初二数学讲义

教学目录

第11章三角形

11.1 与三角形有关的线段

11.1.1 三角形的边

11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性

信息技术应用画图找规律

11.2 与三角形有关的角

11.2.1 三角形的内角

11.2.2 三角形的外角

阅读与思考为什么要证明

11.3 多边形及其内角和

11.3.1 多边形

11.3.2 多边形的内角和

第12章全等三角形

12.1 全等三角形

12.2 三角形全等的判定

信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质

第13章轴对称

13.1 轴对称

13.1.1 轴对称

13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形

信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形

13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形

13.4 课题学习最短路径问题

第14章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法

14.1.1 同底数幂的乘法

14.1.2 幂的乘方

14.1.3 积的乘方

14.1.4 整式的乘法

14.2 乘法公式

14.2.1 平方差公式

14.2.2 完全平方公式

阅读与思考杨辉三角

14.3 因式分解

14.3.1 提公因式法

14.3.2 公式法

阅读与思考型式子的分解o

第15章分式

15.1 分式

15.1.1 从分数到分式

15.1.2 分式的基本性质

15.2 分式的运算

15.2.1 分式的乘除

15.2.2 分式的加减

15.2.3 整数指数幂

阅读与思考容器中的水能倒完吗？

15.3 分式方程

C

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

11.1.1 三角形的边

探究1：三角形的基本知识和分类

1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接

所组成的图形叫做三角形。

如图线段AB，BC，CA是三角形的，点A，B，C是三角形的，

∠ A、∠ B、∠ C是相邻两边组成的角，叫做，简称。

顶点是A，B，C的三角形，记作，读作“”

2.按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

以是否有边相等，可以将三角形分为三边都不相等的三角形和等腰三角形。

在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。

探究2：三角形三边关系

1.在三角形ABC中，

AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC

得出：三角形两边的和大于第三边，

假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，有条路线。路线最近，

根据是：。

2. 推论：三角形两边的差小于第三边。

探究3：判断三条线段能否组成三角形的方法

①当任意两条线段之和大于第三条线段时，能组成三角形。

②当两条较短线段之和大于最长线段时，能组成三角形。

③当两条较长线段之差的绝对值小于最短线段时，能组成三角形。

探究4：确定第三边的取值范围的方法

根据三角形三边关系可以知道第三边的取值范围是：大于两外两边的差的绝对值而小于另外两边的和。反馈练习：

1. 如图所示，图中三角形的个数共有（）个。

2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )

A ．1cm ，2 cm ，3cm

B ．2cm ，3 cm ，6 cm

C ．4cm ，6 cm ，8cm

D ．5cm ，6 cm ，12cm 3.如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8

4. 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A ． 5 B.6 C ．11 D.16

5.已知等腰三角形的周长为24，一边长是4，则另一边长是（ ） A. 16 B.10 C. 10或16 D. 无法确定

6. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1≤x ≤3 B ．1＜x ≤3 C ．1≤x ＜3 D ．1＜x ＜3

7.已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（ ） A ．22 B ．17 C ．17或22 D ．13

8. 在△ABC 中，AB=5,AC=7,那么BC 的长的取值范围是______ _. ９．一个等腰三角形，周长为20cm ，一边长6cm ，求其他两长。 1０、P 是△ABC 内一点,说明PA+PB+PC>2

1

(AB+BC+AC).

