丰台区2015年高三年级第二学期统一练习(二) 2015.5
数学(理科)
第一部分 (选择题 共40分)
选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知{1}A x x =>,2{20}B x x x =-<,则A
B =
(A){0x x <或1}x ≥
(B) {12}x x <<
(C){0x x <或1}x > (D) {0}x x >
2.“a =0”是“复数i z a b =+(a ,b ∈R)为纯虚数”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
3.直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为
(A)
223
(B)
283
(C)
323
(D)
343
4.
函数1,0,
()2cos 1,20
x f x x x ≥=--π≤?的所有零点的和等于
(A) 1-2π (B) 312π
-
(C) 1-π
(D) 12
π
-
5.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则其左视图面积为
(A) 6 (B)
29 (C) 3
(D) 2
3
6.平面向量a 与b 的夹角是3
π
,且1a =,2b =,如果AB a b =+,3AC a b =-,D 是BC 的中点,
那么AD =
(A)
(B) (C) 3 (D) 6
7.某生产厂家根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按5天计算)生产A ,B ,C 三种
15 则每周最高产值是(A) 30
(B) 40 (C) 47.5
(D) 52.5
8.抛物线2
4y x =的焦点为F ,经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,与准线l 交于点B ,且AK l ⊥于K ,如果||||AF BF =,那么AKF △的面积是
俯视图
正视图
(A) 4
(B)
(C) (D) 8
第二部分 (非选择题 共110分)
一、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.已知正实数x ,y 满足3xy =,则2x y +的最小值是 .
10.直线l 的斜率是1-,且过曲线22cos ,
32sin x y θθ=+??=+?
(θ为参数)的对称中心,则直线l 的方程是 .
11
.已知函数21
()sin 22
f x x x =
+,则()f x 的最小正周期是 ;如果()f x 的导函数是()f x ',则()6
f π'= .
12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 .
13.如图所示,△ABC 内接于⊙O ,PA 是⊙O 的切线,PB PA ⊥,24BE PE PD ===,则PA =_____,
AC = .
14. 已知非空集合A ,B 满足以下四个条件:
①{1,2,3,4,5,6,7}A B =;②A B =?;③A 中的元素个数不是A 中的元素;④B 中的元素个数不是B 中的元素. (ⅰ)如果集合A 中只有1个元素,那么A =______; (ⅱ)有序集合对(A ,B )的个数是______.
二、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)
在△ABC 中,30A ?
=,52=BC ,点D 在AB 边上,且BCD ∠为锐角,2CD =,△BCD 的面
积为4.
(Ⅰ)求cos BCD ∠的值; (Ⅱ)求边AC 的长.
16.(本小题共13分)
长时间用手机上网严重影响着学生的健康,某校为了解A ,B 两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查,将他们平均每周手机上网时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时,则称为“过度用网”.
(Ⅰ)请根据样本数据,分别估计A ,B 两班的学生平均每周上网时长的平均值;
(Ⅱ)从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据,求恰有1个数据为“过度用网”的概率;
(Ⅲ)从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据,记“过度用网”的学生人数为ξ,写出ξ的分布列和数学期望ξE .
17.(本小题共14分)
如图所示,在四棱柱1111D C B A A B C D -中,⊥1AA 底面A B C D ,BD AC ⊥于O ,且124AA OC OA ===,点M 是棱1CC 上一点.
(Ⅰ)如果过1A ,1B ,O 的平面与底面ABCD 交于直线l ,求证://l AB ; (Ⅱ)当M 是棱1CC 中点时,求证:1
AO DM ⊥; (Ⅲ)设二面角1A BD M --的平面角为
θ
,当cos θ=CM 的长.
18.(本小题共13分)
已知数列{}n a 满足110a =,1212,2,
1log ,21
n a n n n k a a n k --?==?-+=+?*(N )k ∈,其前n 项和为n S .
(Ⅰ)写出3a ,4a ;
O
M
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
A 班
B 班 0 1 2 3
9 1 0 7
3 4
1 1 6
2 5
7
(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)求n S 的最大值.
