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二 根深叶茂的二次函数---1月26日上午 宣武区优秀生课堂讲义

二 根深叶茂的二次函数---1月26日上午  宣武区优秀生课堂讲义
二 根深叶茂的二次函数---1月26日上午  宣武区优秀生课堂讲义

宣武区高三优秀生课堂 数学讲义二 叶茂根深的三个“二次”日上午26月1

三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式,是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具。高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关。考生要理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法。

练一练:二次非二次:对任意实数[]11a ,-∈时,函数a 24x )4a (x )x (f 2-+-+=的值总大于零,则x 的取值范围是 .

三角用二次:已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-,n m ?=1,A 为锐角. (Ⅰ)求角A 的大小;

(Ⅱ)求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.

例 1.已知二次函数f(x)=ax 2

+bx+c 和一次函数g(x)=-bx ,其中a 、b 、c 满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R )

(1)求证两函数的图象交于不同的两点A 、B ;

(2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围

例2.已知关于x 的二次方程x 2

+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围

(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的范围

例3.已知对于x 的所有实数值,二次函数f(x)=x 2

-4a x+2a +12(a ∈R )的值都是非负

的,求关于x 的方程2

+a x

=|a -1|+2的根的取值范围

例4 . 已知函数()x x

a

x f 2

2-

=. (1)将)(x f y =的图象右移两个单位,得到函数)(x g y =,求)(x g y =的解析式; (2)函数)(x h y =与函数)(x g y =的图象关于直线1=y 对称,求)(x h y =的解析式; (3)设)()(1

)(x h x f a

x F +=,)(x F 最小值是m 且72+>m ,求a 的取值范围.

例5. 已知二次函数)0,,(1)(2

>∈++=a R b a bx ax x f ,设方程x x f =)(的两个

实数根为1x 和2x .

(1)如果4221<<x ; (2)如果21

例6.对于函数f(x),若存在x 0∈R ,使f(x 0)=x 0成立,则称x 0为f(x)的不动点 已知函

数f(x)=ax 2

+(b+1)x+(b –1)(a ≠0). (1)若a=1,b=–2时,求f(x)的不动点;

(2)若对任意实数b ,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A 、B 两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A 、B 关于直线y=k x +1

212

+a 对称,求b 的最小值

例7. 已知实数t 满足关系式3

3log log a y a t t a = (a >0且a ≠1) (1)令t=a x

,求y=f(x)的表达式;

(2)若x ∈(0,2]时,y 有最小值8,求a 和x 的值

例8.二次函数f (x )=px 2

+qx +r 中实数p 、q 、r 满足m

r

m q m p ++++12=0,其中m >0, 求证(1)pf (

1

+m m

)<0;(2)方程f (x )=0在(0,1)内恒有解.

例9.已知集合{

}{}

R t tx x x t t A =>--+=03422

使,集合

=B {}{}

?≠=-+0222t tx x x t t 使,其中t x ,均为实数.

(1)求B A ?; (2)设m 为实数,()32-=m m g ,求(){}

B A m g m M ?∈=.

例10.(2009江苏卷)设a 为实数,函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥,求a 的取值范围;(2)求

()f x 的最小值;(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞,直接写出....

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.

例11. 已知函数)0(4

9

433)(2

2>++--=b b x x x f 在区间[-b ,1-b]上的最大值为25,求b 的值.

练一练:2)2x (a )2x ()a (g -+-=为a 的一次函数,原题等价于?

?

?-0)1(g 0

)1(g >>成立

即???-+--+--0

)2x ()2x (0

)2x ()2x (2

2>> 解出:x <1,x >3. 解:(Ⅰ)由题意12sin()1,sin().662A A π

π-=-=得,.663

A A πππ-== (Ⅱ)1cos ,2A =

2213

()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22

f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ,所以[]sin 1,1x ∈-,当1sin 2x =时,f (x )有最大值3

2

.

当sin x =-1时,f (x )有最小值-3,所以所求函数f (x )的值域是33,2

??-???

?

.

