浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示
第二章函数、导数及其应用
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从近五年浙江高考试题来看，函数导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，各种难度的题目均有．
第一节 函数及其表示
1．函数与映射的概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )
(2)函数y ＝1与y ＝x 0
是同一个函数．( )
(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋
1
x －3
的定义域为( ) A.??????32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.????
??32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)
C [由题意知?
??
??
2x －3≥0，
x －3≠0，
解得x ≥3
2
且x ≠3.]
3．(2017·金华十校联考)已知函数f (x )＝?
????
log 5x ，x ＞0，
2x
， x ≤0，则f ? ??
??f ? ????125＝( )
A ．4 B.1
4 C ．－4
D ．－14
B [∵f ? ??
??125＝log 5125＝log 55－2
＝－2，
∴f ? ??
??f ? ????125＝f (－2)＝2－2
＝14，故选B.]
4．已知函数f (x )＝ax 3
－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.
【导学号：51062013】
－2 [∵f (x )＝ax 3
－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3
－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：
①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．
∵满足?
??
??
x －3≥0，
2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．
∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．]
(1)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．
(2)(2017·浙江五校联考模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝
f 2x
x －1
的定义域是________． (1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2
≥0，即x 2
＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．
(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．]
[规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x
＋1
x ＋3
的定义域为( )
A ．(－3,0]
B ．(－3,1]
C ．(－∞，－3)∪(－3,0]
D ．(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)已知函数f (2x
)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．
(1)A (2)??????12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足?
??
??
1－2x
≥0，x ＋3＞0，解得?
??
??
x ≤0，
x ＞－3，∴－
3＜x ≤0.
(2)∵f (2x
)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为????
??12，2.]
(1)已知f ? ??
??2x
＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．
(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．
(3)已知f (x )＋2f ? ??
??1x
＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．
[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2
t －1，
∴f (t )＝lg
2t －1，即f (x )＝lg 2
x －1
(x ＞1).5分 (2)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2
＋b (x ＋1)－ax 2
－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，
∴?????
2a ＝1，a ＋b ＝－1，
即?????
a ＝1
2，b ＝－3
2，
∴f (x )＝12x 2－3
2
x ＋2.10分
(3)∵f (x )＋2f ? ????1x ＝x ，∴f ? ??
??1x
＋2f (x )＝1x
.
联立方程组???
??
f x ＋2f ? ??
??1x ＝x ，f ? ??
??1x ＋2f x ＝1x ，
解得f (x )＝23x －x
3
(x ≠0).15分
[规律方法] 求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)构造法：已知关于f (x )与f ? ??
??1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外
一个等式，通过解方程组求出f (x )；
(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以
x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．
[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.
(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ? ??
??1x
·x －1，则f (x )＝
________.
【导学号：51062014】
(1)x 2
－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －
1，
所以f (t )＝(t －1)2
＋2(t －1)＝t 2
－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2
－1(x ≥1)．
(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2
－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2
－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ? ??
??1x
·x －1中，用1x
代替x ，
得f ? ??
??1x ＝2f (x )·
1
x
－1，
由?????
f x ＝2f ? ????1x ·x －1，
f ? ??
??1x ＝2f x ·1
x
－1，
得f (x )＝23 x ＋1
3
(x ＞0)．]
?角度1 求分段函数的函数值
(1)(2017·温州联考)若f (x )＝?????
? ??
??13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，
则f ? ??
??f ? ????19＝( )
A ．－2
B ．－3
C ．9
D ．－9
(2)(2017·嘉兴市中学模拟)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝??
?
2sin x ，x ≥0，lg －x ，x ＜0，
那么f ?
????2 016＋π4·f (－7 984)＝( ) A ．2 016 B.14 C ．4
D.12 016
(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝?????
? ??
??13x ，x ≤0，
log 3x ，x ＞0，
∴f ? ????19＝log 319＝－2，∴f ? ??
??f ? ????19＝f (－
2)＝? ??
??13－2
＝9.故选C.
(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ? ????2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴
f ?
??
??
2 016＋π4
·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C.]
?角度2 已知分段函数的函数值求参数
(1)(2017·台州二诊)已知函数f (x )＝?
????
log 2x ，x ≥1，
x 2＋m 2
，x ＜1，若f (f (－1))＝2，
则实数m 的值为( )
A ．1
B ．1或－1 C. 3
D.3或－ 3
(2)设函数f (x )＝?????
3x －b ，x ＜1，
2x
，x ≥1.
若f ? ??
??f ? ????56＝4，则b ＝( )
A ．1 B.78 C.34 D.1
2
(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2
)＝log 2(1＋m 2
)＝2，m 2
＝3，解得m ＝±3，故选D.
