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初高中衔接数学知识重点

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一、数与式的运算

一)、必会的乘法公式

【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明:2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++

ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=

∴等式成立

【例1】计算:22

)31

2(+-

x x

解:原式=22

]3

1)2([+-+x x

9

1

3223822)

2(3

1

2312)2(2)31()2()(234222222+

-+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x

说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)

证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算: (2a+b )(4a 2-2ab+b 2)=8 a 3+b 3

【公式3】3

3

2

2

))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)

1.计算

(1)(3x+2y )(9x 2-6xy+4y 2)= (2)(2x-3)(4x 2+6xy+9)=

(3))916141(312

1

2++??? ??-m m m =

(4)(a+b )(a 2-ab+b 2)(a-b )(a 2+ab+b 2)=

2.利用立方和、立方差公式进行因式分解 (1)27m 3-n 3=

(2)27m 3-8

1

n 3=

(3)x 3-125= (4) m 6-n 6=

【公式4】3

3

3

2

2

()33a b a b a b ab +=+++

【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算:

(1))416)(4(2m m m +-+

(2))4

1

101251)(2151(22n mn m n m ++-

(3))164)(2)(2(24++-+a a a a (4)22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解:(1)原式=3

3

3

644m m +=+ (2)原式=3

33

3

8

11251)2

1()5

1

(n m n m -=

- (3)原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a (4)原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+

63362332)(y y x x y x ++=+=

说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式

的结构.

(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、

4、…、10的立方数,是非常有好处的.

【例4】已知2

310x x -+=,求3

3

1

x x +

的值. 解:2

310x x -+= 0≠∴x 31=+∴x

x

原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2

222=-=-++=+-+x x x x x

x x x

说明:本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.

【例5】已知0=++c b a ,求

111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值. 解:b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0

∴原式=ab

b

a c ac c a

b b

c c b a +?++?++?

333

()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc

---++=++=- ①

abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+

abc c b a 3333=++∴ ②,把②代入①得原式=33-=-

abc

abc

说明:注意字母的整体代换技巧的应用.

二)、根式

0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:

【例6】化简下列各式:

(1)

(2)

1)x ≥

解:(1) 原式=2|1|211-+==

*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)

|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)

x x x x x x x x -+-=->?-+-=?---=≤≤?

说明||a =的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.

【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1)

8

3

(2)

(3)

(4) -+解:(1)

8

3=

4

6

282383=

??=

(2) 原式6=

=-

(3) 原式=

(4) 原式==说明:

(1)二次根式的化简结果应满足:

①被开方数的因数是整数,因式是整式; ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. (2)二次根式的化简常见类型有下列两种:

①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;

②分母中有根式(

或被开方数有分母(.形式(

化为

) ,转化为 “分母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采

取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(

2+

2-).

有理化因式和分母有理化

有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两

个代数式叫做有理化因式。如a 与a ;

y b x a +与y b x a -互为有理化因式。

分母有理化:在分母含有根式的式子里,把分母中的根式化去,叫做分母有理化。

【例8】计算:

(1) 21)(1++--

(2)

+

解:(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+

(2) 原式

+

=

+

)=

说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.

【例9】设x y =

,求33x y +的值.

解:77 14,123

x y x y xy =

=+=-?+==-

原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=

说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.

练 习

1a =-成立的条件是( )

A .0a >

B .0a <

C .0a ≤

D .a 是任意实数

2.若3x <|6|x -的值是( ) A .-3

B .3

C .-9

D .9

3.计算: (1) 2(34)x y z --

(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+

(3)322)())((b a b ab a b a +-+-+

(4) 22

1(4)(4)4

a b a b ab -++

4.化简(下列a 的取值范围均使根式有意义):

(1) (2) a

(3)

(4)

+

-

5.化简:

(1)

102m (2)

0)x y >> 6.若

112x y -=,则33x xy y

x xy y +---的值为( ): A .

3

5

B .35

-

C .53

-

D .

53

7.设

x y ==,求代数式22

x xy y x y +++的值.

8.已知111

20,19,21202020

a x

b x

c x =+=+=+,求代数式222a b c ab bc ac ++---的值.

