习题4
以下如果没有指明变量t 的取值范围,一般视为R t ∈,平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=,这里U 为)2,0(π上的均匀分布.
(a ) 若Λ,2,1=t ,证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳, (b ) 设),0[∞∈t ,证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明:(a )验证宽平稳的性质
Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=?
==?t Ut t
dU Ut Ut E t EX π
π
ππ
))cos()(cos(2
1
)sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?=
t U s t s t U s t s t ππ
π21}])[cos(1])[cos(1{212020?
+++--= s t ≠=,0
2
1
Ut Esin ))(),((2=
=t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21
)(有关与t t t t EX ππ-=
.)2sin(81
21DX(t)有关,不平稳,与t t t
ππ-=
2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列,定义Λ
Λ,2,1},,2,1,{)
(==i n X i n 为
Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ,证明:这些序列仍是平稳的. 证明:已知,)(),(,,2
t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+
2
121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX
)
1()1()(2),(),()
,(),(),(),(111111)
1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然,)
1(n X 为平稳过程.
同理可证,Λ,,)
3()2(n n X X 亦为平稳过程.
3.设
1
)n
n k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数,k=1,....n; 1,...n u u 是(0,2π)
上独立均匀分布随机变量。证明{,0,1,2,...}n x n =是平稳过程。 证明:E n X
=
1
cos()n
k
k k k a n u σ
=-∑,
cos()k k E a n u -=20
1/2cos()k k k a n u du π
π-?=201/2sin()|k k a n u π
π-=0
D[cos()k k a n u -]=1/2-cos(22)1/2k k E a n u -=
cov (cos(),cos(())k k k k a n u a n t u -+-)=cos()k k E a n u -cos((1)k k E a n u +-)=1/2cos k a t
cov(cos(),cos())0,()k k l l a n u a n u k l --=≠
E n X =0,D(n X )=
2
2)11
.2(cos()n
n
k
k k k k k D a n u σ
σ==-=∑∑.为常数
11
cov(,)..2.cov[cos(()),cov()]n
n
n t n k l k k l l K l x x a n t u a n u σσ+===+--∑∑
=
21
.2.1/2.cos()n
k
k k a t σ
=∑
只与t 有关,与n 无关。
从而知道{n X .n=0,1,2….}为宽平稳的。
4.设k A k 1,2...n k n =是个实随机变量;W ,k=1,2…n 是n 个实数。试问k A 与k W 之间应满足这样的条件才能使:21
()j =1n
jwt
k k Z t A e
-==
∑是一个复的平稳过程。()
Solution:
()1k n
jw t k k Ez k EA e ==?=∑常数
,要求
k EA =
()()()11
k l n
n j t j t k l k l Ez t z t E A A e ωω-==?=?=∑∑常数
要求
()0,k l E A A k l
=≠
5.设
{}
,1,2,...n x n =是一列独立同分布随机变量序列,
()1n P x p
==,
()11,1,2,...
n P x p n =-=-=
令
010,1,2,...
n
n k s s n ====∑
求
{},1,2,...n s n =的协方差
函数和自相关函数,p 取何值时,此序列为平稳序列? Solution :
()()()()()()
2222
221,1112112141n n n n Ex p Dx Ex Ex p p p p p p =?-=-=?+-?---=--=-()(
)(
2
11,,1n n m n k k E x x p n m Es Ex p =?
=?-≠==?-??∑
协方差函数
()()
,cov ,s n m n R n m n s s ++=
(
)()11,cov ,n m n s k l k l R n m n x x +==?+==?
?
∑∑()())1...n D x D x ++
()41p p =
-
自相关函数:
()(
)(),,1s s n m n r n m n R n m n Es Es p p ++=++?=
-
()2
12p - 当p=12时,()()1
0,,0,1
2n n n n Ex D x Es D s ====
但协方差函数
(),s R n m n +=
n,n+m 有关,还是不平稳!
6.设(){}t X 是一个平稳过程,对每一个R t ∈,()t X /存在,证明对每个给定的t ,
()t X 与()t X /不相关,其中()()dt
t dX t X =
/. Proof. ()m t EX =,()()2σ=t X D . ()()m t t X E =?+.