(2)f ? ????56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×? ??
??52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤3
2
，则2－b ＝4，解得b ＝1
2
.]
?角度3 解与分段函数有关的方程或不等式
(1)(2017·温州一模)已知函数f (x )＝?????
sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2 x ＋1 ，0＜x ＜1，
且
f (x )＝－1
2
，则x 的值为________．
(2)设函数f (x )＝?
??
??
e x －1
，x <1，x 1
3，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．
(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；
当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.
(2)当x <1时，x －1<0，e
x －1
＝1≤2， ∴当x <1时满足f (x )≤2. 当x ≥1时，x ≤2，x ≤23 ＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．] [规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解， 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论． [思想与方法] 1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行． 3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法． 4．分段函数问题要分段求解． [易错与防范] 1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化． 2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域． 3．在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论． 课时分层训练(三) 函数及其表示 A组基础达标 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2 ，g (x )＝|x | D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x C [在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在 D 中，定义域不同．] 2．(2017·浙江名校联考)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( ) A B C D B [A 项，定义域为[－2,0]，D 项，值域不是[0,2]， C 项，当x ＝0时有两个y 值与之对应．故选B.] 3．(2017·宁波市质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1 D ．x ＋1或－x －1 A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2 x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2 ＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.] 4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) 【导学号：51062015】 A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝ 1 x D [函数y ＝10 lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)． 函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝ 1 x 的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.] 5．已知函数f (x )＝??? ?? 2x －1 －2，x ≤1， －log 2 x ＋1 ，x ＞1， 且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－7 4 B ．－54 C ．－34 D ．－14 A [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2 a －1 －2＝－3，整理得2a －1 ＝－1. 由于2x >0，所以2 a －1 ＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2 －1－1 －2＝－7 4 . 综上所述，f (6－a )＝－7 4.故选A.] 二、填空题 6．(2017·温州二次质检)若函数f (x )＝???? ? f x －2 ，x ≥2，|x 2 －2|，x ＜2， 则f (5)＝________. 【导学号：51062016】 1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12 －2|＝1.] 7．已知函数y ＝f (x 2 －1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．] 8．设函数f (x )＝???? ? x 2 ＋x ，x <0，－x 2 ，x ≥0. 若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________． (－∞，2] [由题意得???? ? f a ＜0，f 2 a ＋f a ≤2 或???? ? f a ≥0，－f 2 a ≤2， 解得f (a )≥－ 2. 由? ???? a ＜0， a 2 ＋a ≥－2或? ???? a ≥0， －a 2 ≥－2，解得a ≤ 2.] 三、解答题 9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：51062017】 [解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，4分 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴??? ?? a ＝2， b ＋5a ＝17，8分 解得??? ?? a ＝2， b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7.15分 10．已知f (x )＝x 2 －1，g (x )＝??? ?? x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0. (1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式． [解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2 －1＝x 2 －2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ， 故f (g (x ))＝(2－x )2 －1＝x 2 －4x ＋3. ∴f (g (x ))＝? ???? x 2 －2x ，x ＞0， x 2 －4x ＋3，x ＜0.15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．具有性质：f ? ?? ??1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1 x ；③f (x )＝ ? ???? x ，0＜x ＜1， 0，x ＝1，－1 x ，x ＞1. 其中满足“倒负”变换 的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① B [对于①，f (x )＝x －1x ，f ? ????1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ? ????1x ＝1 x ＋x ＝f (x )， 不满足；对于③， f ? ?? ??1x ＝????? 1 x ，0＜1 x ＜1， 0，1 x ＝1， －x ，1x ＞1， 即f ? ????1x ＝????? 1 x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1， 故f ? ?? ??1x ＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.] 2．设函数f (x )＝? ???? 3x －1，x <1， 2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2 f (a ) 的a 的取值范围是________. 【导学号：51062018】 ??????23，＋∞ [由f (f (a ))＝2f (a )， 得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥2 3 .] 3．根据如图2-1-1所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式． 图2-1-1 [解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －7 2 ；3分 当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －1 2；8分 当1≤x ＜2时，f (x )＝1.10分 所以f (x )＝????? －32x －7 2 ，－3≤x ＜－1，32x －1 2，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2. 15分 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷) 数学 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( ) A . φ B . {1，3} C . {2，4，5} D . {1，2，3，4，5} 2. 双曲线 ?y 2=1的焦点坐标是( ) A . (?，0)，(，0) B . (?2，0)，(2，0) C . (0，?)，(0，) D . (0，?2)，(0，2) 3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位： cm 3)是( ) A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 4. 