9.设x =

42

21x x x ++-的值. 10.化简或计算:

(1)

3+÷

(2)

(3)

-

答案:

1. C 2. A

3. (1) 2

2

2

9166824x y z xy xz yz ++--+

(2) 22

353421a ab b a b -++-+

(3) 22

33a b ab --

(4)

3

31164

a b - 4

.21--

5

. 6. D 7.

8. 3

9

.3- 10

.-

三)、分式

当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A

B

就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.

【例10】化简

11x

x x x x

-+

-

解法一:原式=

222(1)11(1)1(1)(1)11

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++=====--?+-+-+

++--+ 解法一:原式=

22

(1)1

(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++====-?-+--+++--?

说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解

法二则是利用分式的基本性质A A m

B B m

?=?进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法.

【例11】化简222

3961

62279x x x x x x x x

++-+-+-- 解:原式=222

3961161

2(3)3(3)(3)2(3)

(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-

22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)

x x x x x

x x x x x +-------===

+-+-+ 说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分

解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.

四)、多项式除以多项式

做竖式除法时,被除式、除式都要按同一字母的降幂排列,缺项补零(除式的缺项也可以不补零,但做其中的减法时,要同类项对齐),要特别注意,得到每个余式的运算都是减

法。结果表示为:被除式=除式?商式+余式 【例1】

计算)3()3(24x x x -÷-

解:3

9

39333300300322

22

442--+----++-+++-x x x x x x x x x x

∴x x x x x 39)3()3()3(224-+--?-=-

计算

1.)32()2713103(223-+÷-++x x x x x 2.)1()22(232-÷-+x x x

3.已知1453,211221923234+--=-+--=x x x B x x x x A 求:2

2

B A ÷ 答案:

1.3

215

1443)32()2713103(22

2

3

-+-++=-+÷-++x x x x x x x x x

2.1

2)1()22(2

2

3

2

-++=-÷-+x x

x x x x 3.2

2

2

)23(-=÷x B A

二、因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.

因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.

一)、公式法

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:

(1) 3

8x +

(2) 3

0.12527b -

分析: (1)中,3

82=,(2)中3

3

3

0.1250.5,27(3)b b ==.

练 习

解:(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+

2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++

说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如

3338(2)a b ab =,这里逆用了法则()n n n ab a b =;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,

一定要看准因式中各项的符号. 【例2】分解因式:

(1) 3

4

381a b b -

(2) 76

a a

b -

分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现6

6

a b -,

可看着是3232()()a b -或2323()()a b -.

解:(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.

(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-

22222

2

2

2

()()()()()()()()

a a

b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+

二)、分组分解法

从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如ma mb na nb +++既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.

1.分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式.

分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然

后从两组分别提出公因式2a 与b -,这时另一个因式正好都是5x y -,这样可以继续提取公因式.

解:21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--

说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试. 【例4】把2

2

2

2

()()ab c d a b cd ---分解因式.

分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因

式.

解:22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-

()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+

说明:由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.

2.分组后能直接运用公式

【例5】把22x y ax ay -++分解因式.

分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其中一个因式是x y +;把第三、四项作为另一组,在提出公因式a 后,另一个因式也是x y +.

解:22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式.

分析:先将系数2提出后,得到22224x xy y z ++-,其中前三项作为一组,它是一

个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.

解:22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-

222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-

说明:从例5、例6可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.

三)、十字相乘法

1.2

()x p q x pq +++型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:

(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.

22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++

因此,2

()()()x p q x pq x p x q +++=++

运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 【例7】把下列各式因式分解:

(1) 2

76x x -+

(2) 2

1336x x ++

解:(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-?--+-=-

2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--. (2)

3649,4913=?+=

2 1336(4)(9)

x x x x ∴++=++ 说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项

系数的符号相同. 【例8】把下列各式因式分解:

(1) 2

524x x +-

(2) 2

215x x --

解:(1) 24(3)8,(3)85-=-?-+=

2 524[(3)](8)(3)(

8)

x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)

15(5)3,(5)32-=-?-+=-

2 215[(5)](3)(5)(

3)

x x x x x x ∴--=+-+

=-+ 说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同. 【例9】把下列各式因式分解:

(1) 2

2

6x xy y +-

(2) 222

()8()12x x x x +-++

分析:(1) 把2

2

6x xy y +-看成x 的二次三项式,这时常数项是2

6y -,一次项系数是

y ,把26y -分解成3y 与2y -的积,而3(2)y y y +-=,正好是一次项系数.

