浅谈递推计数法

小学奥数之递推法

小学奥数之递推法 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

五年级下册奥数知识点：递推方法 计数方法与技巧（递推法概念） 计数方法与技巧（递推法例题） 例1：的乘积中有多少个数字是奇数？ 分析与解答： 如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。 9×9＝81，有1个奇数； 99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数； 999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数； …… 从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。 例题2： 分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。

例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次最后留下的这个人原来的号码是多少分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?

小学奥数计数问题之递推法例题讲解【三篇】

小学奥数计数问题之递推法例题讲解【三篇】 分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 【第三篇】 例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的

编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号）

小学奥数之递推法

五年级下册奥数知识点：递推方法 计数方法与技巧(递推法概念) 计数方法与技巧(递推法例题) 』眇严99汽严哪匕I 例1: '的乘积中有多少个数字是奇数? 分析与解答： 如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手9X 9= 81,有1个奇数； 99 X 99= 99 X (100 —1) = 9900 - 99 = 9801，有2 个奇数； 999X 999= 999X (1000 —1) = 99900 —999= 998001，有3个奇数； 从而可知，999…999X 999…999的乘积中共有10个奇数。 例题2: 计算13 + 23+ 3S+43+ 5S+63+卢十丽十声十1用的 值。 分析与解答: 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 例题3: 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1?2000号，然后从左到右按一、 二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的

号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20-2= 10，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8 10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10十2= 5，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2X 2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5-2= 2……1 ,这2人开始时的编号依次是：8、16,都是8的倍数，也就是2X2X2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2十2= 1，这1人开始时的编号是：16,都是8的倍数，也就是2X 2X 2X 2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢？ 第一次：2000- 2= 1000 第二次：1000- 2= 500 第三次：500- 2= 250 第四次：250- 2= 125

7-6-4 计数之递推法.教师版

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人 在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？ 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小 兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加． 依次类推可以列出下表： 经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子． 【答案】144 【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树 苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？ 【考点】计数之递推法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以 十年后树上有89条树枝． 【答案】89 【例 3】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 【考点】计数之递推法 【难度】4星 【题型】解答 例题精讲 教学目标 7-6-4.计数之递推法

计数问题之递推法例题讲解【三篇】

计数问题之递推法例题讲解【三篇】 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 【第三篇】 例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。

第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号）

五年级奥数计数问题之递推法例题讲解【六篇】

五年级奥数计数问题之递推法例题讲解【六篇】 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 【第三篇】 例题：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。

第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号） 【第四篇】 例题：平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？ 分析与解答： 直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。 一个圆最多将平面分为2部分； 二个圆最多将平面分为4部分； 三个圆最多将平面分为8部分； 当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都

小学数学计数之递推法.教师版

7-6-4. 计数之递推法 教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？ 【考点】计数之递推法【难度】 3 星【题型】解答 【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是 1 对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有 2 对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有 3 对；第五个月，两对大兔子生下 2 对小兔子，共有 5 对；??这个特点的说明每月的大兔子数为上月 的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数 与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表：经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89 —144，所以十二月份的时候总共有144 对兔子． 例 2 】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的 枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树 上有多少条树枝？ 考点】计数之递推法【难度】 3 星【题型】解答 解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，??所以 十年后树上有89 条树枝． 答案】89 例3】一楼梯共10 级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10 级，共有多少种不同走法？ 考点】计数之递推法【难度】 4 星【题型】解答 答案】144

小学奥数训练专题 计数之递推法.学生版.doc

7-6-4.计数之递推法 教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 例题精讲 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？ 【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答 【解析】第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生 下一对小兔子，共有3对；第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对；……这个特 点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的 兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加．依次类推可以列出下表： 经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89—144，所以十二月份的时候总共有144对兔子． 【答案】144 【例2】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息” 过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那 么十年后这棵树上有多少条树枝？ 【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答 【解析】一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝． 【答案】89 【例3】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答 1

小升初奥数计数问题之递推方法的解题技巧

小升初奥数计数问题之递推方法的解题技 巧 数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。这些能力和培养，将使人终身受益。以下是无忧考网整理的相关资料，希望对您有所帮助。 【篇一】 递推方法的概述 在不少计数问题中，要很快求出结果是比较困难的，有时可先从简单情况入手，然后从某一种特殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的方法叫递推方法。 例1、线段AB上共有10个点(包括两个端点)，那么这条线段上一共有多少条不同的线段? 分析与解答： 从简单情况研究起： AB上共有2个点，有线段：1条

AB上共有3个点，有线段：1+2=3(条) AB上共有4个点，有线段：1+2+3=6(条) AB上共有5个点，有线段：1+2+3+4=10(条) …… AB上共有10个点，有线段：1+2+3+4+…+9=45(条) 一般地，AB上共有n个点，有线段： 1+2+3+4+…+(n-1)=n×(n-1)÷2 即：线段数=点数×(点数-1)÷2 例2、2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，……按这个规律此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次?最后留下的这个人原来的号码是多少? 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2=10，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2=5，这5人开始时的编号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍

计数原理之递推问题

排列组合经典问题学案1 递推关系问题 一、阶梯问题 例1．问题提出： 有阶梯有n级台阶，上台阶时每步只能跨一阶或两阶台阶，问共有多少种走法？ （公式：F n=_______________________________________________） 注：此公式不需记忆，不需推导，只供增长知识面. 10级台阶，上台阶时每步只能跨一阶或两阶台阶，问共有多少种走法？ 8级台阶，上台阶时每步可以跨一阶、两阶或三阶台阶，问共有多少种走法？ 10级台阶，要求7步走完，每步可跨一阶，也可跨两阶，问有多少种不同的跨法？ 10级台阶，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若从底楼到二楼用8步走完，则不同的走法的种数为？ 二、圈状染色问题： 例2．问题提出： 用m种不同的颜色去染如图n个扇形，相邻的扇形之间不能同色，问有多少种不同的 涂法？ （公式：Q n=_______________________________________________） 注：此公式不需记忆，不需推导，只供增长知识面.

6种颜色给如下图形涂色，要求相邻区域不能涂同一种颜色， (1) (2) (3) 5种颜色给四棱锥、五棱锥的顶点涂色，同一条棱的两个顶点不能同色，问各有多少种不同的涂法？ 三、传球问题： 例3．问题提出： k个人相互传球，已知由甲开始发球，第n次传球后，依然传到甲的不同传球方式共有多少种？ 次由拿球者再传给其他三人中的任何一人，这样共传6次球，球恰好回到甲手中的 传球情形有几种？ 四、全错位排列问题： 例4．问题提出： 有n的同学，每人写了1张贺卡，再将这些贺卡混在一起，每人抽取一张，试问每个人拿到的贺卡都不是自己的情形有多少种？ (全错位排列公式：___________________________________________) 需背记，无需推导] 1，2，3，4，5的5个人分别去坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，至多有两个号码一致的坐法有__________种

3.3递推法解题

§3.3递推法解题 基础知识 对于某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，扎谓用递推法解题，就是根据题目的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系。递推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。 利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求通项。 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a n，则a n+1=a n+1;即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。由此可得a n＋2=a n＋1＋1，这样就可以得到自然数数列中任何一个数. 再看一个例子： 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 解：假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，…. a0＝1 a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11 … 归纳出递推公式a n＋1＝a n+n. （1） 即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应 和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线 段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条 直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段. 而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等 于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1） 是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成： a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。 要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，就去求通项公式。 一般来说，如果一个与自然数有关的数列中的任一项a n可以由它前面的k（≤n-1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这个数列为递归数列.

小升初计数重点考查内容————计数方法综合(1)——标数法、递推法

图中，“我爱希望杯”有______种不同的读法。 【举一反三】如图，要从A 去B ，C 不能通过，最短线路有______条。 游乐园门票1元1张，每人限购1张。现有10个小朋友排队购买，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有零钱。10个小朋友排队，不同的排队方法总共有10！＝3628800种，问其中有______种排队方法，售票员总能找的开零钱。 【举一反三】 在一次选举中甲、乙两人参加竞选，甲得5张选票，乙也得5张选票，问在对这10张选票逐一唱票的过程中，乙的得票始终未能领先的点票记录共有______种可能。 (★★) (★★★★★)

一个楼梯共有10级阶梯，规定每步可以逐一级台阶或两级台阶，走完这10级台阶，一共有______种不同走法。 对一个自然数进行如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行下去直到得数为1停止。问经过9次操作变为1的数有______个。 在平面上画8个圆，最多可以把平面分成_______ 部分。 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．如下图所示，要从A 点沿线段走到B ，要求每一步都是向右、向上或者斜上方。问有多少种不同的走法？ B A A A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 (★★★) (★★★) (★★★☆)

2．有15个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有种不同的方法取完这堆棋子。 A．11B．22C．33D．18 3．上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级楼梯，要登上第12级楼梯，不同的走法共有多少种？ A．233B．230C．243D．253 4．给你一架天平和两个砝码，这两个砝码分别重20克和50克，如果再添四个砝码，则这六个砝码可以称的重量种类最多是多少种。（天平的左右两盘均可放砝码） A．268B．256C．364D．280 5．平面上的5个圆和3条直线最多能把平面分成多少部分？ A．55B．57C．32D．48

