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2018年高考文科数学分类汇编专题八立体几何

《2018年高考文科数学分类汇编》

第八篇:立体几何

一、选择题

1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A

B .12π

C

D .10π

2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为

A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为

B ,则在

此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172

B .52

C .3

D .2

3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A BC D -中,2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为 A .8

B

C

D

.4.【2018全国二卷9】在正方体中,为棱的中点,则异面直线与

所成角的正切值为

A

B

C

D

5.

【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

6.

【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD A B C D ,,

,ABC △

边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为 A .

B .

C .

D .

7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

第7题图

第8题图

8.【2018浙江卷3】某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 A .2

B .4

C .6

D .8

9.【2018浙江卷8】已知四棱锥S ?ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点(不含端点),设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S ?AB ?C 的平面角为θ3,则 A .θ1≤θ2≤θ3

B .θ3≤θ2≤θ1

C .θ1≤θ3≤θ2

D .θ2≤θ3≤θ1

10.【2018上海卷15】《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ?是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA ?为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )

(A )4 (B ) 8(C )12 (D )16

二、填空题

1.【2018全国二卷16】已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成

角为,若的面积为,则该圆锥的体积为__________.

D ABC -俯视图

正视图

2

211S SA SB SA 30?SAB △8

2.【2018天津卷11】如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1–BB 1D 1D 的体积为__________.

3.【2018江苏卷10】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体

积为

三、解答题

1.【2018全国一卷18】如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC

为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ;

(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,

且2

3

BP DQ DA ==,求三棱锥Q ABP -的体积.

2.【2018全国二卷19】如图,在三棱锥中,,

为的中点.

(1)证明:平面;

P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC

(2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.

3.【2018全国三卷19】如图,矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,的点.

(1)证明:平面平面;

(2)在线段上是否存在点,使得平面?说明理由.

4.【2018北京卷18】如图,在四棱锥P?ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA ⊥PD ,PA =PD ,E ,F 分别为AD ,PB 的中点.

(Ⅰ)求证:PE ⊥BC ;

(Ⅱ)求证:平面PAB ⊥平面PCD ; (Ⅲ)求证:EF ∥平面PCD .

5.【2018天津卷17】如图,在四面体ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面ABC ⊥平面ABD ,点M 为棱AB 的中点,AB =2,AD

=,∠BAD =90°.

(Ⅰ)求证:AD ⊥BC ;

(Ⅱ)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值.

M BC 2MC MB C

POM ABCD CD M CD

C D AMD ⊥BMC AM P MC ∥

PBD

6.【2018江苏卷15】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C =⊥.

求证:(1)AB ∥平面11A B C ; (2)平面11ABB A ⊥平面1A BC .

7.【2018江苏卷22(附加题)】如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分

别为A 1B 1,BC 的中点.

(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值; (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值.

8.【2018浙江卷19】如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,

C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC =120°,A 1A =4,C 1C =1,AB =BC =B 1B =2.

(Ⅰ)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1;

(Ⅱ)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.

9.【2018上海卷17】已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,半径为2

(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;

(2)设PO =4,OA ,OB 是底面半径,且∠AOB =90°,M 为线段AB 的中点,如图,求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.

参考答案 一、选择题

1.B

2.B

3.C

4.C

5.A

6.B

7.C

8.C

9.D 10.D 二、填空题 1.π8 2.

3

1 3.4

3

三、解答题

1.解:(1)由已知可得,BAC ∠=90°,BA AC ⊥.

又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD . 又AB ?平面ABC , 所以平面ACD ⊥平面ABC .

(2)由已知可得,DC =CM =AB =3,DA =.

又2

3

BP DQ DA ==

,所以BP =. 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE

=1

3

DC . 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE =1. 因此,三棱锥Q ABP -的体积为

111

13451332

Q ABP ABP V QE S -=??=?????=△.

2解:(1)因为AP =CP =AC =4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP =.

连结OB .因为AB =BC

,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB ==2.

由知,OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ,OP ⊥AC

知PO ⊥平面ABC .

(2)作

CH ⊥OM ,垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ,所以CH ⊥平面POM .

故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知

OC ==2,CM =,∠

ACB =45

°. 所以OM ,CH =.

所以点C 到平面POM .

3.解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .

因为BC ⊥CD ,BC 平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM . 因为M 为上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM .

又BC ∩CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM 平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时,MC ∥平面PBD .

证明如下:连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 中点. 连结OP ,因为P 为AM 中点,所以MC ∥OP . MC 平面PBD ,OP 平面PBD ,所以MC ∥平面PBD .

4.解:(Ⅰ)∵PA PD =,且E 为AD 的中点,∴PE AD ⊥.

∵底面ABCD 为矩形,∴BC AD ∥, ∴PE BC ⊥.

(Ⅱ)∵底面ABCD 为矩形,∴AB AD ⊥. ∵平面PAD ⊥平面ABCD ,∴AB ⊥平面PAD .

12AC

222OP OB PB +=12AC 23BC sin OC MC ACB OM ??∠?CD ???