例1 (1)证明由???-=++=bx

y c bx ax y 2消去y 得ax 2

+2bx +c =0

Δ=4b 2

-4ac =4(-a -c )2

-4ac =4(a 2

+ac +c 2

)=4[(a +4

3)22+

c c 2

] ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0∴

4

3c 2

>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 (2)解设方程ax 2

+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=-a b 2,x 1x 2a

c

|A 1B 1|2

=(x 1-x 2)2

=(x 1+x 2)2

-4x 1x 222222

24444()4()b c b ac a c ac

a a a a ----=--==

2213

4[()1]4[()]24

c c c a a a =++=++ ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>-a -c>c,解得

a

c ∈(-2,-21);∵]1)[(4)(2++=a c

a c a c f 的对称轴方程是

21=a c a

c ∈(-2,-21)时,为减函数,∴|A 1B 1|2

∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3)

例2.解 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2

+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,

2)内,画出示意图,得

?????

???

???->-<∈-

?>+=<+=>=-<+=65,

21,210

56)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

???????<-<≥?>>1

0,0,

0)1(,0)0(m f f ???

?

?????<<--≤+≥->->?.01,2121,

21,21m m m m m 或 (这里0<-m<1是因为对称轴x=-m 应在区间(0,1)内通过) 例3.解由条件知Δ≤0,即(-4a )2

-4(2a +12)≤0,∴-

2

3

≤a ≤2 (1)当-

23≤a <1时,原方程化为x =-a 2+a +6,∵-a 2

+a +6=-(a -21)225 ∴a =-23时,x mi n =49,a =21时,x max 425 ∴49≤x 4

25

(2)当1≤a ≤2时,x =a 2

+3a +2=(a +23)2-4

1

∴当a =1时,x mi n =6,当a =2时,x max =12,∴6≤x ≤12 综上所述,4

9

≤x ≤12

例4 .解:(1)()();2

2

22

2

---

=-=x x a x f x g

(2)设()x h y =的图像上一点()y x P ,,点()y x P ,关于1=y 的对称点为()y x Q -2,,由点Q 在()x g y =的图像上,所以y a x x -=-

--22

22

2

于是,

2

222

2

--+

-=x x a y

即();2

2

22

2

--+

-=x x a x h

(3)22)14(2411)()(1)(+-+??

?

??-=+=

x x a a x h x f a x F .

设x

t 2=,则21

444)(+-+-=

t

a t a a x F . 问题转化为:7221

444+>+-+-t

a t a a 对0>t 恒成立. 即()0147442

>-+--a t t a a 对0>t 恒成立. (*) 故必有044>-a a .(否则,若044<-a a

,则关于t 的二次函数()14744)(2

-+--=a t t a a t u 开口向下,当t 充分大时,必有()0

而当044=-a

a

时,显然不能保证(*)成立.),此时,由于二次函数()14744)(2-+--=

a t t a

a t u 的对称轴0847

>-=a

a t ,

所以,问题等价于0

????<-?-?->-0

144447044a a a a a

,解之得:221<

此时,

014,044>->-a a a ,故21

444)(+-+-=t a t a a x F 在a

a a t --=4)

14(4取得最

小值()214442

+-?-=a a

a

m 满足条件. 例5.解:设1)1()()(2

+-+=-=x b ax x x f x g ,则0)(=x g 的二根为1x 和2x .

(1) 由0>a 及4221<<<0)4(0)2(g g ,即?

??>-+<-+034160

124b a b a ,

即???

????

<+?--<-?+,

043224,043233a a b a

a b 两式相加得

12x ; (2)由a

a b x x 4

)1(

)(22

21--=-, 可得 1)1(122+-=+b a .

又01

21>=

a

x x ,所以21,x x 同号. ∴ 21

12=-x x 等价于?????+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或?????+-=+<<-<1

)1(120

22

12b a x x ,

即 ???????+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或???????+-=+>>-1

)1(120)0(0)2(2

b a g g 解之得 41b .

例6.解 (1)当a =1,b =–2时,f(x)=x 2

–x –3,f (x )的两个不动点为–1,3.

(2)∵f(x)=ax 2

+(b+1)x+(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点, ∴x=ax 2+(b+1)x+(b –1),即ax 2

+bx+(b –1)=0恒有两相异实根

∴Δ=b 2–4ab+4a >0(b ∈R )恒成立 于是Δ′=(4a )2

–16a <0解得0<a <1

故当b ∈R ,f (x )恒有两个相异的不动点时,0<a <1

(3)由题意A 、B 两点应在直线y =x 上,设A(x 1,x 1),B(x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +

1

212

+a 对称 ∴k=–1 设AB 的中点为M(x ′,y ′)