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A . 1+I B . 1?I C . ?1+I D . ?1?i 5. 函数y = sin 2x 的图象可能是( ) D C 6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 7. 设0 为θ3，则( ) A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 9.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足 b2?4e?b+3=0，则|a?b|的最小值是( ) A. ?1 B. +1 C. 2 D. 2? 10.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a1>1，则( ) A. a1 导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， 2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意. 2018浙江省高考数学试卷（新教改） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 A=（）1．（4分）（2018?浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则? U A．?B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 2．（4分）（2018?浙江）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 3．（4分）（2018?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（4分）（2018?浙江）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 5．（4分）（2018?浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（） A． B． C． D． 6．（4分）（2018?浙江）已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4分）（2018?浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 ξ012 P 则当p在（0，1）内增大时，（） A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小 8．（4分）（2018?浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ 1 ，SE与平面ABCD 所成的角为θ 2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ 3 ，则（） A．θ 1≤θ 2 ≤θ 3 B．θ 3 ≤θ 2 ≤θ 1 C．θ 1 ≤θ 3 ≤θ 2 D．θ 2 ≤θ 3 ≤θ 1 9．（4分）（2018?浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 10． （4分） （2018?浙江）已知a 1，a 2 ，a 3 ，a 4 成等比数列，且a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =ln（a 1 +a 2 +a 3 ）， 若a 1 ＞1，则（） A．a 1＜a 3 ，a 2 ＜a 4 B．a 1 ＞a 3 ，a 2 ＜a 4 C．a 1 ＜a 3 ，a 2 ＞a 4 D．a 1 ＞a 3 ，a 2 ＞a 4 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 2018年浙江省高考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4.00分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则?U A=（）A．?B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 3．（4.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（4.00分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 5．（4.00分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（） A．B．C． D． 6．（4.00分）已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4.00分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 ξ012 P 则当p在（0，1）内增大时，（） A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小 8．（4.00分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（） A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 9．（4.00分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（） A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 10．（4.00分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11．（6.00分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、 雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=，y=． 12．（6.00分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是， 最大值是． 13．（6.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2， 导数 一．基础题组 1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A 2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线 对称，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B. 【解析】由. 3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)x ＋ x 2 ． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1 －f (0)＋x . 所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1 ，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x －x ＋ x 2 . 2 x + x (1)y f x = -1y =y x =()f x =21 x e -2x e 21 x e +22 x e +() ()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=?=-==12 12 12 由于f ′(x )＝e x －1＋x ， 故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x －(a ＋1)x ≥b .① (ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x －(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立． (ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. 所以f (x )≥ x 2 ＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．② 因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2 －(a ＋1)2 ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))． 所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11 b x a -< +12 12 e 1-12 e 1-12 =e 1a -e ()2h a ≤ e 2 1 2 =e 1a -12 e 2 b = 2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表： 从近五年数学试题知识点分布及分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。具体 来说几个方面： 1．整体稳定，覆盖面广 高考数学全国卷2、3全面考查了新课标考试说明中各部分的内容，可以说教材中各章的内容都有所涉及，如复数、旋转体、简易逻辑、概率等教学课时较少的内容，在试卷中也都有所考查。有些内容这几年轮换考查，如统计图、线性回归、直线与圆、线性规划，理科的计数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。 2．重视基础，难度适中 试题以考查高中基础知识为主线，在基础中考查能力。理科前8道选择题都是考查基本概念和公式的题型，相当于课本习题的变式题型。填空题前三题的难度相对较低，均属常规题型。解答题的前三道题分别考查解三角形，分布列、数学期望，空间线面位置关系等基础知识，利用空间直角坐标系求二面角，属中低档难度题。 4．全面考查新增内容，体现新课改理念 如定积分、函数的零点、三视图、算法框图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称命题与特称命题等。 5．突出通性通法、理性思维和思想方法的考查 数学思想方法是对数学知识的最高层次的概括与提炼，是适用于中学数学全部内容的通法，是高考考查的核心。数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等在高考中每年都会考查。尤其数形结合，每年还专门有一道“新函数”的大致图象问题 6．