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线面平行证明经典练习题

线面平行证明经典练习题
线面平行证明经典练习题

1、在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中,点E 是 PD 的中点。 求证:PB//平面 AEC

2、在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,M ,N 分别是AB ,PC 的中点。 求证:MN//平面PAD

3、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, D 是 AC 的中点。

求证:AB1//平面DBC 1

4、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 对角线的交点。

求证:C 1O//平面AD 1B 1

E B A C

D P

B D

C'A A'

5、已知ABC-A 1B 1C 1是底面为正三角形的棱柱,D 是

AC 的中点。 求证:AB 1//平面DBC 1

6、正四棱锥S ABCD 中,E 是侧棱SC 的中点。

求证:直线SA //平面BDE

7、已知四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,E 、F 分别是AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PEC

8、ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱,E 是棱BC 的中点。

求证:BD 1//平面C 1DE

A C

B 1C

C A P

9.在三棱柱111ABC A B C 中, D 为BC 中点. 求证:1//A B 平面1ADC ;

A

B C D

C 1 A 1 B 1

平行线经典练习题(整理版)

平行线经典练习题(整理版)2.如图⑧,判定AB ∥CE 的理由是() A .∠B=∠ACE B.∠A= ∠ECD C.∠B=∠AC B D.∠A= ∠ACE 一.判断题: 1.两条直线被第三条直线所截,只要同旁内角相等,则两条直线一定平行。()3.如图⑨,下列推理错误的是() 2.如图①,如果直线l1 ⊥OB,直线l2 ⊥OA ,那么l1与l2 一定相交。() A .∵∠1=∠3,∴a ∥b B.∵∠1=∠2,∴a ∥ b 3.如图②,∵∠GMB= ∠HND (已知)∴AB ∥CD(同位角相等,两直线平行)()C.∵∠1=∠2,∴c ∥d D.∵∠1=∠2,∴c ∥d 4.如图,直线a、b 被直线 c 所截,给出下列条件,①∠1=∠2,②∠3=∠6, ③∠4+∠7=180°,④∠5+∠8=180°其中能判断a∥b 的是() A.①③B.②④C.①③④D.①②③④ 四.完成推理,填写推理依据: 1.如图⑩∵∠B=∠_______,∴AB ∥CD() 二.填空题: 1.如图③∵∠1=∠2,∴_______∥________()。 ∵∠2=∠3,∴_______∥________()。∵∠BGC= ∠_______,∴CD∥EF()∵AB ∥CD ,CD∥EF, ∴AB ∥_______() 2.如图④∵∠1=∠2,∴_______∥________()。 ∵∠3=∠4,∴_______∥________()。2.如图⑾填空: (1)∵∠2=∠B(已知) ∴AB__________ () (2)∵∠1=∠A(已知) ∴__________() (3)∵∠1=∠D(已知) ∴__________() 3.如图⑤∠B=∠D=∠E,那么图形中的平行线有________________________________ 。 4.如图⑥∵AB ⊥BD,CD⊥BD (已知) (4)∵_______ =∠F(已知) ∴AB ∥CD ( ) ∴AC ∥DF()又∵∠1+∠2 = 180 (已知) ∴AB ∥EF ( ) 3.填空。如图,∵AC ⊥AB ,BD⊥AB (已知) ∴CD∥EF ( ) ∴∠CAB =90°,∠______=90°() ∴∠CAB =∠______()三.选 择题: ∵∠CAE =∠DBF (已知) 1.如图⑦,∠D=∠EFC,那么() A.AD ∥BC B.AB ∥CD ∴∠BAE =∠______ C.EF∥BC D.AD ∥EF ∴_____∥_____()

线面平行与垂直的证明题

线面平行与垂直的证明1:如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求证:AC⊥平面B1BDD1; (2)求三棱锥B-ACB1体积. 2:如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点. 求证:(1)PA∥平面BDE;(2)平面PAC⊥平面BDE. D1 C1 B1 A1 C D B A

3:如图:在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中, ∠ABC = 90°,SA ⊥面ABCD ,SA = AB = BC = 1,2 1 AD . (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积; (Ⅱ)证明:平面SBC ⊥平面SCD . 4:已知多面体ABCDFE 中, 四边形ABCD 为矩形,AB ∥EF ,AF ⊥BF ,平面ABEF ⊥平面ABCD , O 、M 分别为AB 、FC 的中点,且AB = 2,AD = EF = 1. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面FBC ; (Ⅱ)求证:OM ∥平面DAF .