∵x 1,x 2是方程ax 2

+bx +(b –1)=0的两个根 ∴x ′=y ′=

a

b

x x 2221-=+, 又点M 在直线1

212++

-=a x y 上有1

21

222++=-

a a

b a b , 即a

a a a

b 1

211

22+

-

=+-

= ∵a >0,∴2a +

a 1≥22当且仅当2a =a 1即a =2

2∈(0,1)时取等号,故b ≥–2

21,得b

例7.解 (1)由log a

3

3log a y a t t

=得log a t -3=log t y -3log t a ;由t =a x

知x =log a t , 代入得x -3=x x y a 3log -, ∴log a y =x 2

-3x +3,即y =a 332+-x x (x ≠0)

(2)令u =x 2-3x +3=(x -23)2+4

3 (x ≠0),则y =a u

①若0<a <1, u 在(0,2]上不存在最大值

②若a >1,则u =(x -

23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时,u mi n =43

,a =16 . 例8.证明 (1)])1

()1([)1(2r m m

q m m p p m m pf ++++=+

]

)

2()1()1()2([]2)

1([]1)1([

22

2

22+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p

m pm pm m r m q m pm pm )

2()1(1

22

++-=m m pm ,

由于f (x )是二次函数,故p ≠0,又m >0,所以,pf (

1

+m m

)<0 (2)由题意,得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p >0时,由(1)知f (1

+m m

)<0 若r >0,则f (0)>0,又f (

1+m m )<0,所以f (x )=0在(0,1

+m m

)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(-m r m p -+2)+r =m

r

m p -+2>0,

又f (1+m m )<0,所以f (x )=0在(1

+m m ,1)内有解 ②当p <0时同理可证

例9.解:(1)0)34(4)2(2

1<---=?t t ,解得:13-<<-t .

()0)2(422

2≥-?-=?t t ,解得:0≥t 或2-≤t

所以()1,3--=A ,(][)+∞?-∞-=,02,B ,()2,3--=?B A .

(2) 设()u m g =,则问题(2)可转化为:已知函数()m g u =的值域(()2,3--∈u ), 求其定义域. 令2332

-<-<-m ,可解得:1001<<<<-m m 或. 所以,M ={}

1001<<<<-m m m 或.

例10【解析】(1)若

(0)1f ≥,则2

0||111

a a a a a

≥?

(2)当x a ≥时,2

2

()32,f x x ax a =-+2

2min

(),02,0()

2(),0,033

f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??<

当x a ≤时,22()2,f x x ax a =+-2

min

2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<

综上22

min

2,0

()2,03a a f x a a ?-≥?=?

(3)(,)x a ∈+∞时,()1h x ≥得2

2

3210x ax a -+-≥,

222412(1)128a a a ?=--=-

当a a ≤≥

0,(,)x a ?≤∈+∞;

当a <<>0,

得:(0x x x a

??≥??

>?

讨论得:当(

22

a ∈时,解集为(,)a +∞;

当(a ∈

时,解集为()a ?+∞;

当[22a ∈-

时,解集为)+∞.

例11.解: 由已知二次函数配方, 得 .34)2

1

(3)(22+++-=b x x f

2

3

21,121)1(≤≤-≤-

≤-b b b 即当时,

最大值为4b 2+3=25. ;23214252矛盾与≤≤=∴b b ]1,[)(,2

1

0,21)2(b b x f b b --<<-<-在时即当上递增,;25)23()(2<+=-∴b b f

]1,[)(2

3

,121)3(b b x f b b -->->-

在时,即当上递增,∴2

5,2541596)1(2==-+=-b b b f 解得.

九年级数学二次函数测试题含答案精选5套

九年级数学 二次函数 单元试卷(一) 时间90分钟 满分:100分 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列函数不属于二次函数的是( ) A.y=(x -1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1-3x 2 D. y=2(x+3)2 -2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2, 1) 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是( ) A .(2,1) B .(-2,1) C .(2,-1) D .(-2,-1) 4. y=(x -1)2 +2的对称轴是直线( ) A .x=-1 B .x=1 C .y=-1 D .y=1 5.已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点,则m 的值为 ( ) A . 0或2 B . 0 C . 2 D .无法确定 6. 二次函数y =x 2 的图象向右平移3个单位,得到新的图象的函数表达式是( ) A. y =x 2+3 B. y =x 2-3 C. y =(x +3)2 D. y =(x -3)2 7.函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是( ) A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8.下列说法错误的是( ) A .二次函数y=3x 2 中,当x>0时,y 随x 的增大而增大 B .二次函数y=-6x 2 中,当x=0时,y 有最大值0 C .a 越大图象开口越小,a 越小图象开口越大 D .不论a 是正数还是负数,抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9.如图,小芳在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y =-15 x 2 +3.5的一部分,若命中篮 圈中心,则他与篮底的距离l 是( ) A .3.5m B .4m C .4.5m D .4.6m 10.二次函数y=ax 2 +bx +c 的图象如图所示,下列结论错误的是( ) A .a >0. B .b >0. C .c <0. D .abc >0. (第9题) (第10题) 3.05m x y

