一、数与式的运算
一)、必会的乘法公式
【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明:2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++
ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=
∴等式成立
【例1】计算:22
)31
2(+-
x x
解:原式=22
]3
1)2([+-+x x
9
1
3223822)
2(3
1
2312)2(2)31()2()(234222222+
-+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)
证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算: (2a+b )(4a 2-2ab+b 2)=8 a 3+b 3
【公式3】3
3
2
2
))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)
1.计算
(1)(3x+2y )(9x 2-6xy+4y 2)= (2)(2x-3)(4x 2+6xy+9)=
(3))916141(312
1
2++??? ??-m m m =
(4)(a+b )(a 2-ab+b 2)(a-b )(a 2+ab+b 2)=
2.利用立方和、立方差公式进行因式分解 (1)27m 3-n 3=
(2)27m 3-8
1
n 3=
(3)x 3-125= (4) m 6-n 6=
【公式4】3
3
3
2
2
()33a b a b a b ab +=+++
【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算:
(1))416)(4(2m m m +-+
(2))4
1
101251)(2151(22n mn m n m ++-
(3))164)(2)(2(24++-+a a a a (4)22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解:(1)原式=3
3
3
644m m +=+ (2)原式=3
33
3
8
11251)2
1()5
1
(n m n m -=
- (3)原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a (4)原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+
63362332)(y y x x y x ++=+=
说明:(1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式
的结构.
(2)为了更好地使用乘法公式,记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、
4、…、10的立方数,是非常有好处的.
【例4】已知2
310x x -+=,求3
3
1
x x +
的值. 解:2
310x x -+= 0≠∴x 31=+∴x
x
原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2
222=-=-++=+-+x x x x x
x x x
说明:本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举.
【例5】已知0=++c b a ,求
111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值. 解:b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0
∴原式=ab
b
a c ac c a
b b
c c b a +?++?++?
333
()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc
---++=++=- ①
abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+
abc c b a 3333=++∴ ②,把②代入①得原式=33-=-
abc
abc
说明:注意字母的整体代换技巧的应用.
二)、根式
0)a ≥叫做二次根式,其性质如下:
【例6】化简下列各式:
(1)
(2)
1)x ≥
解:(1) 原式=2|1|211-+==
*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)
|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)
x x x x x x x x -+-=->?-+-=?---=≤≤?
说明||a =的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
【例7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1)
8
3
(2)
(3)
(4) -+解:(1)
8
3=
4
6
282383=
??=
(2) 原式6=
=-
(3) 原式=
(4) 原式==说明:
(1)二次根式的化简结果应满足:
①被开方数的因数是整数,因式是整式; ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式. (2)二次根式的化简常见类型有下列两种:
①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开出来;
②分母中有根式(
或被开方数有分母(.形式(
化为
) ,转化为 “分母中有根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采
取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(
2+
2-).
有理化因式和分母有理化
有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两
个代数式叫做有理化因式。如a 与a ;
y b x a +与y b x a -互为有理化因式。
分母有理化:在分母含有根式的式子里,把分母中的根式化去,叫做分母有理化。
【例8】计算:
(1) 21)(1++--
(2)
+
解:(1) 原式=22(1()21a b a +--+=--+
(2) 原式
+
=
+
)=
说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算.
【例9】设x y =
,求33x y +的值.
解:77 14,123
x y x y xy =
=+=-?+==-
原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量.
练 习
1a =-成立的条件是( )
A .0a >
B .0a <
C .0a ≤
D .a 是任意实数
2.若3x <|6|x -的值是( ) A .-3
B .3
C .-9
D .9
3.计算: (1) 2(34)x y z --
(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+
(3)322)())((b a b ab a b a +-+-+
(4) 22
1(4)(4)4
a b a b ab -++
4.化简(下列a 的取值范围均使根式有意义):
(1) (2) a
(3)
(4)
+
-
5.化简:
(1)
102m (2)
0)x y >> 6.若
112x y -=,则33x xy y
x xy y +---的值为( ): A .
3
5
B .35
-
C .53
-
D .
53
7.设
x y ==,求代数式22
x xy y x y +++的值.
8.已知111
20,19,21202020
a x
b x
c x =+=+=+,求代数式222a b c ab bc ac ++---的值.
9.设x =
42
21x x x ++-的值. 10.化简或计算:
(1)
3+÷
(2)
(3)
-
答案:
1. C 2. A
3. (1) 2
2
2
9166824x y z xy xz yz ++--+
(2) 22
353421a ab b a b -++-+
(3) 22
33a b ab --
(4)
3
31164
a b - 4
.21--
5
. 6. D 7.
8. 3
9
.3- 10
.-
三)、分式
当分式
A B 的分子、分母中至少有一个是分式时,A
B
就叫做繁分式,繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.
