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河北省石家庄市2019届高三高中毕业班第一次模拟考试数学理

河北省石家庄市2019届高三高中毕业班第一次模拟考试

数学（理）试题

（时间 120分钟，满分 150分）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i 为虚数单位，则复数

131i

-=+ A. 2i + B. 2i - C. 12i -- D. 12i -+

2..已知集合{}0,1,2P =,{}

|3x

Q y y ==，则P

Q =

A. {}0,1

B. {}1,2

C. {}0,1,2

D. ? 3.已知cos ,,,2k k R πααπ??

=∈∈ ???

,则()sin πα+=

A. B.

C. D. k -

4.下列说法中，不．

正确的是 A.已知,,a b m R ∈，命题“若22

am bm <，则a b <”为真命题；

B.命题“2000,0x R x x ?∈->”的否定是“2

,0x R x x ?∈-≤”； C.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题； D.“x >3”是“x >2”的充分不必要条件. 5.已知偶函数f(x)，当[0,2)

x ∈时，f(x)=2sinx ，当[2,)

x ∈+∞时，()2log f x x =，则()43f f π??

+= ???

A.2

B.1

C.3 2

6.执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8，则输出的S 为

A.2

C.4

D.6

7.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则

1BB 与平面11AB C 所成的角的大小为 A.

4π

π D.

8.已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O

地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C

作为测绘点，用测绘仪进行测绘.O 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确.则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 A.

12 B. C. 1

D. 1

- 9. 已知抛物线(

20y px p =>的焦

点F 恰好是双曲线

()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F ，则双曲线的离心率为 B.

C. 1

D. 110.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.64 B.72 C.80 D.112

正视图

侧视图

11. 已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB =2，BC =4，CD =5，DA =3，则四边形ABCD 面积S 的最大值为

D. 12. 已知函数()2

0ln 041x x f x x x x >?

≤++?，，，若关于x 的方程()()2

0f x bf x c -+=(),b c R ∈有8个不同的实数根，则由点（b ，c ）确定的平面区域的面积为 A.

16 B. 13 C. 12 D. 23

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.已知平面向量a ，b 的夹角为

，|a |=2，|b |=1，则|a +b |= . 14.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（用数字作答）.

15.设过曲线()x

f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线

()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为 .

16.已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的两个焦点分别为12,F F ,设P 为椭圆上一点，12F PF ∠的外角平

分线所在的直线为l ，过12,F F 分别作l 的垂线，垂足分别为R 、S ，当P 在椭圆上运动时，R 、S 所形成的图形的面积为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()11*,1n n a S n N λλ+=+∈≠-，且1a 、22a 、33a +为等差数列{}n b 的前三项.

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.

18. （本小题满分12分）

集成电路E 由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为

12、12、2

，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E 所需费用为100元. （1）求集成电路E 需要维修的概率；

（2）若某电子设备共由2个集成电路E 组成，设X 为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X 的分布列和期望.

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC =∠BAD =90°，AP =AD =AB

BC =t ，∠P AB =∠P AD =α.

（1

）当t =P A 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AE

的值；（2）当60α=时，若平面P AB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长.

20. （本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02??

???

且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲

线E .

（1）求曲线E 的方程；

（2）设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为()2

11x y -+=，求

△PBC 面积的最小值.

21. （本小题满分12分）

已知函数()2

ln f x x a x x

+. （1）若f （x ）在区间[2,3]上单调递增，求实数a 的取值范围；

（2）设f （x ）的导函数()'f x 的图象为曲线C ，曲线C 上的不同两点()11,A x y 、()22,B x y 所在直线的斜率为k ，求证：当a ≤4时，|k |>1.

请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知O 和M 相交于A 、B 两点，AD 为M 的直径，延长DB 交O 于C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交O 、BD 于点E 、F ，连结CE . （1）求证：AG EF CE GD ?=?;

（2）求证：2

2GF EF AG CE

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C

的参数方程为2cos x y θ

=???

=??（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=. （1）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程.

（2）已知M 、N 分别为曲线1C 的上、下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求|PM |+|PN |的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数(

)f x =

R .

（1）求实数m 的取值范围.

（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足21

32n a b a b

+=++时，求74a b +的最小值.