初三数学-二次函数讲义-详细

二次函数 一、二次函数的解析式 1. 二次函数解析式有三种: (1)一般式:y ax bx c a =++≠2 0() (2)顶点式:()y a x h k =-+2 顶点为() h k , (3)交点式:()()y a x x x x =--12 ()()x x 12 0,,是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件,运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程 1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的关系。 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 0y =时的特殊情况。 2.图像与x 轴的交点个数:

①当240b ac ?=->时,图像与x 轴交于两点 ()()()1212,0,,0A x B x x x ≠,其中12,x x 是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的两根; ②当0?=时,图像与x 轴只有一个交点; ③当0?<时,图像与x 轴没有交点。 1’ 当0a >时,图像落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y > 2’ 当0a <时,图像落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <。 板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数232 12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________; (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为 ____________________________; (3)把函数()2 324y x =-+化为它的一般式的形式为 __________________________;

二次函数单元测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷 一、选择题(每小题3分,共30分) 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-(x-m )2 + m 2 +1有最大值4,则实数m 值为( ) A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-(m 是常数)の图像与x 轴の交点个数为( ) A. 0个 B .1个 C .2个 D .1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题:①当0c =时,函数の图像经过原点;②当0c >,且函数の图像开口向下时,方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根;③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -;④当0b =时,函数の图像关于y 轴对称.其中正确命题の个数是( ) A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点,则m の范围是( ) A . 1 16m <- B . 116m - ≥且0m ≠ C . 1 16m =- D . 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点,这个函数是( ) A .2 y x = B .24y x =+ C .2325y x x =-+ D .2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+,当x 取1x 、2x (12x x ≠)时,函数值相等,则当x 取12x x +时,函数值为( ) A .a c + B .a c - C .c - D .c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点,这个函数是( ) A .1x y 2 —= B .24y x =+ C .1x 2x y 2+=— D .2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是( ) A .没有交点 B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示,那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是( ) A .有两个不相等の实数根 B .有两个异号の实数根

22.1.1 二次函数说课稿(说课稿)

22.1.1 二次函数说课稿(一) 一、教材分析: 1、教材所处的地位: 二次函数是沪科版初中数学九年级(上册)第22章的内容,在此之前,学生在八年级已经学过了函数及一次函数的内容,对于函数已经有了初步的认识。从一次函数的学习来看,学习一种函数大致包括以下内容:通过具体实例认识这种函数;探索这种函数的图象和性质,利用这种函数解决实际问题;探索这种函数与相应方程不等式的关系。本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的。本节课的主要内容在于使学生认识并了解两个变量之间的二次函数的关系,为二次函数的后续学习奠定基础 2、教学目的要求: (1)学生经历从实际问题中抽象出两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系; (2)让学生学习了二次函数的定义后,能够表示简单变量之间的二次函数关系; (3)知道实际问题中存在的二次函数关系中,多自变量的取值范围的要求。 (4)把数学问题和实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。 3、教学重点和难点 本着课程标准,在吃透教材基础上,我确立了如下的教学重点、难点: 重点:

(1)二次函数的概念 (2)能够表示简单变量之间的二次函数关系. 难点: 具体的分析、确定实际问题中函数关系式二.教法、学法分析: 下面,为了讲清重点、难点,使学生能达到本节设定的教学目标,我再从教法和学法上谈谈: 1、教法研究 教学中教师应当暴露概念的再创造过程,鼓励学生不但要动口、动脑,而且要动手,学生经过自己亲身的实践活动,形成自己的经验、猜想,产生对结论的感知,这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象,而且能力得到培养,素质得以提高,充分地调动学生学习的热情,让学生学会主动学习,学会研究问题的方法,培养学生的能力。本节课的设计坚持以学生为主体,充分发挥学生的主观能动性。教学过程中,注重学生探究能力的培养。还课堂给学生,让学生去亲身体验知识的产生过程,拓展学生的创造性思维。同时,注意加强对学生的启发和引导,鼓励培养学生们大胆猜想,小心求证的科学研究的思想。 2、学法研究 初中学生的思维方式往往还是比较具象的,要让他们在问题的探究过程中充分体验问题的发现、解决及最终表述的方式方法,遇到困难可以和同伴、老师进行交流甚至争论,这样既可以加深学生对问题的理解又可以让学生体验获得学习的快乐。 3、教学方式 (1)由于本节课的内容是学生在学习了《一次函数》和《正比例函数》的

