排列与组合
第五章排列与组合（1）
【考点解读】
考点内容解读重庆市4年高职考试统计（分值）常考题型
2012 2013 2014 2015
第一节
计数的基本原理1、.理解分类计数原理和分步计数原理，能区分它们的使用条件和方法
2、能运用原理分析解决一些简单的实际问题。
第二节
排列、组合的概念与计算1、.理解排列、组
合的概念，能正
确识别排列、组
合问题
.2掌握排列、组
合数的计算公
式，了解组合数
的两个性质
3.能用排列、组
合的知识处理一
些简单的应用题
2 2 2 2 计算题
第三节
排列、组合的应用1、能进一步正确
识别排列问题、
组合问题
2、.能用排列组
合的知识解决一
些简单的有限制
条件的应用题
掌握一些常用方
法。
5 7 7 7 选择题
【分析解读】
排列与组合在近几年高职考试中以选择题或填空题为主，主要考查：
1、排列、组合的理解，排列问题、组合问题的正确识别；
2、排列数、组合数公式的计算，了解组合数的两个性质
3、用计数原理和排列组合的知识处理一些简单的有限制条件的应用题
第一节 计数的原理 【知识要点】 一、计数原理：
1、分类计数原理（加法原理）：完成一件事件有n 类不同办法，在第一类办法中有1m 种不的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事总共有=N 1m +2m +…+n m 种不同的方法。
2、分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法、、、、、，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事总共=N 1m ·2m ·…n m 种不同的方法。
注：两个计数原理的关键是把握住“类”与“步”的关系，若事件各类都能单独完成，则是“分类”，若事件必须要若干步才能完成的，则是“分步” 【典例解析】 【例1】
将六封不同的信投入3个信箱，则不同的投法有（ ） A ． 9种 B ． 18种 C ． 216种 D ． 729种
【分析】：每封信都有3种选择，由乘法原理得：333333?????=63=729
【答案】D 【变式训练】
某长途客车站有6个售票窗口，4名乘客各选一个窗口购票，共有 种不同的选择方
法。（答案64
） 【例2】
由数字0，1，2，3，可以组成 个没有重复数字的两位偶数
【分析】组成没有重复数字的两位偶数，有两类办法：一类是以0为个位数字，另一类是以2为个位数字；当个位数字是0时，十位数字只有数1，2，3三种方法，当个位数字是2时，由于0不能排在首位，十位数字只有数1，3两种方法，故根据加法原理，共可组成3+2=5个没有重复数字的两位偶数。 【答案】5 【变式训练】
由数字1，2，3，4可以组成 个没有重复数字的两位奇数。（答案6） 【例3】 图书室有3种不同的杂志，4种不同的科技书，5种不同的小说书
（1）从中任借一本，有几种不同的借法？ （2）从中各借一本，有几种不同的借法？
（3）从三类书中借2本不同类的书，有几种不同的借法？ 【分析】 此题主要考虑两个计数原理的区别及综合运用
【答案】解：杂志有3种不同的借法，科技书有4种不同的借法，小说有5种不同的借法。 （1）从中任借一本，由加法原理知共有3+4+5=12种不同的借法
（2）从中各借一本，由乘法原理知共有：543??=60种不同的借法
（3）从中借2本不同类的书，借法可分为三类：杂志与科技书，杂志与小说书，科技书与小说书，而每类又分为二，由两个计数原理知共有3×4+3×5+4×5=47种不同的借法。 【变式训练】
1、苹果5个，梨子7个，芒果3个，（1）若从中任取1个，则不同的取法共有 种，（2）若从中各取1个，则不同的取法有 种；（3）从3类水果中取2个不同类的水果有 种不同的取法。（答案：15；105；71）
2、某班有6名男三好学生，4名女三好学生 （1）从中选一人去颁奖，有多少种选法？
（2）从中选男生、女生各一名去颁奖，有多少种选法？ （3）从中选3人，要求不能同一性别，有多少种选法？ （答案：10；24；96） 【方法点拨】
在解决此类问题时，首先要弄清所提问题是属于分类还是分步，在综合分析问题时，必须做到不重不漏。
【同步精练1】
一、选择题（每题7分）
1、教学楼每层楼有四个楼梯，二、三层有两个楼梯不能过，则从一至四楼的不同走法有（ ）种
A ． 32
B ． 16
C ．20
D ．64 2、三本不同的书放四个书架，有（ ）种不同的放法
A ． 34
B ． 43
C ． 34P
D ．3
4C
3、若x 、y 分别在0，1，2，……，9中取值，点P(x,y)在第一象限的个数有（ ） A ． 81 B ．100 C ．99 D ．91
4、用0，1，2，…．．．，９组成８位电话号码，其中以６为首位的电话号码有（ ）个
A ． １０６
B ． １０７
C ． １０８
D ． １０５
５、山前有4条路，山后有3条路，一个人由山前上山，然后下山，他的路线共有（ ）
A ． 7种
B ．12种
C ．28种
D ．21种
６、5个人站成一排唱歌，甲只能站在两端，不同的排队方法共有（ ） A ．6种 B ．10种 C ．24种 D ．48种
二、填空题（每题8分）
１、某人从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘轮船，在这一天的不同时间中，火车3班，轮船4班，则此人的走法有种 选择。
２、一口袋里装有５个小球，另一口袋里装有４个小球，这些小球的颜色各不相同，从两口袋中各取一个小球有 ———种不同的取法。
3、某校学生会由高一学生４人，高二学生５人，高三学生６人组成，现要选派不同年级的２人参加市里组织的活动，有 种不同的选法。
三、解答题 1（10分）、从甲地到乙地，一天中有汽车８班，火车３班，轮船２班，某人一天中乘坐
不同班次的汽车、火车、轮船从甲地到乙地有多少种不同的走法？ ．
2（12分）、５位应界中职毕业生，报考三所高校，每位必须报且只报一所高校，有多少种不同的报名方法？
３（12分）、某中职学校高二计算机（1）班6人、计算机（2）班8人、计算（3）班10人参加数学兴趣小组：
（1）选一人当组长，有多少种不同的选法？
（2）从中选出正、副组长各1人，有多少种不同的选法？
（3）推选两位学生参加市数学大赛，要求这两人来自不同班级，有多少种不同的选法？
第二节 排列、组合的概念及计算 【知识要点】 一、排列
1、 定义：从n 个不同元素中，任取m （n m ≤）个不同元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个排列。当n m =时，叫全排列，当n m <时叫选排列。
2.、排列数：从n 个不同元素中取出m 个不同元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同
元素中取出m 个不同元素的排列数，记作m
n p .