19.(本小题共14分)
已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2,其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个
顶点.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)动点P 在椭圆C 上,直线l :4x =与x 轴交于点N ,PM l ⊥于点M (M ,N 不重合),试问在x 轴上是否存在定点T ,使得PTN ∠的平分线过PM 中点,如果存在,求定点T 的坐标;如果不存在,说明理由.
20.(本小题共13分)
已知函数ln 1
()ax f x x
+=
(0a >). (Ⅰ)求函数()f x 的最大值;
(Ⅱ)如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解,写出b 的取值范围(只需写出结论);
(Ⅲ)证明:当*N k ∈且2k ≥时,1111
ln
ln 2234k k k
<+++???+<.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习(二)
数 学(理科)参考答案
选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
一、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.
10.50x y +-= 11.π;1- 12.
21
22
13.4; 14.{6};32 注:第11,13,14题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分. 二、解答题:
15.(本小题共13分) 解:(Ⅰ)因为1
sin 42
BCD S BC CD BCD ?=
??∠=,
所以5
5
2sin
=
∠BCD . 因为BCD ∠为锐角, 所以cos 5
BCD ∠==
. ……………………6分 (Ⅱ)在BCD ?中,因为BCD BC CD BC CD DB ∠??-+=cos 22
2
2
,
所以4=DB . 因为2
22BC CD DB =+,
所以?=∠90CDB .
所以ACD ?为直角三角形.
因为30A ?
=,所以24AC CD ==,即4AC =. ……………………13分
16.(本小题共13分)
解:(Ⅰ)A 班样本数据的平均值为
1
(91113202437)196
+++++=, 由此估计A 班学生每周平均上网时间19小时; B 班样本数据的平均值为
1
(111221252736)226
+++++=, 由此估计B 班学生每周平均上网时间22小时. ……………………2分 (Ⅱ)因为从A 班的6个样本数据中随机抽取1个的数据,为“过度用网”的概率是
13
, 所以从A 班的样本数据中有放回的抽取2个的数据,恰有1个数据为“过度用网”的概率为
12124()()339
P C =?=. ……………………5分
(Ⅲ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
252
)0(26262324===C C C C P ξ, 75
26)1(2
6261
31324231214=+==C C C C C C C C P ξ,
75
31
)2(2
6261313121423242322=++==C C C C C C C C C C P ξ, 75
11)3(2626231214131322=+==C C C C C C C C P ξ, 751
)4(2
6262
322===C C C C P ξ. ξ的分布列是:
2263111150123425757575753
E ξ=?
+?+?+?+?=. ……………………13分
17.(本小题共14分)
证明:(Ⅰ)因为1111D C B A ABCD -是棱柱,所以BA B A 11是平行四边形.
所以AB B A //11.
因为?11B A 平面ABCD ,?AB 平面ABCD ,
所以//11B A 平面ABCD .
因为平面 O B A 11平面ABCD l =,
所以11//B A l . 所以AB l //.………………4分 (Ⅱ)因为DB AC ⊥于O ,如图建立空间直角坐标系.
因为41=AA ,且24OC AO ==,
所以(0,0,0)O ,(4,0,0)C ,(2,0,0)A -,
1(2,0,4)A -.
因为M 是棱1CC 中点,所以(4,0,2)M .
设(0,,0)D b ,所以(4,,2)DM b =-,1(2,0,4)OA =-. 所以08081=++-=?OA DM .
所以1
AO DM ⊥. ……………………8分 (Ⅲ)设(0,,0)D b ,(0,,0)B c ,平面BD A 1的法向量为),,(z y x =,
B
又因为1(2,,4)AD b =-,1(2,,4)AB c =-,
所以110240240
0m A D x by z x cy z m A B ??=+-=?????
+-=?=???. 因为c b ≠,所以0=y ,令1z =,则2x =,所以(2,0,1)m =. 设),0,4(h M ,所以(4,,)MD b h =--,(4,,)MB c h =--. 设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =,
所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ?-+-=?=?????
-+-=?=?