5:.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是P C的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明PA//平面EDB;(2)证明PB⊥平面EFD; 6:已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB,点M,N分别在AC和BF上,且 AM=FN. C

求证:MN ‖平面BCE. 7:如图,正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a (1)求证:直线//1B A 平面1ACD (2)求证:平面1ACD ⊥平面D BD 1;

8:如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点, 求证:(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点, (1)求证:平面A B1D1∥平面EFG; (2)求证:平面AA1C⊥面EFG.

相交线与平行线基础测试题附答案

相交线与平行线基础测试题附答案 一、选择题 1.下列命题错误的是() A.平行四边形的对角线互相平分 B.两直线平行,内错角相等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.若两实数的平方相等,则这两个实数相等 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义,分别进行判断,即可得到答案. 【详解】 解:A、平行四边形的对角线互相平分,正确; B、两直线平行,内错角相等,正确; C、等腰三角形的两个底角相等,正确; D、若两实数的平方相等,则这两个实数相等或互为相反数,故D错误; 故选:D. 【点睛】 本题考查了判断命题的真假,以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义,解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题. 2.如图1,将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为 A.80°B.50°C.30°D.20° 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析:根据平行线的性质,得∠4=∠2=50°,再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°.故答案选D.

考点:平行线的性质;三角形的外角的性质. 3.如图,点,D E 分别在BAC ∠的边,AB AC 上,点F 在BAC ∠的内部,若 1,250F ?∠=∠∠=,则A ∠的度数是( ) A .50? B .40? C .45? D .130? 【答案】A 【解析】 【分析】 利用平行线定理即可解答. 【详解】 解:根据∠1=∠F , 可得AB//EF , 故∠2=∠A=50°. 故选A. 【点睛】 本题考查平行线定理:内错角相等,两直线平行. 4.如图,直线AC ∥BD ,AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线,那么下列结论错误的是( )

线面垂直习题精选

. . . . . 线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1,在正方体 1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD . 证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥ 1A A ,DB ⊥AC ,1A A AC A =, ∴DB ⊥平面 11A ACC ,而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,2 234MO a =. 在Rt △11A C M 中,2 21 94 A M a =.∵22211A O MO A M +=,∴1AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明. ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC ⊥平面PAC . 证明:在平面PAC 作AD ⊥PC 交PC 于D . 因为平面PAC ⊥平面PBC ,且两平面交于PC , AD ?平面PAC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质,得AD ⊥平面PBC . 又∵BC ?平面PBC , ∴AD ⊥BC . ∵PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,∴PA ⊥BC . ∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面PAC . (另外还可证BC 分别与相交直线AD ,AC 垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ). 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直?线面垂直?线线垂直. 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题.下面举例说明. 3 如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ,,于 E F G ,,. 求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥. 证明:∵SA ⊥平面ABCD , ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥,∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ?平面SAB ,∴BC AE ⊥.∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥.∴AE ⊥平面SBC .∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥. 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD , 作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵ AC BC =,∴CF AB ⊥. ∵AD BD =,∴DF AB ⊥. 又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥. ∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =, ∴ AH ⊥平面BCD .

(完整版)线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容,必有一个证明题;重点考察:平行与垂直(线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等),我们现在对线面平行这一方面作如下探讨: 方法一:中位线型:找平行线。 例1、如图⑴,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中,点E 是PD 的中点.求证://PB 平面AEC 分析: 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二:构造平行四边形,找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交,BE//CF ,求证:AE//平面DCF. 分析:过点E 作EG//AD 交FC 于G , DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线,那么只要证明AE//DG 即可。 方法三:作辅助面使两个平面是平行, 即:作平行平面,使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 为菱形, M 为OA 的中点,N 为BC 的中点,证明:直线MN OCD 平面‖ 分析::取OB 中点E ,连接ME ,NE ,只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四:利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上,且AM=FN. 求证:MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M

