2020年高考押题预测卷02(新课标Ⅰ卷)-理科数学(全解全析)

2020年高考押题预测卷02【新课标Ⅰ卷】

理科数学·全解全析

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C

C

B

D

A

A

A

B

A

D

B

D

1.C 【解析】由题意{}

{}{}2

|340|141,0,1,2,3,4A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-,

{}

{}{}2|e 1|20|2x B x x x x x -=<=-<=<,

则{}{}{}1,0,1,2,3,4|21,0,1x x A B -<=-=I

I .故选:C.

2.C 【解析】∵0.10331>=,3330log 1log 2log 31=<<=,3

42

ππ<<,cos40<; ∴c b a <<.故选C.

3.B 【解析】根据题意,{}()()N f x g x ?可转化为满足2

2log (1)2x a x <-+的整数解x 的个数.当0a >时,

数形结合可得()()f x g x <的解集中整数解的个数有无数个;

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当0a =时,()2g x =,由()2f x =,解得4x =或14,在1,44??

???

内有3个整数解, 即{}()()3N f x g x ?=,所以0a ≥不符合题意;

当0a <时,作出函数2()log x f x =和2()(1)2g x a x =-+的大致图象,如图所示:

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若{}()()1N f x g x ?=,即2

2log (12)x a x <-+的整数解只有一个,

只需满足(2)(2),(1)(1),f g f g ≥??

02,a ?≥+?

解得1a ≤-,

所以当{}()()1N f x g x ?=时,实数a 的取值范围是(],1-∞-,故选:B. 4.D 【解析】

()

10

10

101022202013132(cos sin )2(cos sin )2()512512333332i i i i ππππ?

?-+=+=+=-+=-+ ??

?.

5.A 【解析】作出函数()22log x ,0f x x 22,0x x x ?>=?++≤?

的图象如图,

由图可知,]

D (2,4=,

函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点,即()f x kx =有两个不同的根,

也就是y kx =与()y f x =在

2,4](上有2个交点,则k 的最小值为1

2

; 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ,斜率为

01

x ln2

, 则切线方程为()2001

y log x x x x ln2

-=

-, 把()0,0代入,可得201log x ln2-=-,即0x e =,∴切线斜率为1eln2

, ∴k 的取值范围是11,2eln2??

???

, ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1

k 2

>

”的充分不必要条件,故选A .

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6.A 【解析】由2c

e a

=

=,得2,3c a b a ==, 故线段MN 所在直线的方程为3()y x a =

+,

又点P 在线段MN 上,可设(33)P m m a +,其中[m a ∈-,0], 由于1(,0)F c -,2(,0)F c ,即1(2,0)F a -,2(2,0)F a ,

得12(2,33),(2,33)PF a m m a PF a m m a =---=--u u u r u u u u r

所以22

2212313464()44

PF PF m ma a m a a ?=+-=+-u u u r u u u u r .由于[m a ∈-,0],

可知当34m a =-时,12PF PF ?u u u r u u u u r 取得最小值,此时3

4P

y a =, 当0m =时,12PF PF ?u u u r u u u u r

取得最大值, 此时3P y a =,则2

1

34

34

S a

S a =

=,故选:A . 7.A 【解析】取ln 2

2,(2)02

x f ==

>,排除C 取1

ln

112

,()022

2

x f =

=<,排除BD ,故答案选A 8.B 【解析】()111111111211

22223323

n n n n n n n n n n n n b a a b b b a a b a a b ++++++??-=

-=-+=-++=- ???,1110.9c a b =-=,故{}n c 是首项为0.9,公比为13的等比数列,故110.93n n c -=?,则1411

0.9310

n -?≤,

即33310n -≥,当9n =时,63372910=<;当10n =时,733218710=>,显然当10n ≥时,33310n -≥成立,故n 的最小值为10.故选:B 。

9.A 【解析】设(),c x y =r ,()1,0a =r

,()0,1b =r ,则221x y +=,从而

232+++-=

r r r r r a c a b c

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=

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=

≥= A

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10.D 【解析】由题可知

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甲要想贏得比赛,在第三场比赛中,比乙至少多得三筹. 甲得“四筹”,乙得“零筹”,甲可赢,此种情况发生的概率1155

618108

P =

?=

; 甲得“五筹”,乙得“零筹”或“两筹”,甲可赢,此种情况发生的概率211511

9318162P ??=

?+= ???; 甲得“六筹”,乙得“零筹”或“两筹”,甲可赢,此种情况发生的概率31151112318216

P ??=

?+= ???; 甲得“十筹”,乙得“零筹”或“两筹”?“四筹”?“五筹”?“六筹”,甲都可蠃,此种情况发生的概率

41135136361296P ??=

?-= ???.故甲获胜的概率1234249831296432

P P P P P =+++==.故选:D 11.B 【解析】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:

当8,10x y ==时,810z a b =+有最大值为40,即81040z a b =+=,故4520a b +=.