3.、 排列数公式：)2)(1(--=n n n P m n …)1(+-m n =
)!
(!
m n n -
()()21--=n n n P n n …2×1=n ！
注：（1）规定0！=1
（2）排列问题一定与元素的顺序有关
二、组合
1、定义：从n 个不同元素中，任取m （n m ≤）个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。
2、组合数：从n 个不同元素中取出m 个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同
元素中取出m 个不同元素的组合数，记作m
n C 。
3、组合数公式：!m P C m n m n
==)!
(!!
m n m n -
4、组合数的性质：1
1,-+-+==m n m n m n m n n m n C C C C C 注：（1）1
0=n C n
n C =1
(2 ) 组合问题与元素的顺序无关
【典例解析】 【例1】计算：
3
4
2
5P -！4C
【分析】这是关于排列数、组合数公式的计算问题。 【答案】1
【例2】（2003年高考题）若381
28+-=x x C C ，则x 的值为（ ）
A ． 1或2
B ． 3或4
C ． 2或4
D ． 1或3
【分析】：这是一个组合数性质2的问题，m n n m n C C -=和m m n n
C C =都成立！ 【答案】
解：因为381
28+-=x x C C
所以2x-1=x+3或2x-1+x+3=8 则x=4 或x=2 故选C ． 【方法点拨】
根据组合数的性质m n n m n C C -=和m m
n n
C C =满足等式的x 的值应有两个。 【变式训练】
1、（2001年高考题）15=x C 是“x=5的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．非充分且非必要条件 (答案：B)
2、若7
25
225+=x x C C ，则x= 。 (答案：7或6)
【例3】(2002年高考题）从7位班委中
（1）选出正副班长各一人，共有种不同的选法？ （2）选2人参加某项活动，共有种不同的选法？ 【分析】这是一个简单的排列、组合的应用问题。 【答案】（1）42；（2）21。 【例4】（2002年高考题）参加世界足球比赛共有32支球队，分成8个小组，每个小组4支球队进行小组赛，小组比赛进行的方式是：每个小组的每支球队之间都要进行一场比赛，那么小组赛阶段总共会进行的比赛场数是（ ）
A ． 24
B ． 32
C ． 48
D ． 54 【分析】小组赛每两支球队对应一场比赛，每个小组的比赛场数实质上是一个4选2的组合问题。
【答案】解：因为每个小组内部赛2
4C =6场
所以8个小组共比赛82
4C =8×6=48场
故选C ．
【方法点拨】排列问题一定与元素的顺序有关，组合问题与元素的顺序无关。 【变式训练】
1、计算 （1）23P +4！ （2）595100C -9696
100C
2、三年级计算机1班七位要好的同学，毕业后约定， （1）互通一次电话，共需打多少次不同的电话？ （2）互写一封信，共需写多少封不同的信？
3、（2001年高考题）用数字0、1、2、3、4组成不含重复数字的自然数，其中大于10000的奇数共有多少个？ 答案：1、（1）30,(2)0; 2、(1)21,(2)42; 3、36。
【同步精练2】
一、选择题（每题7分）
1、（2003年高考题）由数字1、
2、
3、
4、5这5个数字组成没有重复数字的三位数，那么在这些三位数中，是奇数的共有（ ）
A ． 120
B ． 48
C ．36
D ．24 2、（2008年高考题）为迎接今年的北京奥运会，某学校组织班级单循环篮球比赛，全校共有6个班，每班组织一个篮球队，每个队与其他各队比赛一场，则共需比赛的场数是（ ）
A ．12
B ． 15
C ．20
D ．30
3、 从10名运动员中选出3名参加比赛，则不同的选法有（ ）
A ．3
10P B ．310C C ．3
10 D ． 10
3
4、与m
n C 相等的式子是（ ）
A ．
!!
m n B ．)!
(!m n n - C ． )!(!!m n n m - D ．)!(!!m n m n - 5、.若n ∈N,n ＜55, 则乘积（55-n ）(56-n)、、、（69-n ）等于（ ）
A ．n n P --5569
B ．1569n P -
C ．1555n P -
D ．1469n P -
6、把10名学生分成两组，一组6人，一组4人，不同的方法有（ ）种
A ．610410C C +
B ．610410
C C C ．6
10410P C D ． 410C
二、填空题（每题8分）
1、若7
25
225+=x x C C ，则x= 。 2、已知61512++++=x x x x C C C ，则x= 。
3.、 用排列数符号表示=?????11109876 三、解答题 1（10分）、 用0、1、2、3、4、、、9这十个数字组成五位数，其中奇数有多少个?