小学奥数计数问题之递推法例题讲解【三篇】

小学奥数递推计数ppt_小学奥数计数问题之递推 法例题讲解【三篇】 【第一篇】 例题：的乘积中有多少个数字是奇数？分析与解答：如果我们 通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。 9×9＝81，有1个奇数；99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数；999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001， 有3个奇数；……从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。 【第二篇】 【第三篇】 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名 同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用 这个规律来解题。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5，这5人开始时的编 号依次是：4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2……1，这2人开始时 的编号依次是：8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。

由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62……1第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15......1第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3......1第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号）

计数之递推法

7-6-4计数之递推法 教学目标 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 例题精讲 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法． 【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？ 【例2】树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？ 【例3】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？

【巩固】一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【例4】1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法． 【例5】用13 ?的方格网，共有多少种不同的盖法？ ?的小长方形覆盖38 【例6】有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？【巩固】一堆苹果共有8个，如果规定每次取1～3个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？【例7】有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？

递推计数与对应计数

递推计数与对应计数 一.对应计数法: 要计算一个有限集A 的元素个数,若直接计算比较困难时,我们可设法寻找一个便于计算其元素个数的集合B ,并且建立一个A 到B 上的一一对应f ,于是由A B =得到A 的元素个数,这种计数方法就是对应计数方法.运用这种方法的关键是寻找一个便于计算其元素个数的集合B 及如何在A 与B 建立一一对应. 例1 圆周上有()4m m ≥个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于一点(端点除外),问,这些弦在圆内一共有多少个交点? 解:圆周上任四点之间所连的弦中在圆内恰有一个交点,反之,圆内的任何一个交点,是由两条弦相交而得,这两条弦对应于圆周上四个点.这样交点与圆周上的四点组之间构成了一个一一 对应关系,所以共有4m C 个交点. 例2 正方体的12条棱,12条面对角线及4条体对角线,这28条线中,异面直线有几对? 解:从正方体的8个顶点中取四个不共面的顶点组成一个四面体,在该四面体的棱所在直线中有3对异面直线;反之,每一对异面线段的四个顶点对应于正方体的4个不共面的顶点. 从正方体的8个顶点中取四个不共面的顶点有486658C --=种方法,所以异面直线的对数 为358174?=. 例3 从m n ?的棋盘中,取出一个由三个方格组成的L 形,有多少种不同的取法? 解:棋盘中的每一个内部点A 都对应于四个L 形,反之每一个L 形都对应于一 个内部点A .m n ?的棋盘共有()()11m n --个内部点,所以不同的取法有()()411m n --种. 例4 从19,,3,2,1 中,按从小到大的顺序选取4321,,,a a a a 四个数,使得21322,3a a a a -≥-≥, 434≥-a a .问符合上述要求的不同取法有多少种? 解:等价于去掉六个数,从1,2,3,,13 中,按从小到大的顺序选取1234,,,b b b b 四个数共有多少 种取法,有413715C =种方法.在此基础上取11223344,1,3,6a b a b a b a b ==+=+=+即可. 例5 从集合{}1,2,3,,49 中取出6个不同的数,使得其中至少有两个相邻,不同的取法有几种? 解:从集合{}1,2,3,,49 中取出6个不同的数123456,,,,,a a a a a a 有649C 种不同取法. 若这些数互不相邻,则12345611234544a a a a a a ≤<-<-<-<-<-≤,即等价于从 A

小学奥数之递推法

小学奥数之递推法公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

五年级下册奥数知识点：递推方法 计数方法与技巧（递推法概念） 计数方法与技巧（递推法例题） 例1：的乘积中有多少个数字是奇数？ 分析与解答： 如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。 9×9＝81，有1个奇数； 99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数； 999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数； …… 从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。 例题2：

分析与解答： 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 分析与解答： 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。

小学奥数教程：计数之归纳法_全国通用(含答案)

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例1】如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。 【考点】计数之归纳法【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分 【解析】边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格 【答案】9 【例2】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分? 【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，…… 时的情形，于是得到下表： 由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将 平面分成2+2+3+4+…+n= ()1 2 n n+ +1个部分． 方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分． 一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k= ()1 2 k k+ +1个部分，所以五条直线可以分平面为 16个部分．例题精讲 教学目标 7-6-1.计数之归纳法

小学六年级奥数 第6讲计数方法之标数法、递推法

计数方法之标数法、递推法 【例2】(★★) 【例1】(★★) 如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按 图中箭头所示方向有______种不同的方法拼出英文单词 “Einstein”。 如图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B， 但 不经过C走到D的不同的最短路线有多少条？【例4】(★★★★★) 【例3】(★★★★) 在下图中，左下角有1枚棋子，每次可以向上，向右，或沿对角线的方向向右上走任意多步，但不能不走。那么走到右上角一共有多少种方法？池塘中10片莲叶如右图排列．青蛙在莲叶间跳跃，每次只能从一 片莲叶跳到相邻的另一片莲叶．一只青蛙盘算着从其中一片莲叶