2019年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试

高三数学(理科答案)

一、选择题（A 卷）1-5 CBACD 6-10 BADCB 11-12BA 一、选择题（B 卷）1-5 DBADC 6-10 BACDB 11-12BA

二、填空题13

14 8 15 []1,2- 16 2

a π

三、解答题（阅卷时发现的正确解答，请教师参阅此评分标准酌情给分） 17解：（1）解法1∵11(),n n a S n N λ*

+=+∈ ∴11n n a S λ-=+(2)n ≥ ∴1n n n a a a λ+-=，即1(1)n n a a λ+=+(2),10n λ≥+≠，又1211,11,a a S λλ==+=+∴数列{}

n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数

列，……………………2分

∴23(1)a λ=+，∴24(1)1(1)3λλ+=+++，整理得2

210λλ-+=，得1λ=………………4分

∴1

n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-………………………………………………6分

解法2：∵111,1(),n n a a S n N λ*

+==+∈

∴2111,a S λλ=+=+2

321(11)121,a S λλλλλ=+=+++=++

∴2

4(1)1213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=………………………2分

∴11(),n n a S n N *

+=+∈∴11n n a S -=+(2)n ≥ ∴1n n n a a a +-=，即12n n a a +=(2)n ≥，又121,2a a ==

∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，………………………………………4分 ∴1

n n a -=，13(1)32n b n n =+-=-……………………………………………6分

（2）1

(32)2

n n n a b n -=-

∴1

1114272(32)2n n T n -=?+?+?++-?………………………①

∴12312124272(35)2(32)2n n n T n n -=

?+?+?+

+-?+-?………②…………8分

① —②得12

111323232(32)2n n n T n --=?+?+?+

+?--?

12(12)

13(32)212

n n n -?-=+?--?-…………………………………10分

整理得：(35)25n

n T n =-?+…………………………………………………………12分 18解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件

,,A B C ，则112

(),(),()223

p A p B p C =

==.

依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：

①3个元件都不能正常工作，概率为

11111

()()()()22312

p p ABC p A p B p C ===??=

；

…………2分

②3个元件中的2个不能正常工作，概率为

2()()()(p p ABC ABC AB C p ABC p ABC p AB =++=++11111111241223223223123

=??+??+??== ……………5分所以,集成电路E 需要维修的概率为12115

12312p p +=

+=． ……………6分（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则5

(2,)12

B ξ，而100X ξ=，

2257(100)()()(),0,1,2.1212

k k k

P X k P k C k ξ-===== …………9分

X 的分布列为：

………………10分

4935252500100200144721443

EX ∴=?

+?+?= 或52501001002123

EX E ξ==??=. …………12分 19解：证明一

连接AC BD ，交于点F ,在平面PCA 中做EF ∥PC 交PA 于E , 因为PC ?平面BDE ，EF ?平面

BDE

PC ∥平面BDE ，---------2

因为∥,BC 1

AF AD FC BC ==所以

因为EF ∥

PC ,1

=.3

AE AF EP FC =所以

-------------4 证明二

在棱PA 上取点E ，使得

AE EP =,------------2 连接AC BD ，交于点F ,AD 因为∥,BC

,2,

AF AD FC BC AE AF EP FC ===所以

所以所以，EF ∥PC 因为PC ?平面BDE ，EF ?平面BDE 所以PC ∥平面BDE -------------4 (2)取BC 上一点G

使得BG =连结DG ,则ABGD 为正方形.

过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O .连结,,,OA OB OD OG .

0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，

所以PAB ?和PAD ?都是等边三角形，因此PA PB PD ==, 所以OA OB OD ==,

即点O 为正方形ABGD 对角线的交点,---------------7

（或取BC 的中点G ,连结DG ,则ABGD 为正方形.连接,AG BD 交于点O ，连接PO ，

0,60AP AD AB PAB PAD ==∠=∠=，

00,,,90,90.

PAB PAD PA PB PD OD OB POB POD POB POD POA POB POA PO ABCD ??===???∠=∠=???∠=⊥所以和都是等边三角形，因此又因为所以得到，同理得，所以平面

-----------7）

,,OG OB OP 因为两两垂直，

以O 坐标原点，分别以,,OG OB OP 的方向为x 轴，y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.

000001100010010100O P A B D G --则（，，），（，，），（，，），（，，），（，，）（，，）

设棱BC 的长为t ，则

,1,0)C ,

22(1,0,1),(0,1,1),(

,1,1),(0,1,1)t t

PA PB PC PD =--=-=--=-- --------------9 ,111(,,),

01,(1,1,1)PAB x

y z PA x z y z

PB x PAB =?

=--=????-==???=-=-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.m m m m -----------10

222(,,),0(1)0,001,(11)PCD x y z PC y z PD y z y PCD =?

=+-=?

