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抽象函数的应用

抽象函数的应用
抽象函数的应用

第二章 第10节 函数模型及其应用

第二章 第十节 函数模型及其应用 1.已知A 、B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地, B 地 停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时t (小时)的 函数表达式是 ( ) A.x =60t +50t (0≤t ≤6.5) B.x =60,0 2.5 150,2.5 3.515050,3.5 6.5<3.5 t t t t ??-?≤≤ D.x =60,0 2.5 150,2.5 3.515050 3.5< 3. 6.5<5t t t t t ????--? ≤≤≤(),≤ 解析:依题意,函数为分段函数,求出每一段上的解析式即可. 答案:D 2.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价20元,羽毛球每只定价5元,该店制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一只羽毛球;②按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍,羽毛球30只,两种优惠方法中,更省钱的一种是 ( ) A.不能确定 B.①②同样省钱 C.②省钱 D.①省钱 解析:①种方法需20×4+5×(30-4)=210元,②种方法需(20×4+5×30)×92%=211.6元.故①种方法省钱. 答案:D 3.(2010·邯郸模拟)图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰 三角形及高为2和3的两个矩形所构成,函数S =S (a )(a ≥0)是 图形M 介于平行线y =0及y =a 之间的那一部分面积,则函数 S (a )的图象大致是 ( )

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性: 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=f(x-a)(或f(x-2a)=f(x))(a >0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数; 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数; 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称,则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数; 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b (a ≠b ),则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数; 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),其中a>0,且如果y=f(x)为奇函数,则其周期为4a ;如果y=f(x)为偶函数,则其周期为2a ; 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x),满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或,则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数; 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为4a 的周期函数; 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 (7、8应掌握具体推导方法,如7) 函数图像的对称性: 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称; 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称; 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ,则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形; 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0; 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知:对称中心是点,d a c c ??- ???; 6、设函数y=f(x)定义在实数集上,则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称; 7、若函数y=f(x)有反函数,则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++

【智博教育原创专题】抽象函数常见题型解法

冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =

抽象函数的性质问题解析

抽象函数的性质问题解析 抽象函数是高中数学的一个难点,也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数,综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略,供内同学们参考。 1、 定义域:解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 材料一:若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-,求函数)21(+=x f y 的定义域。 解析:由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-,知1+x 中的)3,2[-∈x ,从而411<+≤-x ,对函数)21(+=x f y 而言,有1124x -≤+<,解之得:),21(]31,(+∞--∞∈ x 。 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结:函数的定义域是指自变量的取值范围,求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同(即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围),如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。 2、 值域:解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 材料二:若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-,求函数)23(+=x f y 的值域。 解析:函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同,故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。 总结:当函数的定义域与对应法则不变时,函数的值域也不会改变。 3、 对称性:解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。 材料三:设函数)(x f y =定义在实数集上,则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于( ) A 、直线0=y 对称 B 直线0=x 对称 C 直线1=y 对称 D 直线1=x 对称 解法一(定义证明):设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点,则)1(00-=x f y ,),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -,要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上,则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=,应有121-=-m ,故1=m , 所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。 解法二(图象变换法):由函数)(x f y =的图象向右平移1个单位得到函数)1(-=x f y 的

《单元10 函数模型及其应用》系列测试卷(A)

《单元10 函数模型及其应用》A佳H系列测试卷(A) 一、选择题(每小题只有一个选项符合题意,共10小题,每小题4分,共40分) 1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是(). A.y=100x B.y=log100x C.y=x100D.y=100x 2.如图,能使不等式log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围是(). A.x>0 B.x>2 C.x<2 D.0<x<2 3. 已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有(). A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y1 4.已知某工厂8年来某种产品的产量c与时间f(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四种说法中,正确的是(). ①前三年中产量增加的速度越来越快; ②前三年中产量增加的速度越来越慢; ③第三年后,这种产品停止生产; ④第三年后,这种产品产量保持不变 A.②③B.②④C.①③D.①④ 5.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均

