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线性代数期末考试试题答案

线性代数期末考试试题答案
线性代数期末考试试题答案

线性代数期末试题答案

学院 系 姓名 学号 分数 22/12/2003

一、填空题(本题共10个小题,每小题2分,满分20分。答案写在答题纸上)。 (1)若=0λ是矩阵A 的特征值,则|

|A = 0 。

(2)若2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值,则1

3

12

A -?? ?

?

?

必有一个特征值为 1/4 。

(3)若20000101A x ?? ?= ? ???与20000001B y ?? ?= ?

?-??相似,则x y += 1 。

(4)若矩阵A 与矩阵130110002B

??

?=- ? ???

相似,则A 的特征值为 -2,

2(二重) 。 (5)若A 为实对称矩阵,T (1,1,3)α=与T (4,5,)a β=是 A 的分别属于特征值3与4

的特征向量,则a

= -3 。

(6)设,αβ是实对称矩阵A 的分别属于特征值1和2的单位特征向量,则

(2)A αβ+= 。

(7)若A 是正交矩阵,,αβ是长度分别为3,4的正交向量,则()A αβ+= 5 。

(8)二次型122331f x x x x x x =++的秩是 3 。

(9)二次型

123123123(,,)()(2)=++++f x x x x x x x x x 的符号差为 0 。

(10)二次型

33

123

11

(,,)

i j

i j

f x x x x x

==

=∑∑的正惯性指数和秩的乘积是 1 。

二、选择题(本题共10个小题,每小题2分,满分20分。每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。答案写在答题纸上)。

(1)设A为n阶实对称矩阵,则[ B]

(A) ) 对于任意n

维实向量有;

Ax x

= (B) A有n个互相正交的特征向量;

(C) A的线性无关的两个特征向量一定正交;(D) A有n个互不相同的的实特征值;

(2)下列矩阵中不是正交矩阵的是

[ D ]

cos sin0

01

(A);(B)sin cos0;

10

001

15

11

11

(C)51;(D)

6211

4

θθ

θθ

?

??

-

?? ?

-

? ?

?? ?

-

??

??

??

+-

?

?

--

??

?

??

(3) n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[B ]

(A) A有n个互不相同的特征值; (B) A有n个线性无关的特征向量;

(C) A有n个互不相同的特征向量; (D) A有n个两两正交的特征向量。

(4)同阶矩阵A与B相似的充分必要条件是[B ]

(A)存在可逆矩阵P与Q,使得PAQ B

=;(B) 存在可逆矩阵P,使得1

A P BP

-

=;

(C) 存在可逆矩阵P,使得T

P AP B

=; (D) ()()

r A r B

=。

(5)如果矩阵A与对角矩阵

100

010

001

D

??

?

= ?

?

-

??

相似,则10=

A [ A ]

(A)E; (B)A; (C)E

-; (D) 10E。

(6) 若实可逆矩阵C使得实矩阵,A B满足T

C AC B

=,则必成立[ C ]

(A)A与B有相同的特征值; (B) 当B是对称矩阵时,有T1

A A-

=;

(C)当T

B B =时,二次型T X AX 与T X BX 有相同的规范形; (D) A 与B 相似。

(7)实二次型T ()f X X AX =正定的一个充分必要条件是 [ D ]

(A)|

|0A >; (B)存在可逆矩阵C ,使得T C AC 成为对角形矩阵;

(C)A 可逆; (D)存在可逆矩阵P ,使得T A P P =。

(8)二次型222

12312232442f x x x x x x x =+---的一个标准形是 [ A ]

(A)2

221

2322y y y --; (B) 22122y y - ; (C) 212y ; (D) 22212323y y y -+。

(9)设111300111,000,111000A B ???? ? ?== ? ? ? ?????

则[ A ] (A)A 与B 既合同又相似; (B) A 与B 合同但不相似;

(C) A 与B 不合同但相似;(D) A 与B 既不合同又不相似。

(10)设A 是三阶矩阵,将A 的第二行加到第一行得B ,将B 的第二列减去第一列得C ,记110010001P ?? ?= ? ???

,则[ B ] (A)1C P AP -=; (B)1C PAP -=; (C)T C

P AP =; (D)T C PAP =。

三、计算题(本题共5个小题,满分为40分) (解答写在答题纸上) (1)(5分)设(1,3,4),(1,1,2)α

β==-,求 (i)(,)αβαβ-+;

(,)((2,2,2),(0,4,6))20.αβαβ-+==

(ii)

22

αβαβ

+--。

2

2

4(,)4(138)40.αβαβαβ+--==?-++=

(2)(5分)设4阶实对称矩阵A 的特征值是1,1,2,2--,求

(i)|2|;A

4|2|2464.A =?= (ii)tr(5)A ;

tr(5)500.A =?=

(iii)**

()

A

的最小特征值;

**1*1114

1

1

2

()(||)||||(||)||||||||16.A A A A A A A A A A A A A A ------=====

**()A 最小特征值为16(2)32.?-=-

(iv)二次型T

X AX 的正惯性指数。

二次型T

X

AX 的正惯性指数是2。

(3)(10分)设021201110A -?? ?=- ? ???