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线

探究1：高的定义

从三角形的一个 向它的 所在的直线作 ， 和 之间的线段，叫做三角形的高。

AD 是△ABC 的高 ∴AD ⊥BC 于点D （或∠ =∠ =90o） 逆向：

AD ⊥BC 于点D （或∠ =∠ =90o） ∴ AD 是△ABC 中BC 边上的高

请画出下列三角形的高

A A A

B C B C B C

图1

A B C D （1） （2） （3） P

C

B

A

探究2：中线的定义

连结三角形一个 和它对边 的线段，叫做三角形的中线。 AD 是△ABC 的中线 ∴ = 逆向： = ∴AD 是△ABC 的中线 画出下列三角形的中线

注意：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心

。

探究3：角平分线的定义

三角形一个内角的

与它的 相交,这个角

与 之间的线段，叫做三角形的角平分线。 AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠ =∠

逆向：

∠ =∠ ∴AD 是△ABC 的角平分线 画出下列三角形的角平分线

注意：

１.三角形的高、中线与角平分线都是线段，并且都有三条，这三条都相交于一点。

２.三角形的角平分线、中线都在三角形的内部，而三角形的高不一定在三角形内部。

反馈练习：

1、三角形的高是（ ） A ．直线 B ．射线 C ．线段 D ．垂线

2、如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定 3、对于任意三角形的高，下列说法不正确的是（ ）

A ．锐角三角形有三条高

B ．直角三角形只有一条高

C ．任意三角形都有三条高

D ．钝角三角形有两条高在三角形的外部 ４. 以下说法错误的是（ ）

A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点

B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点

A B C D （1） （2） （3） （1）

（2） （3） 图3 A B C D 1 2

C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点

D ．三角形的三条高可能相交于外部一点

５、如图1，△ABC 中，高CD 、BE 、AF 相交于点O ，则△BOC?的三条高分别为线段____ ____． ６、如图2，在△ABC 中，∠ACB=900

，CD 是边AB 上的高。与∠A 相等的角是（ ） A.∠A B.∠ACD C.∠BCD D.∠BDC C

图1 A Ｄ B

图

2

７. 如图，在△ABC 中，AC=6，BC=8，AD⊥BC 于D ，AD=5， BE⊥AC 于E ，求BE 的长．

８.如图，在△ABC 中，AE 是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB 的度数．

11.1．3三角形的稳定性

探究1：

1、如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

2、如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

3、如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

（2）

总结：三角形木架形状 改变，四边形木架形状 改变，这就是说，三角形具有 性，四边形不具有 性。

斜钉一根木条的四边形木架的形状 改变，原因是四边形变成了两个三角形，这样就利用了三角形的 。

A

D

E C

B

反馈练习：

1、下列图形中具有稳定性的有

（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

2、在建筑工地我们常可看见如右图所示，用木条EF

固定矩形门框ABCD的情形.这种做法根据( )

A.两点之间线段最短

B.两点确定一条直线

C.三角形的稳定性

D.垂线段最短

3、下列图形具有稳定性的有（）

A.梯形

B. 长方形

C. 直角三角形

D. 正方形

11.2与三角形有关的角

11.2.1 三角形的内角

探究1:

在事先准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（如图1），并将它的内角剪下拼合在一起，看看得到什么结果。

（图1）（图2）

从上面的操作过程你能得出什么结论？

把一个三角形其中的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如图2、图3），形成了一个角。说明 中，。

在ABC

从中得出：

三角形内角和定理：。

想一想

1、如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？

2、已知： . 求证： .

C

D B

证明：已知三角形ABC,过点A 作直线DE ，使DE //BC Ｄ Ａ Ｅ

因为DE //BC ，

所以∠B =∠ （ ） 同理∠

C=∠

因为∠BAC 、∠DAB 、∠EAC 组成 角， Ｂ Ｃ 所以∠BAC+∠DAB+∠EAC= （ ）

所以∠BAC + ∠B + ∠C= （ ）

说明：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示。

例题:

如右下图，C 岛在A 岛的北偏东

50方向， B 岛在A 岛的北偏东

80方向，C 岛在B 岛的北偏西

40方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角ACB 是多少度？ 解：∠CAB= - = 80°- 50°=30°

由AD//BE,可得： + =180° 所以∠ABE=180°- =180°-80°=100°

∠ABC= - =100°-40°=60°

在⊿ABC 中，∠ACB=180°- - =180°- 60°- 30°=90°

反馈练习：

1、在△ABC 中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=_ ___；

2、在△ABC 中,若∠A=80°,则∠B ＋∠C=__ __；

3、在△ABC 中,若∠A=400，∠A=2∠B ，则∠C = 。

4、判断对错：

（1）三角形中最大的角是

70，那么这个三角形是锐角三角形（ ） （2）一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ） （3）一个三角形最少有一个角不大于