一元二次函数辅导讲义

一元二次函数解法讲义 【知识梳理】 1.定义:一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数,,那么的二次函数是x y 2。二次函数c bx ax y ++=2 ()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 44,22 -=-= 3。抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向: (1)当 时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大,当 a b x 2-= ,y 值最小,最小值为 a b ac 442- (2)当 时,开口向下;顶点是抛物线的最高点,在对称轴左侧,y 随x的增大而减小,当 a b x 2-= ,y 值最大,最大值为 a b ac 442- (3)a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。 ②平行于y 轴(或重合)的直线记作 .特别地,y轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置:几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b a c a b x a c bx ax y 44)2(2 22 -++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2 )(的形式,得到顶点为),(k h , 对称轴是直线 . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 6.抛物线的作用中,c b a c bx ax y ,,2 ++= (1)决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的完全一样.

二次函数 单元检测试卷(含答案)

二次函数检测卷 时间:120分钟满分:150分 班级:__________姓名:__________得分:__________ 一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分) 1.下列各式中,y是x的二次函数的是() A.y=1 x2B.y=2x+1 C.y=x 2+x-2 D.y2=x2+3x 2.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是() A.(2,1) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2) 3.二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1),则a+b+1的值是()A.-3 B.-1 C.2 D.3 4.抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点个数是() A.0个B.1个C.2个D.3个 5.下列函数中,当x>0时,y随x值的增大而先增大后减小的是() A.y=x2+1 B.y=x2-1 C.y=(x+1)2D.y=-(x-1)2 6.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表: x …-2-10123… y …50-3-4-30… 二次函数图象的对称轴是() A.直线x=1 B.y轴C.直线x=1 2D.直线x=- 1 2 7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x的取值范围是() A.x<-2 B.-2<x<4 C.x>0 D.x>4 8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()

9.某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x 元,每天售出服装的利润为y 元,则y 与x 的函数关系式为( ) A .y =-12x 2+10x +1200(0<x <60) B .y =-1 2x 2-10x +1200(0<x <60) C .y =-12x 2+10x +1250(0<x <60) D .y =-1 2 x 2-10x +1250(x ≤60) 10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =12x 2经过平移得到抛物线y =1 2x 2-2x ,其 对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( ) A .2 B .4 C .8 D .16 第10题图 第12题图 11.抛物线y =-x 2+6x -9的顶点为A ,与y 轴的交点为B ,如果在抛物线上取点C ,在x 轴上取点D ,使得四边形ABCD 为平行四边形,那么点D 的坐标是( ) A .(-6,0) B .(6,0) C .(-9,0) D .(9,0) 12.如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A (1,3),与x 轴的一个交点为B (4,0),直线y 2=mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ,B 两点,下列结论:①2a +b =0;②abc >0;③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根;④抛物线与x 轴的另一个交点是(-1,0);⑤当1<x <4时,有y 2<y 1,其中正确的是( ) A .①②③ B .①③④ C .①③⑤ D .②④⑤ 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 13.当a = 时,函数y =(a -1)xa 2+1+x -3是二次函数. 14.把二次函数y =x 2-12x 化为形如y =a (x -h )2+k 的形式为 . 15.已知A (4,y 1),B (-4,y 2)是抛物线y =(x +3)2-2的图象上两点,则y 1 y 2. 16.若抛物线y =x 2-2x +3不动,将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个

九年级二次函数讲义

二次函数 一.知识梳理 1、定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式:ax2+bx+c=0 (a≠0) 其中:ax2叫做二次项,bx叫做一次项,c叫做常数项 a是二次项系数,b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式(二次项系数不为0): “△”读作德尔塔,在一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根,即:x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根,即:x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注:“<====>”是双向推导,也就是说上面的规律反过来也成立,如:告诉我们方程没有实数根,我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系(二次项系数不为0;△≥0),韦达定理。 ax2+bx+c=0 (a≠0)中,设两根为x1,x2,那么有: 因为:ax2+bx+c=0 (a≠0)化二次项系数为1可得,所以:韦达定理也描述为:两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项。 注意:(1)在一元二次方程应用题中,如果解出来得到的是两个根,那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式: 注:任何一元二次方程都能用求根公式来求根,虽然使用起来较为复杂,但非常有效。

