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数列通项公式求法及问题详解

数列通项公式求法及问题详解
数列通项公式求法及问题详解

数列通项公式、求和的常见题型

一、定义法

例题1:(1) 在数列{n a }中,若21=a ,31-=+n n a a , 则n a =

等差数列定义:公差31-=-=+n n a a d ,)3()1(2-?-+=n a n =n+5 (2) 在数列{n a }中,若21=a ,n n a a 31=+, 则n a = 等比数列定义:公差31

==+a

a n

n q ,3

21

-?=n n

a

练习

若数列的递推公式为1111

3,

2()n n

a n a a +==-∈,则求这个数列的通项公式。 (n

a n 673

-=)

二、公式法

已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式

???≥???????-=????????????????=-2

111n S S n S a n n n 求解.

例2.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,32≥+=n a S n n .求数列{}n a 的通项公式.

(注意11a S = , 123-?-=n n a )

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足122+-=n n S n ,求数列{}n a 的通项公式.

应用 1--=n n n s s a 得=n a 4n-2

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10<

{}n b 的通项公式。

③解析:由题意,321++++=n n n a a b ,又{}n a 是等比数列,公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

13

21,故数列{}n b 是等比数列,)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b , ∴ )1()1(1+=?+=-q q q q q b n n n

练习

(1) 数列{}n a 的前n 项和n S 满足),1(2

3

-=

n n a S )(*∈N n 求数列{}n a 的通项公

式. (n n a 3=) 三、归纳法:

例3、(1) ,71,51,31,11 (2) ,8

1

,61,41,21--

(3) 9,99,999,9999,… (4) 8,88 , 888 , 8888, … (1)121-=

n a n (2)n a n n 21)1(1+-= (3)110-=n n a (4))110(9

8

-=n n a 四、分组求和法:

把整个式子拆分成等差数列和等比数列 例4、求和

(1) )()3()2()1(32n a a a a n -++-+-+-

(2) )532()536()534()532(321n n ----?-++?-+?-+?- (3) n n 2

1

1614813412211+++++ 解:

2

)1(1)1()321()()

1(32n n a a a n a a a a S n n n +-

--=++++-++++=

)

5

1

1(43)1(5

11]

)51

(1[5

132

)22()

55)55(3)2642()

2(321n n n n n n n n n S --+=-

-?-+=++++?-++++=----

n

n n n n n n n S 2

112)1(2

11]

)21(1[2

1)321(2

11614813412211

)

3(-++=-

-+++++=+++++= 五、升次,错位相减法:

含x 的项是等比数列,系数是等差数列

x

nx x x nx x S nx x x x x S x ②①②nx x x x x xS x

①①nx x x x S n

n n n n

n

n n n

n n n ---=

---?=-+++++=--+++++=?+++++=----111)1(11)1(得432得4321)

1(、求和5例111324321

32

练习 求和

143221227252321--+++++n n (n

n n S 23

23+-=) 六、累加法

累加法形如)(1n f a a n n +=+型 ,n n a a ,1+相邻两项系数相等,)(n f 是一个常数,则直接用等差数列通项公式求出(例1之(1)),)(n f 是一个关于n 的变量,根据递推公式,写出1a 到n a 的所有的递推关系式,然后将它们分别相加即可得到通项公式。

例6. 若在数列{}n a 中,31=a ,n a a n n 21+=+,求通项n a 。

解析:由n a a n n 21+=+得n a a n n 21=-+,找出关键一步:)1(2

1-=--n a a n n , 1212?=-a a ,

2223?=-a a ,

3234?=-a a ,

)1(21-?=--n a a n n

将以上各式左右两边分别相加得:

)]1(4321[21-+++++?=-n a a n ,又31=a

所以n a -3=2

)

1)](1(1[2--+?n n 得 n a =n(n-1)+3

练习

1、在数列{}n a 中,21=a ,cn a a n n +=+1,(c 是常数,n =1,2,3,…),且3

2,,1a a a 成公比不为1的等比数列。(1)求c 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式。

(1) c=2 (2) 2)1(+-=n n a n

2、若在数列{}n a 中,11=a , 113--+=n n n a a ,( 2≥n ,) (1) 求21,a a (13,121==a a ) (2)证明2