()()()t
t X t t X t X t ?-?+=→?0/lim
,()0/=t EX . ()()()
()()()()()()[]t
t X t t X t X E t X t EX t X t X Cov t ?-?+=?=→?0//lim , ()()()
021********=+===m dt
d t EX dt d dt t dX E σ
7.设(){}t X 是Gauss 过程,均值为0,协方差函数()Z e R 242-=. 令()()()()1,1-=+=t X t W t X t Z ,
(i ) 求()()()t W t Z E 和()()[]2
t W t Z E +;
(ii )求()t Z 的密度函数()z f Z 及()()1 -?- ? = <14 22 2211π . (iii )()()()t W t Z ,~()4224;2;0;2;0-e N ,()44 2-== e R P ()()()()()()?? ??????????????-+--?----??-= ---40400240121ex p 4121,2 4288 ,w w z e z e e w z f W Z π 8.设(){}R t t X ∈,是一个严平稳过程,ξ为只取有限个值的随机变量.证明 ()(){}R t t X t y ∈-=,ξ仍是一个严平稳过程. Proof. ()()()()()()h t X h t X t X t X n d n -???-=???,,,11 ()()()()()()()n n n y y y y t y t y P t t t F n ,,,,,,,1121,,1???≤???=?????? =p((X(t 1-ε),…,X(t n -ε)≤(y 1,…,y n )) =k ∑ Pk .p((X(t 1- a k ,…X(t n - a k )≤(y 1,…, y n )) =k ∑ Pk .p((X(t 1-h- a k ),…X(t n -h- a k ))≤(y 1,…,y n )) =p((y(t 1-h),…,y(t n -h))≤(y 1,…,y n ))=F h tn h t --,....,1(y 1,…,y n ) 即知{})(t y 为严平稳. 9、设{}R t X ∈t (),是一个严平稳过程,构造随机过程Y 如下: Y (t )=1,)若X (t )>1,若X (t )>0;-1,若X (t )≤0 证明Y (t )是一个平稳过程,如果进一步假定{}R t X ∈t (),是均值为0的Gauss 过程(平稳),证明 )(τR Y 为 2 arcsin 0X X τπ (R ()()) 证明:P ((Y(t 1),…,Y(t n ))=(a 1,…,a n )) =P(X(t 1),…,X (t n )中有的大于0,有的小于等于0) =P (X(t 1+h),…,X (t n +h )相应于X(t 1),…,X (t n )中的符号不变) =P ( (Y(t 1+h),…,Y(t n +h))=(a 1,…,a n )) 即{})(t y 亦为严平稳的. EX(t)=0,E ) (2 t X = )0(R x ,X(t)≈N(0, )0(R x ) EY(t)=1*P(Y(t)=1)- 1*P(Y(t)=-1)=P(X(t)>0)- P(X(t) ≤0)= 21- 2 1 =0 )(τR Y =EY(t+τ)Y(t)=P(X(t+τ)>0, X(t)>0)+P(X(t+τ)≤0, X(t) ≤0)- P(X(t+τ)≤ 0, X(t)>0)+ P(X(t+τ)>0, X(t) ≤0) y x x x y d d R y xy x R R ??? ?????????????+--=?? ∞ +∞ +)0()2(22ex p 21021 22220 2ρρρπ)(2(1-1-)()()( ) 0() 2(2x x R R = )(记ρ +y x x x d d R y xy x R ??? ?????????????+--??∞-∞-)0()2(22ex p 21021 2220 2ρρρπ)(2(1-1-)()( - x y x x d d R y xy x R ????????????????+--??∞-∞ +)0()2(22ex p 2102122200 2ρρρπ)(2(1-1-)()( - x y x x d d R y xy x R ????????????????+--? ?∞+∞-)0()2(22ex p 21021 2220 2ρρρπ)(2(1-1-)()( =2 ( )θθρρρππ rdrd r R R x x .2sin )2(1(21)(0(21exp )2(1)0(21 22 200 2? ?????----?? ∞)) ( - () θθρρρππrdrd r R R x x .2sin )2(1(21)(0(21exp )2(1)0(21 22200 2? ?????+---?? ∞))( 极坐标变换:θθsin ,cos r y r x == =θθρρπ θθρρππ π d d ??+-- --2 02 202 2sin )2(1)2(11 2sin )2(1)2(11 令dt t d t 2 11 ,arctan ,tan += ==θθθθ =dt t t dt t t ??++-- -+-2 022 2022 )2(21)2(11 )2(21)2(11 π π ρρπ ρρπ =2022 02)2(1)2(arctan 121)2(arctan 1π π ρρπρρπ????????-+-??????? ????? ??--t t )( =??? ? ????--- ??? ?????-+)2(1)2(arctan 21 )2(1)2(arctan 2122ρρππρρππ = ) 2(1) 2(arctan 2 2 ρρπ - = ())2(arcsin 2 ρπ 注:验证()θθθθ ==??? ? ??-arcsin sin 1arctan sin 2. 即可! 10.设 (){}X t 是一个复值平稳过程,证明: ()() ()()()2 2Re 0E X t X t R R ττ+-=- Proof : ()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()()() 2 202Re 0E X t X t E X t X t X t X t EX t X t EX t X t EX t X t EX t X t R R R R R ττττττττττ+-=+-+-=+++-+-+=-+-=- 11.设 (){}X t 是零均值的平稳Gauss 过程,协方差函数为()R τ,证明: ()() ' P X t a ?? ?≤=Φ ?? ? ,其中()Φ?为标准正态函数。 Proof : ()()() () ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() 2 '22 2 ''122122 ''2''221 ''''' 00,0 000,,,000,0X t h X t E y t h h EX t Ey t X t h X t R R h R h R E y t Ey t h h hR hR E y t h h h R E y t R E y t h y t R y t X t X t P X t a P ξξξξξξξ+--→→==+----+??