??. 因为c b ≠,所以10y =,令11z =,则14
h x =-,所以(,0,1)4h
n =-.
又因为cos θ=
, 所以2cos ,m n
<>=,即125m n
n m
?==
解得3h =或7
6
h =
. 所以点(4,0,3)M 或7
(4,0,)6M .
所以3CM =或7
6
CM =. ……………………14分
18.(本小题共13分) 解:(Ⅰ)因为110a =,
所以110222a a ==,
1032221log 1log 29a a =-+=-+=,
942512a ==. ……………………3分
(Ⅱ)当n 为奇数时,2
21221log 1log 2
1n a n n n a a a ---=-+=-+=-,
即21n n a a --=-.
所以{}n a 的奇数项成首项为110a =,公差为1-的等差数列. 所以当n 为奇数时,1121(
)(1)22
n n n
a a --=+?-=. 当n 为偶数时,121(1)112
2
22
2
n n n n a a ----
===,
所以 112
*2,2,
(N )21,2 1.2
n
n n k a k n n k -?=?=∈?
-?=-? ……………………10分
(Ⅲ)因为偶数项112
2
0n
n a -
=>,奇数项212
n n
a -=
为递减数列, 所以n S 取最大值时n 为偶数. 令2210k k a a -+≥(*
N k ∈), 即112121
202
k
k --++
≥. 所以11211k k -≥-.
得11k ≤.
所以n S 的最大值为1091022(2222)(1090)2102S =++++++++=.
……………………13分
19.(本小题共14分) 解:(Ⅰ)因为椭圆C 的焦距22c =,
所以1c =. 因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形,
所以b =2a .
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=. ……………………4分 (Ⅱ)假设存在点T ,使得PTN ∠的平分线过PM 中点.
设00(,)P x y ,(,0)T t ,PM 的中点为S .
因为PM l ⊥于点M (M ,N 不重合),且PTN ∠的平分线过S ,
所以PTS STN PST ∠=∠=∠. 又因为S 为PM 的中点,
所以1
2
PT PS PM ==
.
0142
x =-.
因为点P 在椭圆C 上,所以220
3(1)4
x y =-,
代入上式可得 2
02(1)(1)0x t t -+-=. 因为对于任意的动点P ,PTN ∠的平分线都过S , 所以此式对任意0(2,2)x ∈-都成立. 所以2
1010
t t -=??
-=?,
解得1t =. 所以存在定点T ,使得PTN ∠的平分线过PM 中点,
此时定点T 的坐标为(1,0). ……………………14分
20.(本小题共13分)
解:(Ⅰ)函数的定义域为{0}x x >.
因为ln 1
()ax f x x +=, 所以2
ln ()ax
f x x -'=.
因为0a >,所以当()0f x '=时,1
x a
=.
当1(0,)x a
∈时,()0f x '>,()f x 在1
(0,)a 上单调递增;
当 1(,)x a
∈+∞时,()0f x '<,()f x 在1
(,)a +∞上单调递减.
所以当1x a
=时,1
()()f x f a a ==最大值. ……………………6分
(Ⅱ)当01b <<时,方程ln 1x bx +=有两解. ……………………8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得
ln 11x x +≤,变形得1
1ln x x
-≤,当1x =等号成立.所以 1
1ln 22-<,
231ln 32
-<,
……
11ln 1
k k
k k --
<-, 所以得到 当*
N k ∈且2k ≥时,
1111
ln 234k k
+++??????+<. ……………………10分 由(Ⅰ)得
ln 1
1x x
+≤,变形得 ln 1x x ≤-,当1x =等号成立.所以 33
ln
122<-, 44
ln 133<-, 55
ln 144
<-, ……
11
ln
1k k k k
++<-, 所以得到 当*
N k ∈且2k ≥时,11111
ln
2234k k
+<+++??????+. 又因为1ln
ln 22
k k +<,
所以当*
N k ∈且2k ≥时,1111
ln
ln 2234k k k
<+++??????+<. ……………………13分
(若用其他方法解题,请酌情给分)