()(51151125419

4525252020204

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b a a b a b a b a b ????+=++=++≥+= ? ?????. 当

254b a a b =,即104

,33

a b ==时等号成立.故选:B .

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12.D 【解析】如图所示:在正方体1111ABCD A B C D -中,连接11,FC FD , 三棱锥F ECD -的外接球即为三棱柱11FC D ECD -的外接球,

在ECD V 中,取CD 中点H ,连接EH ,则EH 为边CD 的垂直平分线, 所以ECD V 的外心在EH 上,设为点M ,同理可得11FC D △的外心N , 连接MN ,则三棱柱外接球的球心为MN 的中点设为点O ,

由图可得,2222EM CM CH MH ==+,又2,1MH EM CH -==

, 可得54EM CM ==,所以2

222514OC MO CM ??=+=+ ???

,解得41OC =,

所以3

4414141

3448V π??== ? ???

.故选:D .

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13.0.1587【解析】根据正态分布的对称性,其对称轴为2=x ,所以

5187.08413.01)3()1(=-=>=>ξξP P ,故答案为0.1587.

14.3

8

-.【解析】令222sin cos (sin cos )12sin cos t t t αααααα+=?+=?+?=,

21sin cos 2t αα-??=,因为(sin cos )sin cos f αααα+=?,所以21

()2

t f t -=, 所以21

()1

132sin ()6228f f π-??===- ??

? 15.0【解析】

()

()

2015

2

20150122403014030140304030

2015201520152015201520151(1)r r x x x D D x D x D x D x D x

--++?-=+++?++?++Q ()

0201512014220133201220142015

201520152015201520152015C x C x C x C x C x C ??-?+?-+?+?-,

其中2015x 系数为

001122201520152015201520152015D C D C D C ?-?+?-…()201520151k

k k D C +-+ (201520152015)

2015D C -?, ()

()

2015

2015

2

201531(1)1

x x x x ++?-=-Q ,

而二项式()

2015

31

x -的通项公式()

20153

12015r

r

r T C x -+=?,

因为2015不是3的倍数,所以()

2015

31

x -的展开式中没有2015x 项,由代数式恒成立可得

001122201520152015201520152015D C D C D C ?-?+?-…()201520151k

k k

D C +-+…20152015201520150D C -?=,

故答案为:0.

16.3

,2??+∞????

【解析】Q 函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称,

∴函数()y f x =的图象关于()0,0对称,即函数()y f x =为奇函数,

不等式()()()212112f m lnx f f lnx m --≤++-变为:()()()211221f m lnx f lnx m f ---+-≤, 即()()()212121f m lnx f m lnx f --+--≤,()()211f m lnx f --≤, 又()f x 函数在[

)0,+∞上单调递减,()f x ∴在R 上单调递减, 则1

2ln 111ln 2

m x m x --≥?≥+

在[]1,x e ∈时恒成立, 11ln 2y x =+在[]1,e 上递增,max 131ln 22

y e ∴=+=,

故32m ≥

.故答案为:3,2??+∞????

17.(本小题满分12分)

【解析】(1)由题意,数列{}n na 的前n 项和(1)(41)

6

n n n n S +-=.

当1n =时,有1111a S ?==,所以11a =. 当2n =时,1n n n na S S -=-(1)(41)(1)(45)

66

n n n n n n +---=

-

[(1)(41)(1)(45)]6n n n n n =+----()()22

4314956

n n n n n ??=+---+??(21)n n =-. 所以,当2n =时,21n a n =-.

又11a =符合2n =时n a 与n 的关系式,所以21n a n =-.(5分)

(2)

111111(21)(21)22121n n a a n n n n +??

==- ??-+-+??

1223341

1111n n n T a a a a a a a a +=

+++?+ 1111111112335572121n n ??????????=-+-+-+?+- ? ? ? ???-+??????????

11122121

n n n ??=-=

?++??.(8分) (3)由111b a ==,359==b a 得2

9q =.又1q >,所以3q =. 所以11

13n n n b b q --==

.123n n n n c b λλ+=

=-?.

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因为{}n c 是递减数列,所以1n n c c +<,

即112323n n n n λλ++-?<-?.化简得232n n λ?>.所以*n ?∈N ,1223n

λ??

>? ???

恒成立.

又1223n ????????? ???????是递减数列,所以1223n ????????? ???????

的最大项为11121233a ??=?= ???.

所以13λ>

,即实数λ的取值范围是1,3?+∞?

???