例5.如图⑸,已知三棱锥P—ABC,A′,B ′,C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证:A′B′∥面ABC; (2)求S △A ′B ′C ′:S △ABC . 方法五:(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直,关键:建立空间坐标系 (或找空间一组基底)及平面的法向量。 例6、如图⑹,在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为正方形, 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ,,分别为AB SC ,的中点.证明EF ∥平面SAD ; 分析:因为侧棱SD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是正方形,所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明:如图,建立空间直角坐标系D xyz -. 设(00)(00)A a S b ,,,,,,则(0)(00)B a a C a ,,,,,, 00222a a b E a F ???? ? ????? ,,,,,, 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ,,. 因为y 轴垂直与平面SAD ,故可设平面的法向 量为n r =(0,1,0) 则:02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ,,(0,1,0)=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD .

线线平行线面平行面面平行的练习题

线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1.如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证:CD∥EF. 2.已知直线a ∥平面α,直线a ∥平面β,平面αI 平面β=b , 求证//a b . 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB (如图所示)M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证:MN //平面BCE 4.如图2-3-7所示,正三棱柱ABC —A1B1C1中,D 是BC 的中点,试判断A1B 与平面ADC1的位置关系,并证明你的结论. 5.、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点, 求证:MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证:(1)E 、F 、B 、D 四点共面;(2)面AMN ∥面EFBD. 7.已知在正方体ABCD -1111D C B A 中,M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点,在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面,并证 明你的结论。

8.已知点 是△ 所在平面外一点,点 , , 分 别是△ ,△ ,△ 的重心,求证:平面 平 面 . 9. 已知三棱锥P—ABC,A′,B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证:面A′B′C′∥面ABC; (2)求S △A ′B ′C ′: S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中,平面ABC//平面A 1B 1C 1 , 若D 是棱1 CC 的中点,在棱AB 上是否存在一点E ,使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示: 1.证明:∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理AB∥EF,∴CD∥EF. 2. 证明:经过a 作两个平面γ和δ,与平面α和β分别相交于直线c 和d , ∵a ∥平面α,a ∥平面β, ∴a ∥c ,a ∥d ,∴c ∥d , 又∵d ?平面β,c ?平面β, ∴c ∥平面β, d c b a δ γ β α

人教版初中数学相交线与平行线基础测试题附答案

人教版初中数学相交线与平行线基础测试题附答案 一、选择题 1.如图,△ABC中,∠C=90°,则点B到直线AC的距离是 ( ) A.线段AB B.线段AC C.线段BC D.无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用点到直线的距离定义得出答案. 【详解】 解:如图,三角形ABC中,∠C=90°,则点B到直线AC的距离是:线段BC. 故选:C. 【点睛】 本题考查点到之间的距离,正确把握相关定义是解题关键. 2.下列命题是真命题的是() A.同位角相等 B.对顶角互补 C.如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等 =-的图像上. D.如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点P在直线y x 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行线的性质定理对A、C进行判断;利用对顶角的性质对B进行判断;根据直角坐标系下点坐标特点对D进行判断. 【详解】 A.两直线平行,同位角相等,故A是假命题; B.对顶角相等,故B是假命题; C.如果两个角的两边互相平行,那么这两个角相等或互补,故C是假命题; =-的图像上,故D是真命D.如果点的横坐标和纵坐标互为相反数,那么点P在直线y x 题 故选:D 【点睛】 本题考查了真命题与假命题,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题.利用了平行线性质、对顶角性质、直角坐标系中点坐标特点等知识点.

