2015年湖北省各市中考数学圆的综合题

22．（9分）（2015?鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC 的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．

（1）求证：AE为⊙O的切线．

（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．

（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．

=，即可解得

CE=BE=

∴==，

中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（）

ππ

OC=OB

OC=OB=2，

23．（10分）（2015?恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．

（1）求证：GC是⊙O的切线；

（2）求DE的长；

（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．

AB

DE=OC=

×

CE=

于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．

AB=2

=，故答案为．

的中点．

（1）求BC的长；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

BD=2BC=2BD=4

PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

）根据相似三角形的判定与性质，可得=，

==，==得，解得

心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）

DM=AD=DN=BD=

中，，∴△

AB

=，

半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

．∴

，∴⊙的半径为．

，∴

=AD==3

20．（8分）（2015?孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．

（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）

（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．

的中

AD=BD=AB=40

为

AD=BD=

所在圆的半径是

点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．

（1）求证：∠PCA=∠ABC；

（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P=，CF=5，求BE的长．

根据垂径定理得到

FAD=

EAD=得到

P=FAD=FAD= EAD=，∴

（1）求证：AT是⊙O的切线；

（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

解：（1）∵∠ABT=45°，A T=AB．∴∠TAB=90°，∴TA⊥AB，∴AT是⊙O的切线；（2）作CD⊥AT于D，∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，设OA=x，则AT=2x，

∴OT=x，∴TC=（﹣1）x，∵CD⊥AT，TA⊥AB∴CD∥AB，

∴==，即==，∴CD=（1﹣）x ，TD=2（1﹣）x ， ∴AD=2x ﹣2（1﹣）x=x ，∴tan ∠TAC===﹣1．

13. （3 分）（2015?黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图, 若∠AOB=120° , 弧AB 的长为12πcm, 则该圆锥的侧面积为_______cm 2.

21.（ 8分）（2015?黄冈）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN,过点C 的切线交AB 的延长线于点

P.

（1）求证：∠BCP=∠BAN;

（2）求证：BP

CB MN AM =

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：（1）由AC 为⊙O 直径，得到∠NAC+ ∠ACN=90°，由AB=AC ，得到∠BAN= ∠CAN ， 根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN+ ∠PCB=90°，于是得到结论．

（2 ）由等腰三角形的性质得到∠ABC= ∠ACB ，根据圆内接四边形的性质得到 ∠PBC= ∠AMN ，证出△ BPC ∽△MNA ，即可得到结论．

解答：（1）证明：∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠NAC+ ∠ACN=90°， ∵AB=AC ， ∴∠BAN= ∠CAN ， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+ ∠PCB=90°， ∴∠BCP= ∠CAN ， ∴∠BCP= ∠BAN ；

（2 ）∵AB=AC ， ∴∠ABC= ∠ACB ， ∵∠PBC+ ∠ABC= ∠AMN+ ∠ACN=180°， ∴∠PBC= ∠AMN ， 由（1）知∠BCP= ∠BAN ， ∴△BPC ∽△MNA ， ∴BP CB MN AM = ．

24．如图1，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E （BE ＞EC ），且BD=2．过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F ．

（1）求证：DF 为⊙O 的切线；

（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；

（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．

考点：圆的综合题．

专题：综合题．

分析：（1）连结O D，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定

定理即可判断DF为⊙O的切线；

（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的

关系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算；

（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由=得到CD=BD=2，

先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．

解答：证明：（1）连结OD，如图1，

∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，

∵BC∥EF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；

（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，

∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，

∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，

∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，

在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，

∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE∽△ACE，

∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，∴AE=

∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴=，即=，解得DF=12，

在Rt△BDH中，BH=BD=，∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）=?12?﹣+?（2）2=9﹣2π；

（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴=，即

=，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，

∴△FDB∽△FAD，∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，

∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．

8．（3分）（2015?随州）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）

BOC=×∠BOC=（= a=Rsin36；，

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求的长．

OA===

23．（11分）（2015?宜昌）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．

（1）求∠FDE的度数；

（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；

（3）当G为线段DC的中点时，

①求证：FD=FI；

②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

=，根据圆周角定理可得∠

）π

?

=

BD=n AC=m

n=）π?2n=2mn=2

=