13-=n n

a

3、若在数列{}n a 中,31=a , n a a n n +=+1,求数列{}n a 的通项公式。 (2

)

1(3-+=n n a n )

七、累乘法

形如n n a n f a )(1=+型的数列,)(n f 是一个常数,则直接用等比数列通项公式求出例1之(2),)(n f 是一个关于n 的变量,根据递推公式,写出1a 到n a 的所有的递推关系式,然后将它们左右两边分别或相乘,即可得到通项公式。

例6、在数列{}n a 中,31=a ,n n n a a 21=+(*N n ∈),求通项n a 。

解析:由已知n

n n a a 21=+,对应找出112--=n n n a a , 1122=a a ,2232=a a ,33

42=a a

,…,112--=n n n a a

等号左右两边对应相乘得

?12a a ?23a a ?34a a …=?-1n n a a

?12?2232?…12-?n 得=1

a a

n )1(3212-++++n 又31=a ,所以n a ==32

)1(2-?n n

练习

1、已知数列{a n }满足21=a ,n n a n

n a 2

1+=

+,求通项公式。

()1(+=n n a n ) 2、数列{a n }满足11=a ,n n na a n =++1)1(,求通项公式。1

1

+=n a n

八、裂项相消法

例8、已知数列{}n a 满足31=a ,)2(,)

1(1

1≥++=-n n n a a n n ,

求数列{}n a 的通项n a 公式

注意应用式子:

)1

1(1)(1k

n n k k n n +-=+

)(1

1

n k n k

n

k n -+=

++

211112-=

-a a 312123-=

-a a 4

13134-=

-a a

n

n a a n n 1

111--=

-- 将以上各式左右两边分别相加得:

n

a a n 1

11-

=-,又31=a

所以n a =n

n

1

431

1-

=+-

练习:

设数列{}n a 的前n 项和n S ,点(n,

n

S n

) (n *∈N )均在函数y=x 的图象上,

(1) 求通项n a ;(2)设n b =

1

1

+?n n a a ,求数列的前n 项和n T

答案:(1)12-=n a n (2) 1

21

+=n T n 九、待定系数法:

形如a 1+n =p a n +q (p 、q 为非零常数 且p ≠1),设a 1+n +k=p (a n +k ),通过待定系数法求出常数,得到新数列{a n +k},首项是,1k a + 公比为p 的等比数列

例9、(1)数列{a n }满足a 1=1,a n =

2

1

a 1-n +1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式。 解:由a n =21a 1-n +1(n ≥2)得a n -2=2

1

(a 1-n -2),而a 1-2=1-2=-1,

∴数列{ a n -2}是以2

1

为公比,首项是-1的等比数列

∴a n -2=-(21)1-n ∴a n =2-(2

1

)1-n

(2)数列{a n }满足a 1=1,0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

解:由0731=-++n n a a 得3

7

311+-=+n n a a

设a )(311k a k n n +-=++,比较系数得373=--k k 解得47

-=k

∴{47-n a }是以31-为公比,以43

471471-=-=-a 为首项的等比数列

∴1)3

1(4347--?-=-n n a 1)31

(4347--?-=?n n a

(3)、已知数列{}n a 满足11=a ,且132n n a a +=+,求n a .

解:设)(31t a t a n n +=++,则1231=?+=+t t a a n n ,?+=++)1(311n n a a {}1+n a 是 以)1(1+a 为首项,以3为公比的等比数列???=?+=+--111323)1(1n n n a a 1321-?=-n n a

(4)、数列{a n }满足a 1=1,a n =

2

1

a 1-n +1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式。 解:由a n =21a 1-n +1(n ≥2)得a n -2=2

1

(a 1-n -2),而a 1-2=1-2=-1,

∴数列{ a n -2}是以2

1

为公比,-1为首项的等比数列

∴a n -2=-(21)1-n ∴a n =2-(2

1

)1-n

练习、

1、设数列}{n a 满足,21=a 2

1

211+=

+n a a n ,求.n a (n n a 2321+=)

(2)数列{}n a 的前n 项和n S ,且)(24,111*+∈+==N n a S a n n

①求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。. (102)51(2)45(1

-?-=?-=-n n n n n T n a )

②设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列;(公比q =2) ③设数列),2,1(,2

==

n a c n

n

n ,求证:数列{}n c 是等差数列;(公差d =2.5)

十、取倒数法、

通过取倒数,可得出有等差数列,或等比数列, 例10、(1)设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=

+n a a a n n

n 求.n a 解:左右同时取倒数,得

13

1

,3

1

1

1

+=

+=

++n

n n

n n a a a a a .

