《2018年高考文科数学分类汇编》
第八篇:立体几何
一、选择题
1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A
.
B .12π
C
.
D .10π
2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为
A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为
B ,则在
此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172
B .52
C .3
D .2
3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A BC D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为 A .8
B
.
C
.
D
.4.【2018全国二卷9】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与
所成角的正切值为
A
B
C
D
5.
【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
6.
【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD A B C D ,,
,ABC △
边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为 A .
B .
C .
D .
7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
第7题图
第8题图
8.【2018浙江卷3】某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 A .2
B .4
C .6
D .8
9.【2018浙江卷8】已知四棱锥S ?ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点(不含端点),设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S ?AB ?C 的平面角为θ3,则 A .θ1≤θ2≤θ3
B .θ3≤θ2≤θ1
C .θ1≤θ3≤θ2
D .θ2≤θ3≤θ1
10.【2018上海卷15】《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ?是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA ?为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )
(A )4 (B ) 8(C )12 (D )16
二、填空题
1.【2018全国二卷16】已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成
角为,若的面积为,则该圆锥的体积为__________.
D ABC -俯视图
正视图
2
211S SA SB SA 30?SAB △8
2.【2018天津卷11】如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________.
3.【2018江苏卷10】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体
积为
.
三、解答题
1.【2018全国一卷18】如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC
为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;
(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,
且2
3
BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积.
2.【2018全国二卷19】如图,在三棱锥中,,
为的中点.
(1)证明:平面;
P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC
(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.
3.【2018全国三卷19】如图,矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,的点.
(1)证明:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面?说明理由.
4.【2018北京卷18】如图,在四棱锥P?ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ⊥PD ,PA =PD ,E ,F 分别为AD ,PB 的中点.
(Ⅰ)求证:PE ⊥BC ;
(Ⅱ)求证:平面PAB ⊥平面PCD ; (Ⅲ)求证:EF ∥平面PCD .
5.【2018天津卷17】如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB =2,AD
=,∠BAD =90°.
(Ⅰ)求证:AD ⊥BC ;
(Ⅱ)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.
M BC 2MC MB C
POM ABCD CD M CD
C D AMD ⊥BMC AM P MC ∥
PBD
6.【2018江苏卷15】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C =⊥.
求证:(1)AB ∥平面11A B C ; (2)平面11ABB A ⊥平面1A BC .
7.【2018江苏卷22(附加题)】如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分
别为A 1B 1,BC 的中点.
(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值; (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.
8.【2018浙江卷19】如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,
C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC =120°,A 1A =4,C 1C =1,AB =BC =B 1B =2.
(Ⅰ)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1;
(Ⅱ)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.
9.【2018上海卷17】已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2
(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;
(2)设PO =4,OA ,OB 是底面半径,且∠AOB =90°,M 为线段AB 的中点,如图,求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.
参考答案 一、选择题
1.B
2.B
3.C
4.C
5.A
6.B
7.C
8.C
9.D 10.D 二、填空题 1.π8 2.
3
1 3.4
3
三、解答题
1.解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥.
又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD . 又AB ?平面ABC , 所以平面ACD ⊥平面ABC .
(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =.
又2
3
BP DQ DA ==
,所以BP =. 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE
=1
3
DC . 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1. 因此,三棱锥Q ABP -的体积为
111
13451332
Q ABP ABP V QE S -=??=?????=△.
2解:(1)因为AP =CP =AC =4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP =.
连结OB .因为AB =BC
,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB ==2.
由知,OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ,OP ⊥AC
知PO ⊥平面ABC .
(2)作
CH ⊥OM ,垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ,所以CH ⊥平面POM .
故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知
OC ==2,CM =,∠
ACB =45
°. 所以OM ,CH =.
所以点C 到平面POM .
3.解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .
因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM . 因为M 为上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM .
又BC ∩CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时,MC ∥平面PBD .
证明如下:连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 中点. 连结OP ,因为P 为AM 中点,所以MC ∥OP . MC 平面PBD ,OP 平面PBD ,所以MC ∥平面PBD .
4.解:(Ⅰ)∵PA PD =,且E 为AD 的中点,∴PE AD ⊥.
∵底面ABCD 为矩形,∴BC AD ∥, ∴PE BC ⊥.
(Ⅱ)∵底面ABCD 为矩形,∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥平面PAD .
12AC
222OP OB PB +=12AC 23BC sin OC MC ACB OM ??∠?CD ???
∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥,
∴PD ⊥平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD . (Ⅲ)如图,取PC 中点G ,连接,FG GD .