2（12分）、某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手。从中选出5名参加一项比赛，那么，最多选一名种子选手的不同选法有多少种？
3（12分）、从5个男同学和4个女同学中各选出2人，
（1）组成学习互动小组，有多少种选法？
（2）担任不同学科的科代表，有多少种不同的选法？
第三节 排列、组合的应用
【知识要点】
1、能进一步区分排列问题与组合问题；
2、较熟练地掌握解决简单的有限制条件的排列与组合问题的常见方法。 【典例解析】
【例1】5名同学照相，下列情况各有多少种不同的排法？
（1）站成两排照相 （2）（2005年高考题）站成一排，甲必须站在最中间 （3）（2004年高考题）站成一排，甲、乙二人相邻而站 （4）站成一排， 甲、乙不能相邻而站 （5）站成一排， 甲必须站在乙的右边 （6）站成一排， 甲不站排头，乙不站排尾
【分析】此题是典型的排列问题，其中（2）--（6）小题应认真分析特殊元素在排列中的位置关系及排法不重不漏。
【答案】解：（1）5人进行排列，故共有55P =5!=12345????=120种
（2）因为甲已经站在指定位置上，剩下的4人进行排列，故共有44P =4！=1234???=24种
（3）用“捆绑”法把甲、乙看作一个整体，与其它3人进行的全排有44P 种，甲、乙二人的全排有22P 种，故共有44P 22P =48种
（4）解一：甲、乙两人除外，剩余的3人进行的全排有33P 种，再用“插空法”，3人产生4个空位，甲、乙两人插定的排法有2
4P 种，故共有33P 2
4P =346??=72种
解二：先不管甲、乙二人是否相邻，5人进行全排，有55P 种，再减去甲、乙二人
相邻后的情况2
24
4P P , 共有224455P P P -=120-48=72种
（5) 甲站在乙的右边与左边的排法一样多，故甲站在乙的右边的排法有
5
52
1P 60种 （6）解一：5人的全排中减去甲排头和乙排尾的方法，由于甲排头且乙排尾的排法被重
复减掉，故共有3
344552P P P +- =78种
解二：由于甲不站排头，同时考虑乙不站排尾，可将甲的站法分成两类：甲站排尾
和站在中间，第一类：甲站排尾，则5人共有4
4P 种不同的排法；第二类（分为三步）：甲站在中间的排法有13P 种，此时乙也有13P 种站法，其它3人的全排有33P 。故第二类有3
31313P P P 种，所以共有33131344P P P P + =24+54=78种
【例2】用0，1，2，3，4五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【分析】这一个排列问题，个位是0或2或4，该数即为偶数，由于0不能在首位是一个特殊元素，就优先处理0，采用“优先法”故分为两类。第一类：0在个位，有34P 个不同的四位偶数。第二类，2或4在个位，分三步：第一步：排个位有12P 种，第二步：排首位有13P 种，第三步： 5个中选了2个还剩下3个数排中间两位有23P 种，故共有231312P P P 。
【答案】解：共有N=2
3131234P P P P =60个
【方法点拨】
解排列的方法有：直接法，取“杂”法，其模型有“捆绑法”，“定位法”，“优先法”，“插空法”等。 【变式训练】
1、有n 名表演者站成一排表演，规定领唱者必须站在中间，朗诵者必须站在最右侧，此时共有6种不同的排法，求n 的值。
2、七位同学组成一排，下列情况各有多少种不同的排法： （1）甲乙相邻；
（2）甲站排头乙站排尾； （3）甲在中间且和乙相邻； （4）甲不在排头乙不在排尾。 3、由0、1、2、3、4、5这六个数字组成四位数，下列情况可以组成多少个不同的四位数？ （1）允许数字重复 （2）不允许数字重复
（3）不允许数字重复且是奇数 （4）不允许数字重复且是偶数
（5）不允许数字重复且是5的倍数 答案：1、n=5；2、（1）266P ，（2）55P ，（3）255P ，（4）77P -266P +55P 。
（3）（1）108；（2）300;(3)144;(4)156;(5)108
【例3】平面内有10个点，其中有4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上， （1）可以确定多少条直线？ （2）可以确定多少个三角形？ （3）可以确定多少个四边形？
【分析】这是一个组合问题，两点确定一条直线，不在同一条直线上的三点确定一个三角形，四边形的任意三个顶点不在一条直线上。 【答案】（1）40条； （2）116个；
（3）185个。
【方法点拨】排列问题一定与元素的顺序有关，组合问题与元素的顺序无关。 【例4】（2015）有4个不同的球和6个不同的盒子，现从中选出2个盒子，每个盒子放入2个球，则不同的放法有（ ）
A.60种； ;
B.90种； ;
C.120种； ;D,180种。
【答案】B
【变式训练】
一个圆上有10个不同的点，
（1）可以确定多少条直线？
（2）可以确定多少条射线？
（3）可以确定多少个三角形？
【同步精练3】
一、选择题（每题7分）
1、（2005）已知5人站一排照相，甲必须站在正中间的排法有（）
A、 24种
B、 48种
C、96种
D、120种
2、（2007）．用1、2、
3、
4、5这5个数字组成没有重复数字的三位数，那么在这些三位数中是5的倍数的共有（）
A．48个 B．36个 C．24个 D．12个
3、（2011）两个男生两个女生站成一排照相，其中两个男生不能相邻的站法共有（）种 A．6 B．12 C．18 D．24
4、2012年春节期间，某小组8人约定，每位同学向小组的另外7位同学每人发一条短信问候，则他们一共发出短信的条数有（）
A．8 B．28 C．56 D．64
5、（2013）将6本书随机地放在书架上，则其中指定的2本书放在一起的排法有（）
A、120种
B、240种
C、360种
D、480种
6、（2014）从数字0,1,2,3中任取3个排成没有重复数字的三位数，则排成三位数的个数为
（）
A、18个
B、24个
C、27个
D、64个
二、填空题（每题8分）
1、（2005）如图所示，用火柴摆成正方形图形，则第50个图形需要根。
2、（2006）从8件产品中任意抽取3件进行检查。如果这8件产品中有2件次品，则抽出的3件中恰有2件合格品的抽取方法有种
3、（2008）已知一张小正方形桌子可坐4人，现按题图方式将小桌子拼凑成大桌子坐人，若要32人围坐在一张拼凑之后的大桌子旁，则需要张小正方形桌子拼凑。
…
三、解答题
1（10分）、某小组由3名女生和7名男生组成，现从中选2人作代表去参加会议，如果要求最多一名女生当选，则有多少种不同选法？
2（12分）、我国有16支男子甲A足球队，每两个队要进行一场比赛，（1）共需安排多少场比赛？（2）如果实行主、客场制，共需安排多少场比赛？
3（12分）、现有6名同学和1名老师排成一排照相，
（1）求不同的排法种数；
（2）若甲同学必须和老师相邻，求不同的排法种数；
（3）若老师要排在中间，求不同的排法种数。
【单元测试】
一、选择题（每题7分）
1、（2007年高考题）用1、
2、
3、
4、5这5个数字组成没有重复数字的三位数，那么在这些三位数中是5的倍数的共有（ ）
A ． 48
B ． 36
C ． 24
D ．12 2、（2008年高考题）从8件产品中任意抽取3件进行检查。如果这8件产品中有2件次品，则抽出的3件中恰有2件合格品的抽取方法有（ ）种
A ． 6
B ．20
C ．30
D ．56 3、（2009年高考题）一位教师与四位学生站一排照相，教师必须站在正中的站法有（ ）
A ． 4种
B ． 5种
C ． 24种
D ． 120种 4、（2008年高考题）为迎接今年的北京奥运会，某学校组织班级单循环篮球比赛，全校共有6个班，每班组织一个篮球队，每个队与其他各队比赛一场，则共需比赛的场数是（ ）
A ．12
B ． 15
C ．20
D ．30 5、（2010年高考题）三名男同学和两名女同学站成一排唱歌，其中两个女同学相邻的站法有（ ）
A ．12种
B ． 24种
C ． 48种
D ．120种
6、(2011年高考题)两个男生两个女生站成一排照相，其中两个男生不能相邻的站法有（ ）
A ． 6种
B ．12种
C ．18种
D ． 24种 7、从10名运动员中选出3名参加比赛，则不同的选法有（ ）
A ．3
10P B ．310C C ．3
10 D ． 103
8、某城市的电话号码，由六位数改为七位数（首位数字均不为0，数字可重复），则该城市可增加的电话门数是（ ）
A ．6
98? B ．6
109? C ．6
101.8? D ．6
102P
9、已知41322+=n n P P ，则25log n 的值为（ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
10、从2、3、4、7四个数字中每次取出两个数字，可以组成真分数的个数是（ ）
A ． 6
B ． 8
C ． 12
D ． 24
11、重庆、北京、上海、深圳四个民航之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票（ ）
A ． 4
B ． 8
C ． 12
D ． 6 12、5个人站成一排唱歌，甲只能站在两端，不同的排队方法共有（ ）
A ．6种
B ．10种
C ．24种
D ．48种
二、填空题（每题7分）
13、计算：4
10
492838C C C C -++= ； 14.、4名男生，3名女生排成一列，要求女生挨在一起，则有 种不同的排法。 15、从0、1、2、3、4、、、9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同的种数是
16、 5名游客投宿6家宾馆，有种不同的投宿方法。
17、某班50名同学，暑假期间，每2位同学互发一次电子邮件，共发次不同的电子邮件。
18、停车场划上12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法种
三、解答题
19（10分）、由0，1，2，3，4，5六个数字，
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的六位偶数？
（3）可组成多少个无重复数字且比200000大的数?
