基于法向量约束的三维地质曲面构建

基于法向量约束的三维地质曲面构建

马亚飞，沙浩，杨洪军

中国矿业大学（北京）地球科学与测绘学院，北京，100083

摘要：针对野外地质填图数据三维建模的需求，以秦皇岛柳江盆地实际建模为例，结合法向量约束的插值方法，利用野外填图获得的地质数据，转化产状信息为法向约束条件，构建三维地质曲面，并用GOCAD建模软件生成三维地质结构模型，实验结果表明，该方法构建的三维地质结构模型能真实地反映研究区地质构造情况，具有一定的实践意义。

关键词：野外地质填图；法向量；产状；三维建模

中图分类号：TP391 文献标识码：A

Three-Dimensional Geological Surface Construction

Based on Normal Vector Constraint

Ma Yafei, Sha Hao,Yang Hongjun,

College of Geoscience and Surveying Engineering,China University of Mining and Technology,

Beijing 100083

Abstract：Aiming at the need of 3D modeling in field geological map,take the practical modeling process of LiuJiang basin in QinHuangDao as an example, referring to the interpolation method of normal vector constraint,make full use of geological data from field geological map,turn occurrence information into normal vector constraint,build 3D geological curved surface,and generate 3D geological structure model by modeling software--GOCAD,the results show that the method to build 3D geological structure model can truly reflect the geological structure in the study area and has the practical significance.

Key words:field geological map;normal vector;occurrence;3D modeling

0引言

随着计算机三维技术的不断发展，三维地质建模技术日趋成熟，其应用领域也逐渐扩展。野外地质填图是地质工作者进行的一项常见而重要的工作，通过不同尺度的地质填图可以获得不同精度地质资料，针对基础地质填图的三维建模需求也日益凸显[1]。

目前三维地质建模研究主要是针对钻孔、剖面等精细建模数据，而对野外地质填图数据方面的研究较少，李超岭[2]提出了地质填图PRB双重三维构模技术，形成了三维地质图建模与编制一体化技术方法体系，王丹[2]提出了一种基于平面图的三维地质体建模方法，以图切剖面为中间数据配合平面地质图构建三维地质体模型，提供了不同的方向探索地质填图建模，但都忽视了野外地质填图数据控制点少但包含控制点产状的特点。

基于法向量约束的插值方法在三维地质曲面构建上具有一定优势，在目标函数中加入法

资助项目：国家自然科学青年基金(No.41202238);中国地质调查局工作项目(No.12120114056701)

作者简介：马亚飞(1990－),女,河南新乡人，硕士研究生,研究领域为三维地质建模与可视化；沙浩(1990－),男,江苏徐州人，硕士研究生,研究领域为三维地质建模；杨洪军(1990－),男,安徽蚌埠人，硕士研

向量约束，充分利用仅有的已知信息，更好地控制了曲面的内部形状，适合野外地质填图数据的三维地质体建模构建。本文以秦皇岛柳江盆地野外地质填图数据为基础，采用基于法向量约束的三维地质曲面构建方法，构造三维地质层面和构造界面，从而建立研究区三维地质结构模型。

1曲面构建

1.1基本原理

基于法向量约束的插值方法的基本思想是增加法向约束条件，认为法向量集合能够反映待求表面的曲率变化等特征，对表面重建具有重要利用价值[5]，其构建曲面的基本原理如下：

对于给定的N 个某未知表面M 的采样点{|(,,),1,2,...,}i i i i i t t x y z i N ==及其法向量{}i n ，构建曲面0),,(=z y x Q 使其满足约束条件且无限逼近未知表面M ，曲面选择最常用的且具有较强造型表达能力的二次曲面，其形式如下：

(,,)T Q x y z =Y A （1-1）

其中，222[1]T x y z x y z xy yz zx =Y 为三个变量组成的二次项，

[]T A B C D E F G H

I J =A 为各二次项未知系数，为确定这十个未知系数充分利用已知信息，加入采样点约束条件和法向量约束条件，如图1-1所示，

图1-1 拟合思想

使得局部采样数据点的距离平方和最小，采样数据点处对应的法向量与原物体表面的法向量尽可能重合，所求得的二次项系数保持稳定，收到采样点云的噪声干扰较小[5]，设定目标函数为：2

2T 2i 1min{[()(())(()1)]}N T i i

i i Q t Q t Q t μμ=+??+?-∑τn ，其中μ是权重系数，通

常取值为0.125，()i Q t ?表示()i Q t 在i t 点的梯度（注意，并非i n ），T i τ 是i t 点的切向量的

转置，与该点法向量的转置T i n 垂直。定义310?的矩阵[]i

i

i i x y z

???=???Y Y Y D ，则有， i n i 'n i

τ 0

i θ→2()0i Q t →

000100010001200020002000i x y z y

x z y z x ??????????????=??????????????????