一、求二次函数的三种形式: 1. 一般式:y=ax 2 +bx+c ,(已知三个点) 顶点坐标(-2b a ,244ac b a -) 2.顶点式:y=a (x -h )2 +k ,(已知顶点坐标对称轴) 顶点坐标(h ,k ) 3.交点式:y=a(x- x 1)(x- x 2),(有交点的情况) 与x 轴的两个交点坐标x 1,x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小,│a │越小,开口越大, a , b 的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y 轴,当a ,b 同号时,对称轴x=- 2b <0,即对称轴在y 轴左侧,当a ,b?异号时,对称轴x=-2b a >0, 即对称轴在y 轴右侧,c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置, c=0c<0时,与y?轴交于负半轴,以上a ,b ,c 的符号与图像的位置是共同作用的,也可以互相推出.

二次函数测试卷(含答案)

二次函数单元测试卷 、选择题(每小题 3分,共30 分) 4ac - b 2 4a ;④当b = 0时,函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是( A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点,这个函数是( 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是( B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4,则实数 m 值为( 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m ( m 是常数) 的图像与 X 轴的交点个数为( A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题:①当c = 0时, 函数的图像经过原点;②当 c 0,且 函数的图像开口向下时,方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根;③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示,那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx (8 m 1)x 8m 的图像与x 轴有交点,则 m 的范围是( 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有 个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点,这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ,当x 取 X 1、 x 2 (Xi = X2 )时,函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时,函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点

人教版一元二次方程和二次函数课前小测试

课前小测 一、选择题(每题3分) 1.在平面直角坐标系中,点(3,﹣2)关于原点对称点的坐标是()A.(3,2)B.(﹣3,﹣2)C.(﹣3,2)D.(3,﹣2) 2.将方程3x(x﹣1)=5(x+2)化为一元二次方程的一般式,正确的是()A.4x2﹣4x+5=0B.3x2﹣8x﹣10=0 C.4x2+4x﹣5=0D.3x2+8x+10=0 3.已知x=2是一元二次方程x2﹣mx+2=0的一个解,则m的值是()A.﹣3B.3C.0D.0或3 4.用配方法解方程x2+8x+7=0,则配方正确的是() A.(x﹣4)2=9B.(x+4)2=9C.(x﹣8)2=16D.(x+8)2=57 5.函数y=﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是() A.(2,﹣1)B.(﹣2,1)C.(﹣2,﹣1)D.(2,1) 6.二次函数y=x2﹣2x﹣2与x轴的交点个数是() A.0个B.1个C.2个D.3个 7.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根据题意列出的方程是() A.x(x+1)=182B.x(x﹣1)=182 C.2x(x+1)=182D.x(x﹣1)=182×2 8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论: ①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数). 其中正确的结论有() A.2个B.3个C.4个D.5个 9.一个等腰三角形的两边是方程x2﹣6x+8=0的两个根,则此三角形的周长为.10.关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.

二次函数讲义 详细

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 第一讲 二次函数的定义 知识点归纳:二次函数的定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数, )0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件,缺一不可:(1)是整式方程;(2)是一个自变量的二次式;(3)二次项系数不为0 考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=(m +2)x 2 2-m +2x -1是二次函数,则m= . 例2、 下列函数中是二次函数的有( ) ①y=x +x 1;②y=3(x -1)2+2;③y=(x +3)2-2x 2 ;④y=21 x +x . A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为x ,请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式. 例4 、如图,正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点,QP ⊥AP 交DC 于Q ,

如果BP=x ,△ADQ 的面积为y ,用含x 的代数式表示y . 训练题: 1、已知函数y=ax 2+bx +c (其中a ,b ,c 是常数),当a 时,是二次函数;当a ,b 时,是一次函数;当a ,b ,c 时,是正比例函数. 2、若函数y=(m 2 +2m -7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m -1)x 2m +1 +5x -3是二次函数,求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ,另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a ,b ,c 一个值,让c bx ax y ++=2 为二次函数,且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6.下列不是二次函数的是( ) A .y=3x 2+4 B .y=-31 x 2 C .y=52-x D .y=(x +1)(x -2) 7.函数y=(m -n )x 2+mx +n 是二次函数的条件是( ) A .m 、n 为常数,且m ≠0 B .m 、n 为常数,且m ≠n C .m 、n 为常数,且n ≠0 D .m 、n 可以为任何常数