仓储时间为 8 x 天,且每件产品每天的仓储费用为1元.把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S 表示为x 的函数的是( ). A .S =800+ 8x B .S =800x +8x C .S =x 800+ 8x D .S =x 800+x 6.若一根蜡烛长20 cm ,点燃后每小时燃烧5 cm ,则蜡烛燃烧剩下的髙度h (cm )与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( ). A . B . C . D . 7.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为: ?? ? ??>≤<+≤≤=1005.1100101021014x x x x x x y ,,, ,其中x 代表拟录用人数,y 代表面试人数.若应聘的面试人数 为60人,则该公司拟录用人数为( ). A .15人 B .40人 C .25人 D .70 人 8.有一组实验数据如下表所示: 下列所给函数模型较适合的是( ). A .y =log a x (a >1) B .y =ax +b (a >1) C .y =ax 2+b (a >0) D .y =log a x +b (a >l ) 9.某商场在国庆促销期间规定商场内所有商品按标价的80%出售,同时, 当顾客在该商

抽象函数+解题技巧

抽象函数与解题策略 上海南洋模范中学 熊晓东 2005年11月19日 (一)抽象函数的定义、特征和一般解题策略 (1)什么是抽象函数? 那些没有给出函数的具体解析式,只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。 (2)抽象函数与一般函数的有什么联系? 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如,)x (f )x (f )x x (f 2121+=+对应的是指数函数2 1 2 1x x x x a a a ?=+;)x (f )x (f )x x (f 2121+=对应的是对数函数 2a 1a 21a x l o g x l o g )x x (l o g +=等等。当然,也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型,而是新定义的一种函数。 抽象函数也可以与我们熟悉的函数,如指数函数、对数函数等一样,有自己的性质,如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点,有自己的对称性,能画出大致图像。 (3)抽象函数的解题策略一般有哪些? 面对抽象函数数学题,我们的解题思路一般不外乎①合理赋值,化抽象为具体;②作恒等变形,找出该函数规律性、特征性特点;③分类讨论,归纳出抽象函数的实质问题。 (二)高考中的抽象函数 (1)抽象函数在高考中的地位 函数是高考数学中非常重要的一部分,根据上海卷命题的要求,每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右,2005年高考上海卷中,函数相关的内容将近55分。而抽象函数是函数中考核要求较高,难度较大的内容。2000年开始,不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目,03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f (x )的定义域是[-2,2],则函数y = f (x+1)+f (x -1)的定义域为 11≤≤-x 。 解:f(x)的定义域是[]2,2-,意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析:已知f(x)的定义域是A ,求()()x f ?的定义域问题,相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习:已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ,求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2:已知函数()x f 3log 的定义域为[3,11],求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析: 已知函数()()x f ?的定义域是A ,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

高一数学函数模型及其应用练习题2

函数模型及其应用测试题 一、选择题 1.某工厂的产值月平均增长率为P,则年平均增长率是() A.11 +-D.12 (1)1 P P +- (1)P +B.12 (1)P +C.11 (1)1 答案:D 2.某人2000年7月1日存入一年期款a元(年利率为r,且到期自动转存),则到2007年7月1日本利全部取出可得() A.7 a r +元 (1) (1) a r +元B.6 C.7 (1)(1)(1) +++++++ …元 a a r a r a r (1) a a r ++元D.26 答案:A 3.如图1所示,阴影部分的面积S是h的函数(0) ≤≤,则该函数的图象可 h H 能是() 答案:C 4.甲、乙两个经营小商品的商店,为了促销某一商品(两店的零售价相同),分别采取了以下措施:甲店把价格中的零头去掉,乙店打八折,结果一天时间两店都卖出了100件,且两店的销售额相同,那么这种商品的价格不可能是()A.4.1元B.2.5元C.3.75元D.1.25元 答案:A 5.某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年该工厂工人收入3150元(其中工资性收入1800元,其他收入1350元).预计该地区自2004年开始的5年内,工人的工资性收入将以每年6%的年增长率.其他收入每年增加160元.据此分析,2008年该厂工人人均收入将介于() A.42004400 元 元B.44004600 C.46004800 元D.48005000 元 答案:B 二、填空题 6.兴修水利开渠,其横断面为等腰梯形,如图2,腰与水平线夹角为60 ,要求浸水周长(即断面与水接触的边界长)为定值l,同渠深h=,可使水渠量最大.