上起跳，连跳4步，那么它有种不同的跳法． ○ 1

【例5】(★★★★★)【例6】(★★★) 游乐园门票1元1张，每人限购1张.现有10个小朋友排队购买，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有零钱。10个小朋友排队，不同的排队方法总共有10！ ＝3628800种，问其中有______种排队方法，售票员总能找的开 零钱。 如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个 蜂 房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？ A B 【例】★★★ 一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶， 最 3，1， 不同的走法？ 【例8】(★★★)本讲总结 在平面上画8个圆，最多可以把平面分成_______部分。 ①标数法与递推法都是加法原理 ②按最后一步进行分类，做加法 ③标数时要注意限制条件 ④分平面问题要确定交点个数【例9】(★★★★) 一个长方形把平面分成两部分，那么10个长方形最多把平面分成_______部分. 重点例题：例3、例4、例5、例7、 例8 2

组合计数问题的基本方法--递推

组合计数问题的基本方法——递推(学生版) 一、基础问题呈现 1.欲登上第10级台阶,若每步只能跨上一级或两级,则不同上台阶的方法数为【 】. A.144 B.122 C.89 D.55 2.五个人排成一列,重新站队时,若各人都不站在原来的位置上,则不同站队的方法数为【 】. A.60 B.44 C.36 D.24 3.若用四种不同颜色给四边形的四n 个顶点染色,每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,则不同的染色方法数为【 】. A.84 B.72 C.48 D.24 4.甲、乙、丙、丁四人相互传球,第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人,第二次由拿球者再传给其他人中任一人,这样共传了四次,则第四次球恰传回到甲的方法数为【 】. A.42 B.27 C.24 D.21 5.甲、乙二人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时,原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时就由对方接着掷.若第一次由甲开始掷,则第六次恰由甲掷的概率为【 】. A.365729 B.364729 C.122243 D.121243 二、推广问题解决 6.欲登上第n 级楼梯,如果每步只能跨上一级或两级,求不同的方法数. 7.已知n 个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,求不同的方法数. 8.用m (3)m ≥种不同颜色给n (3)n ≥边形n A A A 21的n 个顶点染色,每点染一种颜色,相邻的顶点染不同的颜色,求不同的染色方法数. 9.有*()m m N ∈个人相互进行* ()n n N ∈次传球,由甲先传,第一次甲传给其他1-m 个人中的任一人,第二次由拿球者再传给其他人中任一人,求这样经过n 次传球,球回到甲手中的传球方法数. 10.甲、乙二人拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下:若掷出的点数之和为3的倍数时,原掷骰子的人再继续掷.若掷出的点数不是3的倍数时就由对方接着掷,第一次由甲开始掷,求第n 次仍由甲掷的概率n P .

第十三讲 递推计数

第13讲 递推技数 有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的，一个比较有效的策略是退而求其次：先考虑该问题的简单情形，看看简单情形如何处理．在解决了简单情形后，再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题……这个由简单到复杂的推导过程就叫“递推”。 那如何利用“递推法”来解决计数问题昵?下面我们就来看几个例子．老师给小高布置了l2篇作文，规定他每天至少写l 篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种不同的完成方法?(小高每天只能写整数篇) 分析：从简单情况入手，看看能否找到合适的突破口．如果老师只布置l 篇作文． 例题1 小高有多少种不同的完成方法?如果老师布置2篇作文，小高有多少种不同的完成方法?如果者师布置3篇、4篇、……小高又分别有多少种不同的完成方法? 篇数由少到多，完成方法数也舍逐渐变多，这其中有什么规律呢? 练习 1.一个楼梯共有l2级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶走完这12级台阶，共有多少种不同的走法? 练习2 用10个l×3的长方形纸片覆盖一个10 ×3的方格表，共有多少种覆盖方法? 分析：与例l 的类似，我们还是从简单情形入手找递推关系．可具体从什么样 的情形入手呢? 练习 2.用7个l 2的长方形纸片覆盖一个7×2的方格表，共有多少种覆盖方法? 例题3 在一个平面上画出100条直线，最多可以把平面分成几个部分? 分析：当直线数量不多时，画图数一数即可但现在有100条，画图数并不现实. 我们不妨在纸上将直线连一画出，并在画的过程中仔细观察：每增加一条直线，平面被分成的部分会增加多少?这个增量有什幺变化规律? 练习 3．如果在一个圆内画出50条直线，最多可以把圆分成多少部分? 下面我们束学习一类很经典的递推计数问题——传球问题． 例题4 四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中请问：整个传球过程共有多少种不同的可能? 分析：看到这个问题很多同学可能想通过树形图来求解，我们不妨来试一试。设穿着红、黄、绿、蓝四种颜色球衣的人分别是A 、B 、C 、D 如下图，最开始时，球