【例10】化简
11x
x x x x
-+
-
解法一:原式=
222(1)11(1)1(1)(1)11
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++=====--?+-+-+
++--+ 解法一:原式=
22
(1)1
(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++====-?-+--+++--?
说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式,解
法二则是利用分式的基本性质A A m
B B m
?=?进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法.
【例11】化简222
3961
62279x x x x x x x x
++-+-+-- 解:原式=222
3961161
2(3)3(3)(3)2(3)
(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-
22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)
x x x x x
x x x x x +-------===
+-+-+ 说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分
解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式.
四)、多项式除以多项式
做竖式除法时,被除式、除式都要按同一字母的降幂排列,缺项补零(除式的缺项也可以不补零,但做其中的减法时,要同类项对齐),要特别注意,得到每个余式的运算都是减
法。结果表示为:被除式=除式?商式+余式 【例1】
计算)3()3(24x x x -÷-
解:3
9
39333300300322
22
442--+----++-+++-x x x x x x x x x x
∴x x x x x 39)3()3()3(224-+--?-=-
计算
1.)32()2713103(223-+÷-++x x x x x 2.)1()22(232-÷-+x x x
3.已知1453,211221923234+--=-+--=x x x B x x x x A 求:2
2
B A ÷ 答案:
1.3
215
1443)32()2713103(22
2
3
-+-++=-+÷-++x x x x x x x x x
2.1
2)1()22(2
2
3
2
-++=-÷-+x x
x x x x 3.2
2
2
)23(-=÷x B A
二、因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.
一)、公式法
【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
(1) 3
8x +
(2) 3
0.12527b -
分析: (1)中,3
82=,(2)中3
3
3
0.1250.5,27(3)b b ==.
练 习
解:(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+
2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++
说明:(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时,经常要逆用幂的运算法则,如
3338(2)a b ab =,这里逆用了法则()n n n ab a b =;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,
一定要看准因式中各项的符号. 【例2】分解因式:
(1) 3
4
381a b b -
(2) 76
a a
b -
分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现6
6
a b -,
可看着是3232()()a b -或2323()()a b -.
解:(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++.
(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-
22222
2
2
2
()()()()()()()()
a a
b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+
二)、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式,如ma mb na nb +++既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.
1.分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式.
分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按x 的降幂排列,然
后从两组分别提出公因式2a 与b -,这时另一个因式正好都是5x y -,这样可以继续提取公因式.
解:21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--
说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试. 【例4】把2
2
2
2
()()ab c d a b cd ---分解因式.
分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因
式.
解:22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-
()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+
说明:由例3、例4可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.
2.分组后能直接运用公式
【例5】把22x y ax ay -++分解因式.
分析:把第一、二项为一组,这两项虽然没有公因式,但可以运用平方差公式分解因式,其中一个因式是x y +;把第三、四项作为另一组,在提出公因式a 后,另一个因式也是x y +.
解:22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式.
分析:先将系数2提出后,得到22224x xy y z ++-,其中前三项作为一组,它是一
个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.
解:22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-
222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-
说明:从例5、例6可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式.
三)、十字相乘法
1.2
()x p q x pq +++型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
(1) 二次项系数是1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.
22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++
因此,2
()()()x p q x pq x p x q +++=++
运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 【例7】把下列各式因式分解:
(1) 2
76x x -+
(2) 2
1336x x ++
解:(1) 6(1)(6),(1)(6)7=-?--+-=-
2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--. (2)
3649,4913=?+=
2 1336(4)(9)
x x x x ∴++=++ 说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项
系数的符号相同. 【例8】把下列各式因式分解:
(1) 2
524x x +-
(2) 2
215x x --
解:(1) 24(3)8,(3)85-=-?-+=
2 524[(3)](8)(3)(
8)
x x x x x x ∴+-=+-+=-+ (2)
15(5)3,(5)32-=-?-+=-
2 215[(5)](3)(5)(
3)
x x x x x x ∴--=+-+
=-+ 说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同. 【例9】把下列各式因式分解:
(1) 2
2
6x xy y +-
(2) 222
()8()12x x x x +-++
分析:(1) 把2
2
6x xy y +-看成x 的二次三项式,这时常数项是2
6y -,一次项系数是
y ,把26y -分解成3y 与2y -的积,而3(2)y y y +-=,正好是一次项系数.
(2) 由换元思想,只要把2
x x +整体看作一个字母a ,可不必写出,只当作分解
二次三项式2
812a a -+.
解:(1) 2
2
2
2
66(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+- (2) 2
2
2
2
2
()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-
(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-
2.一般二次三项式2
ax bx c ++型的因式分解
大家知道,2
112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++.
反过来,就得到:2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
我们发现,二次项系数a 分解成12a a ,常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成
11
2
2
a c a c ?
,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +,如果它正好等于2
ax bx c ++的一次项系数b ,那么2
ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行,22,a c 位于下一行.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解. 【例10】把下列各式因式分解:
(1) 2
1252x x --
(2) 22568x xy y +-
解:(1) 2
1252(32)(41)x x x x --=-+
3
24
1-?