,求可逆矩阵C ,使得T

C AC 为对角矩阵。

1213231122123

32222

12131132

2221323

222

1231131132222333

31021201110422.4()44()414()42441122A f x x x x x x x y y x y y x y

f y y y y y y y y y y y y z z z z y y y z z z y y z z y y z

x -??

?=- ?

???

=-++=+??

=-??=?=--+=--+=--++=-++?

?=-=+????==????==????

1232123

331212z z z x z z z x z ?

=++??

?

=-+??

=???

(4)(10分)设T 222

12313()222(0)f X X AX ax x x bx x b ==+-+>,其中A 的特

征值之和为1,特征值之积为12-。

(i)求,a b ;

(ii)用正交线性替换X QY =把f

化为标准形。

T 222

123132222121()222(0)

00020.tr()1,||0202(2)12,

02024, 2.

102020.202102

||020(2)[6]

202(2)(3).

2(2), 3.

2.f X X AX ax x x bx x b a b a b A A a A b b b b b A E A λλλλλλλλλλλλ==+-+>??

?

=====--=- ? ?--??==??

?= ?

?-??

---=-=-+--+=-+==-=

重1212233102102000000204000(0,1,0),(2,0,1).

(0,1,0),(2//3

402201050010.(1,0,2).201000(1//ηηξξληξ--????

? ?→ ? ?

? ?-????=====---????

? ?-→=- ? ? ? ?--????

=-

222

12202/1/10

001/2/223.

Q f y y y ?- = ?

???

=+-

(5) (10 分)当t 在什么范围时二次型

222

123123121323(,,)44224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+为正定二次型?

222123123121323212232222(,,)44224.

1142.

124110.40,||2,2 2.

4

1

1

1

14

204212

4023

3(4)(44)4484(2)4(2)(1)0,2 1.

f x x x x x x tx x x x x x t A t t

A A t t t t t t

A t t t t

t t t t t t t t t t =+++-+-??

?= ? ?-??

=>==-><-<<--==-+-+=--++=--+=-+-=-+->-<<

当21t -<<时二次型正定。

四、证明题(本题共2个小题,每小题10分,满分为20分) (解答写在答题纸上) (1)(10分)假设A 是n 阶实矩阵,对于任意n 维列向量α

有A αα

=,证明:

(i) 对于任意n 维列向量,αβ有(,)(,)A A αβαβ=; (ii)A 是正交矩阵。 证明

22

22

22

1

(i)(,)[]

4

1

[()()]

4

1

[()()](,).

4

A A A A A A

A A

αβαβαβ

αβαβ

αβαβαβ

=+--

=+--

=+--=

1

(ii)(,,).

(,)(,)(,).

n

i j i j i j ij

A

A A

αα

ααεεεεδ

=

===

(2)(10分)证明n阶实矩阵

1

1

1

b b

b b

A

b b

??

?

?

=

?

?

??

1(1)00

010

001

n b

b

B

b

+-

??

?

-

?

=

?

?

-

??

相似(n>1,b≠0)。

证明

11

1||1

1(1)1(1)11(1)1

111(1(1))

111010

(1(1))001(1(1))(1)0,

1(1),1.

b b b

b E A b b n b b b n b b n b

b

b b b

n b b b b b n b b n b b n b b λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------=

-------------=

---------=--------+=----+=----+==+-=-

根据实对称矩阵相似于特征值组成的对角矩阵的定理,A 相似于B 。

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2

同济大学线性代数期末考试试题(多套)