(4) 可以组成多少个无重复数字，且能被5整除的四位数？
20（10分）、100件产品中有5件次品，其余为合格品。
（1）任意抽出4件进行检查，有多少种抽法?
（2）抽出的4件中恰好有2件次品的抽法有多少种？
（3）4件都不是次品的抽取方法有多少？；
（4）抽出的4件中至多有1件次品的抽法有多少种？
21（12分）、某中职学校高三8个班级的师生为庆祝教师节，每班学生准备了一个节目，已排成节目单。开演前又增加了3个教师节目，其中2个独唱节目，1个朗诵节目。如果将这3个节目插入原节目单中，要求教师的节目不排在第一个和最后一个，并且2个独唱节目
不连续演出，那么不同的插法有多少种？
22（12分）、某小组有4名男生3名女生，现要组成一个男生人数为偶数，女生人数为奇数的环保宣传小组，求组成的方法共有多少种？
23（14分）、一条铁路上，原有8个车站，现又增加了3个车站，那么这条铁路上要增加多少种不同站间的车票？
24（16分）、 A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A、B两种商品必须排在一起，而C、D 两种商品不能排在一起，有多少种不同的排法？
参考答案
【同步精练1】 一、选择题
1、A;
2、B;
3、A;
4、B;
5、B;
6、D 。 二、填空题
1、7；
2、20；
3、74。 三、解答题 1、2+3+8=13
2、35
3、(1)6+8+10=24; (2)24×23=552; (3)188.
【同步精练2】 一、选择题
1、C;
2、B;
3、B;
4、D;
5、B;
6、D 二、填空题
1、7或6；
2、6 ；
3、6
11P 。
三、解答题
1、15C 1
8
C 38P =13440；
2、57C +12C 47C =91；
3、（1）25C 24C =60 （2）2
5C 24C 44P =1440。
【同步精练3】 一、选择题
1、A ；
2、D ；
3、B ；
4、C ；
5、B ；
6、A 二、填空题
1、151；
2、6；
3、15。 三、解答题
1、13C 17C +2
7C 2、(1)216c ;(2）216P
3、（1）77P ； （2）44P 22P ； （3）66P
【单元测试】
一、选择题
1、D;
2、C;
3、C;
4、B ;
5、C;
6、B;
7、B;
8、B;
9、A; 10、A; 11、C ;12、D 。
二、填空题 13、0； 14、55P 33P ； 15、20； 16、65； 17、 2
50
P 18、9！。
三、解答题
19、(1)100; (2)312; (3)480; (4)108.
20、(1)C 4100;(2)C 295C 25;(3)C 495;(4) C 495+C 93
5C 1
5
21、P 88P 17P 2
8=15805440
22、C 24C 13+ C 24C 33+C 44C 13+ C 44C 33=28 23、P 211-P 28=54 24、P 22P 22P 23=24
简单的排列组合 案例分析
《简单的排列组合》案例分析 乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力；
新|课|标|第|一|网 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程 【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体课件、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 1、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门口设置了?，?上有密码。这个密码盒的密码是由数字1、2组成的一个两位数，想不想进去呢？ 师：谁来告诉老师密码，帮老师打开这个密码盒？（生尝试说出组成的数） 生：12、21
小学二年级数学简单的排列组合[人教版]
数学广角 一、教学内容： 人教版<义务教育课程标准实验教科书数学>第三册第99页例1：简单的排列、组合 二、教学目标与策略选择： 本节课我力图从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面出发，有效地整合教学目标，体现以“学生发展为本”的理念。因些，我制定了以下教学目标： 1、学生通过观察、猜测、操作等活动，能找出最简单的事物的排列数和组合数。 2、学生形成初步的观察、分析能力及有序地、全面地思考问题的意识。 3、通过活动学生形成一定的合作交流意识，感受数学与生活的紧密联系，树立学生学好数学的信心。 鉴于以上的目标定位，本课设计时基于“在教学中要以人为本，强调要从儿童的经验出发，借助一定的数学问题情境和探究性的实践活动，让学生在数学活动中，用数学的眼光去观察事物，用数学的方式去思考问题，用数学的语言去解释现象，用数学的观点去认识世界……从而使学生有效地学会数学地思考。”的总体思路。为此，主要采取了以下教学策略： 1、创设生动有趣的教学情景。 2、采用活动化的教学方式。 ……
…… 师：好，下面我们就来研究这个问题，请同学们试着写一写，如果你觉得直接写有困难的话可以借助手中的数字卡片摆一摆。在摆之前，想一想怎样摆才能既不重复也不遗漏，每摆出1个两位数就把它写在你的本子上。开始。 生：摆、写数活动 师：好，三人小组交流一下： 1、你是怎么摆的？ 2、推荐一种好的摆法，准备汇报，在汇报时说一说你小组为什么要推荐这种方法，它好在哪里？ 生：小组交流、推荐 师：我想，每个小组都已推出一种好方法。哪个小组愿意来汇报。 师：你们组是怎么摆的，请上来边摆边说边写 生:我们组摆出12，然后再颠倒就是21；再摆23，颠倒后是32；再摆13，颠倒后是31。一共可以摆出
人教版二年级上册数学《简单的排列和组合》教学设计
人教版二年级上册数学《简单的排列和组合》教学设计 教学目标： 1、通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。 2、初步培养有顺序地、全面地思考问题的意识。 3、感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣。 4、通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 学生分析: 简单的排列组合对二年级学生来说都早有不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，也有不少学生通过平时的益智游戏都能做到不重复、不遗漏地排列。针对这些实际情况，在设计本节课时，教学的重点让学生说一说有序排列、巧妙组合的理由，体会到有顺序、全面思考问题的好处。根据学生的年龄特点在设计教案时也要做到设计学生感兴趣的环节，灵活处理教材。 数学广角——《简单的排列和组合》 火炬小学王彦 教学目标： 1．通过观察、猜测、比较、实验等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数
2．感受数学与生活的密切联系，激发学习数学、探索数学的浓厚兴趣 3．初步培养有顺序地、全面地思考问题的意识。使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯。 教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同，怎样有序的进行排列组合。 教学准备：多媒体课件、数字卡片、1角、2角、5角的人民币。 教学过程： 一、情境导入 师：同学们老师今天想带大家一起去数学王国玩，你们想去吗？同学看数学王国到了，可是门是锁着的，只有输入正确的密码门才可以打开，可是密码是多少呢？提示密码是由1和2这两个数字摆成的两位数。那么这个密码是多少呢？ 师：试试看。（课件出示答案。） 二、探究新知 1、感知排列 师：经过同学们的努力数学王国的大门打开了，你们高兴吗？让我们一起进入数学王国，怎么进不去，同学我们又遇到了障碍，数学王国的门上还上了一把超级数码锁哦，这把锁的密码是由1、2、3这三个数字其中的两个摆成的两位数，那么这个密码可能是多少呢，你们能猜出来吗？
集合---排列组合
职 高 数 学 单 元 测 试 集合---排列组合 (时间:100分钟,满分100分) 姓名________成绩__________ 一．填空：(每空2分,共38分) 1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数. 2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____ 3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有 种不同站法. 4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数. 5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______ 6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________ 7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________ 8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个. 9.已知a
二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇
二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 Teaching case of mathematics simple permut ation and combination