60（ ）

5、如右图，在△ABC 中∠C=60°，∠B=50°，

AD 是∠BAC 的平分线，则∠BAD= ，∠DAC=__ _ ,∠ADB=__ __。 6、如图：在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC=132°， 则∠A 等于多少度？若∠BOC=a °时，∠A 又等于多少度呢？

A

O

探究2:

如图,在△ABC 中,∠ABC=700

,∠C=650

,BD ⊥AC 于D ， 求⑴∠ABD,∠CBD 的度数 ⑵∠ABD+∠A=900

∠CBD+∠C=900

总结：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余三角形是直角三角形。

11.2．2 三角形的外角

探究：

1. 把ABC ?的一边AB 延长到D ，得ACD ∠， 它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？ 定义：三角形的一边与 组成的角， 叫做三角形的外角。

想一想：三角形的外角有几个？ . 每个顶点处有 个外角， 但它们是 。 2．已知：ACD ∠是ABC ?的外角 求证：（1）B A ACD ∠+∠=∠

（2）A ACD ∠>∠，B ACD ∠>∠

证明：（1）因为∠A+∠B+∠ACB=180°（ ）. 所以∠A+∠B= . 又因为∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD= . 所以∠ACD=∠ （ ）. （2）由（1）的证明结果可以得出：

A ACD ∠>∠，

B ACD ∠>∠

三角形的一个外角等于 两个内角的 ； 三角形的一个外角大于 任何一个内角。

A

B C

D

3.例题：如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC 的不同三个外角，则它们的和是多少？ 解：因为∠1=∠ABC+∠ACB ，

∠2= ，∠3= （ ） 所以 ∠1 + ∠2 + ∠3

= 2（ + + ） 因为 + + = 180o， 所以 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2 180o = 360o

反馈练习：

1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定

2、△ABC 中，若∠C-∠B=∠A ，则△ABC 的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．

3、如图，△ABC 中，点D 在BC 的延长线

上，点F 是AB 边上一点，延长CA 到E ， 连EF ，则∠1，∠2，∠3的大小关系是 ______ ___．

4、 三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。

5、 如图所示，则α= °．

6、 如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠D 的度数．

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

探究：你能从图7.3—1中找出几个由一些线段围成的图形吗?

A

C D

B

（第6题）

58°

（第5题）

24° 32° α

我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon ）。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n 条线段组成，那么这个多边形就叫做n 边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。

7.3-2

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 是五边形ABCDE 的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l 是五边形ABCDE 的一个外角。

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal ）。图7.3—5中，AC 、AD 是五边形ABCDE 的两条对角线。

特别提醒：n 边形（n ≥3）从一个顶点可引出（n －3）条对角线，把n 边形分割成（n －2）个三角形，共有对角线

n(n 3)

2

-条。 例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式

n(n 3)10(103)

3522

-?-==（条）。

如图7.3—6（1），画出四边形ABCD 的任何一条边（例如CD ）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7.3—6（2）中的四边形ABCD 就不是凸四边形，因为画出边CD （或BC ）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边

我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。图7.3－7是正多边形的一些例子。

特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。

11.3.2多边形的内角和

探究1：观察图7.3—9，请填空：

从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°3_________。

从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°3__________。

通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗?

一般地，怎样求n边形的内角和呢?请填空：

从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°3______。

总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°。

所以n边形内角和等于（n－2）3180°。

探究2：如图7.3—11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少?

分析：考虑以下问题：

（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系?

（2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少?

（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系?

联系这些问题，考虑外角和的求法。

解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°,因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于63180°。

这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于

63180°－（6－2）3180°＝23180°＝360°。

探究3：如果将探究2中六边形换为n边形（n的值是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗?