-=+ ??? -+=-∈∈--=-→-+-???? ≤=≤ =Φ ? :@由因则即从而 12.设{x(t)}为连续平衡过程,均值m 未知,协方差函数()R τ=|| b ae τ-,R τ∈,0,0a b >>.对 固定的0T >,令x =1 ()T x s ds τ -? 。证明:Ex m =(即x 是m 的无偏估计)以及 12()2[()()(1)]bT Var x a bT bT e ---=--。 Proof: ()Ex t m =,1 ()T Ex T Ex s ds m -==? 21 10 ()()[(())(())]T T Var x E x m E T E x t m dt T x s m ds --=-=--??g =2 2||000 (())(())T T T T b t s T E x t m x s m dtds T ae dtds ------=?? ?? =2 ()()0 [ ]T s T T b s t b t s s T ae dtds ae dtds -----+?? ? ? =2 21 1[(1)]2bT aT T e b b --+-? 13.设{()}x t 为平稳过程,以及{()}x t 的n 阶导数() ()n x t 存在,证明(){()}n x t 是平稳过程。 Proof: 由() ()(2)((),())(1)()n n n n Cov x t x t R ττ+=-知 () {()}n x t 为平稳过程 ()()0n Ex t = ()() ()() ()lim lim 0x t x t Ex t Ex t Ex t E τττττ τ →→+-+-'=== 14.证明定理4.1中关于平稳序列均值的遍历性定理。 Proof: {}n x 为均值遍历性?1 1 lim ()0N N R N τ τ-→∞==∑ 均值遍历性:1 lim ()()21N N k N x x k m Ex n N →∞=-===+∑即2()0()E x m N -→→∞ 1 ()21N N k N E x Ex k m N ===+∑ () ()()()()()()???? ??∑∑?-?-+=??????∑-+=-=-=-=N N K N N K N N K N m l X m k X N E m k X N E X Var |12112122 ()()()()() m l X m k X E N N N k N N l --+= ∑∑-=-=2121 ()()∑∑-=-=-+= N N k N N l l k R N 2 121 令l k s l k t -=+=,, 则l s t k s t 2,2=-=+ ()()()? ?? ???++=∑∑∑∑=-+-=--=+-=N t t N t N s N t t N N s s R s R N 202212222121 ()()()()()12121221121 1 20 2 +-+???? ?? +-+= ∑-=N o R N N R N N τττ 由均值遍历,知 () lim =∞ →N N X Var 知 ()()01221121 2lim 1 20 2 =??? ?? +-++∑-=∞ →N R N N N N τττ (A) 可推出 ()01lim 10 0=∑-=→N N R N τ τ (B ) 由(B )很容易推出(A ) 15、 如果 () 4321X X X X ,,,是均值为0的联合正态随机向量,则 ()()()()()() 3241423143214321X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X Cov X X X EX ,,,,,,,,,++= proof:协方差阵 ????? ???????=∑4443 4241 3433323124232221 14131211σσσσσσσσσσσσσσσσ矩母函数 ()()2314241334124 3214 21exp 3 32211σσσσσσ??++=???????????'-=E =∑++t t t t o t t e t x t x t x t ()()()()()m k X m k X N R N N K N --++= ∑-=ττ121 ) ()() ττR R E N =) ()() ()()()()()2 121??????---++=∑-=τττR m k X m k X N E R Var N N K N ) ()()()()()()()()()() τττ2 2 121 R m l X m l X m k X m k X E N N N K N N L ---+--++= ∑∑-=-=()0=m ()()()()()()()τττ221 R l X l X k X k X E E N N N K N N L -++=∑∑-=-= ()()()()() ()τττττ2222-1 R l k R l k R k R R E N N N K N N L --+--++=∑∑-=-= ()012211211202→??? ??+-+=∑-=N R N N τττ 可知: ()∑-=→=1 2 00 1 lim N k N k R N 16、设0X 为随机变量,其概率密度函数为 2,01 0,(){ x x f x ≤≤其他 =,设1n X +在给定01,,n X X X L 下是[1]n X -上的均匀分布,n 0,1,2,,=L 证明{}n X L ,n=0,1, 的均值遍历性。 Proof: 1 00 2E 23 X x xdx =?= ? 0 1 1001011E()12 x X X x dx x x -=? =-? 101122 E 1E 12233 X X =-=-?= 1 21 10111111E(,,)[]2 n n n n x x n n X X X X x dx x x x +--=? =? L 1 12n x =- 11 E 1E 2 n n X X +=- 12 E 3n X +?= 12 24100021 E 242 X x xdx x =?==?, 20121D ()2318 X =-= 12 221 01111E(X ,,)13 n n n n n x n X X X x dx x x x +-=? =-+? L 222 111E 132 n n n n X EX EX EX +=-+?= 2121 ()2318n DX = -= 201111211 [][,,](1)()()23182 m n n m n n m n m n n m E X X EE X X X X X EX X +++-+-==-=+-L ()221111 R m cov(,)()()()3182182 m m n n m n n m X X EX EX ++==+--=-, 由推论4.2知:1{}n X +是均值遍历的 17、设{,0,1,}n n ε=±L 为白噪声序列,令-1+1,0,1,2,n n n X X n ε??<=±±L =,则 K n n K K X ε∞ -=?∑=,从而证明{,,1,0,1,}n X n =-L L 为平稳序列。 求出该序列的协方差函数,此序列是否具有遍历性? Proof:易知:0 K n n K K X ε∞ -=? ∑= , 0,(,)[]K K l n n K n m n n m k n l K K l EX E COV X X E εεε∞ ∞ ∞ -++--===?