三角函数和不等式
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[获奖论文联展]三角函数最值问题的求解策略
2009-02-03
摘要：求三角函数的最值问题涉及知识面广，灵活性大。本文将从具体的实例出发，分析并介绍问题转换、变量替换、等价化归、图形结合等几种比较典型的解题方法，找出一般的解题策略与技巧。
关键词：三角函数最值策略转化
三角函数最值问题遍及三角乃致立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用。并且这类问题综合性强，灵活性大。这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括变量替换、问题转换、等价化归、图形结合等常用方法。掌握这类问题的求解策略，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。下面针对三角函数的最值问题，作出几种具体分类讨论：
一、合理转化，利用三角函数性质求解。
1、通过转化，利用正、余弦函数的有界性来求最值问题。主要有以下两种类型：
⑴、可将函数式化为
的形式，利用正、余弦函数的有界性来求解。形如
或
的类型函数适用。对形如
的函数最值问题，需先将、
降次，化归为
的最值问题，再应用
求解；对形如
的函数最值问题，即函数的解析式中只含有sinx〔或cosx〕的一次式，可反解出sinx〔或cosx〕，再利用正、余弦函数的有界性求出y的取值范围。
例1、求函数最值。
分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将降次处理，再应用
〔其中〕的知识，转化原函数式，根据有界性求值。
解：原函数解析式可化为：
。由，可得：，即，。
例2、求函数的值域。
分析：原函数的解析式中只含有的一次式，所以可反解出，再利用余弦函数的有界性求出y的取值范围。
解：由得
因为，所以。解之得，所以所求函数的值域为。
〔对本题也可先将函数式变为，又由，所以得〕。
⑵、可将函数化为的形式也利用函数的有界性求解，形如或者形如
的类型函数适用。此类函数的解析式与上例不同，分式中分子、分母含有的一次式cosx或sinx 各不相同，不能直接解出cosx或sinx，通常是化作再利用函数有界性求解。
例3、求函数的最小值和最大值。
分析：此函数的解析式的分子含有的一次式，而分母是含的一次式，不能直接解出或
，化作求解。
解：由得
所以〔为辅助角〕，得
又因为，所以是，由此解得
即，
〔对此类问题也可通过几何方法来求解，如下面第四点介绍〕
2、通过转化，利用正、余弦函数的单调性来求最值问题。一般对于以上1、（1）的类型（即可化为
形式或化为余弦函数形式），但自变量的范围限制在某个区间的情况的函数最值问题适用。通常通过三角恒等变换将已知函数式直接转化为一个角的三角函数式的形式，将异名三角函数化为同名三角函数，然后运用三角函数的单调性来求解．
例4、求函数的最大和最小值。
分析：根据，将原函数解析式转化为只含正弦函数符号的函数式，然后运用正弦函数在某区间的单调性，求得原函数的最值。
解：
由，得，即
又由正弦函数的单调性可知：在上单调增加，故有
所以，。
此类问题注意函数的所在区间及其函数所具的单调性。
二、变量替换, 转化结构，巧妙求解.