)211(3211

1

+=+

+n n a a 新数列{211+n a } 首项12111=+a ,公比为3的等比数列。13211-=+

n n

a ∴.1

322

1-?=-n n a 练习

1、数列{a n }中,a 1=1,a 1+n =22+n n

a a n ∈N +,求通项a n . (.1

2+=

n a n )

2、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时,n n n n a a a a 112--=-,求通项公式。(.1

21

-=

n a n )

3、已知数列{a n }满足:1,1

3111=+?=

--a a a a n n n ,求数列{a n }的通项公式。

(.231

-=n a n )

十一、观察系数与底数法:

例11、(1)已知数列{}n a 满足11=a ,133-+=n n n a a )2(≥n ,求n a . 解:将133-+=n n n a a 两边同除n 3,得

1

1

3

13

--+

=n n n

n

a a ?

13

3

1

1

=-

--n n n

n

a a

新数列 {n n a 3} 首项31

3

1

1=a ,公差为1的等差数列。 则

321)1(313-=?-+=

n n a n

n

.n n n a 3)3

2

(?-= (2) 已知数列{}n a 满足11=a ,123-+=n n n a a )2(≥n ,求n a .

解:将123-+=n n n a a 两边同除n 3,得

n n n n a a 32131-+=?13

3231

1

+=--n n n n a a 133231

1

+=

--n n n

n

a a

令)3(32311

t a t a n n n

n

+=+-- , 得t=-3 ,

)33(32331

1-=

---n n n

n

a a 得新数列{

n n a 3}是首项38331-=-a ,公比为32的等比数列.33-n

n a =

1

)32(38-?-n , )3)3

2

(38(31+?-

=∴-n n n a ?2123++-=n n n a . 十二、相邻三项求法,

代定系数,找出新数列满足关系式: )(11-+-=-n n n n ka a p ka a ,即p k a a k a a n n n

n =---+1

1,

得到新数列{}1--n n ka a 是首项12ka a -,公比为p 的等比数列。

例12、已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=++,求n a

由 n n n a a a 31

3212+=++ 对应写成113

132-++=n n n a a a (1)

设)(11-+-=-n n n n ka a p ka a ,去括号合并得11)(-+++=n n n pka a k p a (2) (1)、(2)对应项系数相等得31,3

2

=

-=

+pk k p ,解得3

1,1-==k p

得)31(13111-++=+

n n n n a a a a ,公比p =1,所以3

73131121=+=+-a a a a n n 373131121=+=+-a a a a n n ,所以37

311+=-n n a a ,273

1215+?-=n n a 练习

1.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ (I )证明:数列{}1n n a a +-是等比数列(答案公式为2); (II )求数列{}n a 的通项公式;(321-=+n n a )

十三、取对数法

例13、 设正项数列{}n a 满足11=a ,2

12-=n n a a (n ≥2).求数列{}n a 的通项公式. 解:两边取对数得:122log 21log -+=n n a a ,)1(log 21log 122+=+-n n a a ,设1log 2+=n a n b ,

则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列,11log 121=+=b .

11221--=?=n n n b ,1221log -=+n a n ,12

log 12-=-n a n , ∴1

21

2--=n n a

练习、

1、 数列{}n a 满足, 31=a ,n n S a 3

2

21+

=+,求n a 答案:??