∵,F G 分别为PB 和PC 的中点,∴FG BC ∥,且1
2
FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点, ∴1
,2
ED BC DE BC =
∥, ∴ED FG ∥,且ED FG =,∴四边形EFGD 为平行四边形, ∴EF GD ∥.
又EF ?平面PCD ,GD ?平面PCD , ∴EF ∥平面PCD .
5.解:(Ⅰ)证明:由平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD =AB ,AD ⊥AB ,可得AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥BC .
(Ⅱ)解:取棱AC 的中点N ,连接MN ,ND .又因为M 为棱AB 的中点,故MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.
在Rt △DAM 中,AM =1,故DM
AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥AC .
在Rt △DAN 中,AN =1,故DN
在等腰三角形DMN 中,MN =1
,可得12cos MN
DMN DM ∠==.
所以,异面直线BC 与MD
. (Ⅲ)解:连接CM .因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点,故CM ⊥AB ,CM
=又因为平面ABC ⊥平面ABD ,而CM ?平面ABC ,故CM ⊥平面ABD .所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角. 在Rt △CAD 中,CD
. 在Rt △CMD
中,sin CM CDM CD ∠=
=. 所以,直线CD 与平面ABD
6.证明:(1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1.
因为AB ?平面A 1B 1C ,A 1B 1?平面A 1B 1C , 所以AB ∥平面A 1B 1C .
(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形.
又因为AA 1=AB ,所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B .
又因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC .
又因为A 1B ∩BC =B ,A 1B ?平面A 1BC ,BC ?平面A 1BC , 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1?平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .
7.解:如图,在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O ?xyz .
因为AB =AA 1=2,
所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --.
(1)因为P 为A 1B 1
的中点,所以
1,2)2P -,
从而
131
(,,2)(0,2,22),BP AC ==-
-,
故
111|||cos ,|
||||
5BP AC BP AC BP AC ?=
=
=
?.
因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为.
(2)因为Q 为BC 的中点,所以
1,0)2Q ,
因此
33
(
,0)2AQ =,11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==
.
设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量, 则10,0,AQ AC ???
???=
?=n n 即3
0,2
220.y y z +=
?+=?
不妨取1,1)=-n ,
设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,
则111||sin |cos |,|||CC CC CC |
θ==
??=
=n n n ,
所以直线CC 1与平面AQC 1
所成角的正弦值为.
8.解:方法一:
(Ⅰ)由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥
得111AB AB ==,所以2221111A B AB AA +=.
故111AB A B ⊥.
由2BC =,112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥
得11B C = 由2,120AB BC ABC ==∠=?
得AC =
由1CC AC ⊥
,得1AC =222
1111AB BC AC +=,故
111AB B C ⊥. 因此1AB ⊥平面111A B C .
(Ⅱ)如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连结AD .
由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB , 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB , 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.
由111111BC AB AC ==
111111cos C A B C A B ∠=∠=
所以1C D =
111sin 13
C D C AD AC ∠=
=
.
因此,直线1AC 与平面1ABB
方法二:
(Ⅰ)如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz .
由题意知各点坐标如下:
111(0,(1,0,0),(0,(1,0,2),),A B A B C
因此111112),3),
AB A B AC ==-=-uuu r uuu u r uuu u r
来源学#科#网Z#X#X#K]
由1110AB A B ?=uuu r uuu u r
得111AB A B ⊥. 由1110
AB AC ?=uuu r uuu u r 得111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .
(Ⅱ)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.
由(Ⅰ)可知11(0,0,2),AC AB BB ===uuu r uu u r uuu r
设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n .
由10,0,AB BB ??=???=??uu u r uuu r n n
即0,20,x z ?+=??
=?
?
可取(,0)=n .
所以111|sin |cos ,||||AC AC AC θ?===?uuu r
uuu r uuu r
n |n n |
因此,直线1AC 与平面1ABB
9.解:(1)依题意可知:圆锥的高度为3
22422=-=OP ,
所以其体积为:πππ33
8322313122=???==
h r V 。 (2)依题意可知:⊥OP 平面OAB ,则OA OP ⊥,OB OP ⊥。
而 90=∠AOB ,则OB OA ⊥,即OA 、OB 、OP 两两相互垂直。
所以可以以点O 为原点,分别以OA 、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系。则)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)4,0,0(P
M 为线段AB 中点,)0,1,1(M ∴,)4,1,1(-=∴,)0,2,0(=。
则直线PM 与OB 的夹角的余弦值为:
62
4
16112cos =?++=
=
θ, 解得:6
2
arccos =θ