(2) 由换元思想,只要把2

x x +整体看作一个字母a ,可不必写出,只当作分解

二次三项式2

812a a -+.

解:(1) 2

2

2

2

66(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 2

2

2

2

2

()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-

(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-

2.一般二次三项式2

ax bx c ++型的因式分解

大家知道,2

112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++.

反过来,就得到:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++

我们发现,二次项系数a 分解成12a a ,常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成

11

2

2

a c a c ?

,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +,如果它正好等于2

ax bx c ++的一次项系数b ,那么2

ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行,22,a c 位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.

必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解. 【例10】把下列各式因式分解:

(1) 2

1252x x --

(2) 22568x xy y +-

解:(1) 2

1252(32)(41)x x x x --=-+

3

24

1-?

(2) 22

568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-

1 254y y -?

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.

四)、其它因式分解的方法

1.配方法

【例11】分解因式2

616x x +-

解:2

2

2

2

2

2

616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-

(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-

说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.

2.拆、添项法

【例12】分解因式3

2

34x x -+

分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决.

解: 3

2

3

2

34(1)(33)x x x x -+=+--

22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--

22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-

说明:本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将2

3x -拆成2

24x x -,将多项式分成两组32()x x +和2

44x -+.

一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式;

(2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

1.把下列各式分解因式:

(1) 3

27a +

(2) 3

8m -

(3) 3

278x -+

2.把下列各式分解因式:

(1) 34xy x +

(2) 33n n x x y +-

(3) 2232(2)y x x y -+

3.把下列各式分解因式:

(1) 2

32x x -+ (2) 2

627x x --

(3) 22

45m mn n --

4.把下列各式分解因式: (1) 5

4

3

1016ax ax ax -+ (2) 2

126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --

(4) 2

2

82615x xy y +-

(5) 2

7()5()2a b a b +-+-

5.把下列各式分解因式:

(1) 2

33ax ay xy y -+-

(2) 3

2

8421x x x +-- (3) 2

51526x x xy y -+-

(4) 22414xy x y +-- (5) 4

3

2

2

3

4

ab b a b a b a --+ (6) 663

21x y x --+

(7) 2

(1)()x x y xy x +-+ 6.已知2

,23

a b ab +=

=,求代数式22222a b a b ab ++的值. 7.证明:当n 为大于2的整数时,5

3

54n n n -+能被120整除.

8.已知0a b c ++=,求证:3223

0a a c b c abc b ++-+=.

练 习

答案:

1.222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++

2.2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3.(2)(1)x x --,(9)(3)x x -+, (5)()m n m n -+

4.3(2)(8)ax x x -- ;(3)(2)n a a b a b +- ;2(3)(1)(23)x x x x -+-+;

(2)(415),x y x y -+ (772)(1)a b a b +++-

5.2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+;(12)(12),x y x y -++-

23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++.

6.

283

7.5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 8.322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++

三、一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.

一)、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠,(1) 当2

40b ac ->时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:

(2) 当2

40b ac -=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:(3) 当2

40b ac -<时,右端是负数.因此,方程没有实数根.

由于可以用2

4b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把2

4b ac -叫

做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:2

4b ac ?=-

【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:

(1) 2

2310x x -+=

(2) 24912y y +=

(3) 25(3)60x x +-=

解:(1) 2(3)42110?=--??=>,∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可化为:241290y y -+=

2(12)4490?=--??=,∴ 原方程有两个相等的实数根. (3) 原方程可化为:2

56150x x -+=

2(6)45152640

?=--??=-<,∴ 原方程没有实数根. 说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.

【例2】已知关于x 的一元二次方程2

320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:

(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根;

(4) 方程无实数根.

解:2(2)43412k k ?=--??=- (1) 141203k k ->?<

(2) 141203k k -=?=

; (3)3

1

0124≤?≥-k k ;

(4) 3

1

0124>?<-k k .