思路：（用计算的方法）

设n边形的每一个内角为∠1，∠2，∠3，……，∠n，其相邻的外角分别为180°－∠1，180°－∠2，180°－∠3，…180°－∠n。外角和为（180°－∠1）＋（180°－∠2）＋…＋（180°－∠n）=n3180°－（∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠n）=n3180°－（n－2）3180°=360°

注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想。

由上面的探究可以得到：

多边形的外角和等于360°。

你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°。

如图7.3—12，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°。

反馈练习：

1、若四边形的四个内角大小之比为1：2：3：4，则这四个内角的大小为 。

2、如果六边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 。

3、在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的

1

3

，则这个多边形的每个内角为 度。 4、（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）。

A ： 180°

B ： 360°

C ：n 3180° D: n 3360° 5、n 边形的内角中，最多有（ ）个锐角。

A ：1个

B ： 2 个

C ： 3个

D ： 4个 7、若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数。 ○11260° ○

22160°

8、已知n 边形的内角和与外角和之比为9:2，求n 。

第十二章 全等三角形

12.1全等三角形

探究1：

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形，则______________________ 叫做全等三角形。

（2）全等三角形的对应顶点： 。 对应角： 。 对应边： 。 （3）“全等”符号： 读作“全等于”

（4）全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，全等三角形的对应角 。 例题：

这两个三角形是完全重合的，则△ABC △ A 1B 1C 1.。 点A 与 A 1点是对应顶点;点B 与 点 是对应顶点;点C 与 点 是对应顶点. 对应边： 对应角： 。

C 1

1C

A

B

A 1

探究2：

甲

D

C

A

B

F

E 乙

D

C

A

B

丙

D

C

A

B

E

议一议：各图中的两个三角形全等吗？

即 ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ．（书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

反馈练习：

1.判断对错

全等三角形的面积相等.（ ） 全等三角形的周长相等.（ ） 面积相等的两个三角形全等.（ ） 周长相等的两个三角形全等.（ ） 形状相同的两三角形全等.（ ）

能够完全重合的两个三角形全等.（ ）

2. 如图1，ABC ?BAD ??，C ∠和D ∠对应，AC 和BD 对应，AB =8cm, BD =5cm, AD =7cm,那么BC 的长等于（ ）

A.8cm

B.5cm

C.7cm

D.无法确定

3.如图2，ABE ACD ???,AB 与AC 、AD 与AE 是对应边， 已知：43,30A B ∠=∠= ,求ADC ∠的大小. A

D

E

O

图2 图1

C

D

O

B

A

12.2 三角形全等的判定

知识要点：

1、填空：能够 三角形，叫全等三角形；全等三角形的对应边 ，对应角 ；平移、翻折、旋转前后的两三角形 .

2、已知C B A ABC '''???,你能得到哪些结论？ ○

1 ○2

探究1：在上述六个条件中，已知其中的一个条件，一定能证明C B A ABC '''???吗？

1、有一组对应边相等

2、有一组对应角相等

探究2：在上述六个条件中，已知其中的二个条件，一定能证明C B A ABC '''???吗？

1、有两组对应边相等

2、有两组对应角相等

3、有一组对应边和一组对应角相等

探究3：在上述六个条件中，已知其中的三个条件，一定能证明C B A ABC '''???吗？

1、有三组对应边相等

2、有三组对应角相等

3、有两组对应边及它们的夹角相等 5、有两组对应角及它们的夹边相等

4、有两角和其中一个角的对边分别相等

5、两边和其中一个边的对角分别相等

6、斜边和一条直角边分别相等

结论1：三边分别相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS ”） 结论2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（可以简写成“边角边”或“SAS ”） 结论3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（可以简写成“角边角”或“ASA ”） 结论4： 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）．

反馈练习:

1.下列判断正确的是（ ）.

Ａ.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等. Ｂ.有一角和一边分别相等的两个直角三角形全等.

Ｃ.有两边对应相等，且有一角为30 的两个等腰三角形全等. Ｄ.有两个角和一边对应相等的两个三角形全等. 2.下列命题：①一边和一锐角对应相等的两直角三角形全等；②两直角边对应相等的两直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两直角三角形全等；④有一个角和一条边分别相等的两个直角三角形全等.其中，正确的个数是（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.如图，在ABC ?中，90,C DE AB ∠=⊥ 于D ，BC BD =,如果5AC =cm ，那么AE DE +等 于（ ）

A.4 cm

B.5 cm

C.6 cm

D.7 cm

6.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带( )去.