==??∑∑∑= )1|(|;11 2 220 22 1 00 <-? ?=?=E =E =∑∑∑∑∞ =-∞ =++--+∞=∞ =+ασ σασαα ξ α ξξα m e l m n e l l m e n k m n e k l k ),2,1,0(;1)(2 2Λ=?-=m m R m σσ σ 因)0(0)(→→m m R ,故}{n X 为均值遍历的。 以下没有特殊声明,所涉及的过程均假定均值函数为零。 18.我们称一个随机过程X 为平稳Gauss-Markov 过程,如果X 是平稳Gauss Process ,并且具有 Markov 性,即对任意的t S <,任意实数 u s t x x x ,,有 s s t t u u s s t t x X x X P s u x X x X x X P )|(),,|(=≤=<==≤。试证明:零均值的平稳 Gauss-Markov 过程的协方差函数)2(R 具有| |τa ce -这种形式,这里c 为常数。 Proof : ()?????? ? ??≡??????? ??------=??????? ??E =Γ02 120 21112 021 21 211221 21)0() ()()()0() ()()() 0(R R R R R R R R R R t t R t t R t t R R t t R t t R t t R R X X X X X X n n n n n n n n tn t t tn t t Λ M O M M Λ ΛΛ M O M M ΛΛΛ M )},,(),,(2 1{2 1 32 3 32132113321| |)2(1),,(X X X x x x t t t e X X X f -Γ-Γ= π ??? ? ??=Γ???? ??=Γ???? ? ??=Γ021120 10322302032 31 23021 131203,,R R R R R R R R R R R R R R R R R ) ,() ,,(),|(,| |21),(21321213)},(),(2 1 {2 1 121211121t t t t t t t t x x x x t t x x f x x x f X X X f e x x f = Γ= -Γ-π ) () ,()|(,| |21),(23223)},(),(2 1{2 1232211232t t t t t x x x x t t x f x x f X X f e x x f = Γ= -Γ-π 19.根据markov 性,f (x t3︱x t1, x t2)=f (x t3 ︱x t2)知 R (t 3-t 1)= R (t 2-t 1)R (t 3-t 2), R(-τ)=R(τ). 即R(0)R(τ+h)=R(τ)R(h) (τ>0,h>0) 可知:R(τ)=Ce -a ︱τ︱ R(τ+h)/R(0)= R(τ)/R(0)* R(h)/R(0)即f (x )= R(x)/R(0)= e -at R(0)=σ2 C=σ2 ︱R(τ)︱ Proof R y (τ)=Cov (y (t+τ),y (t ))=E{(x (t+τ+a )-m )-(x (t+τ-a )-m )}* ((x (t+a )-m )-(x (t-a )-m ))。其中m=EX (t ) =E (X (t+τ+a )-m )(X (t+a )-m )-E (X (t+τ+a )-m )(x (t-a )-m )- E (X (t+τ-a )-m )(X (t+a )-m )+E (X (t+τ-a )-m )(x (t-a )-m ) = R x (τ)-R x (2a+τ)-R x (τ-2a )+R x (τ)=2 R x (τ)- R x (2a+τ)- R x (τ-2a ) S y (ω)= ∑+∞ -∞ =τ R y (τ )e -jw τ= ∑+∞ -∞ =τ (2R x (τ)- R x (τ+2a )-R x (τ-2a ))e -jw τ =2S x (w )- ∑+∞ -∞ =+=a k 2τ R x (k )e -jwk *e j2aw - ∑+∞ -∞ =+=a 2τ λ R x (λ)e -jw λk *e -j2aw =2S x (w )-2cos (2aw )S x (w )=4S x (w )sin 2(aw ) 21、设平稳过程X 的协方差函数2 2τστ-=e R ) (,试研究其功率密度函数的性质。 Solution: 由Wiener-Khintchine 公式知,功率谱密度函数 τ ωτσ τωτττd e d R w S )cos(2)cos()(20 2 2 ? ?+∞ -+∞ ==)( 22、设平稳过程()}{t X 的协方差函数() τωττa e b a R -+=22 cos 2)(,求功率谱密度函数 ()ωS . Solution: ()+∞ =++==--∞ +∞-∞ +∞ ----∞ +∞ ?? ?ττσττωτ τωτ ωτ ωτωτ d e e a d e e e d e R w S j a j j j j 22 2 )(22-)( 31.设 {},...1,0,1...n x n =-为平稳序列,协方差函数为()R τ. (1) 求1n x +的形如()11n n x ax ∧ +=的最小均方误差方差预报,a 为待定常数 (2) 求 1 n x +的形如 () 21 1n n n x ax b ∧ +-=+的最小均方误差方差预报,a ,b 为待定 (3) 上述两个预报中,哪个预报的均方误差要小些?试用() R τ表示它们的差 (4) 求 n k x +的形如 n k n n N x ax bx ∧ ++=+,1k N ≤≤的最小均方误差内插,(a,b 为待定) (5) 设 N n n k k Z x +==∑,其中N 为固定常数,求n Z 的形如 n n n N Z ax bx ∧ +=+的最小均方误差预 报,其中a,b 为待定常数。 Solution : (1) ()()()()2 '11,20 n n n n n Q a E x ax Q a E x ax x ++=-=-= ()() 10R a R ∧ ?= , ()() () () 1110n n R x x R ∧ += (2) ()() 2 11,n n n Q a b E x ax bx +-=-- ()()1120n n n n Q E x ax bx x a +-?=?--?-=? ()()11120 n n n n Q E x ax bx x b +--?=?--?