3.如图,下列能判定AB CD ∥的条件有( )个. (1)180B BCD ∠+∠=?; (2)12∠=∠; (3)34∠=∠; (4)5B ∠=∠. A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行线的判定定理依次判断即可. 【详解】 ∵180B BCD ∠+∠=?,∴AB ∥CD ,故(1)正确; ∵12∠=∠,∴AD ∥BC ,故(2)不符合题意; ∵34∠=∠,∴AB ∥CD ,故(3)正确; ∵5B ∠=∠,∴AB ∥CD ,故(4)正确; 故选:C. 【点睛】 此题考查平行线的判定定理,熟记定理及两个角之间的位置关系是解题的关键. 4.如图,下列能判定AB ∥CD 的条件有几个( ) (1)12∠=∠ (2)34∠=∠(3)5B ∠=∠ (4)180B BCD ∠+∠=?. A .4 B .3 C .2 D .1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的判定逐一判定即可. 【详解】 因为12∠=∠,所有AD ∥BC ,故(1)错误. 因为34∠=∠,所以AB ∥CD ,故(2)正确. 因为5B ∠=∠,所以AB ∥CD ,故(3)正确. 因为180B BCD ∠+∠=?,所以AB ∥CD ,故(4)正确.

线面垂直--经典练习题(精选.)

1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,90BCD ∠=?,AB CD ∥,又1AB BC PC ===,2PB =,2CD =,AB PC ⊥. (Ⅰ)求证:PC ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求PA 与平面ABCD 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角B PD C --的大小. 2.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,且AB CD ∥,90BAD ∠=?,2PA AD DC ===,4AB =. (Ⅰ)求证:BC PC ⊥; (Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求点A 到平面PBC 的距离. 3.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,AB CD ∥,1AB AD ==,12D D CD ==,AB AD ⊥. (Ⅰ)求证:BC ⊥平面1D DB ; (Ⅱ)求1D B 与平面11D DCC 所成角的大小.

9.如图,在三棱锥P -ABC 中,△PAC 和△PBC 是边长为2的等边三角形,AB =2,O 是AB 中点. (1)在棱PA 上求一点M ,使得OM ∥平面PBC ; (2)求证:平面PAB ⊥平面ABC . 10.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心,BE 是VC 边上的高. 求证:VC ⊥AB ; 11.如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,1AB BB =,1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点. (1)求证://1C B 平面BD A 1; (2)求证:⊥11C B 平面11A ABB ; 提示:11A C 中点和1B A 连 D A C B S E F G A 1 B 1 C 1 A B C D

人教版七年级数学下册《平行线》基础练习

《平行线》基础练习 一、选择题(本大题共5小题,共25.0分) 1.(5分)下列说法中,正确的有() ①过两点有且只有一条直线;②有AB=MA+MB,AB<NA+NB,则点M在线段 AB上,点N在线段AB外;③一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫这个角的平分线;④40°50′=40.5°;⑤不相交的两条直线叫做平行线.A.1个B.2个C.3个D.4个 2.(5分)下列说法中错误的个数是() (1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交、平行两种. (3)不相交的两条直线叫做平行线. (4)相等的角是对顶角. A.1个B.2个C.3个D.4个 3.(5分)下列说法正确的有() ①同位角相等; ②若∠A+∠B+∠C=180°,则∠A、∠B、∠C互补; ③同一平面内的三条直线a、b、c,若a∥b,c与a相交,则c与b相交; ④同一平面内两条直线的位置关系可能是平行或垂直; ⑤有公共顶点并且相等的角是对顶角. A.1个B.2个C.3个D.4个 4.(5分)在同一平面内,两直线的位置关系必是() A.相交B.平行C.相交或平行D.垂直 5.(5分)下列说法正确的是() A.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a∥c B.在同一平面内,a,b,c是直线,且a⊥b,b⊥c,则a⊥c C.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c D.在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b∥c,则a⊥c 二、填空题(本大题共5小题,共25.0分) 6.(5分)平面上有10条直线,其中有4条直线是互相平行,那么这10条直线

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课

直线、平面垂直的判定与性质 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记作l ⊥α,直线l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知:直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ,那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小;范围:0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 2、判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。简述为“线面垂直,则面面垂直”,记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】(2012浙江文)设l 是直线,a,β是两个不同的平面 ( ) A .若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B .若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C .若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D .若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B