二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1：二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 2、篇章2：《简单的排列组合》教学案例分析 篇章1:二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 【背景】 为了进一步提高课堂效率，提升学生学习力，逐步落实数学课堂与“学习力”相结合的自学为主课堂教学模式，提升青年教师的整体素质，进步培养青年教师良好的教学能力。我们二年级数学组于XX年10月开展了全员赛课活动，并取得了良好效果。本篇教案集授课教师努力及组内教师智慧，较能体现学校的主流教学模式，是一篇优秀的案例。
【教材简析】 本节课的内容是数学二年级上册数学广角例1简单的排列与 组合。排列和组合的思想方法应用得很广泛，是学生学习概率统 计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好 素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它 通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。 教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，而简单的排列组合对二年级学生来说都早有 不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一 年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，也有不少学生通过平时的益智游戏都能做到不重复、不遗漏地排列。针对这些实际情况，在设计本节课时，根据学生的年龄特点 处理了教材。整堂课坚持从低年级儿童的实际与认知出发，以 “感受生活化的数学”和“体验数学的生活化”这一教学理念， 结合实践操作活动，让学生在活动中学习数学，体验数学。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排 列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、 分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探 究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。
小学二年级数学《简单的排列组合》案例分析
《简单的排列组合》案例分析 【教学背景】 在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。 【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程 【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体课件、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 1、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。【教学准备】PPT 【教学过程】 …… 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门口设置了鎖，鎖上有密码。这个密码盒的密码是由数字1、2组成的一个两位数，想不想进去呢？ 师：谁来告诉老师密码，帮老师打开这个密码盒？（生尝试说出组成的数） 生：12、21 师：打开密码盒
排列与组合的综合应用.
高三数学(理一轮复习—— 10.3排列与组合的综合应用 教学目标:1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解 法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想. 2. 使学生掌握解决排列、组合问题的一些常用方法。 教学重点:排列组合综合题的解法。教学过程: 一.主要知识: 解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系, 还要考虑“是有序”的还是“无序的” ,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法: 1.特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 2.科学分类法:对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行 3.分配、分组(堆问题的解法: 4. 插空法 :解决一些不相邻问题时, 可以先排一些元素然后插入其余元素, 使问题得以解决。 5.捆绑法:相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个” 6.排除法:从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 . 7.剪截法(隔板法 :n 个相同小球放入m(m≤ n 个盒子里 , 要求每个盒子里至少有一个小球
的放法等价于 n 个相同小球串成一串从间隙里选 m-1个结点剪成 m 段 (插入 m -1块隔板 , 有 11 --m n C 种方法 . 8. 错位法:编号为 1至 n 的 n 个小球放入编号为 1到 n的 n 个盒子里 , 每个盒子放一个小球 . 要求小球与盒子的编号都不同 , 这种排列称为错位排列 . 特别当 n=2,3,4,5时的错位数各为 1,2,9,44.2个、 3个、 4个元素的错位排列容易计算。关于 5个元素的错位排 列的计算,可以用剔除法转化为 2个、 3个、 4个元素的错位排列的问题: ① 5个元素的全排列为:5 5120A =; ②剔除恰好有 5对球盒同号 1种、恰好有 3对球盒同号 (2个错位的 351C ?种、恰好有 2对球盒同号 (3个错位的 252C ?种、恰好有 1对球盒同号 (4个错位的 1 59C ?种。 ∴ 120-1-351C ?-252C ?-1 59C ?=44. 用此法可以逐步计算:6个、 7个、 8个、……元素的错位排列问题。 二.典例分析 【题型一】“分配” 、“分组”问题 例 1.将 6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法? ⑴分给学生甲 3 本,学生乙 2本,学生丙 1本;
排列组合公式(全)教程文件
排列组合公式(全)
排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
简单的排列组合教学反思
《简单的排列组合》教学反思 本节课的知识是排列和组合简单的知识，但对学生来说，教师又不能直接讲解排列组合，如何讲解比较深奥的知识，这是应该正视的问题。在处理教材时，没有直接呈现排列组合原理，而是从排列组合的基本思考方法入手——科学枚举法。因为学生只有恰当的分类，将事情的各种情况能够一一列举出来，就能够保证计数时不重复不遗漏——这是本节课的重点和难点所在。所以本节课没有要求学生解决比较复杂的计数问题，也不要求发现加法原理与乘法原理，而是要求学生通过科学枚举法，感受计数方法。在教学中，为了突破重点，从多方面想办法：一是让学生认识到排列与组合学习是生活中的必须；二是让学生通过摆、画、列表等活动，学习“不重复、不遗漏”的计数的方法。本课教学后我进行了认真反思，觉得有以下可取之处和不足之处。 一、创设情境，激发学生探究的兴趣。 创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，将有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题、注意让小组合作学习从形式走向实质。 在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。 二、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。 通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。2、注意让小组合作学习从形式走向实质。 三、利用自主探究的学习方式。 本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。
高考一轮复习教案十二(3)排列与组合的综合应用(教师)文科用
模块：十二、排列组合、二项式定理、概率统计 课题：3、排列与组合的综合应用 教学目标：进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 掌握解决排列、组合问题的一些常用方法． 重难点：掌握解决排列、组合问题的一些常用方法． 一、知识要点 常用解题方法： 1、特殊优先法 2、分类讨论法 3、分组（堆）问题 4、插空法 5、捆绑法 6、排除法 7、隔板法 8、错位法 9、容斥法 二、例题精讲 例1、将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？ （1）分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本； （2）分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； （3）分给甲、乙、丙3人，每人2本； （4）分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； （5）分成3堆，每堆2 本 （6）分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本； （7）分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本。 答案：（1）60；（2）360；（3）90；（4）60；（5）15；（6）90；（7）15． 例2、求不同的排法种数： （1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻． 答案：（1）10080；（2）30240；（3）1152；（4）1152.