-=? ? ()()()1010R aR bR --= ()()()()()()2210201R R R a R R ∧-= - ()()()2100 R aR bR --= ()()()()() 22202101R R R b R R ∧ -= - (3) ()()()() 22010R R Q a R -= ()()()()() 2 2 11,021220n n Q a b E x a b x R a R b R a R ∧∧∧∧∧ +-?? =--=--+???? ()() 2 210ab R b R ∧∧ ∧++= ()()()()()()()()()()()()()()() ()()() 53222222242 2 2 0031220120121221201R R R R R R R R R R R R R R R -++++-- ()()()()()()()()() ()()()() 2222 2 01021,001R R R R R Q a b Q a R R R ----= - ()()()()()()()() 2 2 2 2 0210001R R R R R R -=- ≤- (4) () ()() 2 4,n k n n N Q a b E x ax bx ++=-- () ()()()()()44,20,20n k n n N n n k n n N n N Q a b E x ax bx x a Q a b E x ax bx x b +++++?=?--?-=??=?--?-=? ()()()0aR bR N R k += ? ()()()0aR N bR R N k +=- ()()()() ()()22 00R R k R N R N k a R R N ∧ --= - ? ()()()() ()() 2200R R n k R k R N b R R N ∧ --=- (5) ()()()()2 5050502020N n k n n N K N n k n n N n k N n k n n N n N k Q E x ax bx Q E x ax bx x a Q E x ax bx x b ++=++=+++=??=-- ? ????? =---= ??????? =---= ???? ∑∑∑ ? ()()()0 0N k aR bR N R k =+=∑ ()()() 0N k aR N bR R N k =+= -∑ ? ()()()() ()() 2 2 00N N k k R R k R N R N k a R R N ∧ ==--= -∑∑ ()()()() ()() 2 2 00N N k k R R N k R N R k b R R N ∧ ==--= -∑∑ 差4-16 35.设{Xn,n=0,±1,….}为AR (p )模型: n 11.....n p n p n X X X ααε--=+++ n=…,-1,0,1,… 试导出Yule-Walker 方程: 1()(1)...()p R h R h R h p αα=-++- Proof. )11)((...()()n n h n n h p n p n h n n h E x x E x x E x x E x ααε------=+++ 1()(1)...()0p R h R h R p h αα=-++-+ 36.考虑AR (p )模型: n 11.....n p n p n X X X ααε--=+++ n=…,-1,0,1,… 假定 11p p Z Z αα-- 的根都在单位圆外,求功率谱密度函数 Proof 1()()[(1)...()]jwz jwz p S w e R e R R p τττατατ+∞ +∞ --=-∞ =-∞ =∑=∑-++- 10 ()...()jw jwk jpw jwk p k k e e R k e e R k αα+∞ +∞ ----=-∞ ==∑++∑ 1[...]()jw jpw p e e s w αα--=++ S(w)满足上述式子 37.考虑如下AR(2)模型: (1)120.50.3n n n n X X X ε--=++ (2)120.50.3n n n n X X X ε--=-+ 试用Yule-Walker 方程导出协方差函数,证明它们的谱密度函数S(w)在(-π,π)上的图。 Proof (1)2 11121()0.50.3()n n n n n n n E X X Ex Ex x E x ε-----=++ 5 (1)0.5(0)0.3(1)(1)(0)7 R R R R R =+?= 221222()0.50.3()n n n n n n n E X X Ex x Ex E x ε-----=++ 23 (2)0.5(1)0.3(0)(2)(0)35 R R R R R =+?= 类似的,19(3)35R = 16.4 (4)35R = 120.50.3()0.5(1)0.3(2) n n n n n n n n Ex x Ex x Ex x E x R R R ττττ ετττ------=++?=-+- ()()() ()() () ()()()() ()() ()1212211210.50.32=cos 2sin 21j j j j j j j j S e R e R e R S e R e e R e R S e j S ωτωτωτ τ ττπωτ π ωττ τ ωτ τ πωτττπωτττωππω+∞ +∞ +∞ -+-+-=-∞ =-∞ =-∞ +∞ +∞ -+--=-∞ =-∞ +∞ -=-∞-= =++== ==-=∑∑∑∑∑∑g g g 其中,故具有周期性。 对于(2),类似于(1)即得 38. 求下列自回归模型二协方差函数和相关函数。 (1)n n X X ε+=-1n 8.0 (2)n n X X ε+-=-1n 5.0 0=E n X Solution. (1)()12 118.0---E +E =E n n n n n X X X X ε 协方差函数 ()()()()08.01008.01R R R R =?+= ()()()08.018.08.0222212R R X X X X X R n n n n n n ==E +E =E =----ε 类似地,()()...2,1,0,08.02| |±±==z R R z ∑∞ =---=+++=0 21n 8.0...8.08.0k k n k n n n X εεεε ()()925 8 .0118.002 2 02=-= E ==-∞ =∑k n k k n X D R ε,相关函数:()()z R z r = (2) ()1111n 5.0----E +E -=E n n n n n X X X X X ε,()()05.01R R -= 22n 125.0----E +E -=E n n n n n X X X X X ε,()()()()05.015.022 R R R -=-= ()()| z |5.0-=z R ,,...2,1,0±±=z 通过迭代:()()∑∞ =----= +-+-=0 22 1n 5.0...5.05.0k k n k n n n X εεεε ()3 4 25.0115.002 22 =-= E =E =-∞ =∑k n k k n X R ε 求下列滑动平均模型协方差函数和相关函数: (1)2-n 1-n n 5.05.0εεε--=n X (2)3-n 2-n 1-n n 1.02.06.0εεεε--+=n X Solution: (1)())1(5.15.15.05.002222-n 221-n 22n ===--=σσεεεE E E R ()()()3-n 2-n 1-n 2-n 1-n n 5.05.05.05.01εεεεεε----=E R = 25.05.05.02 2-n 2 2 1-n 2-=+-εεE E ()()()4-n 3-n 2-n 2-n 1-n n 5.05.05.05.02εεεεεε----=E R =5.05.02 2-n 2 -=-εE ()()()05.05.05.05.035-n 4-n 3-n 2-n 1-n n =----=εεεεεεE R ()()4,0≥=ττR ()()()()τττR EX R r n =+=2 (2)()41.11.02.06.0023-n 222-n 221-n 22n =+++=εεεεE E E E R ()()()4-n 3-n 2-n 1-n 3-n 2-n 1-n n 1.02.06.01.02.06.01εεεεεεεε--+--+=E R = 5.002.012.06.02 3-n 2 2-n 2 1-n =--εεεE E E ()()()5-n 4-n 3-n 2-n 3-n 2-n 1-n n 1.02.06.01.02.06.02εεεεεεεε--+--+=E R =26.006.02.02 3-n 2 2-n -=--εεE E ()()()5-n 4-n 3-n 2-n 3-n 2-n 1-n n 1.02.06.01.02.06.03εεεεεεεε--+--+=E R =1.01.02 3-n -=-εE ()()()01.02.06.01.02.06.047-n 6-n 5-n 4-n 3-n 2-n 1-n n =--+--+=εεεεεεεεE R ()()4,0≥=ττR ()()ττR r = 42.考虑AR (2)模型:2 120.25n e n n e n n n n n n e X X X X E X X ε∧ ∧ +|+|--+?? =-+- ??? 求及 Solution : ()()()()()1111111 2 222 111111*********,,,0.25,,0.250.250.25,,,0.25,,,0.250.25n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n X E X X X X E X X X X X X E X X E X X X X E X E X X X X E X X X X X X X X X εεσ∧ +|+---∧ +|+-+-+∧ +|+-+-∧ +|-=|=-|=-??-=-+-+== ??? =|=-|=-=--L L L L ()()1 2 2221212 222111112 122 20.250.750.250.250.750.250.250.2520.253 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n e n n e n n e n n e X X X E X X E X X X X E X X X X E E X X X e E X X e εεεεεσσ-∧ +|+++--+-+++∧∧∧ +|+-|+-|∧ +|+=-?? -=-+-+ ???=-+-++=+==-≥?? -= ??? 41.考虑AR (2)模型:121.80.8n e n n n n n X X X X ε∧ +|--=++求 分析: ()()()11111212111112,,, 1.80.8,,, 1.80.81.8 1.80.80.8 4.04 1.441.80.8, 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n e n n e n X E X X X X X X X E X X X X X X X X X X X X X X e ∧ +|+--∧ ∧ +|+|+---∧ ∧ ∧ +|+-|+-|=|=+=|=+=?++=+=+≥L L 随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(; 第一章 随机过程的基本概念 1.设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω,其中0ω是正常数,而X 是标准正态变量。试求X (t )的一维概率分布 解:∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0 ?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ,以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解:(1)先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0,1两种可能,于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F (x ,1) 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是 (1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) (考试时间为120分钟) 参考答案及评分标准 考试方式: 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一. 判断题(每小题2分,共10分,正确划√,错误划ⅹ) 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。(ⅹ ) 2. 非周期的正常返态是遍历态。(√ ) 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元,则可断定该马氏链不是遍历的。(ⅹ ) 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。(√ ) 5.若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有:0)(?nd ii p 。(ⅹ ) 二. 填空题(每小题5分,共10分) 1. 在保险公司的索赔模型中,设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司,若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,一年中保险公司的平均赔付金额是__240000元___。 2.若一个矩阵是随机阵,则其元素满足的条件是:(1)任意元素非负(2)每行元素之和为1。 三. 简答题(每小题5分,共10分) 1. 简述马氏链的遍历性。 答:设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率,,如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ,则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2. 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同? 答:非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于:强度λ不再是常数,而是与t 有关,也就是说,不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关,放射物质的衰变速度与衰败时间有关,等等。 四. 计算、证明题(共70分) 1. 