.(12分)

18.(本小题满分12分)

【解析】(1)由底面ABCD 为平行四边形,知AB CD ∥, 又AB ?Q 平面CDE ,CD ?平面CDE ,

AB ∴P 平面CDE ,同理AF P 平面CDE ,

又AB AF A =Q I ,∴平面ABF ∥平面CDE , 又BF ?Q 平面ABF ,BF ∴∥平面CDE ;(4分) (2)连接BD ,

∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF I 平面ABCD AD =,DE AD ⊥,

DE ∴⊥平面ABCD ,则DE DB ⊥,又DE AD ⊥Q ,AD BE ⊥,

DE BE E ?=,AD ∴⊥平面BDE ,则AD BD ⊥,

故DA ,DB ,DE 两两垂直,

∴以DA ,DB ,DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴,如图建立空间直角坐标系,

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则()0,0,0D ,()1,0,0A ,()0,1,0B ,()1,1,0C -,()0,0,2E ,()1,0,1F ,(8分)

()0,1,2BE ∴=-u u u r ,()1,0,1EF =-u u u r ,设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =u r

由0m BE ?=u r u u u r ,0m EF ?=u r u u u r

,得200

y z x z -+=??-=?,令1z =,得()1,2,1m =u r ,

设线段BE 上存在点Q ,使得平面CDQ ⊥平面BEF ,

设()0,,2BQ BE λλλ==-u u u r u u u r

,([]0,1λ∈), ()0,1,2DQ DB BQ λλ∴=+=-u u u r u u u r u u u r .设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =r

, 又()1,1,0DC =-u u u r Q ,0u DQ ∴?=r u u u r ,0u DC ?=r u u u r ,即()1200

b c a b λλ?-+=?-+=?,

令1b =,得11,1,2u λλ-??= ???

r ,

若平面CDQ ⊥平面BEF ,则0m u ?=u r r

,即11202λλ-++

=,解得[]1

0,17

λ=∈,

∴线段BE 上存在点Q ,使得平面CDQ ⊥平面BEF ,且此时1

7

BQ BE =.(12分) 19.(本小题满分12分)

【解析】(1)由题可得2,b A c a ??

???,过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ,且AB AC ⊥,直线AC 交y 轴于

点D ,点B 为椭圆E 的右顶点时,D 的坐标为210,3b a a ??

- ???

AB AC ⊥即AD AB ⊥,1AD AB k k =-,222

1310b b b a a a a c c a

--?=---,化简得:22

230c ac a -+=,

即22310e e -+=,解得12e =或1e =(舍去),所以1

2

e =;(5分)

(2)椭圆E 的方程为2

212

x y +=,

由(1

)可得1,

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,:22A AB y kx k ?=-+ ??

,2

k <-

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联立2212

x y y kx k +?=-+???=???得:(

)(

222

2212210k k x x k k +-+--=,

设B 的横坐标B x

,根据韦达定理1B x ?=,

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即22

21

12B k x k --=+

,2

k <-,

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所以2

122

1B A B k +=+=-,

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同理可得2

1212

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1k AC k ?-+???==??

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- ?

??

+(9分) 若存在k

AB AC =成立,

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则22

2122

k k k +=++,

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20k ++=,?<0,此方程无解, 所以不存在k

AC =成立. (12分)

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20.(本小题满分12分)

【解析】(Ⅰ)()()2

ln 2f x a x x a x =+-+,故()()'22a

f x x a x

=

+-+, ()()'42tan 124

2a f a π

=

+-+==,故2a =.(3分) (Ⅱ) ()()()()12'220x x a a

f x x a x x

--=

+-+==,即()22,a x e =∈,存在唯一零点, 设零点为0x ,故()()000

'220a

f x x a x =

+-+=,即02a x =, ()f x 在()01,x 上单调递减,在()0,x e 上单调递增,

故()()()()022

0000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==2

00002ln 2x x x x =--,

设()2

2ln 2g x x x x x =--,则()'2ln 2g x x x =-,

设()()'2ln 2h x g x x x ==-,则()2

'20h x x

=

-<,()h x 单调递减, ()()1'12h g ==-,故()'2ln 20g x x x =-<恒成立,故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-,故当()1x e ∈,时,()2f x e >-.(12分)

21.(本小题满分12分)

【解析】(1)解:由已知,1k ξ=,()11P ξ=,得()1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +, ∴()()211k

P p ξ==-,()()2111k

P k p ξ=+=--.

∴()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ??=-++--=+--??

.

若()()12E E ξξ=,则()11k

k k k p =+--,()

11k

p k -=,∴111k p k ??-= ???,∴1

11k p k ??=- ???

.

∴p 关于k 的函数关系式为()111k

f k k ??=- ?

??

,(k *∈N ,且2k ≥). (5分)

(2)(i )∵证明:当2n =时,122

22213

221221x x x e x x x x -

-?=-,∴1231x e x =,令1231

0x

q e x ==>,则1q ≠, ∵11x =,∴下面证明对任意的正整数n ,13

n n x e

-=.

①当1n =,2时,显然成立;

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