从正面、左面和上面这三个方向看下面的四个几何体，得到如图所示的平面图形，那么这个几何体是（）
例4、下列各图形，都是柱体的是（） 例5、下列四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（） 2、点、线、面、体 ①点动成线，分为直线和曲线； ②线动成面线运动生成的有平面、曲面； ③面运动成体；（直角三角板绕它的一边旋转，形成了什么图形？长方形绕着它的一边旋转，形成了什么图形？） 总结： ⑴几何图形是由点、线、面、体组成。点是构成图形的基本元素。 ⑵点无大小，线有直线和曲线，面有平的面和曲的面。 ⑶点动成线，线动成面，面动成体。 ⑷体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。 3、直线、射线、线段 ①两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 ⑴因为两点确定一条直线，所以除了用一个小写字母表示直线（直线）外，还经常用一条直线上的两点来表示这个直线； ⑵一个点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线不经过这个点； ⑶当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 ②线段的表示方法 ③射线的表示方法 ★用数学符号表示直线、线段、射线?
初中：数学几何模型大全
全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
人教版初中数学中考几何知识点大全.docx
. 目录 一、形的知??????????????????????????????2 二、平行知点?????????????????????????????3 三、命、定理??????????????????????????????3 四、平移?????????????????????????????????3 五、平面直角坐系知点?????????????????????????4 六、与三角形有关的段??????????????????????????5 七、与三角形有关的角???????????????????????????5 八、多形及其角和???????????????????????????6 九、嵌?????????????????????????????????6 十、全等三角形知点???????????????????????????7 十一、称???????????????????????????????7 十二、勾股定理??????????????????????????????8 十三、四形???????????????????????????????8 十四、旋????????????????????????????????9 十五、知点????????????????????????????10 十六、相似三角形?????????????????????????????13 十七、投影与?????????????????????????????14 十八、尺作??????????????????????????????15
初中中考数学几何知识点大全 直线：没有端点，没有长度 射线：一个端点，另一端无限延长，没有长度 线段：两个端点，有长度 一、图形的认知 1、我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形 2、有些几何图形的各部分不都在同一平面，它们是立体图形 3、有些几何图形的各部分都在同一平面，它们是平面图形 4、有些立体图形是由一些平面图形转成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形。 这样的平面图形称为相应立体图形的展开图 5、长方体、正文体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体 6、包围着体的是面，面有平面和曲面两种。 由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体。 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。 注意：各面都是平面的立体图形称为多面体。像圆锥、圆台因为有的面是曲面，而不被称为“多面体”。 圆锥、圆柱、圆台统称为旋转体。立体图形的各个面都是平的面，这样的立体图形称为多面体。 7、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线 8、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点 9、两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短 10、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 11、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边 12、角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 13、余角和补角：如果两个角加起来为90，则一个角是另一个角的余角 如果两个角加起来为180，则一个角是另一个角的补角 邻补角 :相邻的补角 14、同角的余角相等，等角的余角相等 同角的补角相等，等角的补角相等 二、平行线知识点 1、对顶角性质：对顶角相等。注意：对顶角的判断 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角。 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶
新初中数学几何图形初步技巧及练习题
新初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1．如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，则ABC ?的面积是（ ） A ．25米 B ．84米 C ．42米 D ．21米 【答案】C 【解析】 【分析】 根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 连接OA ∵OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD = ∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4 ∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△ ()142 AB BC AC =??++ 14212 =?? 42=（米） 故答案为：C ． 【点睛】 本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．
2．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3=125°，则∠2=（） A．35°B．45°C．55°D．65° 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：根据题意得：∠1+∠3=180°，∠3=125°，则∠1=55°，∵∠1+∠2=90°，则∠2=35° 故选：A． 【点睛】 本题考查余角、补角的计算． 3．将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】 解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形． 故选D． 首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可． 4．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是
初中数学几何基础知识.