立体几何线面、面面平行的证明

Q D C B A P C 1 B 1 A 1D 1 D C B A D A 1 C 1 C B 1 B 理科数学复习专题 立体几何 线面平行与面面平行专题复习 【题型总结】 题型一 小题:判断正误 1. a 、b 、c 是直线,,,αβγ是平面,下列命题正确的是_____________ α αβ βααβαβαγαγββααα////a ,//a //a //,//a ////a ,//a ////,////a //,//a //a //,//a b b b b c c b b 则⑥则⑤则④则③则②则① 归纳:_______________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,E 、F 分别是PB,PC的中点,求证:EF 归纳: 3、在正方体中,E,F分别为C1D1和BC 的中点, 求证: FE 1111111//. ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中,求证:平面平面11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中,点为的中点求证平面为的中点,求证:平面平面111ABC A B C -AB AC =,,M N P 11,,BC CC BB 1//A N AMP

【综合练习】 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的( ) (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?,则必有( ) ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面?平行,则a 和b 的位置关系是( ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4.已知平面α、β和直线m ,给出条件:①m ∥α;②m ⊥α;③m ?α;④α⊥β;⑤α∥β.为使m ∥β,应选择下面四个选项中的 ( ) A .①④ B .①⑤ C .②⑤ D .③⑤ 5.下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行,则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行,则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已知直线平行,它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已知直线异面 6. 以下命题(其中a ,b 表示直线,?表示平面) ①若a ∥b ,b ??,则a ∥? ②若a ∥?,b ∥?,则a ∥b ③若a ∥b ,b ∥?,则a ∥? ④若a ∥?,b ??,则a ∥b 其中正确命题的个数是 ( ) 个 个 个 个 二、解答题 1.如图,E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点, 求证:1//A E 平面1BDC ; 2、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC=1,点E 是PC 的中点,作EF PB 交PB 于点

相交线与平行线测试题

相交线与平行线 2 .一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后, 仍在原来的方向上平行前进, 那么两次拐弯的 角度是( ) (1)摆动的钟摆。 (2)在笔直的公路上行驶 的汽车。 (3)随风摆动的旗帜。 (4)摇动 的大绳。(5)汽车玻璃上雨刷的运动。 (6 ) 从楼顶自由落下的球(球不旋转)。 10.如图,直线 AB 、CD 相交于点 O , OE 丄AB , O 为垂足,如果/ EOD = 38°,则/ AOC 11.如图,AC 平分/ DAB ,/ 1 = / 2。填空:因 为AC 平分/ DAB ,所以/ 1 = _______________________ 。所 以/ 2 = __________ 。所以 AB // __________ 。 三、做一做(本题 10分) 12 .已知三角形 ABC 、点D ,过点D 作三角形 ABC 平移后的 图形。 6.下列说法中正确的是( ) A .有且只有一条直线垂直于已知直线。 B .从直线外一点到这条直线的垂线段,叫做 这点到这条直线的距离。 C .互相垂直的两条直线一定相交。 D .直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成 1. (时间:45分钟 满分:100分) 姓名 __________________ 、选择题(每小题 4分,共24 分) 下面 四个图形中,/ 个数是( A . 0 B . 与/2是对顶角的图形的 的所有线段中,最短线段的长是 3cm ,则 点A 到直线c 的距离是3cm 。 二、填空题(每小题 4分,共20分) 1 7 .两个角的两边两两互相平行,且一个角的 等 2 1 于另一个角的 -,则这两个角的度数分别 3 为 ________________________ 。 8.猜谜语(打本章两个几何名称)。 剩下十分钱 ______________ ;两牛相斗 ____________ 。 9 .下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的 A . 第 一 次右拐 50°, 第二次左拐 130°。 B . 第一 次左拐 50°, 第二次右拐 50°。 C . 第一 次左拐 50°, 第二次左拐 130°。 D . 第一 次右拐 50°, 第二次右拐 50°。 冋一平面内的四条直线满足 a 丄 b , b 丄 c , c ± d , 则下列式子成立的是( ) A .a // b B . b 丄 d C .a 丄d D . b // c 交于' 不同三点时, 对顶角有 n 对,则 m 与n 的关. H. / 系是( ) A . m = n B . m > n C .m v n D . m + n = 10 5.如图, 若 m / n , / 1 = 105 ° ,则/2= ( ) A . 55 °60 ° C . 65 ° D . 75° (第10题图) (第11题图) 4.三条直线两两相交于同一点时, 对顶角有m 对,