例3、有13名医生,其中女医生6人．现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为P ，则下列等式 （1）514 1376;C C C - （2）23324157676767C C C C C C C +++; （3）514513766C C C C --; （4）23 711C C ; 其中能成为P 的算式有_________种． 答案：（2）（3） 例4、对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止．若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种． 答案：576种 例5、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为 ． 答案：42. 例6、从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有 种． 答案：120960 例7、将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的 试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种． 答案：42 例8、四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 种． 答案：141种 例9、从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 种． 答案：18种 例10、有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为
简单的排列与组合
简单的排列与组合 教材分析： 小学数学二年级上册第99页的“数学广角”其主要的教学内容是简单的排列与组合。排列与组合的思想与方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。传统教材中没有单独编排这部分内容，有关这方面的知识是新编实验教材新增设的内容之一。这节课的教学任务就是通过日常生活中最简单的事例，让学生运用操作，实验，猜测等直观手段解决这些问题，向学生渗透有关排列与组合的数学思想方法，并初步培养学生有序地全面地思考问题的意识。当然，在”摆数””握手“等活动中，通过学生的合作交流，互相沟通，也促进知识的互补和互联，培养学生的合作意识。 教学目标： 1.使学生通过观察，猜测，实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。 2.培养学生初步的观察，分析，推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。 3.引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。 4.培养学生的合作意识和人际交往能力。 教学重点：自主探究掌握有序排列，巧妙组合的方法，并用所学知识解决生活的问题 教学难点：怎样排列可以不重复，不遗漏。 教学过程： 一．以故事的形式引入新课 师：小朋友们，今天老师为大家带来了3只可爱的小动物，你们想和它们认识吗？请猜一猜。师模仿，描述 师：它睡觉总打呼噜，成天除了睡觉就是吃 生：猪 多媒体显示猪 师：“喵喵” 生：猫 多媒体显示猫 师：它浑身长满了刺儿 生：刺猬 多媒体显示刺猬 师：今天它们三个收到了企鹅博士的邀请，要到企鹅博士家做客，可是走到了半路上，却下起了雨，而它们却只有两把伞，它们该怎么办了呢？请你们帮它们出谋划策吧。 生：略 结论出最佳组合方法：猪和猫合打一把伞，刺猬单独。 师：大家的想法都不错，的确，它们试了以上几种办法，可是最终选择了猪和猫合打一把伞，刺猬独打一把伞的方案。你知道是什么原因吗？ 生：刺猬身上有刺。 师：看来凡事都得结合实际情况 二．用开密码的方法进行数的排列活动 显示大门 师：三只小动物来到了企鹅博士家，却发现大门紧闭，是企鹅博士不欢迎他们吗？原来是企鹅博士想考考它们三人的智慧，特意设计了密码锁，只有解开密码锁才能进入。
排列 组合 定义 公式 原理
排列组合公式 久了不用竟然忘了 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 这就是我们用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3：9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
二年级奥数简单的排列组合教
第三讲排列组合问题 例题精讲 在日常生活中，我们经常会碰到许多排列组合问题。 例1从晓明家到博迪教育共有三条路可走，从博迪教育到西湖有两条路可走，那么从晓明家到西湖有多少路可走？ 分析：对这种问题的题目分析，可以先画一个简单的示意图： 可以这样想，从晓明家到博迪如果走①，那到鼓楼后，可有甲、乙两条路可走，如果走②、③的话，到博迪后，分别有两条路可以走，所以从晓明家到西湖共有3×2=6（条）路可走。 例2 幼儿园有3种不同颜色（红、黄、蓝）的上衣，4种不同颜色（黑、白、灰、青）的裙子，请问可以搭配出多少套衣服？ 分析：按照次序思考，如果穿红色上衣，就会有四种颜色的裙子可以搭配，同样，如果是黄色、蓝色上衣，同样也有四种颜色的裙子可以搭配，因此 可供搭配的种类有3×4=12（种）。所以，总共有12种搭配方法。
例 3 小红昨天去文三路上一家火锅店吃火锅，她准备在牛肉、羊肉和鱼丸中挑选一个肉类，青菜、生菜、香菜、白菜和菠菜中挑选一个蔬菜，在蘑菇、香菇和金针菇中挑选一个菌类，那总共有多少种不同的搭配方法？ 分析：肉类三选一，是3；蔬菜五选一，是5；菌类三选一，是3，相乘是45. 例3 从杭州到北京共有5个车站（包括杭州和北京）。每个汽车站售票处要为这条线路准备多少不同的车票？ （杭州-上海-苏州-南京-北京） 分析：我们将车站编号为A，B，C，D，E.那么A号站到其他车站的车票共有4种，即A→B，A→C，A→D，A→E。同样，B号站到其他车站的票号也有4种，即B→A，B→C，B→D，B→E。（这里A→B和B→A的车票是不一样的，出发站和终点站不一样）所以每个站都必须准备4种不同的车票。所以总有车票的数量是：4×5=20（种）