【例3】已知实数x 、y 满足2

2

210x y xy x y +-+-+=,试求x 、y 的值. 解:可以把所给方程看作为关于x 的方程,整理得:2

2

(2)10x y x y y --+-+=

由于x 是实数,所以上述方程有实数根,因此:

222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=,

代入原方程得:2

2101x x x ++=?=-. 综上知:1,0x y =-=

二)、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程2

0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:

x x ==

所以:1222b b b

x x a a a

-+--+=+=-,

22122

2()422(2)4b b b ac c

x x a a a a a

-+---?=?===

定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么:

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此

定理称为”韦达定理”.

【例4】若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:

(1) 2212x x +;

(2)

12

11x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.

分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这里,可以利用韦达定理来解答.

解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===

- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-

(4) 12||x x -=

===

说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

222121212()2x x x x x x +=+-,

12

1212

11x x x x x x ++=

,22121212()()4x x x x x x -=+-,

12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+,

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.

*【例5】一元二次方程042

=+-a x x

值范围。

解一:由??

?<-->?0)3)(3(021

x x 解得:3

解二:设)(x f a x x +-=42

,则如图所示,只须0)3(

解得3

*【例6】 已知一元二次方程

65)9(222+-+-+a a x a x 求a 的取值范围。

解:如图,设65)9()(2

2

2

+-+-+=a a x a x x f

则只须???<<0)2(0)0(f f ,解之得??

?

??<<-<<38132a a ∴ 2

2

1(1)104

x k x k -++

+=(1) 方程两实根的积为5; (2) 方程的两实根12,x x 分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 所以要分类讨论.

解:(1) ∵方程两实根的积为5

∴ 2

22121[(1)]4(1)034

,41215

4

k k k k x x k ??=-+-+≥???≥=±?

?=+=?? 所以,当4k =时,方程两实根的积为5. (2) 由12||x x =得知: ①当10x ≥时,12x x =,所以方程有两相等实数根,故3

02

k ?=?=

; ②当10x <时,12120101x x x x k k -=?+=?+=?=-,由于

3

02

k

?>?>,故1k =-不合题意,舍去.

综上可得,3

2

k =

时,方程的两实根12,x x 满足12||x x =. 说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足0?≥.

【例8】已知12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根.

(1) 是否存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请您说明理由.

(2) 求使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 解:(1) 假设存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立. ∵ 一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根

∴ 2

40

0(4)44(1)160

k k k k k k ≠??

?=--?+=-≥?,

又12,x x 是一元二次方程2

4410kx kx k -++=的两个实数根

∴ 1212114x x k x x k +=???+=??

∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+- 93

9

425

k k k +=-

=-?=,但0k <.

∴不存在实数k ,使12123

(2)(2)2

x x x x --=-

成立.

(2) ∵ 222121212211212()44

224411

x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-

++

∴ 要使其值是整数,只需1k +能被4整除,故11,2,4k +=±±±,注意到0k <,

要使

12

21

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---. 说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.

(2) 本题综合性较强,要学会对

4

1

k +为整数的分析方法.

1.一元二次方程2

(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )

A .2k >

B .2,1k k <≠且

C .2k <

D .2,1k k >≠且

2.若12,x x 是方程2

2630x x -+=的两个根,则

12

11

x x +的值为( ) 练 习

A .2

B .2-

C .

12

D .

92

3.已知菱形ABCD 的边长为5,两条对角线交于O 点,且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根,则m 等于( )

A .3-

B .5

C .53-或

D .53-或

4.若实数a b ≠,且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=,则11

11

b a a b --+--的值为 (

)

A .20-

B .2

C .220-或

D .220或

5.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1,则k 的值是 _____ .

6.设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根,121,1x x ++是关于x 的方程2

0x qx p ++=的两实根,则p = _____ ,q = _____ .

7.对于二次三项式2

1036x x -+,小明得出如下结论:无论x 取什么实数,其值都不可能

等于10,您是否同意他的看法?请您说明理由.

8.一元二次方程02)13(72

2=--++-m m x m x 两根1x 、2x 满足21021<<<

求m 取值范围。

9.已知关于x 的一元二次方程2

(41)210x m x m +++-=. (1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;

(2) 若方程的两根为12,x x ,且满足

121112

x x +=-,求m 的值. 10.已知关于x 的方程2

2

1(1)104

x k x k -+++=. (1) k 取何值时,方程存在两个正实数根?

(2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长,

求k 的值.

11.已知关于x 的方程2

(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . (1) 求k 的取值范围; (2) 是否存在实数k ,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请您说明理由.