线面垂直习题精选

线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1,在正方体1111ABCD A B C D - 中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD . 证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥ 1A A ,DB ⊥AC ,1A A AC A =, ∴DB ⊥平面 11A ACC ,而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,2 234MO a =. 在Rt △11A C M 中,2 21 94 A M a =.∵22211A O MO A M +=,∴1AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明. ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC ⊥平面PAC . 证明:在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D . 因为平面PAC ⊥平面PBC ,且两平面交于PC , AD ?平面PAC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质,得AD ⊥平面PBC . 又∵BC ?平面PBC , ∴ AD ⊥BC . ∵PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,∴PA ⊥BC . ∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面PAC . (另外还可证BC 分别与相交直线AD ,AC 垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ). 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直?线面垂直?线线垂直. 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题.下面举例说明. 3 如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ,,于 E F G ,,.求证:AE SB ⊥, AG SD ⊥. 证明:∵SA ⊥平面ABCD , ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥,∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ?平面SAB ,∴BC AE ⊥.∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥.∴AE ⊥平面SBC .∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥. 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD , 作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC BC =,∴CF AB ⊥. ∵AD BD =,∴DF AB ⊥. 又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥. ∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =, ∴ AH ⊥平面BCD .

立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法

A P B C E D 一:线面平行的证明方法: 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线(一般为表示面的三角形的边界直线,或三角形某边上的中线) 看找到的这条线与已知线的长度关系,1)若相等应该构造平行四边形;2)若不相等一般利用三角形中位线的性质(将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形)。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质,则应再构造一个此直线所在的平面,证明此平面与已知平面平行(先证面面平行,推出线面平行) 例一:如图,已知菱形ABCD ,其边长为2, 60BAD ∠= ,ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?,M 是PC 的中点. (1)求证://PA 平面MBD ; (2)求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值. 例二:已知四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形,又ABCD PD 底⊥,且PD=CD ,点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点. (1)证明:DN//平面PMB ; (2)证明:平面PMB ⊥平面PAD ; (3)求点A 到平面PMB 的距离. 例三:如图,已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点, 上的点且PE EA BF FD =∶∶,求证:EF //平面PBC . 二:线面垂直的证明方法: 通过线线垂直,证明线面垂直 1) 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°; 2) 利用等边、等腰三角形(中线即高线),正方形、矩形邻边垂直,正方形菱形对角线垂 直等; 3) 通过线面垂直,反推线线垂直; 4) 利用面面垂直的性质,证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四:如图,四边形ABCD 为矩形,CF ⊥平面ABCD ,DE ⊥平面ABCD , AB=4a ,BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. C

线面平行证明常用方法

线面平行证明的常用方法 方法一:两平行线能确定一个平面,过已知直线的两个端点作两条平 行线使它们与已知平面相交,关键:找平行线,使得所作平面与已知平面的交线。 (08浙江卷)如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF ,∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。求证:AE//平面DCF. 分析:过点E 作EG//AD 交FC 于G , DG 与平面DCF 的交线,那么只要证明AE//DG 证明:过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ,连结DG 可得四边形BCGE 为矩形, 又ABCD 为矩形, 所以AD EG ∥,从而四边形ADGE 故AE DG ∥. 因为AE ?平面DCF ,DG ?平面DCF , 所以AE ∥平面DCF . 方法二:直线与直线外一点有且仅有一个平面,关键:找第三个点, 使得所作平面与已知平面的交线。 (06北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,且PA AB =,点E 是PD 的中点.求证://PB 平面AEC . 分析:由D 、P 、B 三点的平面与已知平面AEC 的交线最易找,第三个点选其它的点均不好找交线. 证明:连接BD ,与 AC 相交于 O ,连接 ∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ?平面 AEC ,EO ?平面 AEC , ∴PB ∥平面 AEC.