微 信 公 众 号 : 学 习 资 料 杂 货 铺 同济大学课程考核试卷(A 卷) 2009—2010学年第一学期 一、填空题(每空3分,共24分) 1、 设1α、2α、3α均为3维列向量,已知矩阵 123(,,)A ααα=, ()123123123927,248B ααααααααα=++++++,3,且1A =,那么B = -12 . 2、 设分块矩阵A O C O B ?? =? ??? , ,A B 均为方阵,则下列命题中正确的个数为4 . (A).若,A B 均可逆, 则C 也可逆. (B).若,A B 均为对称阵, 则C 也为对称阵. (C).若,A B 均为正交阵, 则C 也为正交阵. (D).若,A B 均可对角化, 则C 也可对角化. 3、 设23413 451 45617891 D = ,则D 的第一列上所有元素的代数余子式之和为 0. 4、 设向量组(I):12,,,r αααL 可由向量组(II):12,,,s βββL 线性表示,则 D 成立.(注:此题单选) (A).当r s <时,向量组(II)必线性相关 (B).当r s >时,向量组(II)必线性相关 (C).当r s <时,向量组(I)必线性相关 (D).当r s >时,向量组(I)必线性相 关 5、 已知方阵A 满足2 23A A O +=, 则() 1 A E ?+= E+2A . 6、 当矩阵A 满足下面条件中的 ABC 时,推理“若AB O =, 则B O =”可成立. (注:此题可多选) (A).A 可逆(B).A 为列满秩(即A 的秩等于A 的列数) (C).A 的列向量组线性无关 (D).A O ≠7、 设矩阵,A B 分别为3维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵,已知1,2?为 A 的特征值, B 的所有对角元的和为5, 则矩阵B 的全部特征值为 1,-2,6 . 8、 设n J 是所有元素均为1的n 阶方阵(2n ≥),则n J 的互不相同的特征值的个数为2 . 二、(10分)已知矩阵200011031A ????=??????,100052021B ????=??????, 112101030C ???? =??????? .

线性代数复习题及答案

《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容: 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义,排列的逆系数,行列式性质,代数余子式, 行列式的计算,三角化法及降阶法,克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算,初等变换与初等矩阵的定义,方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件,用初等变换求逆矩阵,矩阵方程的解法,矩阵的秩的定义及求法;齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件,;非齐次线性方程组有解的充要条件,解的判定。 第三章 线性方程组 n维向量的线性运算,向量组线性相关性的定义及证明,向量空间,向量组的极大线性无关组、秩; 齐次线性方程组的基础解系,解的结构,方程组求解;非齐次线性方程组解的结构,用初等变换解方程组,增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题: 一、填空 (1)五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ; (2)设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα,则α= (1,0,0) ; (3)设向量组γβα,,线性无关,则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ; (4)设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵,且*A =8,则12)(2-A = 4 ; (5)线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ; (6)设???? ? ??=k k A 4702031,且0=T A 则k = 0或6 ; (7)n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ; (8)的解的情况是:方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ; (9)方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件;

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数期末考试试卷答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号填“√”,错误的在括号填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 £ s £ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

渤海大学 线性代数试题 期末考试试卷及参考答案

渤海大学20 级 专科 (机电一体化技术专业) 第二学期《线性代数》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、 填空:(每空2分,共20分) (1) _________3 412=。 (2)_________40 00 03000020 00011 =????? ???? ???- (3) _________4 00 083005 720604 1= (4)_________11211120122431210133=???? ??????-+??????????- (5)若__________ 5032==??? ? ??=A A A T 则 (6)=+-==-=32132127) ,5, 2( ,)1 ,2 ,4( , )2 ,1 ,1(αααααα则有=_______ (7)1 2111-??? ? ??=____________。 (8)若A=???? ??????333222321则A 的列向量组为____________若r(A)=2,则列 向量组的秩为________。 二、选择题: (每题2分,共10分) (1) 设==≠==2 2 2 333 1 1113 3 3 222 111 222222222D ,0c b a c b a c b a k c b a c b a c b a D 则( ) (a)-2k (b)2k (c)-8k (d)8k (2)n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 和代数余子式ij A 的关系为( ) ij ij A M a -=)( ij n ij A M b )1()(-= ij ij A M c =)( ij j i ij A M d +-=)1()( (3)E C B A 、、、为同阶矩阵,且E 为单位阵,若E ABC =,下式( )总是成立的。 E BCA a =)( E ACB b =)( E CBA c =)( E CAB d =)( (4)), (=κ下列方程组有唯一解。 ?? ?? ?? ?---=--=-=--=++)1)(3()1(32213332321k k x k k x k x x k x x x 2)(a 1)( 4)( 3)( -d c b (5)设A 是n m ?矩阵,0=AX 是非齐次线性方程组B AX =所对应的齐次线性方程组,则下列 结论正确的是( ) 有唯一解。仅有零解,则若B AX AX a ==0)( 有无穷多解。非零解,则若B AX AX b ==0)( 仅有零解。有无穷多解,则若0)(==AX B AX c 有非零解。有无穷多解,则若0)(==AX B AX d 三、 简单计算(每题8分,共24分) (1)1 3 042 241 -- (2) ???? ? ??? ????????-021012 7011011 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人

线性代数试题及答案。。

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有()

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

线性代数试卷及答案

《 线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷 考试时间:120分钟 考试科目:线性代数 考试时间: 学号: 姓名: 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一.单项选择题(每小题3分,共30分) 1.设A 经过初等行变换变为B ,则( ).(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <; () B ()()r A r B =; ()C ()()r A r B >; () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2.设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =,则( )。 () A A 中有一行元素全为零; () B A 有两行(列)元素对应成比例; () C A 中必有一行为其余行的线性组合; () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4.下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是( ) () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠;