请写出C —K 方程,并证明之. (10分) 解: 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. (15分) 解:若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程,是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量,并且与{}0),(≥t t X 也是独立的, )(t X =∑=t N i i Y 1,那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程 《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中: 式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为: 利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有: P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1)是齐次马氏链。经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2) 一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 应用随机过程试题及答案 一.概念简答题(每题5 分,共40 分) 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA(p,q)模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6.简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷(共9 页)第2 页7. 什么是随机过程,随机序列?8.什么是时齐的独立增量过程?二.综合题(每题10 分,共60 分) 1 .一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且,在给定Y=y 条件下,随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷(共9 页)第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4.设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ,方差( ) t D X ,相关函数1 2 ( , ) X R t t ,协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷(共9 页)第4 页5 .设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案: (1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== :独立的性质和利用 (2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。 答案: (1) 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数: ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t) 电压:x(t) 电流:i(t) 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p --------------------------------------装----------------------------------------订 ---------------------------------------线-------------------------------------- 第 - 1 - 页 共 -3- 页 2005-2006学年秋季学期《 随机分析 》课程期末考试试题B 说明:学生必须将答案全部写在答题纸上,凡写在试题上的一律无效。学生可随身携带计算器。 一、填空题(每小题3分,共计10×3=30分) 1)随机变量()2~,X N μδ,则其矩母函数()=t g 。 2)(){}0,≥t t N 为以参数2=λ的Possion 过程,则()()}{=2211=且=N N P 。 3)设Poisson 过程(){}0,≥t t N 的强度为3,n X 表示过程第1-n 次与第n 次事件的 时间间隔,则}{=n X E , }{=n X D 。 4)设某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的Poisson 过程,订阅1年、2年、3年的概率分别21, 31和6 1,且相互独立。订阅一年时,可得1元手续费。以()t X 记在[]t ,0得到的总手续费。则()}{=t X E = ,()}{= t X D = 。 5)考虑状态0,1,2的一个Markov 链{}0,≥n X n ,其一步转移概率矩阵为 ????? ??=1.08.01.04.02.04.06.03.01.0P ,初始分布为2.0,5.0,3.0210===p p p ,则 ()====1,0,1210X X X P 。 6)已知状态为1,2,3,4的齐次Markov 链{}0,≥n X n 及其一步转移概率矩阵为 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解: 所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1) 与无关 (2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少? 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围,一般视为R t ∈,平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=,这里U 为)2,0(π上的均匀分布. (a ) 若Λ,2,1=t ,证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳, (b ) 设),0[∞∈t ,证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明:(a )验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关,不平稳,与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列,定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ,证明:这些序列仍是平稳的. 证明:已知,)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然,) 1(n X 为平稳过程. 