中考数学备考专题复习锐角三角函数含解析0623114含答案

锐角三角函数

一、单选题（共15题；共30分）

1、（2016?巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）

A、斜坡AB的坡度是10°

B、斜坡AB的坡度是tan10°

C、AC=1.2tan10°米

D、AB= 米

2、（2016?金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）

A 、

米2

B 、

米2

C、（4+ ）米2

D、（4+4tanθ）米2

3、（2016?泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）

A、22.48

B、41.68

C、43.16

D、55.63

4、（2016?重庆）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：

，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73，

≈2.45）

A、30.6

B、32.1

C、37.9

D、39.4

5、（2016?聊城）聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所

在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（）

A、169米

B、204米

C、240米

D、407米

6、（2016?娄底）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）

A、不变

B、增大

C、减小

D、先变大再变小

7、（2016?攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）

A 、

B 、

C 、

D 、8、（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）

A、2

B 、

C 、

D 、

9、（2016?西宁）如图，在△ABC 中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）

A、18cm2

B、12cm2

C、9cm2

D、3cm2

10、（2016?陕西）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）

A、3

B、4

C、5

D、6

11、（2016?陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）

A 、

B 、

C 、

D、2

12、（2016?义乌）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

13、（2016?内蒙古）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）

A、3000 m

B、3000（

+1）m

C、3000（

-1）m

D、1500 m

14、（2016?济南）济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，

≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）

A、47m

B、51m

C、53m

D、54m

15、（2016?益阳）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D

的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）

A 、

B 、

C 、

D 、

二、填空题（共5题；共6分）

16、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．

A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．

B．运用科学计算器计算：3 sin73°52′≈________．（结果精确到0.1）

17、（2016?潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是________．

18、（2016?舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ= ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为

________．

19、（2016?孝感）如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么

tan∠ADE的值为________

20、（2016?曲靖）如图，在矩形ABCD中，AD=10，CD=6，E是CD边上一点，沿AE折叠△ADE，使点D恰好落在BC边上的F处，M是AF的中点，连接BM，则sin∠ABM=________．

三、计算题（共1题；共5分）

21、（2016?自贡）计算：（

）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+| ﹣1|

四、综合题（共5题；共61分）22、（2016?南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆．

(1)求证：AB为⊙O的切线；

(2)如果tan∠CAO= ，求cosB的值．

23、（2016?宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC 的顶点B，C 都在第一象限，tan∠AOC= ，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG．

(1)求点B的坐标．

(2)当OG=4时，求AG的长．

(3)求证：GA平分∠OGE．

(4)连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．

24、（2016?达州）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．

(1)求证：AE?BC=AD?AB；

(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC= ，求AF的长．

25、（2016?梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

26、（2016?徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），

B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为________；

(3)M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共

有个；

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

答案解析部分

一、单选题

【答案】B

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°= ，故B正确；

故选：B．

【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．

【答案】D

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC?tanθ=4tanθ（米），

∴AC+BC=4+4tanθ（米），

∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；

故选：D．

【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．

【答案】B

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，

MN=30×2=60（海里），

∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，

∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，

∵∠BMP=68°，

∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，

∴∠PMN=∠MPN，

∴MN=PN=60（海里），

∵∠CNP=46°，

∴∠PNA=44°，

∴PA=PN?sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）

故选：B．

【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

【答案】D

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：

则GH=DE=15米，EG=DH，

∵梯坎坡度i=1：

，

∴BH：CH=1：

，设BH=x米，则CH= x米，

在Rt△BCH中，BC=12米，

由勾股定理得：x2+（

x）2=122，解得：x=6，

∴BH=6米，CH=6 米，

∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6 +20（米），

∵∠α=45°，

∴∠EAG=90°﹣45°=45°，

∴△AEG是等腰直角三角形，

∴AG=EG=6 +20（米），

∴AB=AG+BG=6 +20+9≈39.4（米）；

故选：D．

【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH= x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6 米，得出BG、EG

的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6 +20（米），即可得出大楼AB的高度．本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．

【答案】B

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：

过C作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°，

在Rt△BCO中，OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°，

∵AB=110m，

∴AO=55m，

∴A0=AD﹣OD=CD?tan33°﹣CD?tan21°=55m，

∴CD= = ≈204m，

答：小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为204m．

故选B．

【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，求得AD=CD?tan∠ACD=CD?tan33°，在Rt△BCO中，求得OD=CD?tan∠BCO=CD?tan21°，列方程即可得到结论．此题主要考查了仰角与俯角的问题，利用两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条公共边是解答此题的关键．

【答案】C

【考点】锐角三角函数的定义，锐角三角函数的增减性

【解析】【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，

∴CF∥BE，

∴∠DCF=∠DBF，设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，

∴CF=DC?cosα，BE=DB?cosα，

∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC?cosα，

∵∠ABC=90°，

∴O＜α＜90°，

当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，

∴cosα的值是逐渐减小的，

∴BE+CF=BC?cosα的值是逐渐减小的．故选C．

【分析】设CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知BE+CF=BC?cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到

BE+CF=BC?cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．

【答案】D

【考点】勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），

∴OD=3，OC=4，

∵∠COD=90°，

∴CD= =5，

连接CD，如图所示：

∵∠OBD=∠OCD，

∴sin∠OBD=sin∠OCD= ．

故选：D．

【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．

【答案】D

【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：如图：

，

由勾股定理，得