启东中学2013届高三数学寒假(专题)训练二
三角与向量
1.如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
⑴如果A、B两点的纵坐标分别为4
5
、
12
13
,求c o sα和sinβ
⑵在⑴的条件下,求c o s()
βα
-的值;
⑶已知点C(1
-,求函数()
f O A O C
α=?
的值域.
2、已知向量(2cos,1),cos,)
m x n x x a
ωωω
==-
,其中(,0)
x Rω
∈>,函数()
f x m n
=?
的最小正周期为π,最大值为3。
(1)求ω和常数a的值;
(2)求函数()
f x的单调递增区间。
3、在△ABC中,角,,
A B C的对边分别为.,,c
b
a向量m=)3
,
sin
2(-
B,n=)1
2
cos
2,
2
(cos2-
B
B,且m∥n.
(1)求锐角B的大小;(2)如果2
b=,求△ABC的面积
ABC
S
?
的最大值。
4、已知函数2()sin(2)2cos 1().6
f x x x x R π
=-
+-∈
⑴求)(x f 的单调递增区间;
⑵在ABC ?中,三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知,c a b ,,成等差数列,且
9=?AC AB ,求a 的值.
5、已知函数21
()cos cos ,2
f x x x x x R =--
∈. (1)求函数)(x f 的最小值和最小正周期;
(2)已知ABC ?内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且3,()0c f C ==,若向量
(1,sin )m A = 与(2,sin )n B =
共线,求a b 、的值.
6、某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行
方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
江苏省启东中学2013届高三数学寒假专题训练二答案 1、解:(1)根据三角函数的定义,得4sin 5α=
,12
sin 13
β=. 又α是锐角,所以3
cos 5
α=. (2)由(1)知12sin 13
β=
. 因为β是钝角,所以5cos 13
β=-
. 所以5312433
c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565
βαβαβα-=+=-?+?=
. (3)由题意可知,(c o s s i n)O A αα= ,
,(O C .
所以()i nc o s 2s i n ()
6
f O A πα
ααα
=?-=- , 因为02πα<<,所以663πππα-<-<
,1s i n ()26a π-<-
从而1()f α-<,因此函数()f O A O C α=?
的值域为(1-.
2、解析:(1
)2()cos 2cos f x m n x x x a ωωω=?=-+
,
2cos21x x a ωω=--+2sin(2)16
x a π
ω=-+-,………………………
……………2分 由22T π
πω
==,得1ω=。……………………………………6分 又
当
s
i n (2)16
x πω-=
时
max 213y a =+-=
,得
2a =.……………………………………8分
(2)由(1)()2sin(2)16
f x x π
=-+当222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈,
即6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+
,故()f x 的单调增区间为[,]63
k k π
π
ππ-
+,
()k Z ∈。……………12分
3、解析:(1) ∵m ∥n B B
B 2cos 3)12cos
2(sin 22
-=-∴
B
B 2cos 32sin -=∴,
即
32t a n -=B …………………………………………………3分
又
B
为锐角
()
π,02∈∴B ,
3
22π=
∴B 3
π
=
∴B 。……………………………………6分
(
2)
得
,由余弦定理ac
b c a B b B 2cos 2,32
22-+===π
:
0422=--+ac c a ……8分
又ac c a 22
2≥+ 代入上式得:4≤ac (当且仅当 2==c a 时等号成
立)…………………10分
34
3sin 21≤==
?ac B ac S ABC (当且仅当 2==c a 时等号成立) 3的最大值为ABC S ?∴。……………………12分
4.解:(1)x x x x x x f 2cos 2cos 12sin 31cos 2)2sin()(2+-=
-+-=π
x x 2cos 212sin 23+==)6
2sin(π+x
由c a b ,,成等差数列得:c b a +=2,
由9=?得9cos =A bc ,18,92
1==bc bc
由余弦定理得,bc c b A bc c b a 3)(cos 22
222-+=-+=, 于是5442
2
-=a a ,182
=a ,23=a
sin 2sin 6
26
,C 0 1
)2sin( 01)6
2sin()((2) 5 .,2)( 3 1)6
2sin( 12cos 2
1
2sin 2321cos cos sin 3)( )1.(172共线,与即由分最小正周期为为的最小值为分
-∴<
-
<-
<<=-
=--=-∴--
=--=--=A B C C C C f x f x x x x x x x f πππππππ
,2b ,sin sinA
a B
b
a ==得由正弦定理:① 又c=3,由余弦定理,得,3
cos
292
2π
ab b a -+= ②
解方程组①②,得???==3
23
b a 。
6.解析:(1) 要使小艇航行距离最短,理想化的航行路线为OT ,
∴小艇到达T 位置时轮船的航行位移,0AT s =即3
1,1030==t t ,
310=vt , ∴3303
10==
t
v (海里/时) 答:小艇航行速度应为330海里小时/。