抽象函数解题方法与技巧

抽象函数的解题技巧 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥?-≥?得由 例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x 1x ( f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x 1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x -11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x 111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式,设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 4.赋值法

抽 象 函 数 的 解 题 方 法

解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力,以及对一般和特殊关系的认识,因此备受命题者的青睐,成为高考热点。然而,由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性,大多数学生在解决这类问题时,感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中,大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的,解题时最根本点是将抽象函数具体化,这种方法虽不能代替具体证明,但却能找到这些抽象函数的解题途径,特别是填空题、选择题,直接用满足条件的特殊函数求解,得出答案即可。常见的抽象函数模型有: 例1、函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且f (1)=2, f (x )在区间[-4,2]上的值域为 。 0a a ≠且

解析:由题设可知,函数f (x )是正比例()y kx k =为常数的抽象函数,由f (1)=2可求得 k=2,∴ f (x )的值域为[-8,4]。 例2、已知函数f (x )对任意,x y R ∈,满足条件()()()2f x y f x f y +=+-,且当x >0时, f (x )>2,f (3)=5,求不等式2(22)3f a a --的解。 分析:由题设条件可猜测:f (x )是y =x +2的抽象函数,且f (x )为单调增函数,如果 这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设1221,0x x x x -则,∵当x >0时,f (x )>2,∴21()2f x x -,则 , 即,∴f (x )为单调增函数。 ∵, 又∵f (3)=5,∴f (1)=3。∴2(22) (1)f a a f --,∴2221a a --, 解得不等式的解为-1 < a < 3。 例3、定义在R上的函数()y f x =,对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠,且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求: (1)f (0); (2)对任意值x ,判断f (x )值的正负。 分析:由题设可猜测f (x )是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数, 从而猜想f (0)=1且f (x )>0。 解:(1)令y =0代入()()()f x y f x f y +=,则()()(0)f x f x f =, ∴[]()1(0)0f x f -=。若f (x )=0,则对任意12x x ≠,有12()()0f x f x ==,

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0

抽象函数常见题型解法

高考数学总复习第十讲:抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x () ()()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0

时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->, 由条件当x >0时,f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+ =-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数, 令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00= ∴-=-f x f x ()(), 故f x ()为奇函数, ∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在,21上的值域为[]-42, 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。

高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目

函数()f x 的定义域为D ,则其图像为: ()(){},|,x y y f x x D =∈ 1,若把这个图像向左平移a 个单位,得到新图像为: ()(){},|,x y y f x a x D =+∈ 简单说明:新图像上任取点(),x y ,向右平移a 个单位得到(),x a y +,这个点在()f x 图像上,所以()y f x a =+ 向右、上、下平移函数图象情况类似,请自己给出 2,若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称,得到新函数为()2y f a x =- 简单说明:新图像上任取点(),x y ,按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -,这个点在()f x 图像上,所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似,请自己给出 需要指出的是,不能按照任意直线作对称得到新函数,因为新的图像不一定是函数图像(实际上那是方程的图像),另外,按照直线y x =作对称得到的是反函数,当然前提是该函数存在反函数。 3,若把()f x 图像按照点(),a b 作对称,得到新函数()22y b f a b =-- 简单说明:新图像上任取点(),x y ,按照点(),a b 作对称,得到点()2,2a x b y --,这个点在()f x 图像上,则()22b y f a x -=-,整理得()22y b f a x =-- 4,若把()f x 图像在水平方向上作伸缩,横坐标都变为原来的a 倍(0a ≠),纵坐标不变,那么得到新函数图像是x y f a ?? = ??? 简单说明:新函数图像上取点(),x y ,变回去,x y a ?? ???, 这点在()f x 图像上,所以x y f a ?? = ??? 至于竖直方向的伸缩,请自己给出 ==============华丽的分割线=================== 下面是函数图像本身的对称性 5,如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合,即a 是一个周期,那么按照第1条, ()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合,也就是说:()()f x a f x += 6,如果一个函数有一条对称轴x a =,那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个,也就是说:()()2f a x f x -=,至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件,改写一下是非常显然的

抽象函数常见解法及意义总结

含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地 掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下: 一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量表示原自变量x 的代数式,从而求出 ()f x ,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1:已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解:设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法:在已知 (())()f g x h x =的条件下,把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式,再利用代换即可求()f x .此解法简洁, 还能进一步复习代换法。 例2:已知 33 11()f x x x x +=+,求 ()f x 解:∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1) 3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数,∴()f x 的定义域关于原点对称,故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?--

第2章第9讲 函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用 基础知识整合 1.常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数型f(x)=b log a x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数型f(x)=ax n+b(a,b为常数,a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=x n(n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 □01单调递增□02单调递增□03单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与□04y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与□05x轴平行 随n值变化而各有 不同值的比较 存在一个x0,当 x>x0时,有 log a x