D 梯度向量()()()T T i i i Q t ?=?=Y A D A ，目标函数展开形式为

T 1111min{2}N N

N N T T T

T T T T T i i i i i i i i i i i i i i i i m μμμμ====++-+∑∑∑∑A YY A A D n n D A A D ττD A A D n ，对目标函数求导并整理得：

1111(())N N

N N T

T T T T i i i i i i i i i i i i i i i i μμ====++=∑∑∑∑YY D n n D D ττD A D n （1-2） 为一10×1的线性方程组，代入已知的约束点条件{}i t 和法向约束条件{}i n ，即可求得曲面M 的系数向量A ，为保证求解方程的稳定性，选用奇异值分解的方法求解。

1.2数据处理

在实际野外地质填图时，根据设计好的地质路线，采集地层分界面及断面的地质信息：位置坐标和产状，其中位置坐标显示了地质层面在三维空间中的位置信息，而产状反映了地质层面倾向、弯曲、曲率变化等的特征，是可以利用的一种法向约束条件。通常产状信息以方位角表示法给出：倾向（?）∠倾角（θ），根据基于法向量约束的插值方法的需要，将其转换为空间坐标系中的法向量形式(x,y,z)=n ，令向量的模n

=1，则有 ?????-=?-=?-=)90sin(-)cos()90cos()sin()90cos(θ?θ?θ z y x （1-3）

采样点的切向量τ 与该点法向量n 垂直，由图1-2中的算法流程计算，

图1-2 求切向量算法流程

实际野外填图时只能获得地表岩层分界面的采集数据，地下深部数据暂无法从实际测量中获取，只能根据地表采集点数据推出地下一定深度的采样点信息。假设有已知采样数据点位置坐标(,,)t x y z =及产状θ?∠，那么地下一定深度0z 的采样点位置坐标

000()sin ()cos (,,)tan tan z z z z t x y z φφθθ

--'=++ （1-4） 产状与已知假设点的产状一致。

1.3曲面生成

三维地质结构模型的构建以曲面生成为基础，只有准确合理的曲面生成才能保证模型真实地反映实际地质体构造情况。基于法向量约束的插值方法结合野外地质填图数据特点，加入岩层产状信息，完成针对野外地质填图数据的三维地质曲面生成，步骤如下：

1）经野外实地考查，填图出既定勘察路线上所有岩层分界点地质信息；

2）选定其中一个地质层面，追踪该层面在全部勘探线上的采样点，获得这一系列点的位置坐标及产状信息；

3）产状信息是法向约束条件，由（1-3）式转换为法向量；

4）切向量垂直于法向量，根据图1-2中的算法流程计算；

5）地下一定深度的采样点位置坐标由对应地表采样点经（1-4）式计算求出，法向量及切向量均采用对应地表点的法向量和切向量；

6）将地表点及对应地下点的位置坐标、法向量和切向量代入（1-2）式，求解方程组得到系数向量A ，该地质曲面的表达式为(,,)T Q x y z =Y A ，是一个二次插值曲面；

7）重复步骤2）——步骤6），完成其它地质曲面的生成。

该方法构建的二次插值曲面结合了实测采样点位置坐标信息和产状信息，能较真实地反映出地质曲面延伸起伏情况。以构建的二次插值曲面(,,)T Q x y z =Y A 为基础，在采样点空间边界范围内对相应的地质曲面取样，得到空间离散分布数据用于三维模型的构建，数据采

取应满足以下要求：1）采取精度满足模型构建需要；2）取样足够均匀；3）数据格式满足三维建模软件要求。

2模型构建

以秦皇岛柳江盆地实际地质填图为基础介绍基于地质填图数据的三维地质结构模型构建。

2.1工区概况

秦皇岛位于河北省东北部，地理坐标为东经119°30'~119°50'，北纬39°50'~40°10'，北倚燕山，南临渤海，东越长城与辽宁省绥中县毗邻，地势北高南低，北部为燕山山脉东段，南部为华北平原北端的滨海冲积平原。研究区柳江盆地位于秦皇岛市区北28公里，为一南北向延伸的低山—丘陵地区，北、西、东三面环山，盆状地形。

柳江盆地区域地层特征属典型的华北地台型，地层发育较好，出露较全，化石丰富，除普遍缺失上奥陶统、志留系、泥盆系、下石炭统、中下三叠统、白垩系、古近系及新近系之外，各地层单位划分标志清楚，全区范围内出露的地层有上元古界青白口系、下古生界寒武系和中下奥陶统、上古生界中上石炭统和二叠系、中生界上三叠统和侏罗系以及新生界第四系。该地区是一个由古老变质岩系所组成（并有广泛出露）的蓟县~山海关隆起区的边缘部分发育起来的向斜盆地。晚元古代青白口纪地壳下沉，接受沉积，因此它是晚元古代清白口纪古生代，中生代地层所组成的向斜构造盆地。