???≥?==-)

2()35(4)

1(3

2

n n a n n

2、 设数列{}n a 的前n 项和n S ,*∈-=

N n a s n n )1(3

1

(1) 求,1a 2a

(2) 求证:数列{}n a 是等比数、

3、等差数列{}n a 满足23=a ,前3项的和满足2

9=n S (1)数列{}n a 的通项公式

(2)数列{}n b 是等比数列,15411,a b b a == 求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n T 。. 答案 2

1

+=

n a n 12-=n n T

3、 等差数列{}n a 满足73=a ,2675=+a a ,数列{}n a 的前n 项和n S

(1) 求n a 、n S (2) 设)(1

1

2*∈-=

N n a b n n ,求数列{

}n b 的通项公式及前n 项和n T 。、 答案:12+=n a n 、n n S n 22+= )

1(4+=n n

T n

求数列通项公式的常用方法(有答案)

求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1.适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2.解题步骤:若1()n n a a f n +-=(2)n ≥, 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a , ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 n a n 1 2- = 评注:已知a a =1,) (1n f a a n n =-+,其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函

数、指数函数、分式函数,求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于: 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列,累乘法是最基本的二个方法之 二。 2.解题步骤:若 1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===,,, 两边分别相乘得,1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=,,求数列{}n a 的通项公式。 解:因为112(1)53n n n a n a a +=+?=,,所以0n a ≠,则 1 2(1)5n n n a n a +=+,故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案: =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.

数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法,题型繁杂,方法琐碎,笔者结合近几年的高考情况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求,则用累加法求n a 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中,1a =1,11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ,求{n a }的通项公式。 解:∵111n a ==时, 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得:112...n a a -=+++(n-1)=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2.在数列{n a }中,1a =1,12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。 解:n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -,故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。 二、累乘法 形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……),且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求,则用累乘法求n a 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例3.在数列{n a }中,1a =1,1n n a na +=,求n a 。

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法 公式: 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习:数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. (1) 当()f n d =为常数时,{}n a 为等差数列,则()11n a a n d =+-; (2) 当()f n 为n 的函数时,用累加法. 方法如下:由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时,() 11n n a a f n --=-, () 122n n a a f n ---=-, ()322a a f -=, () 211a a f -=, 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ (3)已知1a ,()n f a a n n =-+1,其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若()f n 可以是关于n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若()f n 可以是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若()f n 可以是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

高二数学必修5数列通项公式的求法归纳

数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,255a S =.求数列{}n a 的通项公 式. 解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴9123 a a a =,即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d , ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得:531=a ,53=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+=】 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n n 求解。 例2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式。 解:由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时,有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?- ,)1(22221----?+=n n n a a ……,.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-L ].)1(2[323])2(1[2)1(2)] 2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n Λ 经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评:利用公式???≥???????-=????????????????=-211n S S n S a n n n n 求解时,要注意对n 分类讨论,但若能合写时一定要合并.

(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 (1)1=k 时,}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列,)(1b a n b a n -+?= (2)1≠k 时,设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数:b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列,公比为k ,首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 (1)1=k 时,)(1n f a a n n =-+,若)(n f 可求和,则可用累加消项的方法。 例:已知}{n a 满足11=a ,)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解: ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这(1-n )个式子求和得: n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =

(2)1≠k 时,当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得:1-=k a A ,2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项,k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 (3)n q n f =)((≠q 0,1) 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 (1)若)(n f 是常数时,可归为等比数列。 (2)若)(n f 可求积,可用累积约项的方法化简求通项。 例:已知: 311= a ,1121 2-+-=n n a n n a (2≥n )求数列}{n a 的通项。 解:123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法 一. 观察法 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,…(2) ,1716 4,1093,542,211 (3) ,5 2 ,21,32 ,1(4) ,5 4 ,43,32,21-- 解:(1)变形为:101-1,102―1,103―1,104―1,…… ∴通项公式为:110-=n n a (2);1 2 2 ++=n n n a n (3);12 += n a n (4)1 )1(1+? -=+n n a n n .点评:关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2: 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x ) = (x -1)2,且a 1 = f (d -1),a 3 = f (d +1),b 1 = f (q +1),b 3 = f (q -1),(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式; 解:(1)∵a 1=f (d -1) = (d -2)2,a 3 = f (d +1)= d 2,∴a 3-a 1=d 2-(d -2)2=2d , ∴d =2,∴a n =a 1+(n -1)d = 2(n -1);又b 1= f (q +1)= q 2,b 3 =f (q -1)=(q -2)2, ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ,由q ∈R ,且q ≠1,得q =-2,∴b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列,且432a a a ??=48,432a a a ++=12,则数列的通项公式是 ( ) (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析:设等差数列的公差位d ,由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a , 解得 ?? ?±==2 4 3d a ,又 {} n a 是递减数列, ∴ 2 -=d , 8 1=a ,∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ,故选(D)。 例 4. 已知等比数列 {}n a 的首项11=a ,公比10<