?=???--=?==-

-设平面的法向量则即不妨令可得为平面的一个法向量.n n n n

-----------11

0,=m n 解得t=BC 即棱的长为

20解：（1）由题意可知圆心到1(,0)2的距离等于到直线1

x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：2

2y x =.………………………4分

（2）设00(,

)P x y ，(0,),(0,)B b C c ，直线PB 的方程为：000()0y b x x y x b --+=，又圆心（1，0）到PB 的距离为11=，整理得：2000(2)20x b y b x -+-=，

…………6分

同理可得：2000(2)20x c y c x -+-=，所以，可知,b c 是方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根，所以：00

002,,22

y x b c bc x x --+==--……………………8分依题意0

bc <，即

02x >，

则222

0002

0448()(2)

x y x b c x +--=-，因为2

002y x =，所以：

022

x b c x -=

-，………………10分

所以0001

(2)482

(2)

S b c x x x =

-=-+

+≥-，

当04x =时上式取得等号，所以PBC ?面积最小值为8.………………………12分解二：（2）设00(,)P x y ，直线PB ：00()y y k x x -=-与圆D 相切，则

1=，整理得：222

00000(2)2(1)10x x k x y k y -+-+-=，……………6分

2000121222

0002(1)1

,22x y y k k k k x x x x

--+=-=--,………………………8分依题意02x >那么010020120()()B C y y y k x y k x k k x -=---=-，由韦达定理得：1202

k k x -=

-，则0

022

B C

x y y x -=

-，…………………10分

所以0

001

()(2)48

(2)

B C S y y x x x =

-=-+

+≥-

当04x =时上式取得等号，所以PBC ?面积最小值为8.…………………12分 21. 解：

（1）由()2

2ln f x x a x x =+

+，得()'222a

f x x x x

=-+．因为()f x 在区间[]2,3上单调递增，则()'2220a

f x x x x =-

+≥在[]2,3上恒成立，………………2分即222a x x ≥-在[]2,3上恒成立，设2

2()2g x x x =-，则22()40g x x x '=--<，所以()g x 在[]

2,3上单调递减，故max ()(2)7g x g ==-，所以7a ≥-．……………4分（2）解法一：

12121212

()()

11()()f x f x k f x f x x x x x ''-''>?

>?->--

而()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ????-

+--+ ? ?????＝()1212221212

22x x a x x x x x x +-?+-

故欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()1222

1212

221x x a

x x x x ++

->…………………6分即证()

121212

2x x a x x x x +<+

成立

∵(

)121212122x x x x x x x x ++>分

设t ，()()240u t t t t =+

>，则()24

2u t t t

'=- 令()0u t '=

得t =

(

)4u t a ≥=>≥ ………………………10分

∴()121212

2x x x x a x x ++

>∴()()''1212f x f x x x ->-，即

1212()()

1f x f x x x ''->- ∴当4a ≤时，1k >…………………12分解法二：对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有

()1212122x x x x x x ++

>12x x

＝12x x

3≥

3 4.5a >> …8分

∴ ()1222

1212

221x x a

x x x x ++

-> 而()'

222a f x x x x

∴

()()

12f x f x ''-＝

122211222222a a x x x x x x ????-+--+ ? ?

???＝

()121222

1212

22x x a

x x x x x x +-?+

-12x x >-…10分故：()()''1212f x f x x x ->- ，即1212

()()

1f x f x x x ''->-

∴当4a ≤时，1k >………12分 22. 证明：（1）连结AB ，AC ，

∵AD 为M 的直径，∴ 090ABD ∠=，

∴AC 为

O 的直径, ∴0

=90CEF AGD ∠=∠,

∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠， ∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ?∽AGD ?，……………3分

∴

CE AG

EF GD

=， ∴GD CE EF AG ?=?。……………5分

（2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠,∴D G F ?∽AGD ?,………7分

∴GF AG DG ?=2

,（1）知2222EF GD CE AG =，∴2

GF EF AG CE =． ………………10分 23.解：（1）曲线1C 的普通方程为22

143

x y +=，……………………2分曲线2C 的普通方程为2

4x y +=. ……………………4分（2）

法一：由曲线2C ：2

4x y +=，可得其参数方程为2co s

2s i n

x y αα=??

=?，所以P 点坐标为(2cos ,2sin )αα

，由题意可知(0,M N .

因此PM +PN =

……………………6分

2()14PM +PN =+.

所以当sin 0α=时，2

()PM +PN 有最大值28，……………………8分

因此PM +PN

的最大值为 ……………………10分

法二：设P 点坐标为(,)x y ，则224x y +=

，由题意可知(0,M N .

因此PM +PN =

分

2()14PM +PN =+所以当0y =时，2

()PM +PN 有最大值28，……………………8分

因此PM +PN

的最大值为 ……………………10分 24.

解：（1）：因为函数定义域为R ，所以13x x m ++--≥0恒成立，…………………2分

设函数()13g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，

又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤.…………5分（2）：由（1）知4n =，

所以21

(74)(

)32744a b a b a b a b +?++++= ……………………6分 21

(622)()

324

a b a b a b a b +++?+++=

2(3)2(22)554923.444

a b b a b a b ++++

+++=

≥=……………………8分当且仅当3

23,210

a b a b b a +=+==即时，等号成立. 9

4.4

a b +所以7的最小值为……………………10分

河北省石家庄市2019届高三高中毕业班第一次模拟考试 数学理

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