(2) 22
568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-
1 254y y -?
说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
四)、其它因式分解的方法
1.配方法
【例11】分解因式2
616x x +-
解:2
2
2
2
2
2
616233316(3)5x x x x x +-=+??+--=+-
(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-
说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.
2.拆、添项法
【例12】分解因式3
2
34x x -+
分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决.
解: 3
2
3
2
34(1)(33)x x x x -+=+--
22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--
22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-
说明:本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将2
3x -拆成2
24x x -,将多项式分成两组32()x x +和2
44x -+.
一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式;
(2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
1.把下列各式分解因式:
(1) 3
27a +
(2) 3
8m -
(3) 3
278x -+
2.把下列各式分解因式:
(1) 34xy x +
(2) 33n n x x y +-
(3) 2232(2)y x x y -+
3.把下列各式分解因式:
(1) 2
32x x -+ (2) 2
627x x --
(3) 22
45m mn n --
4.把下列各式分解因式: (1) 5
4
3
1016ax ax ax -+ (2) 2
126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --
(4) 2
2
82615x xy y +-
(5) 2
7()5()2a b a b +-+-
5.把下列各式分解因式:
(1) 2
33ax ay xy y -+-
(2) 3
2
8421x x x +-- (3) 2
51526x x xy y -+-
(4) 22414xy x y +-- (5) 4
3
2
2
3
4
ab b a b a b a --+ (6) 663
21x y x --+
(7) 2
(1)()x x y xy x +-+ 6.已知2
,23
a b ab +=
=,求代数式22222a b a b ab ++的值. 7.证明:当n 为大于2的整数时,5
3
54n n n -+能被120整除.
8.已知0a b c ++=,求证:3223
0a a c b c abc b ++-+=.
练 习
答案:
1.222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++
2.2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++ 22432(1)(4321)y x x x x x --+++ 3.(2)(1)x x --,(9)(3)x x -+, (5)()m n m n -+
4.3(2)(8)ax x x -- ;(3)(2)n a a b a b +- ;2(3)(1)(23)x x x x -+-+;
(2)(415),x y x y -+ (772)(1)a b a b +++-
5.2()(3),(21)(21),(3)(52)x y a y x x x x y -++--+;(12)(12),x y x y -++-
23333()(),(1)(1),()(1)ab a b a b x y x y x x y x y +----+-++.
6.
283
7.5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++ 8.322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++
三、一元二次方程根与系数的关系
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用,而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系,在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.
一)、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠,(1) 当2
40b ac ->时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:
(2) 当2
40b ac -=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:(3) 当2
40b ac -<时,右端是负数.因此,方程没有实数根.
由于可以用2
4b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把2
4b ac -叫
做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:2
4b ac ?=-
【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:
(1) 2
2310x x -+=
(2) 24912y y +=
(3) 25(3)60x x +-=
解:(1) 2(3)42110?=--??=>,∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 原方程可化为:241290y y -+=
2(12)4490?=--??=,∴ 原方程有两个相等的实数根. (3) 原方程可化为:2
56150x x -+=
2(6)45152640
?=--??=-<,∴ 原方程没有实数根. 说明:在求判断式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.
【例2】已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:
(1) 方程有两个不相等的实数根; (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根;
(4) 方程无实数根.
解:2(2)43412k k ?=--??=- (1) 141203k k ->?<
;
(2) 141203k k -=?=
; (3)3
1
0124≤?≥-k k ;
(4) 3
1
0124>?<-k k .
【例3】已知实数x 、y 满足2
2
210x y xy x y +-+-+=,试求x 、y 的值. 解:可以把所给方程看作为关于x 的方程,整理得:2
2
(2)10x y x y y --+-+=
由于x 是实数,所以上述方程有实数根,因此:
222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=,
代入原方程得:2
2101x x x ++=?=-. 综上知:1,0x y =-=
二)、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:
x x ==
所以:1222b b b
x x a a a
-+--+=+=-,
22122
2()422(2)4b b b ac c
x x a a a a a
-+---?=?===
定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么:
说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此
定理称为”韦达定理”.
【例4】若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值:
(1) 2212x x +;
(2)
12
11x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -.
分析:本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将会出现复杂的计算.这里,可以利用韦达定理来解答.
解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)
1212121122
20072007
x x x x x x +-+===
- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-
(4) 12||x x -=
===
说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
222121212()2x x x x x x +=+-,
12
1212
11x x x x x x ++=
,22121212()()4x x x x x x -=+-,
12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+,
33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想.
*【例5】一元二次方程042
=+-a x x
值范围。
解一:由??
?<-->?0)3)(3(021
x x 解得:3 解二:设)(x f a x x +-=42 ,则如图所示,只须0)3(