注重数学的应用和创新 全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案） （2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题） 一、函数奇偶性与周期性 1.（2015年1卷13）若函数f （x ） =ln(x x 为偶函数，则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数，所以ln(ln(x x +- =2 2 ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性 2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足 ．若 ， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解：因为是定义域为 的奇函数，且 ， 所以, 因此， 因为 ，所以， ，从而 ，选C. 3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，?，()m m x y ，，则()1 m i i i x y =+=∑（ ） （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01， 对称，而11 1x y x x +==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑，故选B ． 二、函数、方程与不等式 4.（2015年2卷5）设函数21 1log (2),1,()2,1, x x x f x x -+- 实用文档用心整理 2018年浙江省高考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4.00分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则?U A=（） A．?B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 3．（4.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（4.00分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（） 1 实用文档用心整理A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 5．（4.00分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（） A．B．C． D． 6．（4.00分）已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“ｍ∥n”是“ｍ∥α”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4.00分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 ξ012 P 则当p在（0，1）内增大时，（） 2 A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小 8．（4.00分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（） A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 9．（4.00分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（） A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 10．（4.00分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．（6.00分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、 雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=，y=． 3 21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2； （1）求f（x）的解析式及单调区间； （2）若，求（a+1）b的最大值． 21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ln（x+m） （Ι）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）＞0 21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx （i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线； （ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数． 21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx． （1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2 21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0； （Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g 数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页） 绝密★启用前 浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 参考公式： 若事件 A ， B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+. 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =. 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=…. 台体的体积公式：121 ()3 V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底 面积，h 表示台体的高. 柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：1 3 V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式：2 4S R =π，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：3 4π3 V R = ，其中R 表示球的半径. 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集1,2,3,5{}4,U =，3{}1,A =，则=U A e （ ） A .? B .{1,3} C .{2,4,5} D .1,2,3{,4,5} 2.双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是 （ ） A .( ， B .(2,0)-，(2,0) C .(0, ， D .(0,2)-，(0,2) 3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是 （ ） A .2 B .4 C .6 D .8 4.复数 2 1i -(i 为虚数单位)的共轭复数是 （ ） A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 5.函数||sin22x x y =的图象可能是 （ ） A B C D 6.已知平面α，直线m ，n 满足m α?，n a ?，则“m n ∥”是“m α∥”的 （ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 俯视图 正视图 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效---------------- 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法： 1分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问 题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立; 1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f '(x) 0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 ——用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0) 第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)； 例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D 上，g(x) 0恒成立，则称函数y f (x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数， (2)若对满足 m 2的任何一个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b 解法二：分离变量法： 当x 0时，g(x) x 2 mx 3 3 0恒成立， 则 g(x) x 2 mx 3 0在区间［0,3］上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值 g(0) 0 3 0 g(3) 0 9 3m 3 0 入手：等价于g max (x) f(x) x 4 mx 3 3x 1 2 12 6 2 (1 )若y f (x)在区间 0,3上为“凸函数” ，求m 的取值范围; 4 x 解：由函数f(x) 12 2 g (x) x mx 3 3 mx 6 牛得f (x) 2 mx 3x 2 a 的最大 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷) 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( ) A . ? B . {1，3} C . {2，4，5} D . {1，2，3， 4，5} 2. 双曲线 ?y 2=1的焦点坐标是( ) A . (?，0)，(，0) B . (?2，0)，(2，0) C . (0，?)，(0，) D . (0，?2)， (0，2) 3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( ) A . 2 B . 4 C . 