同理可证,Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程. 3.设 1 )n n k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数,k=1,....n; 1,...n u u 是(0,2π) 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1 习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==,分别求: (1)一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ; (2)二维分布函数(0,;,)4F x y π ; (3)均值函数()X m t ; (4)协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验,定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等,各为1 2 ,求 1)画出{()}X t 的样本函数 2){()}X t 的一维概率分布,1 (;)2F x 和(1;)F x 3){()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求:(1)1(,),(1,)2F x F x ; (2)121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥,()cos X t t ξω=,其中ω为正常数,~(0,1)U ξ. (1)分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . (2)求均值函数()m t ,方差函数()D t ,相关函数(,)R s t ,协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程: ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? , 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n = 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ,则167)2(12=P ,161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 习题一 1.设随机变量X 服从几何分布,即:(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2.(1)求参数为(p,b )的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为 (2)求其期望和方差; (3)证明对具有相同的参数b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。 3.设X 是一随机变量,F (x )是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。 (1)(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数; (2)Z=ln F()X ,并求()k E Z (k 为自然数)。 4.设12,,...,n X X X 相互独立,具有相同的几何分布,试求 的分布。 5.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。 6.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。 7.设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ,试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求 的概 率密度函数。 8.设X 、Y 相互独立,且(1)分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布;(2)分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9.已知随机向量(X, Y )的概率密度函数为 试求其特征函数。 10.已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234()服从正态分布,均值向量为0,协方差矩 阵为B σ?kl 44=(),求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从(0,1)N ,试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12.设X 1,X 2 和X 3相互独立,且都服从2(0,)N σ,试求: (1)随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数; 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--<=???其他 习题一 1、设人民币存款利率为5%,每年计息一次,那么大约要多少年时间才能使存款额变为原来的4倍?如果利率变为4%,又要多少年? 解:设初始投入资金为Q 元,大约需要n 年,其中的利率为r 。 依题意,可得: 公式计算法:Q ?5%?n =Q 1?Q 【PS: Q 1为存款后的利息+本金,Q 为本金】 1) 当r=5%的时候:Q ?5%?n =4Q ?Q 所以:n =35%=60 2) 当r=4%的时候:Q ?5%?n =4Q ?Q 3) 所以:n =34%=75 答:当利率为5%的时候,大约60年可以达到4倍。 利率为4%的时候,大约75年可以达到4倍。 2、如果利率为年复合利率r ,请给出一个公式,用它来估计要多少年才能使存款额变为原来的3倍。 解:【推导过程】当利率为r ,则一年之后存放余额为Q+rQ=(1+r)Q 之后连本带息存款,二年之后存放余额 Q (1+r )+Q (1+r )r =Q(1+r)2 ······ 依次类推n 年后存款达到Q(1+r)n 依据上述公式和P3的(1—4),可以得到: Q(1+r)n =3Q 且(1+r)n =e nr =>(1+r)n =3且(1+r)n =e nr 且当n 充分大时=>(1+r)n ≈e nr ,则由题意得到Q(1+r)n =3Q =>(1+r )n =3且(1+r )n ≈e nr ,近似e nr ≈3 n ≈ln3r =ln3r 3、考虑期权定价C 问题,设利率为r ,在t=0时刻,某股票价格为100元,在t =1时刻,该股票的价格为200或50,即 100(t =0)↗↘20050 (t =1) 试证明:若C ≠100?50(1+r )?13,则存在一个购买组合,使得在任何情况下都能 带来正的利润现值,即套利发生。【本题默认执行价格为150】最新随机过程考试试题及答案详解1
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