A.⑴

B.⑵

C.⑶

D.⑴⑵⑶

4.如图，AD 、A D ''分别是锐角ABC ?和A B C '''?中BC 、B C ''边上的高，且AB AB

''=，AD A D ''=若使ABC A B C '''???，请你补充条件 （只需填写一个你认为正确的条件）.

5.如图，,,,DE AB DF AC AE AF ⊥⊥=你能找出一对全等三角形吗？并证明你的结论.

7.如图，点D 在AB 上，E 在AC 上，,.AB AC ABE ACD =∠=∠ 求证：.CD BE =

E

D C B

A

第7题

C

E A

B

D 3第题D '

C '

B A '

B

A

4第题

F

E

C

B A

5第题()

1()3()

2

8.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．

14. 已知：如图，AB 是∠CAD 的平分线，∠C ＝∠D.求证：AC ＝AD.

8.如图，,AF BD CD AB EF AB AC =⊥⊥，，∥.BE 求证：.CD EF =

11.如图，在ABC ?中，,AB AC AD =是高.求证：;B C AD ∠=∠平分.BC

附：、证明两个三角形全等的思路：

E

D

C

B

A

F

第8题 A

D

C

B

A

12.3角的平分线的性质

探究1：用尺规作一个角的平分线.

已知：∠AOB ， 求作：∠AOB 的平分线OC . 作法：

（1） 以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M,交OB 于点N. （2） 分别以点M, N 为圆心，大于

1

2

MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C. （3） 画射线OC. 射线OC 即为所求。

探究2：角的平分线的性质

如图，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，且PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E . 求证：.PD PE =

结论1：角平分线的性质是：角平分线上的 到角两边的 相等。

探究4：如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ．

求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．

结论2：角平分线的性质的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

反馈练习:

1.AOB ?的平分线上一点M ，M 到AO 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为

O

A

B

图3

E

D

P C B O A

2.如图4，在ABC △中，90C ∠= ， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．

3.如图5，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D . (1) 若∠BAC =30°, 则AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由; (2) 若AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.

4、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点O 。求证：AO ⊥BC 。

第十三章 轴对称

13.1.1轴对称

探究1：准备一张纸；对折纸；用圆规在纸上扎出如图所示的图案（或者发挥你的想象扎出其它你认

为美丽的图案）；把纸打开铺平，观察所得的图案，位于折痕两侧的部分有什么关系？

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 图4

B

D

P

A

B

C

D 图

5

C

图

6

练习：下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?

图（1）有 条对称轴；图（2）有 条对称轴；图（3）有 条对称轴；图（4）有 条对称轴；图（5）有 条对称轴．

通过练习我们发现什么问题，轴对称图形的对称轴的数量一样吗？

探究2：观察下列图形，有什么共同特点？

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，? 这条直线叫做对称轴， 折叠后重合的点是对应点 ，叫做对称点．

探究3：

1、如图(1)，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线MN 对称， 点A ′、B ′、C ′分别是点A 、B 、C 的对称点，线段AA ′

、BB ′、CC ′与直线MN 有什么关系？ （1） 设AA ′交对称轴MN 于点P ，将△ABC 和△A ′B ′C ′

沿MN 折叠后，点A 与A ′重合吗？

于是有PA ＝ ，∠MPA ＝ ＝ 度

（2）对于其他的对应点，如点B ，B ′；C ，C ′也有类似的情况吗？ （3）那么MN 与线段AA ′，BB ′，CC ′的连线有什么关系呢？ 2、垂直平分线的定义：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 3、轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

反馈练习:

1、轴对称图形的对称轴的条数( )

A.只有1条

B.2条

C.3条

D.至少一条 2、下列图形中对称轴最多的是( ) A.圆 B.正方形 C.角 D.线段