12.若12,x x 是关于x 的方程2

2

(21)10x k x k -+++=的两个实数根,且12,x x 都大于1.

(1) 求实数k 的取值范围;

(2) 若

121

2

x x =,求k 的值. 答案: 1. B 2. A

3.A 4.A 5. 9或3-

6

1,3p q =-=-

7.正确

8.由???

??><>0)2(0)1(0)0(f f f 可得12-<<-m 或43<

1(1)1650 (2)2m m ?=+>=-

10.3

(1) (2)22k k ≥

= 11.13

(1)112k k <≠且 (2) 不存在 12.(1) 3

14

k k ≥≠且 ; (2) 7k =.

四、一元高次方程的解法

含有一个未知数,且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。 一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的,转换为 一元一次方程或一元二次方程,从而求出一元高次方程的解。 【例1】解方程 (1)x 3

+3x 2

-4x=0 (2)x 4

-13x 2

+36=0

解:(1)原方程可化为 x (x-1)(x+4)=0,41-=∴x ,02=x ,13=x (2)原方程可化为(x 2

-9)(x 2

-4)=0;(x+3)(x-3)(x+2)(x-2)=0

,31-=∴x ,22-=x 23=x ,34=x

解方程

(1)x 3+5x 2-6x=0

(2)(x 2-3x )2-2(x 2-3x )-8=0

答案:(1),61-=∴x ,02=x ,13=x (2),11=∴x ,22=x ,13-=x 44=x

五、三元一次方程组的解法举例

1).三元一次方程组的概念:

三一次方程组中含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且一共有三个方程。

注:(1)“未知项”与“未知数”不同。(2)每个方程不一定都含有三个未知数。

练 习

它的一般形式是

未知项的系数不全为零,其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程,但方程组中一定要有三个未知数。

2).解三元一次方程组的基本思想方法是:

【例1】解方程组

分析:方程①只含x,z,因此,可以由②,③消去y,再得到一个只含x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组.

解:②×3+③,得11x+10z=35.(4)

①与④组成方程组

解这个方程组,得

把x=5,z=-2代入②,得2×5+3y-2=9,

∴.

【例2】解方程组

史上最全的初高中数学知识点衔接归纳

初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年,随着我国教育体制改革步代加大,素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一,经过两届学生实验,结果表明:使用课改新教材的学生学习的自主性,思维的广阔性,师生的互动性明显增强,但思维的严谨性,推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨,教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用 2.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 3.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。 7.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 8.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习,高中则在使用。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久,在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后,我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查,统计情况如下:

初高中数学衔接研究报告

初高中数学衔接研究报告

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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求,造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学,使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1.学生升入高中学习之后,无论选择理科或者文科的学习,数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上,均密切相关。因此,从教学内容、数学思想方法上,理顺初高中数学之间的关系,进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2.初高中数学教学衔接研究,主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求,试图找出初高中数学教学衔接的相关关

键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,让高一学生尽快适应高中数学,从而进行有效的学习。 3.近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及,一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性,但大多是从教学内容上进行简单地分类研究,也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 1.找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2.从教学内容、数学思想方法上,理顺初高中数学之间的关系,进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 1、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点,充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。

