高考数学一轮复习第十一章计数原理、随机变量及其分布第3讲二项式定理练习理

第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理练习 理

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、填空题

1.(2015·广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________.

解析 T r ＋1＝C r 4·(x )

4－r ·(－1)r ，令r ＝2，则C 24(－1)2

＝6. 答案 6 2.(2016·苏州质检)若二项式?

????2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝________. 解析 T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·? ????a x r

＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1.

答案 1

3.(2016·江西八校联考)若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8

，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________.

解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2，

又a 0＝C 071720＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128，

所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.

答案 125

4.(2015·天津卷)在? ??

??x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________. 解析 ? ????x －14x 6的展开式的通项 T r ＋1＝C r 6x 6－r ? ????－14x r ＝C r

6? ????－14r

x 6－2r ， 当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 2

6? ????－142

＝1516. 答案 1516

5.(2016·河南八校三联)?

????x ＋12x n

的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.

解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，∴? ????x ＋12x 9展开式的第四

项为T 4＝C 3

9·(x )6·? ????12x 3

＝212. 答案 212

6.二项式?

????x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________.

解析 依题意n ＝10，则? ????x ＋2x 210的通项公式T r ＋1＝C r 10(x )10－r ? ??

??2x 2r ＝2r C r 10x 5－52r . 令5－52

r ＝0，得r ＝2. ∴展开式中的常数项T 3＝22C 210＝180.

答案 180

7.(2014·浙江卷改编)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝________.

解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n

4，故

f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 3

4＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120.

答案 120

8.(2015·全国Ⅱ卷)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.

解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，

令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①

令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②

①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，

所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.

答案 3

二、解答题 9.已知二项式?

????3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求n ；(2)求展开式中的常数项.

解 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n

n ＝256，

∴2n ＝256，解得n ＝8.

(2)该二项展开式中的第r ＋1项为

T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·? ????1x r

＝C r 8·x 8－4r 3， 令8－4r 3

＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 10.已知? ??

??12＋2x n

. (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.

解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.

∴n ＝7或n ＝14，

当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 3

7? ????124

23＝352， T 5的系数为C 4

7? ????123

24＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.

∴T 8的系数为C 7

14? ????127

27＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2

＋n －156＝0.

∴n ＝12或n ＝－13(舍去).设第r ＋1项的系数最大， ∵? ????12＋2x 12＝? ??

??1212

(1＋4x )12， ∴?????C r 124r ≥C r －1124r －1，C r 124r ≥C r ＋1124r ＋1. ∴9.4≤r ≤10.4，∴r ＝10. ∴展开式中系数最大的项为第11项，

T 11＝C 10

12·? ????122

·210·x 10＝16 896x 10. 能力提升题组

(建议用时：25分钟)

11.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )

2m ＋1展开式的二项式

系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________.

解析 由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴13·（2m ）！m ！·m ！＝7·（2m ＋1）！m ！·（m ＋1）！

， ∴7（2m ＋1）m ＋1

＝13，

解得m ＝6，经检验为原方程的解.

答案 6

12.(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7

的系数为________(用数字作答). 解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋

y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 7

8－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20. 答案 －20

13. (2014·安徽卷)设a ≠0，n 是大于1的自然数，? ??

??1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

.若点A i (i ，a i )(i ＝0，1，2)的位置如

图所示，则a ＝________.

解析 由题意知A 0(0，1)，A 1(1，3)，A 2(2，4). 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又? ????1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ? ??

??x a r

(r ＝0，1，2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3. 答案 3

14.(2016·盐城一模)已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.

(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；

(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式.

(1)解 因为T r ＋1＝C r n 2n －r x r 2

，所以r ＝6，故x 3项的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7. (2)证明 由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2

n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n

， 设(2＋3)n ＝x ＋3y ＝x 2＋3y 2，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *， 则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *.

因为(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n

＝1，

所以令a ＝s ，s ∈N *，则必有b ＝s －1.

所以f (x )必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.