初中数学几何基础知识、基本公式集锦 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1直角三角形的两个锐角互余
19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASA有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形
初中数学几何图形初步技巧及练习题
初中数学几何图形初步技巧及练习题 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（） A．主视图B．俯视图C．左视图D．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C． 2．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3） 【答案】D 【解析】 【详解】 解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小，
∵点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B ′点坐标为：（-3，0），则OB′=3 过点A 作AE 垂直x 轴，则AE=4，OE=1 则B′E=4，即B′E=AE ，∴∠EB ′A=∠B ′AE ， ∵C ′O ∥AE ， ∴∠B ′C ′O=∠B ′AE ， ∴∠B ′C ′O=∠EB ′A ∴B ′O=C ′O=3， ∴点C ′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最小． 故选D ． 3．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，2,3BE AE BE ==，P 是AC 上一动点，则PB PE +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】 连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：如图，连接DE ，交AC 于P ，连接BP ，则此时PB PE +的值最小 ∵四边形ABCD 是正方形 B D ∴、关于A C 对称 PB PD =∴
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4
人教版初中数学几何图形初步知识点总复习附答案
人教版初中数学几何图形初步知识点总复习附答案 一、选择题 1．下列图形中1∠与2∠不相等的是( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对顶角，平行线，等角的余角相等等知识一一判断即可． 【详解】 解：A 、根据对顶角相等可知，∠1=∠2，本选项不符合题意． B 、∵∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意． C ．根据平行线的性质可知：∠1=∠2，本选项不符合题意． D 、根据等角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】 本题考查平行线的性质对顶角的性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE =1，AF =2，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +FP 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【解析】 试题分析：作F 点关于BD 的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD 于点P ． ∴EP+FP=EP+F ′P ． 由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F′在一条直线上时，EP+FP 的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD 为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB ∥CD ， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D 是平行四边形， ∴EF ′=AD=3． ∴EP+FP 的最小值为3． 故选C ． 考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题 3．一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE =90°，∠A =45°，∠E =60°，点F 在CB 的延长线上．若DE ∥CF ，则∠BDF 等于（ ） A ．30° B ．25° C ．18° D ．15° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可得45ABC ∠=?和30EDF ∠=?，再根据平行线的性质可得45EDB ABC ==?∠∠，再根据BDF EDB EDF =-∠∠∠，即可求出BDF ∠的度数． 【详解】 ∵∠C =90°，∠A =45° ∴18045ABC A C =?--=?∠∠∠ ∵//DE CF ∴45EDB ABC ==?∠∠ ∵∠DFE =90°，∠E =60° ∴18030EDF E DFE =?--=?∠∠∠ ∴15BDF EDB EDF =-=?∠∠∠ 故答案为：D ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键．
初中数学几何图形初步真题汇编附答案
初中数学几何图形初步真题汇编附答案 一、选择题 1．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠CDE的关系是（） A．∠ABE＝2∠CDE B．∠ABE＝3∠CDE C．∠ABE＝∠CDE+90°D．∠ABE+∠CDE＝180° 【答案】A 【解析】 【分析】 延长BF与CD相交于M，根据两直线平行，同位角相等可得∠M=∠CDE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠ABF，从而求出∠CDE=∠ABF，再根据角平分线的定义解答．【详解】 解：延长BF与CD相交于M， ∵BF∥DE， ∴∠M=∠CDE， ∵AB∥CD， ∴∠M=∠ABF， ∴∠CDE=∠ABF， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABE=2∠ABF， ∴∠ABE=2∠CDE． 故选：A． 【点睛】 本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，作辅助线，是利用平行线的性质的关键，也是本题的难点． 2．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）.
A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 试题分析：三棱柱的展开图为3个矩形和2个三角形，故B不能围成. 考点：棱柱的侧面展开图. 3．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3） 【答案】D 【解析】 【详解】 解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3 过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1 则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE， ∵C′O∥AE， ∴∠B′C′O=∠B′AE， ∴∠B′C′O=∠EB′A ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故选D．
(完整版)初中数学常用几何模型及构造方法大全
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型
初中数学知识点几何部分总结大全
初中数学知识点几何部分总结 大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离 相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于 斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线 段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上