初高中数学衔接知识点

初高中数学到底“衔接”什么?新生需掌握的八个知识点 很多新高一的同学,暑假里都忙着“衔接”,步入高中,无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变,大家都想趁着暑假来全方位提升自己,让这一级台阶迈得更稳。但是到底该衔接些什么内容,才可以达到事半功倍,直击问题的核心呢?为新高一的学生们答疑解惑,如何做好初高中衔接教育。 初高中数学到底“衔接”什么? 衔接≠上新课、竞赛培训、巩固复习课每年的暑假,都有不少新高一的学生去参加初高中衔接的课程,二八学习法温馨提醒:做好衔接方面的工作是必要的,但是不要盲目参加,要分清楚到底是不是衔接,衔接的是哪些知识。 初高中衔接教材:不是要急于学习高一的新课本,而是将一些初中应该提高与拓展的部分进行巩固。目前初高中数学衔接教学存在的三个误区: 误区之一:衔接课程讲授大量的高一新知识,衔接课变成了新课。 误区之二:衔接课程讲授大量的初中竞赛内容,衔接课变成了竞赛培训课。 误区之三:衔接课程仅仅是巩固初中知识,衔接课变成了复习课。 数学语言更抽象了思维方法更理性了王老师提醒,高中数学和初中有很大不同: 一是数学语言在抽象程度上突变:历来学生都反映,集合、映射等概念难以理解,离生活很远,似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁:数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增,加之时间紧、难度大,这样,不可避免地造成学生不适应高中数学学习,而影响成绩的提高。 王老师建议同学们做好课后的复习工作,理解新旧知识的内在联系,学会对知识结构进行梳理. 二八学习法初高中衔接教材系列的三大优势: 1.针对性强:内容衔接,复习已学过的内容,预习新学期学习的内容,温故知新。 2.新颖性强:通过《二八学习法讲义》掌握高效学习方法,并通过二八学习法视频加深对二八学习法的理解,并将掌握的方法运用于学习之中。资料部分,内容新颖,知(知识)、能(能力)、思(思考方法)并重,讲、练、评一体化。 3.实用性强:二八学习法讲义+视频讲解+资料(读和练)三维一体,相得益彰,高效学习,效率惊人! 初中名师家教、高中名师家教、初高中衔接教材 产品类别内容(二八学习法讲义+DVD光盘+资料) 秋季开学新初一版语、数、英三科 秋季开学新初二版语、数、英三科 秋季开学新初三版语、数、英、理四科 秋季开学新高一版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高二版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高三版语、数、英、理、化五科 二八学习法,是指引学习方向的学习方略,方向正确,事半功倍,相信二八学习法会给你的学习带来神奇的效果! 二八学习法五大系列产品是:名师家教、同步导学、复习指南、模法解题、试题分析 足不出户尽享名师家教 单科提分20-30分

初高中数学衔接知识点总结讲课稿

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程,其地位不容置疑,同学们在初中已经学过很多数学知识,这是远远不够的,而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”: 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.4分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值 1.绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

2019初高中数学衔接知识点及习题

数学 亲爱的2019届平冈学子: ?恭喜你进入平冈中学!你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难,你只要有坚韧不拔的毅力,认真做题,善于总结归纳,持之以恒,相信你一定能成功。 从2016年开始,广东省高考数学试题使用全国I卷,纵观今年高考数学试题,我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬,因此,让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假,做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议: 1、记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。 9、无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容, 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 9.角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角,而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数,高中是任意角三角函数,定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10.高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点归纳

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值: ⑴在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身,负数的绝对值是他的相反数,0的绝对值是0,即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<;||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式: ⑴平方差公式:22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式:3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式:3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式:222()2a b a ab b ±=±+, 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式:33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式: ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法:①提公因式法,②运用公式法,③分组分解法,④十字相乘法。 4 一元一次方程: ⑴在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时,方程有唯一解b x a =; ②当0a =,0b ≠时,方程无解 ③当0a =,0b =时,方程有无数解;此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组: (1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 (2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。 (3)二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。 (4)解二元一次方程组的方法:①代入消元法,②加减消元法。

初中高中数学知识点

初一 第一章有理数 1.1正数和负数 1.3有理数的加减法 1.4有理数的乘除法 1.5有理数的乘方 第二章整式的加减 2.1整式 2.2整式的加减 第三章一元一次方程 3.1从算式到方程 3.2解一元一次方程(一)——合并同类项与移项3.3解一元一次方程(二)——去括号与去分母3.4实际问题与一元一次方程 第四章图形认识初步 4.1多姿多彩的图形 4.2直线、射线、线段 4.3角 第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.2平行线及其判定 5.3平行线的性质 第六章平面直角坐标系 6.1平面直角坐标系 6.2坐标方法的简单应用 第七章三角形 7.1与三角形有关的线段 7.2与三角形有关的角 7.3多边形及其内角和 7.4课题学习镶嵌 第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 8.2消元——二元一次方程组的解法 8.3实际问题与二元一次方程组 8.4三元一次方程组解法举例 第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.2实际问题与一元一次不等式 9.3一元一次不等式组 第十章数据的收集、整理与描述 10.1统计调查 10.2直方图