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

(1)主题:求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如:特殊情况:当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠,常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ; 的通项公式,进而求得n a 。 二、 形n a a * ;

三、 形 ()x f x =) 情形1:1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根,得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2:1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根; (1)当12λλ≠时,数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列; (2)当12 =λλλ =时,数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程:递推式为a n+1= d ca b aa n n ++(c ≠0,a,b,c,d 为常数)型的数列 a n+1-λ= d ca b aa n n ++-λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ,令λ=-λ λc a d b --,可得λ=d c b a ++λλ ……(1)。(1)是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ,a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程(1)有两个不同根λ1,λ2时,有 a n+1-λ1= d ca a c a n n +--))((11λλ,a n+1-λ2=d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a =21λλc a c a --?21λλ--n n a a ,令b n =21λλ--n n a a 有b n +1= 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程(1)出现重根同为λ时, 由a n+1-λ= d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a =))((λλ--+n n a c a d ca =λ c a c -+))((λλλ--+n a c a c d ( “分离常数”)。设c n =λ-n a 1 得c n +1= λ λc a c d -+?c n + λ c a c -】

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法 一、观察法 1、根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1) ,5 4,43,32,21-- (2) ,5 2,21,32,1 (3)9,99,999,9999,… 二、叠加法:对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中,31=a ,n a a n n +=+1,求通项n a 。 三、叠乘法:对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中,3 11= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。 四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式,求}{n a 的通项公式。 (1)13-+=n n S n 。 (2)12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。 六、倒数法 8、已知数列{n a }中11=a 且11+=+n n n a a a (N n ∈),,求数列的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的首项11a =,且13(2)n n a a n -=+≥,则n a = 3n-2 .

2.已知数列{}n a 的首项11a =,且123(2)n n a a n -=+≥,则n a 1433n -?-. 3.已知数列{}n a 的11a =,22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥,则1lim n x n a a →∞+=

数列通项公式的求法(类型总结)

构造法在数列中的应用——数列通项公式的求法 一、形如)(1 n f a a n n +=+(其中f (n )不是常数函数)型数列(累加法) 一般地,对于形如)(1 n f a a n n +=+(其中f (n )不是常数函数)类的通项公式,且 )()2()1(n f f f +++ 的和比较好求,我们可以采用此方法来求n a 。 即:11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥; 〖例1〗.(2015江苏理数11).数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列 }1 { n a 的前10项和为 。 二、形如 n 1 n a a +=f (n )(f (n )为可求积的数列)型数列(累乘法) 一般地对于形如“已知a 1,且 n 1 n a a +=f (n )(f (n )为可求积的数列)”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即:1 2 112 1 n n n n n a a a a a a a a ---= ??? ?(2)n ≥; 〖例2〗.在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n·n a ,求n a 的表达式。 〖练1〗.在数列{an}中,a1=1,(n+2)?an+1=(n+1)?an ,则an= 〖练2〗.数列{}n a 中,2 11=a ,前n 项的和n n a n S 2=,求1+n a .