【K12学习】二年级数学《简单的排列与组合》教案
二年级数学《简单的排列与组合》教案教学目标： 1．使学生通过观察、猜测、实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。 2．培养学生初步的观察、分析、推理能力以及有顺序地全面思考问题的意识。 3．引导学生使用数学方法解决实际生活中的问题，学会表达解决问题的大致过程。 4．培养学生的合作意识和人际交往能力。 教学重点：自主探究，掌握有序排列、巧妙组合的方法，并用所学知识解决实际生活的问题。 教学难点：怎样排列可以不重复、不遗漏。 教学准备：三只小动物的头像、两顶小雨伞图片、上锁的大门图片、纸条、实物投影仪等。 教学过程： 一、以故事形式引入新课 师：同学们，今天老师为大家带来了3只可爱的小动物，你们看它们是谁呀？（边说边贴出动物头像：小刺猬、小鸭、小鸡）小刺猬、小鸭和小鸡三个好朋友今天准备到企鹅博士家去做客呢，可是刚走了一半路，突然下起雨来，可是三只小动物只有两把伞,怎么办呢？ ▲（学生可能出现的答案有：①小鸡和小刺猬拼一把伞，
小鸭自己打一把伞。②小鸭和小刺猬拼一把伞，小鸡自己打一把伞。③小鸭和小鸡拼一把伞，小刺猬自己打一把伞。）▲当学生在回答以上方法时，教师根据学生的回答把相应的动物头像帖在伞的下面。 师：大家想的办法都不错。的确，三只小动物都和你们一样试了上面这三种方法，可最后它们却选择了第③种方法，你们知道这是为什么吗？原来呀，当它们开始用前面两种方法时，可没走几步，小刺猬身上的刺就把小鸭和小鸡给刺疼了，所以只能选择第③种方法。 （教学设计意图：不拘泥于教材，创设学生感兴趣的故事引入新课，引起学生的共鸣。同时又渗透了简单组合及根据实际情况合理选择方法的数学思想，起到了一举两得的作用。） 二、用开密码锁的方法进行数的排列活动 师：三只小动物到了企鹅博士家的数学城堡，却发现大门紧闭，门上还挂着一把锁。想要开锁就要找到开锁的密码。锁的密码提示是：请用数字1、2、3摆出所有的两位数，密码就是这些数从小到大排列中的第4个。──企鹅博士留。）师：三只小动物都犯傻了，怎么办呢？同学们能不能给他们帮帮忙？ （生略） 师：那么我们就先每人拿出数字卡片，自己摆一摆，边
排列组合综合应用
第九讲 排列组合综合应用 【内容概述】 乘法原理是指做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m 1种不同的方法， 做第二步有m 2种不同的方法…做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×……×m n 种不同方法（即每一步都不能单独完成这件事情，需要所有步骤合在一 起才能完成这件事情） 加法原理是指做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中，有m 1种不同的 方法，在第二类办法中，有m 2种不同的方法……在第n 类办法中，有m n 种不同的方法。 那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m n 种不同方法。（即每一类办法都能独立完成，每一类与 另一类不重复，所有这些类型合起来构成这个事情） 【典型题解】 例1 某人到食堂去买饭，食堂里有4种荤菜，3种素菜，2种汤，他要各买一样，共有多少种不同的买法？ 【答案解析】根据题目条件可知，买饭可以分3个步骤。直接利用乘法原理计算。 不同的买法的种数：24234=??（种） 练习一“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这三个字母用三种不同的颜色来写，现有五种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？ 【答案解析】根据题目条件可知，写完IMO 可以分三个步骤，第一步写“I ”有5种写法，第二步写“M ”有4种写法，第三步写“O ”有3种写法。直接利用乘法原理计算。 不同的写法的种数60345=??（种） 例2 一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余 四人可以分配到五个位置的任何一个上，问：共有多少种不同的站位方法？ 【答案解析】把球场的上的五个位置分别称为1、2、3、4、5号位；令1号位为中锋，由于C 不能做中锋，那么还有4种不同的选择方法，2号位还有剩下的4个人可供选择，3号位还有剩下的3个人可供选择，4号位还有剩下的2个人可供选择，5号位只剩个人可供选择，根据乘法原理，它们的积就是全部的选择方法． 不同的站位方法：9612344=????（种） 练习二 广州电话号码有8个数码，其中第一个数字不为0，而且数字不重复，这样的电话号码共有多少个？ 【答案解析】首先考虑第1个位置，有9种选择。其它位置根据乘法原理，依次有9、8、7、6、5、4、3种选择。 电话号码个数：163296034567899=???????（个）
简单的排列和组合
《数学广角》教案 简单的排列和组合 人教版《义务教育课程标准实验教科书数学（二年级上册）第八单元第99页例1及相应练习。 教学目标： 1、让学生通过观察、猜测、实验等活动，找出最简单的排列数和组合数。 2、初步培养学生有顺序地、全面地思考问题。 3、培养学生大胆猜想、积极思维的学习品质；激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作交流意识。 教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程。 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同。培养学生有顺序地、全面地思考。 教具准备：课件、数字卡片、小瓶汽水 学具准备：数字卡片、钱币卡片、圆片纸、红黄蓝水彩笔 教学过程： 一、课前准备活动 1、教师随机给学生发放练习本 2、教师把练习本发给四个小组长再按顺序发给全班同学 （设计意图：课前给学生分发练习本，这看似无意的举动，却让学生感知到无顺序的做事会导致重复与遗漏，从而引出要有顺序分发才能保证不重复、不遗漏。） 二、贯穿故事，探究新知。 活动一：密码门问题 师：今天森林动物园的小动物们要举行运动会了，它们早早地来到运动场一看，大门怎么关着呢？这可把它们急坏了，这时，猴子博士笑着说：“不急，不急，大门的密码是由1、2组成的所有两位数。”你们猜猜看，大门的密码可能是多少？（学生猜密码） 师：把1和2排在一起，能摆出几个两位数呢？（生：两个）（师板书：12、