(2)分类讨论得:若轮船与小艇在A 、T 之间G 位置相遇则有OG 2 =+--t t v , 设x t =1 , 则:96410600 40090022+-=-+ =χχt t v 从而)3(304 27)43(410949)16923(41022 <≤+-=+-+- =χχχχv 所以当30=v 时,23= χ,即3 2 =t 。 30方向行走能以最短的时间遇到轮船。答:当小艇以30海里每小时的速度,沿北偏东 期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一、选择题(本大题共10小题,共30.0分) 1.当z=-时,z100+z50+1的值等于() A. 1 B. -1 C. i D. -i 2.(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.则a1+a2+a3+…+a10=() A. 1 B. -1 C. 1023 D. -1023 3.从集合{2,4,8}中随机选取一个数m,则方程表示离心率为的椭圆的 概率为() A. B. C. D. 1 4.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{-1,0,1},i={1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为() A. 60 B. 90 C. 120 D. 130 5.如图,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种, 每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则 最多有几种栽种方案() A. 180种 B. 240种 C. 360种 D. 420种 6.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有( )种(用数 字作答). A. 720 B. 480 C. 144 D. 360 7.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便,有6个不太方便.现从中任 意选取10个小镇,其中有X个小镇交通不太方便,下列概率中等于的是() A. P(X=4) B. P(X≤4) C. P(X=6) D. P(X≤6) 8.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年 公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为() A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 9.在()n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为() A. B. 7 C. D. 28 高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1- 一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2, (1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1. 宜城一中高三数学小题专项训练 1、一条长为2的线段,它的三视图分别是长为b a ,,3的三条线段,则ab 的最大值为 A .1 B .2.5 C .6 D .5 2、已知双曲线13 62 2=-y x 的左右焦点分别为21,F F ,点M 在双曲线上,且x MF ⊥1轴,则1F 到直线M F 2的距离为 A .563 B .665 C .56 D .65. 3、已知)3,1,2(-=,)2,4,1(--=,),5,7(λ=,若,,三向量共面,则实数λ等于 A .762 B .763 C .764 D .7 65 4、已知ABC ?的周长为12+,且C B A s i n 2s i n s i n = +。若A B C ?的面积为C sin 61,则角C 的大小为 A .6π B .3π C .2π D .32π. 5、当变量y x ,满足约束条件?? ???≥≤+≥m x y x x y 43时,y x z 3-=的最大值为8,则实数的值m 为 A .-4 B .-3 C .-2 D .-1. 6.函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到 (2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得 1212()()()==,n n f x f x f x x x x 则n 的取值范围是 A .{}3,4 B .{}2,3,4 C . {}3,4,5 D .{}2,3 7、“c b a 1113++”称为a ,b , c 三个正实数的“调和平均数”,若正数y x ,满足“xy y x ,,”的调和平均数为3,则y x 2+的最小值是 A .3 B .5 C .7 D .8. 8、已知边长都为1的正方形ABCD 与DCFE 所在的平面互相垂直,点Q P ,分别是线段DE BC ,上的动点(包括端点),2=PQ 。设线段PQ 中点轨迹为ω,则ω的长度为 江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题 (普通班,含解析) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.某企业一种商品的产量与单位成本数据如表: 现根据表中所提供的数据,求得y 关于x 的线性回归方程为?21y x =-,则a 值等于( ) A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知表格中的数据求得x 与y 的值,代入线性回归方程求解a 值. 【详解】由所给数据可求得 ∴ 23433 x ++==, 103 a y +=, 代入线性回归方程为?21y x =-, 得102313 a +=?-, 解得5a = 故选:B. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题. 2.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是( ) A. 5,,6226ππππ???????????? B. 50,,66πππ?? ?????????? C. 50,6π?????? D. 5,66ππ?????? 【答案】B 【解析】 【分析】 将直线方程化为斜截式,得到斜率k ,从而可以求出k 的取值范围,进而得到倾斜角的范围. 【详解】将直线方程cos 20x α++=化为斜截式:y x α=?