三、形如1n n a pa q +=+型数列 构造的思路有两种: (1)是待定系数法构造,设1()n n a m p a m ++=+,展开整理1n n a pa pm m +=+-,比 较系数有 pm m b -=,所以1b m p =-,所以1 n b a p +-是等比数列,公比为p ,首项为 11 b a p + -。(2)是用作差法直接构造,1n n a pa q +=+,1n n a pa q -=+,两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-,所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。 〖例3〗、已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 〖例4〗、在数列{}n a 中,11a =,当2n ≥时,有132n n a a -=+,求{}n a 的通项公式。 四、形如 C Bn Aa a n n ++=+1型数列, 一 般地,对于型如C Bn Aa a n n ++=+1型数列可化为 ])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。 〖例5〗、设数列{}n a 中,111,321n n a a a n +==++,求{}n a 的通项公式。

求数列通项公式常用的八种方法

求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法: 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法: 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a .(分3步) 三、n s 与n a 的关系式法: 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a .(分3步) 四、累加法: 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时, 就可以用这种方法. 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时,就可以用这种方法. 六、构造法: ㈠、一次函数法:在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+(,k b 均为常数且0k ≠),从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式,这时用下面的 方法:------+常数P

㈡、取倒数法:这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈(,,k m p 均为常数 0m ≠) ,两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法:一般情况下适用于1k l n n a a -=(,k l 为非零常数) 例8:已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析:由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项,以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+(c b ,为常数且不为0,*,N n m ∈)”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型,可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ,令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外,还有嵌套法(迭代法)、归纳猜想法等,但这8种方法是经常用的,将其总结到一块,以便于学生记忆和掌握。

常见数列通项公式的求法(超好)

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常见数列通项公式的求法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列, 2 55a S =.求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法:已知n S (即12()n a a a f n ++ +=)求n a ,用作差法:{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2:已知数列}{n a 的前n 项和s n ,12-=n s n 求}{n a 的通项公式。 解:(1)当n=1时,011 ==s a ,当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习:数列{a n }满足a n =5S n -3,求a n 。 答案:a n =34 (-14 )n-1 3.累加法: 若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3:(1)数列{a n }满足a 1=1且a n =a n -1+3n -2(n ≥2),求a n 。 (2)数列{a n }满足a 1=1且a n =a n -1+1 2n (n ≥2),求a n 。 解:(1)由a n =a n -1+3n -2知a n -a n -1=3n -2,记f (n )=3n -2= a n -a n -1 则a n = (a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+(a n -2-a n -3)+…(a 2-a 1)+a 1 =f (n )+ f (n -1)+ f (n -2)+…f (2)+ a 1 =(3n -2)+[3(n -1)-2]+ [3(n -2)-2]+ …+(3×2-2)+1 =3[n+(n -1)+(n -2)+…+2]-2(n -1)+1 =3×(n+2)(n -1)2 -2n+3=3n 2-n 2 (2)由a n =a n -1+12n 知a n -a n -1=12n ,记f (n )=1 2n = a n -a n -1 则a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+(a n -2-a n -3)+…(a 2-a 1)+a 1 =f (n )+ f (n -1)+ f (n -2)+…f (2)+ a 1 =12n +12n -1 +12 n -2 +…+122 +1=12 -12n 练习:已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+211 ,求n a 。答案:n a n 1-23= 4.累乘法:已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 例4:在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式。 解:由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ,

高中数学数列通项公式的求法详解

数列通项公式的求法及数列求和方法详解 专题一:数列通项公式的求法 关键是找出各项与项数n 的关系.) 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,…(2) ,17 16 4,1093,542,211(3) ,5 2 ,21,32 , 1(4) ,5 4 ,43,3 2 ,21-- 答案:(1)110-=n n a (2);122++=n n n a n (3);12+=n a n (4)1 )1(1+?-=+n n a n n . 公式法1:特殊数列 例2: 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列,若函数f (x ) = (x -1)2,且a 1 = f (d -1),a 3 = f (d +1),b 1 = f (q +1),b 3 = f (q -1),(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式; 答案:a n =a 1+(n -1)d = 2(n -1); b n =b ·q n -1=4·(-2)n -1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列,且432a a a ??=48,432a a a ++=12,则数列的通项公式是( ) (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10<

常见数列通项公式的求法

常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 (会昌中学,江西赣州342600) 摘要:数列的通项求法灵活多样,需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法,题型繁杂,方法琐碎,笔者结合近几年的高考情况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词:数列;通项公式;求法 中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1005-6351(2013)-12-0031-01 例1:已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N*),等差数列{bn}中,bn0 (n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解:(1)∵a1=1,an+1=2Sn+1 (n∈N*), ∴an=2Sn-1+1 (n∈N*,n1), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1), 即an+1-an=2an,∴an+1=3an (n∈N*,n1)。 而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1。 ∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n-1 (n∈N*)。∴a1=1,a2=3,a3=9,