6 D . 8 侧视图 俯视图 正视图 2 211 4. 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A . 1+i B . 1?i C . ?1+i D . ?1?i 此 卷 只 装 订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 5. 函数y =sin 2x 的图象可能是( ) π π π D C B A x y π π O x y π O x y π O O π y x 6. 已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分 也不必要条件 7. 设0 1，则( ) A . a 1a 3，a 2a 4 D . a 1>a 3， a 2>a 4 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值 钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母， 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1) (0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-= 台体的体积公式121 ()3V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π 球的体积公式 34 3 V R =π 其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A e A ．? B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5} 2020年高考理科数学浙江卷导数压轴题解析 已知函数. （I）若在，处导数相等，证明：； （II）若，证明：对任意，直线与曲线有唯一公共点. 【题目分析】 本题综合考察了函数的单调性、极值以及零点的分析。解决第（I）问中取值范围问题的关键在于建立与之间的关系将双变量转化为单变量，寻找该单变量的取值范围，构造函数并根据函数的单调性以及定义域讨论其值域，难度不大。 第（II）问重点考察函数零点的寻找，“零点存在性定理”与“函数单调性”的结合是解决“唯一零点”这类问题的常规套路——“零点存在性定理”解决有没有的问题，“函数单调性”解决可能有几个的问题。题目中需要构造这样一个含有双参变量的函数，参数a不会影响“函数单调性”，也就是意味着函数的单调性比较好处理，难点在于“零点存在性定理”的运用，是否存在大于0或者小于0的点是由参数k和a共同控制的，对于这样一个既含有根号又含有对数的函数而言，处理起来比较棘手。当然考虑在及处的极限很容易得出存在零点的结论，但是需要强调的是求极限严格来讲不属于高中阶段内的知识点（虽然高中教材中有涉及），高考时得不得分存在很大争议，因此高考数学官方标准答案中都会带入“特殊值”，通过不等式的放缩来证明函数值是否存在大于(小于)0的点，本题中官方标准答案中给出以及这样两个极其复杂的“特殊值”，让人望而生叹直呼好难想到。 本解答过程另辟蹊径，给出了两个非常简单的范围来说明的正负号问题——将分为与两部分，此时参数k和a分开(k和a二者之间没有关系，相互独立)，逐一讨论范围之后再合并，从而确定的正负号。 【题目解答】 （I），；令，则和是关于的一元二次方程的两个不相等的正数根，从 专题 导数 1．（2014大纲理）曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则该函数的图象是( ) 4．（2012陕西文）设函数f （x ）= 2 x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1 2 为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则 A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 6．（2012广东理）曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________. 7．（2013广东理）若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k = 8．（2013广东文）若曲线2 ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 9．(2014广东文)曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 . 10．（2013江西文）若曲线y=x α +1（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 11.(2012新标文) 曲线(3ln 1)y x x =+在点（1,1）处的切线方程为________ 12．（2014江西理）若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 13．（2014江西文）若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______. 14．（2012辽宁文）函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为（ ） （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 近5年高考数学全国卷2、3考试分析 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2013----2017年高考全国卷2、3试卷分析 从2012年云南进入新课标高考至今，已有六年时间，数学因为容易拉分，加上难度变幻不定，可以说是我省考生最为害怕的一个学科，第一天下午开考的数学考得如何直接决定着考生第二天的考试情绪。近5年全国卷数学试题从试卷的结构和试卷的难度上逐渐趋于平稳，稳中有新，难度都属于较为稳定的状态。选择、填空题会以基础题呈现，属于中等难度。选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置;解答题属于中等难度，且基本定位在前三题和最后一题的位置。 一、近五年高考数学考点分布统计表： 2013 2014 2015 2016 2017 选择题1 集合集合（交 集、不等 式） 集合（交 集、不等 式） 集合（交 集、不等 式） 集合、交 集、集合元 素个数 选择题2 复数复数（性质 及运算） 复数、运算复数、共轭 复数 复数、模 选择题3 三角恒等 变换 向量（数 乘、模） 回归方程向量、数量 积坐标公 式 折线图 选择题4 框图余弦定理等比数列、 性质 识图二项展开 式、系数 选择题5 向量（夹 角） 概率分段函数三角函数、 弦切互化 双曲线、椭 圆 选择题6 三角函数 图像平移 三视图、体 积 三视图、体 积 幂、比较大 小 三角函数、 周期性、对 称性 选择题7 排列组合框图圆、弦长框图框图选择题8 线性规划导数、切线框图三角形球、体积 选择题9 三视图线性规划球、表面积三视图 等差数列 选择题10 抛物线抛物线函数、图像球、体积椭圆、圆、 直线、离心 率 2010—2017全国卷导数题整理 1.(2017全国1理)已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2.（2017全国1文）已知函数()()2e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若0)(≥x f ，求a 的取值范围. 3.（2017全国2理）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x …. （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2 20e 2f x --<<. 4.（2017全国2文）设函数()( )2 1e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0≥x 时，1)(+≤ax x f ，求a 的取值范围. 5.（2017全国3理）已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x … ，求a 的值； （2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111+1++222n m ? ????? < ??? ??????? 1，求m 最小值. 6.（2017全国3文）已知函数()()2ln 21f x x ax a x =+++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明：243 )(-- ≤a x f 7.（2016全国1理）已知函数2()(2)e (1)x f x x a x =-+-有两个零点. （1）求a 的取值范围； （2）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，求证：122x x +<. 8.（2016全国2理） （1）讨论函数2()e 2 x x f x x -= +的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> （2） 证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2 e = (0)x ax a g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 9.（2016全国2文）已知函数()()()1ln 1f x x x a x =+--. （1）当4a =时，求曲线()y f x =在()() 1,1f 处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围. 10.（2016全国3理）设函数()cos 2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的 最大值为A . （1）求()f x '； （2）求A ； （3）证明A x f 2|)('|≤ 11.（2015全国1理）已知函数()3 1 4 f x x ax =++ ，()ln g x x =-. （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （2）用{}m in ,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}min ,h x f x g x =()0x >，讨 论()h x 零点的个数. 12.（2015全国1文）设函数()2e ln x f x a x =-. （1）讨论 ()f x 的导函数()f x '零点的个数；2018年浙江高考数学试卷
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