上单调递减. (2)当x >0时,x =a 时取最小值2a , 当x <0时,x =-a 时取最大值-2a . 1.(2019·嘉兴模拟)为了预防信息泄露,保证信息的安全传输,在传输过程中需要对文件加密,有一种加密密钥密码系统(Private -Key Cryptosystem),其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y =kx 3,若明文“4”通过加密后得到密文“2”,则接收方接到密文“1 256 ”,解密后得到的明文是( ) A .12 B .14 C .2 D .18 答案 A 解析 由已知,可得当x =4时,y =2,所以2=k ·43,解得k =243=1 32,故y =132x 3.令y =132x 3=1256,即x 3=18,解得x =1 2.故选A . 2.在某个物理实验中,测量得变量x 和变量y 的几组数据,如下表: x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 则对x ,y 最适合的拟合函数是( ) A .y =2x B .y =x 2-1 C .y =2x -2 D .y =log 2x 答案 D 解析 根据x =0.50,y =-0.99,代入各选项计算,可以排除A ;根据x =2.01,y =0.98,代入其余各选项计算,可以排除B ,C ;将各数据代入函数y =log 2x ,可知满足题意.故选D . 3.(2019·山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,

抽象函数的解题方法与技巧

抽象函数的解题方法与技巧 摘要:抽象函数是没有具体的解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发,考虑其定义,性质,加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法,换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词:抽象函数;性质;求值;解析式 ;解题方法;技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题,这类问题通过对函数性质结构的代数表述,能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对函数性质的代数推理和论证能力,考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则,没有明确的表示形式,因其抽象性和综合型,对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 (1)定义域:函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ,()[]x g f 而言,其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ,其中()x g 和()x h 的地位是等价的,故取值范围是一样的。 (2)值域:函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ,它们的值域是相同的。

抽象函数问题分类解析

抽象函数问题分类解析 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 一:函数性质法 函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法 1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特殊值代入 3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法. (1)、线性函数型抽象函数f (x )=kx (k ≠0)-------f (x ±y )=f (x )±f (y ) (2)、二次函数型抽象函数m a x k x f +-=2 )()(——— )()(x a f x a f -=+ (3)、指数函数型的抽象函数 f (x )=a x ------ f (x +y )=f (x )f (y );f (x -y )=) () (y f x f (4)、对数函数型的抽象函数 f (x )=lo g a x (a >0且a ≠1)-----f (x ·y )=f (x )+f (y );f ( y x )= f (x )-f (y ) 三:例题分析 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住:将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体,相当于f x ()中的x 这一特性,问题就会迎刃而解。 例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞,1,则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___。 分析:因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ,所以log ()2221x -≤,解得 22<≤x 或-≤<-22x 。 例2. 已知f x ()的定义域为(0),1,则y f x a f x a a =++-≤()()(||)1 2 的定义域是______。 分析:因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ,所以 010111<+<<-

抽象函数是指函数的三种表示法(经典)

抽象函数是指函数的三种表示法:列表法、图象法、解析法均未给出,只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象,但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力,对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此,这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法: 一、赋值法 先以特殊值作尝试,在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。 例1设函数f(x)的定义域为自然数集,若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立,且f(1) = 1,求f(x)的解析式。 分析:当令y=1时,可得f(x+1)=f(x)+x+1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。 解:令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1, ∴ f(1) = 1 f(2)= f(1) +2 f(3) = f(2) +3 … f(n) = f(n-1) +n 各式相加得:f(n) = 1+2+3+…+n = ∴ f(x) = 例2已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y) = 2 f(x) · f(y),x∈R, y∈R,且f(0)≠0,求证:f(x)是偶函数。 分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。 证明:令x = y = 0 ∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0) ∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1 令 x = 0 , 则 f(y) + f(-y) = 2f(0) · f(y) ∴ f(-y) = f(y), ∵ y∈R, ∴ f(x)是偶函数 例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ ),对任意x > 0, y> 0 恒有f(xy) = f(x) + f(y) 求证:当x > 0时, f( ) = -f(x) 分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。 证明:令x = y = 1,则f(1) = f(1) + f(1),∴ f(1) = 0 又令y = ,x > 0,则 f(1) = f(x) + f( ) ∴ f(x) + f( ) = 0 即f( ) = -f(x) 二定义法 在熟练掌握函数的定义、性质的基础上,对题中抽象函数给出的条件进行分析研究,运用定义、性质进行化简、变形,寻找解决问题的方法。 例4函数f(2x)的定义域是[-1,1],则f(x)定义域为 x)定义域为___________ f(log 2

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