21） 师：将1放在十位，2在个位，组成12，再调换位置组成21，能排两个不同的两位数。 （设计意图：课的开始由森林动物园举行运动会导入，吸引学生的注意力，并让学生猜密码激发学生的学习兴趣，以便对旧知——两位数的唤醒。）活动二：运动员问题 1、师：小动物们高兴地进入运动场，马上要举行比赛了，小兔这次参加的是跳绳比赛。每个参赛的运动员身上都要戴一个牌，小兔的是多少呢？猴博士给了她3数字卡片（师贴：1、 2、3）它说：“小兔、小兔、你的牌是用这三卡片当中的某两卡片组成的两位数，小兔的可能是多少？ 2、师：这3卡片可以组成多少个两位数呢？咱们动手摆摆看。请你们拿出1、2、3这3卡片同桌之间一个人摆一个人记两人合作完成。比比哪个小组摆得最多又不重复。开始吧！ 学生组合作，交流，教师组间巡视，参与、指导活动。 3、小组代表汇报 师：摆好了吗？谁愿意告诉我们你们摆了哪几个两位数？你们两人上黑板上摆摆看（学生板演摆） a.12、31、21、23、13、32 b.12、13、21、23、31、32 c.12、21、13、31、23、32 d. 21、31、12、32、13、23 …… 4、探讨有顺序有规律的排列方法。 师：你觉得他们的排数方法怎么样？为什么？ 师生共同归纳：用数字排列组成两位数，可先按照一定的顺序确定十位上的数，再看个位上可有哪些数能与其搭配，或按照一定的顺序确定个位上的数，再看十位上有哪些数能与其搭配，还可以选两个数字组成一个两位数，马上调换十位、个位的数的位置，得出另一个两位数。这样有顺序排列，得出的结果就能不重复不遗漏。今后我们排数时就可以用这些有顺序的方法来排。
二年级简单的排列与组合
数学广角——排列与组合教案 师：同学们早上好，上课之前老师想和孩子们一起玩个汉字游戏，好不好？请仔细观察生：牛奶 生：奶牛 师：牙刷 生：刷牙 师：蜜蜂 生：蜂蜜 师：孩子们，谁能告诉老师，我是怎么变的吗？ 生：交换位置就可以了 师：恩，你观察的非常仔细 师：我们把两个字交换位置后又会变成一个意义不同的新词。真有趣！ 师：像这种变化位置后而改变意思，正是与我们今天要学的数学广角中的排列与组合有很大的关系。今天我们将一起来学习新的数学知识-----简单的排列与组合。（板书） 师：老师今天还带来了三位好朋友，瞧瞧，他们向我们走来了，你们认识吗？他们今天将要和咱们218班的孩子们一起来学习。大家掌声欢迎。 师：看，新年快到了熊大带着熊二正在布置新年晚会现场，大家都忙得很开心，这个时候光头强来了，他很想和大家一起过年，于是来到熊大家，可是走到熊大家门口才发现，门上有一把密码锁，他进不去，上面的提示是什么？是由1和2这两个数组成的两位数，这道门的密码可能是哪几个数？ 师：我们回忆一下,一个两位数，是由哪两个数位组成的？ 生：个位和十位 师：非常正确!那1和2可以组成哪几个两位数呢？ 生：12或21 师：你真聪明!再仔细观察这两个数有什么不同？ 生：交换了位置。 师：对，个位与十位交换了位置，就变成了不同的两个数。 师：密码到底是哪个两位数呢？我们接着看提示。（课件提示：密码是十位数比个位数大的那个数） 师：知道密码的小朋友请举手？ 生:指名回答. 师：你真棒!门打开后，光头强看着这么多树高兴的跳起来了，我发财了！我要把这里所有的树都砍掉卖给李老板，小朋友们光头强能不能随便砍树呀?（不能）对，我们要爱护树木，保护环境。光头强一心想砍树，可是忘记带锯子了，他决定找找看，于是往前走，看见一个箱子，眼睛一亮，这不是百宝箱吗?可箱子上也有一把密码锁。密码提示是：由1.2.3三个数字中的两个数字组成，而且每个两位数,十位上的数和个位上的数不能一样 师：这就难倒了光头强。孩子们我们来帮帮他好不好？1.2.3是三个数要组成的数是个两位数，那么我们只能在这三个数字中选几个？（2个） 师：密码提示十位上的数和个位上的数不能一样，那么十位上的数字和个位上的数字能相同吗? 生：不能 师：对，不能相同 师：那么能组成多少个不同的两位数呢?下面以四人为一组,一个负责摆，两个负责记录,一
有限集合上的组合数学问题
2012有限集合上的组合数学问题 知识点： 1.偏序集合基本概念 一个集合A 是所谓偏序的，是指它上面定义了一个二元关系“ ”满足下列条件： 1．若y x 且x y 同时成立，则y x =（反对称律） 2．若,y x z y ，则z x （传递律） 3．对于A 的每一个x ，都有x x （反身律） 4. .,y x y x y x ≠?< 特别地，如果每一对元素之间存在关系 ，则称其为一个全序集合。 这里，符号"" 读作“小于等于”。 假定),( A 是一个有限的偏序集合。由A 中两两不可比较的元素所组成的子集合称为“不可比集合”（或象一些学者所讲的，“反链”）；包含元素最多的不可比集合称为“最大不可比集合”（或极大“反链”）。用 M 表示一个最大不可比集合中元素的个数。 2.偏序集合基本问题和定理。 定理1（Dilworth 定理）.在将偏序集合A 分解成不相交链（相交亦可）的并时，所需要的链的最少个数m 等于A 的最大不可比集中所含元素的个数。 注意：（1）这是组合数学理论中的又一个“最大=最小”的定理，用它可以轻易地推出例7-15中的结论。 与Menger 定理，“最大流-最小割定理”和二部图中的“K ' 'o nig 定理”遥相呼应。其实，这些“最大=最小”型的结论之间存在者一定的蕴涵或等价关系。 （2）由于这个结果是如此重要，我们有必要再给出一个快捷的证明（注意：快捷而简单的证明不一定是“好”的证明！因为它的过于简单的过程会掩盖一些事务的本质。没有经验的研究人员往往忽视这一点。）下面这个证明来自于https://www.wendangku.net/doc/5d8847887.html,erberg 在1967年的篇文章。 证明2：设P 是一个有限偏序集合。P 中划分为不相交的链的最小个数m =P 中的一个反链所含元素的最大个数。 显然有M m ≥。对于||P 实行数学归纳。当||P =0时定理显然成立。令C 是一个极大链。如果C P -的每一个反链至多包含1-M 个元素，则定理成立。因此，设},...,,{21M a a a 为C P -的一个反链。我们定义： }.,|{i a x i P x S ?∈=- 类似第可以定义+ S 。因为C 的及大性，所以C 中的最大元素不再- S 里面。故，按照归纳假定，- S 是M