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ; 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5.设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???,若矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( )。 ()A 1; () B 11n -; () C 1-; () D 11 n -. 6.四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于( )。 ()A 12341234a a a a b b b b -; ()B 12341234a a a a b b b b +; () C 12123434()()a a b b a a b b --; () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7.设A 为四阶矩阵且A b =,则A 的伴随矩阵* A 的行列式为( )。 ()A b ; () B 2b ; () C 3b ; () D 4b 8.设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=,n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=( ) () n A I ; ()3n B A I +; ()3n C A I --; ()D 3n A I + 9.设A ,B 是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是( )。 ()A A 与B 的秩相同; ()B A 与B 的特征值相同; () C A 与B 的特征矩阵相同; () D A 与B 的行列式相同;

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( )

线性代数试题及答案

(试卷一) 一、 填空题(本题总计20分,每小题2分) 1. 排列7623451的逆序数是_______ 。 2. 若 122 21 1211=a a a a ,则=1 6 030 32221 1211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵,则 CA B =-1 。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________ 5. 设A 为 86 ?的矩阵,已知它的秩为4,则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为 __2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵,??? ? ? ? ?=-12 30120011 A ,则=*A 7.若A 为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式1 2 3 4 5 3201111111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2) T -的模(范数)______________。 10.若()T k 11=α与()T 12 1 -=β正交,则=k 二、选择题(本题总计10分,每小题2分) 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ,则(D) A.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ D.r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ,则=A (A) A.8 B.8- C. 3 4 D.3 4-

3.设向量组A 能由向量组B 线性表示,则( d ) A.)()(A R B R ≤ B.)()(A R B R < C.)()(A R B R = D.)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ,则 () * kA 等于_____。c )(A * kA )(B * A k n )(C * -A k n 1 )(D * A 5. 设n 阶矩阵A ,B 和C ,则下列说法正确的是_____。 )(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)( )(D 2 2))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分) 1. 计算n 阶行列式2 222 1 = D 2 222 2 22322 2 122 2-n n 222 2 。 2.设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵,且2 1=A ,求* A A 2) 3(1 --. 3.求矩阵的逆 1112 1112 0A ?? ?=- ? ?? ? 4. 讨论λ为何值时,非齐次线性方程组2 1231231 231 x x x x x x x x x λλλλλ?++=? ++=??++=? ① 有唯一解; ②有无穷多解; ③无解。 5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。 ??? ??=++=+++=+++5 221322 431 43214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组 () T 32 01 1=α、 () T 53 1 12=α、 () T 131 1 3-=α、

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关

大一线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数试题及答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式:闭卷 考试时间: 一、单项选择题(每小题 3分,共15分) 1.设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型 ()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型. (A ) 1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥. 4.初等矩阵(A ); (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,, ,n ααα线性无关,则(C ) A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关; B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; D. 以上都不对。 二、填空题(每小题3分,共15分) 6.实二次型()2 3 2221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t 7.设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ,则1A -=

大一线性代数期末试题及答案

C. 32322,2,a a a a + D. 1321,,a a a a - 6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使 7.设a 为n m ?矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】 A .A 的行向量组线性相关 B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数(i =1,2,3),且齐次线性方程组?? ?=++=++00 332 211332211x b x b x b x a x a x a 的基础解系含2个解向量,则必有 【 】 A. 03221= b b a a B.02121≠ b b a a C. 332211b a b a b a == D. 02 131= b b a a 9.方程组123123 12321 21 3 321 x x x x x x x x x a ++=? ?++=??++=+? 有解的充分必要的条件是 【 】 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η1,η2,η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由η1,η2,η3线性表示的向量组 B. 与η1,η2,η3等秩的向量组 C.η1-η2,η2-η3,η3-η1 D. η1,η1-η3,η1-η2-η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解,也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】 A. }0|),,,{(2121=a a a a a n B. }0|),,,{(121∑= =n i i n a a a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i i n a a a a 14.若2阶方阵A 相似于矩阵? ? ?? ??=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵

线性代数期末考试试卷答案

枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数习题及解答

线性代数习题一 说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2,则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3 D .6 2.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1 B .E -A C .E +A D . E -A -1 3.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( ) A .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1 ?? ???A B B .?? ??? A B 不可逆 C .?? ? ??A B 可逆,且其逆为-1-1?? ??? B A D .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是 ( ) A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关 B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)T B .(-2,0,-1,1)T C .(1,-1,-2,0)T D .(2,-6,-5,-1)T 6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( )

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