10.3课题学习从数据谈节水,设计制作长方体形状的包装纸盒。初二 第十一章全等三角形 11.1全等三角形 11.2三角形全等的判定 11.3角的平分线的性质 第十二章轴对称 12.1轴对称 12.2作轴对称图形 12.3等腰三角形 第十三章实数 13.1平方根 13.2立方根 13.3实数 第十四章一次函数 14.1变量与函数 14.2一次函数 14.3用函数观点看方程(组)与不等式 14.4课题学习选择方案 第十五章整式的乘除与因式分解 15.1整式的乘法 15.2乘法公式 15.3整式的除法 第十六章分式 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程 第十七章反比例函数 17.1 反比例函数 17.2 实际问题与反比例函数 第十八章勾股定理 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第十九章四边形 19.1 平行四边形,平行四边形法则 19.2 特殊的平行四边形 19.3 梯形 19.4 课题学习重心 第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 20.2 数据的波动 20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析

初高中数学衔接知识点总结

初高中数学衔接知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程,其地位不容置疑,同学们在初中已经学过很多数学知识,这是远远不够的,而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”: 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.4分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

初高中数学知识衔接资料全

1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值 绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零 的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??--x 解法一:由01=-x ,得1=x ; ①若1--x ,即41>-x ,得3--x , 即5>x 又1≥x ∴ 5>x 综上所述,原不等式的解为3-x 。 解法二:如图,1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |,即|PA |=|x -1|; 所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |>4. 可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点D (坐标5)的右侧. ∴ 3-x 。 2、解不等式:3|2|<+x 3、│a -2│+│b -3│+│c -4│=0,则a+2b+3c 的值为多少 4. 已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 1 A -3 C x P |x -1| D

初高中数学知识点总结

七年级上册 第一章有理数(12课时) 一、正数和负数(1课时) 二、有理数(3课时) 1、有理数 2、数轴 3、相反数 4、绝对值 三、有理数的加减法(3课时) 1、有理数的加法 2、有理数的减法 四、有理数的乘除法(3课时) 1、有理数的乘法 2、有理数的除法 五、有理数的乘方(2课时) 1、乘方 2、科学记数法 3、近似数和有效数字 第二章整式的加减(4课时) 一、整式(2课时) 二、整式的加减(2课时) 第三章一元一次方程(7课时) 一、从算式到方程(2课时) 1、一元一次方程 2、等式的性质 二、解一元一次方程(一)----合并同类项与移项 (1课时) 三、解一元一次方程(二)----去括号与去分母(1 课时) 四、实际问题与一元一次方程(1课时) 第四章图形认识初步(5课时) 一、多姿多彩的图形(1.5课时) 1、几何图形 2、点、线、面、体 二、直线、射线、线段(2.5课时) 1、角 2、角的比较和运算 3、余角和补角 七年级下册 第五章相交线与平行线(4课时) 一、相交线(1课时) 1、相交线 2、垂线 二、平行线(1课时) 1、平行线 2、直线平行的条件 三、平行线的性质(1课时) 四、平移(1课时) 第六章平面直角坐标系(3课时) 一、平面直角坐标系(1.5课时) 1、有序数对 2、平面直角坐标系 二、坐标方法的简单应用(1.5课时) 1、用坐标表示地理位置 2、用坐标表示平移 第七章三角形(3课时) 一、与三角形有关的线段(1课时) 1、三角形的边 2、三角形的高、中线与角平分线 3、三角形的稳定性 二、与三角形有关的角(1课时) 1、三角形的内角 2、三角形的外角 三、多边形及其内角和(1课时) 1、多边形 2、多边形的内角和 四、镶嵌 第八章二元一次方程组(2课时) 一、二元一次方程组 二、消元 三、实际问题与二元一次方程组 第九章不等式与不等式组(5课时)

初高中数学衔接基础知识点专题

初高中数学衔接知识点专题 临洮二中数学组董学峰 ★专题一数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: .即. [2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义:表示的距离. [4]两个绝对值不等式:;. 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: ; [2]完全平方与公式: ; [3]完全平方差公式: . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式1] [公式2](立方与公式) [公式3] (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1]式子叫做二次根式,其性质如下: (1) ;(2) ;(3) ; (4) . [2]平方根与算术平方根的概念: 叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根. [3]立方根的概念: 叫做的立方根,记为 4.分式 [1]分式的意义形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质: (1) ; (2) . [2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个就是分式时,就叫做繁分式,如, 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例1 解下列不等式:(1) (2)>4. 例2 计算: (1) (2) (3) (4) 例3 已知,求的值. 例4 已知,求的值. 例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1) (2) (3) (4) 例6 设,求的值. 例7 化简:(1) (2)