∴AB PD ⊥.又PA PD ⊥,

∴PD ⊥平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面PCD . (Ⅲ)如图,取PC 中点G ,连接,FG GD .

∵,F G 分别为PB 和PC 的中点,∴FG BC ∥,且1

2

FG BC =. ∵四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点, ∴1

,2

ED BC DE BC =

∥, ∴ED FG ∥,且ED FG =,∴四边形EFGD 为平行四边形, ∴EF GD ∥.

又EF ?平面PCD ,GD ?平面PCD , ∴EF ∥平面PCD .

5.解:(Ⅰ)证明:由平面ABC ⊥平面ABD ,平面ABC ∩平面ABD =AB ,AD ⊥AB ,可得AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥BC .

(Ⅱ)解:取棱AC 的中点N ,连接MN ,ND .又因为M 为棱AB 的中点,故MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.

在Rt △DAM 中,AM =1,故DM

AD ⊥平面ABC ,故AD ⊥AC .

在Rt △DAN 中,AN =1,故DN

在等腰三角形DMN 中,MN =1

,可得12cos MN

DMN DM ∠==.

所以,异面直线BC 与MD

. (Ⅲ)解:连接CM .因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点,故CM ⊥AB ,CM

=又因为平面ABC ⊥平面ABD ,而CM ?平面ABC ,故CM ⊥平面ABD .所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角. 在Rt △CAD 中,CD

. 在Rt △CMD

中,sin CM CDM CD ∠=

=. 所以,直线CD 与平面ABD

6.证明:(1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1.

因为AB ?平面A 1B 1C ,A 1B 1?平面A 1B 1C , 所以AB ∥平面A 1B 1C .

(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形.

又因为AA 1=AB ,所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B .

又因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC .

又因为A 1B ∩BC =B ,A 1B ?平面A 1BC ,BC ?平面A 1BC , 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1?平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .

7.解:如图,在正三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O ?xyz .

因为AB =AA 1=2,

所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --.

(1)因为P 为A 1B 1

的中点,所以

1,2)2P -,

从而

131

(,,2)(0,2,22),BP AC ==-

-,

111|||cos ,|

||||

5BP AC BP AC BP AC ?=

=

=

?.

因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为.

(2)因为Q 为BC 的中点,所以

1,0)2Q ,

因此

33

(

,0)2AQ =,11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==

设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量, 则10,0,AQ AC ???

???=

?=n n 即3

0,2

220.y y z +=

?+=?

不妨取1,1)=-n ,

设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,

则111||sin |cos |,|||CC CC CC |

θ==

??=

=n n n ,

所以直线CC 1与平面AQC 1

所成角的正弦值为.

8.解:方法一:

(Ⅰ)由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥

得111AB AB ==,所以2221111A B AB AA +=.

故111AB A B ⊥.

由2BC =,112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥

得11B C = 由2,120AB BC ABC ==∠=?

得AC =

由1CC AC ⊥

,得1AC =222

1111AB BC AC +=,故

111AB B C ⊥. 因此1AB ⊥平面111A B C .

(Ⅱ)如图,过点1C 作111C D A B ⊥,交直线11A B 于点D ,连结AD .

由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB , 由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB , 所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.

由111111BC AB AC ==

111111cos C A B C A B ∠=∠=

所以1C D =

111sin 13

C D C AD AC ∠=

=

.

因此,直线1AC 与平面1ABB

方法二:

(Ⅰ)如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz .

由题意知各点坐标如下:

111(0,(1,0,0),(0,(1,0,2),),A B A B C

因此111112),3),

AB A B AC ==-=-uuu r uuu u r uuu u r

来源学#科#网Z#X#X#K]

由1110AB A B ?=uuu r uuu u r

得111AB A B ⊥. 由1110

AB AC ?=uuu r uuu u r 得111AB AC ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .

(Ⅱ)设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.

由(Ⅰ)可知11(0,0,2),AC AB BB ===uuu r uu u r uuu r

设平面1ABB 的法向量(,,)x y z =n .

由10,0,AB BB ??=???=??uu u r uuu r n n

即0,20,x z ?+=??

=?

?

可取(,0)=n .

所以111|sin |cos ,||||AC AC AC θ?===?uuu r

uuu r uuu r

n |n n |

因此,直线1AC 与平面1ABB

9.解:(1)依题意可知:圆锥的高度为3

22422=-=OP ,

所以其体积为:πππ33

8322313122=???==

h r V 。 (2)依题意可知:⊥OP 平面OAB ,则OA OP ⊥,OB OP ⊥。

而 90=∠AOB ,则OB OA ⊥,即OA 、OB 、OP 两两相互垂直。

所以可以以点O 为原点,分别以OA 、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系。则)0,0,2(A ,)0,2,0(B ,)4,0,0(P

M 为线段AB 中点,)0,1,1(M ∴,)4,1,1(-=∴,)0,2,0(=。

则直线PM 与OB 的夹角的余弦值为:

62

4

16112cos =?++=

=

θ, 解得:6

2

arccos =θ

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