柳江向斜盆地基本上为一南北向延伸的不对称甚至局部倒转的向斜，西翼的产状陡峻，西翼南部秋子谷—山羊寨一带产状发生倒转，而东翼产状平缓稳定。基底为太古代，古老的混合岩、混合花岗岩等变质岩出露于向斜盆地的北部、东部及南部边缘，在古老变质岩系之上有一不整合面（吕梁运动造成的），其上为晚元古代青白口纪岩系及以后的各代地层，在向斜的西部及东南外缘为中生代燕山晚期花岗岩侵入[6]。

2.2地质曲面构建

地质曲面的构建以秦皇岛柳江盆地野外地质填图资料为基础，首先，将野外填图获得的资料进行整理，扫描秦皇岛柳江盆地平面地质图成电子版，再用Arcgis软件经校正和配准后将其数字化[7]，数字化的图件包含了具体的空间坐标信息和DEM数据，用于地质曲面的构建。

2.2.1地层界面

地层界面是地质体内部的重要地质要素，也是三维地质结构建模的核心之一。秦皇岛柳江盆地地层界面包括徐庄—馒毛、张夏—徐庄、崮山—张夏、长凤—崮山分界面，以徐庄—馒毛为例，获得徐庄—馒毛分界面上的一系列原始点数据，根据1.3中的曲面生成步骤构建二次插值曲面，取样得到该地层界面的空间离散分布数据，以.txt、.dat、.xls等三维建模软件支持的格式保存，用于三维结构模型曲面的构建。需要说明的是，由于地质曲面的复杂性和大跨度等的特点，简单的二次插值曲面很难表达出完整的地质层面，实际构建曲面时是通过分组构建光滑拼接，细化基于法向量约束的插值方法，从而构建出完整的地层界面。

选择GOCAD三维建模软件，导入徐庄—馒毛分界面的空间离散数据，如图2-1。

图2-1 徐庄—馒毛分界面的空间离散数据

根据离散点分布形式在Curve 中拟合地形边界线，拟合精度根据需要调整，通过Points Set and Curve 向导生成地层界面[8,9]并作相应修剪，如图2-2，同样的方法可构建出其他地层界面。

图2-2 徐庄—馒毛地层界面

2.2.2地形面和断层面

地表地形是三维建模中不可或缺的部分，在Arcgis 空间数据库中，地表地形数据统一采用DEM 栅格数据格式[10]，地形面的构建就是从DEM 地形到GOCAD 三维地形，即将DEM 栅格数据格式转换为GOCAD 三维坐标),,(z y x 数据格式。数字化的秦皇岛柳江盆地平面地质图中储存有DEM 栅格数据，在Arcgis 中将其转换为GOCAD 兼容的三维离散点数据格式，为提高数据有效性，使用Surfer 插值三维离散点数据，在GOCAD 中经Points Set and Curve 向导生成地形面，也可以在数据转换前对DEM 栅格数据做重采样等处理以提高空间分辨率[10]。

断层面的构建相比岩层层面和DEM （的构建）除了结合空间离散点数据外还应参考柳江盆地的具体断裂构造情况和该区平面地质地形图，具体步骤如下：1）导入空间离散点数据；2）拟合边界线；3）根据地质资料中的断层情况调整曲面的位置角度；4）生成断层面。

2.3模型生成

地质曲面模型建立了各地质要素间的基本关系，但它还不是真正的三维地质模型，因为面与面之间依然是不连续的，需在GOCAD 中进行面模型到体模型的转化。

首先，选择两个相邻的地层分界面，利用分界面的边界生成相应的面并对其进行相应的修剪，通过切割获得与其对应的DEM 面和底面进行合并[11]，得到单一地层的结构体模型，图2-3是以徐庄—馒毛和张夏—徐庄分界面构建的徐庄组地层结构体模型，

图2-3 徐庄组地层结构体模型

同样的方法得到张夏组、馒毛组、崮山组地层结构体模型，完成三维地质结构模型的生成，如图2-4。

图2-4 三维地质结构模型

3 结束语

基于法向量约束的三维地质曲面构建方法针对野外地质填图数据进行三维地质结构模型的构建，采用基于法向量约束的插值方法，除了利用野外填图获得的位置信息还加入产状信息的运用，有效地控制曲面内部形状，构建真实合理的地质曲面，准确地反映地质层面的延伸起伏情况。

本文结合秦皇岛柳江盆地实际建模过程，详细介绍了基于法向量约束的方法原理，并对实际建模过程中数据处理、曲面生成、模型生成问题给出具体步骤、方法及构建效果，实验结果表明，用该方法构建的模型能真实的反映研究区实际地质构造情况，对野外地质填图数据的三维建模具有一定实践意义。

参考文献

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