方法三:两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行, 关键:作平行平面,使得过所证直线作与已知平面平行的平面 (08安徽卷)如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 四边长为1的菱形, 4 ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点,证明:直线MN OCD 平面‖ 分析:M 为OA 的中点,找OA(或AD)中点,再连线。 证明:取OB 中点E ,连接ME ,NE ME CD ME CD ∴,‖AB,AB ‖‖ 又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖

相交线与平行线基础测试题及答案解析

相交线与平行线基础测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,AB∥EF,设∠C=90°,那么x、y和z的关系是() A.y=x+z B.x+y﹣z=90°C.x+y+z=180°D.y+z﹣x=90° 【答案】B 【解析】 【分析】 过C作CM∥AB,延长CD交EF于N,根据三角形外角性质求出∠CNE=y﹣z,根据平行线性质得出∠1=x,∠2=∠CNE,代入求出即可. 【详解】 解:过C作CM∥AB,延长CD交EF于N, 则∠CDE=∠E+∠CNE, 即∠CNE=y﹣z ∵CM∥AB,AB∥EF, ∴CM∥AB∥EF, ∴∠ABC=x=∠1,∠2=∠CNE, ∵∠BCD=90°, ∴∠1+∠2=90°, ∴x+y﹣z=90°. 故选:B. 【点睛】 本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用,注意:平行线的性质有:①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补. 2.如图,11∥l2,∠1=100°,∠2=135°,则∠3的度数为()

A .50° B .55° C .65° D .70° 【答案】B 【解析】 【分析】 如图,延长l 2,交∠1的边于一点,由平行线的性质,求得∠4的度数,再根据三角形外角性质,即可求得∠3的度数. 【详解】 如图,延长l 2,交∠1的边于一点, ∵11∥l 2, ∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣100°=80°, 由三角形外角性质,可得∠2=∠3+∠4, ∴∠3=∠2﹣∠4=135°﹣80°=55°, 故选B . 【点睛】 本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质,熟练运用平行线的性质是解决问题的关键. 3.如图,下列能判定AB CD ∥的条件有( )个. (1)180B BCD ∠+∠=?; (2)12∠=∠; (3)34∠=∠; (4)5B ∠=∠. A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行线的判定定理依次判断即可.

线面平行与垂直的证明题精选

线面平行和垂直的证明 1:如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. (1)求证:AC ⊥平面B 1BDD 1; (2)求三棱锥B-ACB 1体积. 2:如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心, PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点. 求证:(1)PA∥平面BDE ; (2)平面PAC ⊥平面BDE . 3:如图:在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中, ∠ABC = 90°,SA ⊥面ABCD ,SA = AB = BC = 1, 2 1 = AD . (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积; (Ⅱ)证明:平面SBC ⊥平面SCD . 4:已知多面体ABCDFE 中, 四边形ABCD 为矩形,AB ∥EF ,AF ⊥BF ,平面ABEF ⊥平面ABCD , O 、M 分别为AB 、FC 的中点,且AB = 2,AD = EF = 1. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面FBC ; (Ⅱ)求证:OM ∥平面DAF . 5:.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形, 侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是P C 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F . (1)证明 P A //平面EDB ; (2)证明PB ⊥平面EFD ; 6:已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相 交于AB ,点M ,N 分别在AC 和BF 上,且AM=FN. 求证:MN ‖平面BCE. 7:如图,正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a (1)求证:直线//1B A 平面1ACD (2)求证:平面1ACD ⊥平面D BD 1; 8: 如图,已知△ABC 是正三角形,EA 、CD 都垂直于平面ABC ,且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点, D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A D A B C O E P A B C D P E F B C D E F N M F E D C A M

高中立体几何证明线面平行的常见方法

D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题(数学作业十七) (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点.求证: AF ∥平面PCE ; 2、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证: (Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P (第

,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM ∥平面EFG 。 5、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。 求证: PA ∥平面BDE 6.如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, D 为AC A B C D E F G M

P E D C B A 的中点. 求证:AB 12 1中点为PD E 求证:AE ∥平面PBC ; (4)利用对应线段成比例 9、如图:S 是平行四边形ABCD 平面外一点,M 、N 分别是SA 、 BD 上的点,且SM AM =ND BN , 求证:MN ∥平面SDC (5)利用面面平行 10、如图,三棱锥ABC P -中,PB ⊥底面,90BCA ∠=o ,PB=BC=CA , 为的中点,为的中点,点在上,且2AF FP =. (1)求证:BE ⊥平面; (2)求证://CM 平面;

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