-, 故直线的斜率k α=, []cos 1,1α∈-, [k ∴∈, 所以直线的倾斜角范围为50, ,66πππ?? ??????????, 故选:B. 【点睛】本题考查直线的倾斜角,由斜率范围确定倾斜角范围时容易求反,答题时要仔细. 3.掷一枚均匀的硬币两次,事件M :“一次正面朝上,一次反面朝上”;事件N :“至少一次正面朝上”,则下列结果正确的是( ) A. 11(),()32 P M P N = = B. 11(),()22P M P N == C. 13(),()34P M P N == D. 13(),()24P M P N == 【答案】D 【解析】 试题分析:2113(),()1,4244 P M P N ===-=∴选D. 考点:古典概型. 4.已知直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若点A ,B 的坐标分别是(-4,2), 高三数学小题训练(10) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分;共50分. 1.已知函数x b x a x f cos sin )(-=(a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈)在4 π =x 处取 得最小值,则函数)4 3( x f y -=π 是( ) A .偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B .偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C .奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D .奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? -???? 上的最小值是2-,则ω的最小值等于 ( ) (A )23 (B )3 2 (C )2 (D )3 3.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6y x π =- C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)3 y x π =- 4.设0a >,对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+= <<,下列结论正确的是( ) A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .有最大值且有最小值 D .既无最大值又无最小值 5.已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则 m n 等于 ( ) (A ) 1 3 (B )3 (C )33 (D 3 6.与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 (C )???- ??31,322 (D )???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7.如图,已知正六边形123456PP P P P P ,下列向量的数量积中最大的是( ) (A )1213,PP PP (B )1214,PP PP (C )1215,PP PP (D ) 1216,PP PP 8.如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 9.已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ( ) (A)8 (B)6 (C )4 (D )2 10.若a ,b ,c >0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) (A )3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11.cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12.已知βα,??? ??∈ππ,43,sin(βα+)=-,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___. 2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数学试 卷1 一、填空题(本大题共14小题,共70.0分) 1. 设集合A ={x|x >2},B ={x|x <4},则A ∩B =______. 2. 已知f(x)=ln(e 2x +1)+kx 是偶函数,则k =________. 3. “x >1”是“x 2>x ”的__________条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分又不必要”) 4. 幂函数f(x)=(m 2?3m +3)x m 2?2m+1 在区间(0,+∞)上是增函数,则m =______. 5. 直线3x +√3y ?6=0的倾斜角为_________ 6. 若命题“?x 0∈R ,x 02 +x 0+m <0”是假命题,则实数m 的范围是______. 7. 若tanα+1tanα= 103 ,α∈(π4,π2),则sin (2α+π4)+2cos π 4 cos 2α的值为 . 8. 已知函数f(x)={x ?1,x <0 log 2x ?3,x >0 ,则f(16)+f(?12)=______. 9. 如果直线l :y =kx ?1(k >0)与双曲线 x 2 16 ?y 29 =1的一条渐近线平行,那么k = ______ . 10. 将函数f(x)=sin (ωx ?π 6)(ω>0)的图象向左平移π 3个单位后,所得图象关于直线x =π对称, 则ω的最小值为 . 11. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0 |log 2x|,x >0 ,若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1< x 22020年江苏省南通市启东中学创新班高一(下)期中数学试卷
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