二次函数测试题及答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数 抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图,则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ,且 a ::: 0,a -b c .0, 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac :: 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位,再向下平移 2个单位,所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5,则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同 一直 角 坐标 系内,二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示,则二 x y =ax c 的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是(

11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2 bx 0的根的 情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质:_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点:甲:对称轴是直线x =4 ; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: 15. 已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式:________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二 欠 函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是() A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则( A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N :: 0, P 0 D.M0 , N 0, P :::0 、 填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线( )x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式,则y= ____________________

九年级二次函数课堂练习

第4课时2.4二次函数y=ax2+bx+c的图像(1) 1.在直角坐标系中画出函数,,的图像。 (1)根据图像填空: ①抛物线的顶点坐标是,对称轴是,开口向; ②抛物线的顶点坐标是,对称轴是,开口向; ③抛物线的顶点坐标是,对称轴是,开口向; (2)可以发现:抛物线,,图像的形状,开口大小相同,只是抛物线的位置和对称轴发生了变化。 ①把抛物线沿X轴向平移个单位即可得到抛物线; ②把抛物线沿X轴向平移个单位即可得到抛物线; ③把抛物线沿X轴向平移个单位即可得到抛物线. 2.已知抛物线 ①将抛物线向上平移1个单位,所得抛物线的解析式是, ②将抛物线向左平移3个单位,所得抛物线的解析式是, ③将抛物线向右平移3个单位,所得抛物线的解析式是, ④将抛物线绕顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是, 3.已知抛物线的顶点是(-5,0),且经过点(-3,1),则抛物线的解析式是。 4.已知抛物线 ①画出函数图像,写出抛物线的顶点坐标和对称轴;

②求出抛物线与Y轴的交点P的坐标; ③设抛物线的顶点为A,求以P,A,O(为坐标原点)为顶点的三角形的面积; ④设点Q在X轴上,如果△PAQ是以PA为腰的等腰三角形,试求Q点的坐标。 5.填写下表: 性质 大概图像开口方向对称轴顶点坐标函数

第5课时2.4二次函数y=ax2+bx+c的图像(2) 1.在直角坐标系中画出,,的图像 (1)根据图像填空: ①抛物线的顶点坐标是,对称轴是,开口向; ②抛物线的顶点坐标是,对称轴是,开口向; ③抛物线的顶点坐标是,对称轴是, 开口向; (2)可以发现:抛物线,,图像的形状,开口大小相同,只是抛物线的位置和对称轴发生了变化。 ①把抛物线沿X轴向平移个单位即可得到抛物线; ②把抛物线沿Y轴向平移个单位即可得到抛物线; ③把抛物线沿X轴向平移个单位,再沿Y轴向平移个单位,即可得到抛物线. 2. 抛物线的顶点坐标是,对称轴是。

二次函数讲义

第1页共12页 二次函数 【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义:形如f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f (x )=___ax 2+bx +c (a ≠0)___. 已知三个点的坐标时,宜用一般式. ②顶点式:f (x )=__a (x -m )2+n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③零点式:f (x )=___a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f (x )更方便. 点评:.求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征,可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质 图象函数性质 a >0 定义域 x ∈R (个别题目有限制的,由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac -b 24a ,+∞) y ∈(-∞,4ac -b 2 4a ] a <0 奇偶性 b =0时为偶函数,b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈(-∞,- b 2a ]时递减,x ∈[-b 2a ,+∞)时递增 x ∈(-∞,- b 2a ]时递增, x ∈[-b 2a ,+∞) 时递减 图象特点 ①对称轴:x =- b 2a ;②顶点:(-b 2a ,4ac -b 2 4a ) 3.二次函数f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),当Δ=b 2 -4ac >0时,图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、

北师大版二次函数测试题及答案

北师大版二次函数测试题及答案

北师大版二次函数测试题 一、选择题: 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是() A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0

的点,P3(x3,y3)是直线上的点,且-1

两点,则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点,交y轴于C点,且△ABC是直角三角形,请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足: (其中g是常数,通常取10m/s2).若v0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点,则y1的值是_________. 三、解答题:

学习二次函数反思过程

《二次函数应用》教学过程中出现的问题反思(一) 洪生牧 在二次函数教学中,根据它在初中数学函数在教学中的地位,细心地准备《二次函数》的教学,教学重点为二次函数的图象性质及应用,教学难点为a、b、c与二次函数的图象的关系。根据反思备课过程和讲课效果,感受颇深,有收获,也有不足。 本章的教学是我对选题有了进一步认识,要体现教学目标,要有实际意义。要体现学生的“最近发展区”,有利于学生分析。如为了帮助学生建立二次函数的概念,从学生非常熟悉的正方形的面积的研究出发,通过建立函数解析式,归纳解析式特点,给出二次函数的定义.建立了二次函数概念后,再通过三个例题的分析和解决,促进学生理解和建构二次函数的概念,在建构概念的过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程.体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 接下来教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进,由特殊到一般的学习二次函数的性质,并帮助学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆,还需掌握方法,加强记忆,强调必须利用图形去分析。通过教学,让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识,学会了分析问题的初步方法。 本章中二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分,主要是借助多媒体,动态的展示了二次函数的平移过程,让学生自己总结规律,很形象,便于记忆。 二次函数中含有三个字母系数,因此确定其解析式要三个独立的条件,用待定系数法来解.学习确定二次函数的一般式,这方面,学生的学习情况还是比较理想的,但方法没有问题,计算能力还有待加强。

一元二次函数解法 辅导讲义

课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法: ①因式分解法: 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题:用因式分解法解方程:3(x-3)=(x-3)2 练习:(2x+3)2=24x (2x-1)(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法:方程的左边是完全平方式,右边是非负数x2=a(a》0) 例题:3x2-27=0; 练习:(x+1)2=4 (2x-3)2=7 x2+2x-3=0 ③配方法:把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题:x2-6x=-8

练习:(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题:X 2+2x-3=0 练习: -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程:2532=-x x (1)用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 ( 使方程右边为零) 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 (方程左边因式分解成A`B=0的形式) 即 x-2=0或3x+1=0(A=0或B=0) 31 ,221-==∴x x (2)用配方法解: 解:两边同时除以3,得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ,得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方,得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x (3)用公式法解: 解:移项,得02532=--x x ( 这里a=3,b=-5,c=-2) ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函

数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误.

二次函数讲义详细

第一讲二次函数的定义 知识点归纳 :二次函数的定义:一般地,如果y =aχ2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做X的二次函数.二次函数具备三个条件,缺一不可:(1)是整式方程;(2)是一个自变量的二次式;(3)二次项系数不为O 考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y= ( m + . 2 ) X m2 + 2x —1是二次函数,则m= __________ 例2、下列函数中是二次函数的有() 1 2 2 2 1 ① y=x + :② y=3 (X —1) 2+ ③ y= (X + 3) —2x ;④ y= 2+ X X X A . 1个 B . 2个 C . 3个D. 4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为X,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式. 例4、如图,正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点,QP⊥AP交DC于Q,如果BP=X, △ ADQ的面积为y,用含X 的代数式表示y. A D B

训练题: 1、 已知函数y=aχ2+ bx + C (其中a , b , C 是常数),当a ____ 时,是二次函数;当 a_, b ______ 时,是一次函数; 当a ___ , b ___ , C ___ 时,是正比例函数. 2、 若函数y=(m 2+2m- 7)x 2+4x+5是关于X 的二次函数,贝U m 的取值范围为 __________ 。 2m +1 3、 已知函数y=(m — 1) X +5x - 3是二次函数,求 m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为 a ,另一条对角线为它的 3倍,用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a , b , C 一个值,让y = aχ2 ■ bx C 为二次函数,且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、 象限 6. 下列不是二次函数的是( ) C . m 、n 为常数,且n ≠0 D . m 、n 可以为任何常数 8 .如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为 135°的两面墙,另外两边是总长为 30米的铁 栅栏.(1)求梯形的面积y 与高X 的表达式;(2)求X 的取值范围. 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm , BC=12cm .点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm∕s 的速度移动,同 时,点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.如果 P 、Q 两点分别到达 B 、C 两点停止移动,设运动 开始后第t 秒钟时,五边形 APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数表达式,并指出自变量 t 的取值范围. A . y=3χ2+ 4 B . y=— C . y-.x^5 7 .函数y= (m — n ) x 2 + mx + n 是二次函数的条件是( A . m 、n 为常数,且m ≠0 D . y= (X + 1) (X — 2) ) B . m 、n 为常数,且m ≠ n A D

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