(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算

初高中数学衔接知识点专题(一) ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: .即||a = . [2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义:a b -表示 的距离. [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>?;||(0)x a a >>? . 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: ; [2]完全平方和公式: ; [3]完全平方差公式: . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3] 33a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1] 0)a ≥叫做二次根式,其性质如下: (1) 2 = ; (2) = ; (3) = ; (4) = . [2]平方根与算术平方根的概念: 叫做a 的平方根,记作0)x a =≥,其 (0)a ≥叫做a 的算术平方根. [3]立方根的概念: 叫做a 的立方根,记为x =4.分式 [1]分式的意义 形如 A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,则称A B 为分式.当M ≠0时,分式A B 具有下列性质: (1) ; (2) . [2]繁分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A B 就叫做繁分式,如2m n p m n p +++, 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程

高中数学知识点总结大全(最新版复习资料)

高中数学知识点总结

引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。

选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算

(word完整版)初高中数学衔接练习题

初中升高中衔接练习题(数学) 乘法公式1.填空:(1)221111()9423 a b b a -=+( ); (2)(4m + 22 )168(m m =++ ); (3) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题:(1)若2 12 x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于( ) (A )2m (B )214m (C )213 m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值( ) (A )总是正数 (B )总是负数 (C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数 因式分解 一、填空题:1、把下列各式分解因式: (1)=-+652x x __________________________________________________。 (2)=+-652x x __________________________________________________。 (3)=++652x x __________________________________________________。 (4)=--652x x __________________________________________________。 (5)()=++-a x a x 12__________________________________________________。 (6)=+-18112x x __________________________________________________。 (7)=++2762x x __________________________________________________。 (8)=+-91242m m __________________________________________________。 (9)=-+2 675x x __________________________________________________。 (10)=-+22612y xy x __________________________________________________。 2、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a , =b 。 二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的) 1、在多项式(1)672++x x (2)342++x x (3)862++x x (4)1072++x x (5)44152++x x 中,有相同因式的是( ) A.只有(1)(2) B.只有(3)(4) C.只有(3)(5) D.(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5) 2、分解因式2 2338b ab a -+得( ) A ()( )3 11-+a a B ()()b a b a 3 11-+ C ()()b a b a 3 11-- D ()()b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分解因式得( ) A 、()( )2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()( )10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32 可分解为()()b x x --5,则a 、b 的值是( ) A 、10=a ,2=b B 、10=a ,2-=b C 、10-=a ,2-=b D 、10-=a ,2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102 其中a 、b 为整数,则m 的值为( ) A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式 1、()()3211262 +---p q q p 2、22365ab b a a +- 3、6422 --y y 4、8224--b b 提取公因式法 一、填空题:1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

初中和高中数学知识点及公式大全.

初中和高中数学知识点及公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 4 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于

180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集

初高中数学衔接知识点及习题

数学 亲爱的2019届XX学子: 恭喜你进入XX中学!你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难,你只要有坚韧不拔的毅力,认真做题,善于总结归纳,持之以恒,相信你一定能成功。 从2016年开始,广东省高考数学试题使用全国I卷,纵观今年高考数学试题,我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬,因此,让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假,做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议: 1、记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理,形成板块结构,实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类,由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊,参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习,强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等,使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”,思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法,本题的分析方法与解法,在解其它问题时,是否也用到过。 9、无论是作业还是测验,都应把准确性放在第一位,通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容, 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、下;左、右平移,两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理,射影定理,相交弦定理等)初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 9. 角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角,而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数,高中是任意角三角函数,定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10. 高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

2017初高中数学衔接教材(已整理)-

2017初高中数学衔接教材 现有初高中数学教材存在以下“脱节”: 1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用; 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 3、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解,对系数不为1的涉及不多,而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等; 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高 中数学中函数、不等式常用的解题技巧; 5初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节; 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领; 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一;

9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理)初中早就已经删除,大都没有去学习; 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,加以补充和完善。 目录 第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程

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