对于比较复杂的复合三角函数，难以直接运用公式进行转化的，抓住结构特点，通过引入变量进行替换，转化原问题的结构，把问题转化成对新变量的讨论。将比较复杂的函数转化成易于求最值的函数进行求解。主要类型有：
⑴、局部替换
通过局部替换把三角问题转化为代数问题进行讨论, 避开解三角函式题的麻烦，达到化繁为简、化难为易的目的，从而求解。如类型往往通过换元转化为对二次函数的最值求解。
例5、求函数的最值。
分析：利用沟通与之间的关系，通过换元使原函数转化为二次函数求解。
解：设，则，有。
于是原函数为
故当时，即时，
当时，即时，
注意：函数与形式的最值问题形同质异，解法的不同。
例6、已知a>0，求的最大值与最小值。
分析：由，利用
沟通与之间的关系，通过换元使原函数转化为二次函数求解。但对含有参数的最值问题要对参数进行讨论。
解：
设，则，且，代入已知式得：
①若，则当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为
。
②若，则当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为
。
⑵、整体替换
整体替换，即把已知式或待求式视为一个整体进行变形替换。从而架起已知通向未知的桥梁，转化原问题结构，简化解题过程。
例7、已知，求的值域。
分析：此类题通常已知量和未知量没有直接联系，把待求式视为一个整体进行变量替换，设
，沟通与已知量关系，变成新的式子求值。
解：设，将已知式与待求式两边平方得：
①
②
将①+②得：，即，，
因为，所以。解之得
所以。
⑶、引入参数
通过引入参变量调节命题结构，等价化归把问题转化为对参变量的讨论，简化原函数式从而求解。
例8、求函数的最大值与最小值。
分析：通过引入参数，，使原函数式由繁化简，等价化归为对参变量t和s的讨论求得最值。
解：设，，由，得，
因为，所以。于是有，
因为，所以。
所以函数y的最大值为，最小值为。
三、抓住结构特征，巧用均值不等式求解。
根据题目结构特征，利用均值不等式模型解决最值问题。
均值不等式的一般形式：
〔其中为正数且〕
但利用均值不等式求最值时，必须关注三个条件“一正、二定、三相等”，所谓一正，即正值，这是运用此方法的前提条件，在解题中应予以说明论述；二定，即定值，它须通过恒等变换包括必要的技巧方能解决，是运用此方法的关键条件也是难点；三相等，即等值，是当且仅当等号成立的条件，则可求出自变量的值，最后还应注意的是最值，应为和的最值或积的最值。
例9、已知，求函数的最小值。
分析：由得：，原函数式化为y=，可转化为均值不等式形式求解。
解：由得：，根据均值不等式
＝＝12
当即＝时，等号才成立，即有＝12
例10、已知，其中、为锐角，求的最大值。
分析：由于为锐角，即、＞0，故利用三角公式沟通、、的关系，并构造为和的形式，运用均值不等式求解。
解：由得。
又由
所以
即，有
则
当=即时，等号才成立，故有的最大值为
四、运用模型、利用数形结合求解。
数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，对一些求最值的题型则可以构造几何模型来求解。
如对形如的函数式，通常可视作动点
与定点的连线的斜率，由于，所以从图形角度考虑点在单位圆上。这样一类既含有正弦函
数又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何法求解。
例11、求函数的最大值和最小值。
解：这可以看作是定点与单位圆上的点连线的斜率。因此，y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率。因为单位圆中斜率为k的切线方程为:
由于该切线过点，故
所以 . 即 , .
五、函数与方程的转化，构造方程，运用判别式求解。
这类题目通常是将函数转化为方程，并且其具体特征为：所列的函数解析式或化简后的解析式，可以化
为：的形式，由x在某一定义域范围内有解，可以得出
，再结合二次方程在某区间内有实数解的充要条件〔即方程在闭区间内有实根即
可，并非一定有两个实根。〕，解这些不等式求出s的变化范围，从而得到最值。（其中或
的形式，是s的函数）。
例12、求函数的最大和最小值。
分析：将原函数整理成关于sinx的二次方程，问题转化为求一元二次方程在闭区间上存在实数解的充要条件问题，从而求得原函数的最值。
解：将原函数表达式变形为关于的方程：
，
由于，所以方程在闭区间有实数解。而在
上的有实数解的充要条件为：或
解之得：。故有原函数的最大值和最小值为
用判别式求函数最值时，变形过程必须等价，必须考虑原函数的定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。
综上所述，我们总结出三角函数最值问题的五种求解策略。显然，三角函数最值问题类型繁多，所涉及的知识面广，解法灵活。所以在解题过程中，注意函数表达式的内在特点，题型结构特征，选用恰当的求解策略和方法技巧，能使解题过程简捷巧妙，收到事半功倍的效果。
参考文献
⑶刘志联,构造几何模型巧解代数题《中学数学月刊》 2003年1月版
稿件来源：中国劳动力市场信息网监测中心·相关文章