5高中数学必修1 函数值域、定义域、解析式专题

高中数学必修1 函数值域、定义域、解析式专题

一、函数值域的求法

1、直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例1：求函数2610y x x =

++的值域。 例2：求函数1y x =+的值域。

2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-= 的 值域。

例3：求函数2256y x x =-++的值域。

3、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(≠++=c d cx b ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为????

??≠c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d cx c ad

b c a y ≠+-

+=，用复合函数法来求值域。

例1：求函数125

x y x -=+的值域。 例2：求函数1

22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数132

x y x -=-得值域. 4、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b cx d =+±+（a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例1：求函数212y x x =+-的值域。

例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。

5、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0?≥，从而求得原函数

的值域，形如21112222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。注：由 判 别 式 法 来 判 断

函 数 的 值 域 时，若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实 数 集 时，应 综 合 函数 的 定 义 域 ， 将 扩 大 的 部 分 剔 除。

例1：求函数2231

x x y x x -+=-+的值域。 例2：求函数

22

x 1x x 1y +++=的值域。 例3：求函数3

274222++-+=x x x x y 的值域． 6、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例1：求函数12y x x =--的值域。

例2：求函数()x x x f -++=11的值域。

例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。

7、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。

例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。

例2：求函数224548y x x x x =

+++-+的值域。 例3：求函数

的值域。

8、非负数法

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数2

16x y -=的值域。 (2)求函数1322+-=x x y 的值域。 9、“平方开方法”

（1）.适合采用“平方开方法”的函数特征

设()f x （x D ∈）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：

（1）()f x 的值总是非负，即对于任意的x D ∈，()0f x ≥恒成立；

（2）()f x 具有两个函数加和的形式，即12()()()f x f x f x =+（x D ∈）；

（3）()f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

2212()[()()]()f x f x f x c g x =+=+（x D ∈，c 为常数），

其中，新函数()g x （x D ∈）的值域比较容易求得.

（2）.“平方开方法”的运算步骤

若函数()f x （x D ∈）具备了上述的三个特征，则可以将()f x 先平方、再开方，从而得到()()f x c g x =+（x D ∈，c 为常数）.然后，利用()g x 的值域便可轻易地求出()f x 的值域.例如()[,]g x u v ∈，则显然()[,]f x c u c v ∈++.

（3）.应用“平方开方法”三例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1：求函数()f x b x x a =-+-（[,]x a b ∈，a b <）的值域.

例2：求函数()f x b kx kx a =-+-（[,]a b x k k

∈，a b <，0k >）的值域. 例3：求函数x x y -+-=

53 的值域

10、一一映射法 原理：因为

在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以

求另一个变量范围。 例1：求函数的值域。

例2 ：求函数1x 2x 31y +-=的值域。

二、函数定义域

例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．

例2：已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．

例3：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域．

例4：若函数f (x +1)的定义域为[－

21，2]，求f (x 2)的定义域． 例5：求下列函数的定义域：

① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=211)( 例6：求下列函数的定义域：

② 14)(2--=x x f ②2

143)(2-+--=x x x x f

③ 373132+++-=x x y ④x x x x f -+=0

)1()(

例7：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域 例8：已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例9：已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

三、解析式的求法

1、配凑法

例1：已知 ：23)1(2

+-=+x x x f ，求f(x)； 例2 ：已知221)1(x

x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式． 2、换元法（注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。） 例1：已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x);

例2：已知：11)11(2-=+x

x f ，求)(x f 。 例3 ：已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．

3、待定系数法

例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。

例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．

4、赋值（式）法

例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。

(1)求)0(f 的值；

(2)求)(x f 的解析式。

例2：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．

5、方程法

例1：已知：)0(,31)(2≠=???

??+x x x f x f ，求)(x f 。

例2：设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f ．

6、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．

例1：已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．

7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运

算求得函数解析式．

例1：设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f ．