在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15, ∴b2=5。 又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列,设等差数列{bn}的公差为d,则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2。 ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,∵bn0 (n∈N*),∴舍去d =-10,取d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)3n,② ∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时,a n 1 1时,设a n km m ka n 1 时, a n } 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这(n b {a n } 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ,首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f (n )可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n (n 1)求{a n }的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n

(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B}是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积,可用累积约项的方法化简求通项。 例:已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列{a n}的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]

数列通项公式前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结: 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征:适应于已知数列类型(等差或者等比). 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,2 55a S =.求数列 {}n a 的通项公式. 变式练习: 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及 前n 项和. 2.公式法 求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。 特征:已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系 例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式,求}{n a 的通项公式。 (1)13-+=n n S n 。 (2)12-=n s n 变式练习:

1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S =2n 2+n ,n ∈N ﹡,数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3,n ∈N ﹡.求n a ,n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和21 2n S n kn =-+(*k N ∈),且S n 的最大值为8,试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ,2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征:递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 变式练习: 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列: 求通项公式 类型2 特征:递推公式为 n n a n f a )(1=+ 对策:把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+,利用累乘法求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ,n n a n n a 1 1+=+,求n a 。 变式练习:

求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法:已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1:已知{}n a 是一个等差数列,且5,152-==a a ,求{}n a 的通项公式. 分析:设数列{}n a 的公差为d ,则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a . 例2:已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ,求通项n a . 分析:当2≥n 时,1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式,() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a . 例3:已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +,其中11=a ,求n a . 分析: 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 3 4 1=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注:解决这类问题的方法,用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”,由n s 与n a 的关系式,类比出1-n a 与1 -n s 的关系式,然后两式作差,最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法:当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时,就 可以用这种方法. 例4: ()12,011-+==+n a a a n n ,求通项n a 分析: 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ,所以()2 1-=n a n ()2≥n ,而01=a 也适合上式, ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时,就可以用这种方法. 例5:111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析: 11n n n a a n -= - ∴11 n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式,所以() n a n n N * =∈ 六、构造法: ㈠、一次函数法:在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+(,k b 均为常数且0k ≠),从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式,这时用下面的方法: 一般化方法:设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+

求数列通项公式的十种方法

1. 观察法(求出a1、a2、a3,然后找规律) 即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设11=a ,)(222 1*+∈++-= N n b a a a n n n ,若1=b ,求32,a a 及数列}{n a 的通项公式. 解:由题意可知:11111+-==a , 112212212 12+-==++-=a a a , 113121222223+-=+=++-=a a a . 因此猜想11+-=n a n . 下面用数学归纳法证明上式. (1)当n =1时,结论显然成立. (2)假设当n =k 时结论成立,即11+-=k a k . (3)则11)1(11)1(11)1(12222 1+-+=++-=++-=++-=+k k a a a a k k k k , 即当n =k +1时结论也成立. 由(1)、(2)可知,对于一切正整数n ,都有)(11* ∈+-=N n n a n .(最后一句总结很重要) 2.定义法(已知数列为等差或者等比) 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=,432a a -=,求{}n a 的通项公式。 解:设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=,所以2d =. 又因为1210a a +=,所以1210a d +=,故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n = .

3.公式法 若已知数列的前n 项和与的关系,求数列的通项可用公式 求解。(一定要讨论n=1,n≥2) 例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知23 3.n n S =+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式。 解:(Ⅰ)由 233n n S =+ 可得:当1=n 时, 111(33)32 a S == +=, 当2≥n 时,11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥ 而 11133a -=≠, 所以 13,1,3, 1.n n n a n -=?=?>? 4.累加法 当递推公式为)(1n f a a n n +=+时,通常解法是把原递推公式转化为。 例4.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列{a n }的前10项和为 解:由题意得: 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 12)1(+++-+= n n 2 )1(+=n n 5.累乘法 当递推公式为)(1n f a a n n =+时,通常解法是把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n s n a {}n a n a 1()n n a a f n +-=

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